06 29 33 79 32 Je réserve ici

Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Loi binomiale

Modélisation des épreuves répétées : schéma de Bernoulli, espérance et écart-type (programme de Terminale Spécialité Maths)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Loi binomiale » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Épreuve de Bernoulli, Répétition d'épreuves indépendantes — schéma de Bernoulli, Coefficients binomiaux, Loi binomiale : définition et formule. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec…

    • A. trois issues possibles
    • B. deux issues possibles : succès ou échec
    • C. un nombre infini d'issues
    • D. des issues équiprobables uniquement
    Réponse

    B. deux issues possibles : succès ou échec — Par définition, une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (proba p) ou échec (proba 1-p).

  2. Dans un schéma de Bernoulli, les épreuves sont…

    • A. dépendantes
    • B. identiques mais pas forcément indépendantes
    • C. indépendantes et identiques
    • D. toujours équiprobables
    Réponse

    C. indépendantes et identiques — Un schéma de Bernoulli requiert n épreuves indépendantes et identiques.

  3. $\binom{7}{0} = $

    • A. 7
    • B. 0
    • C. 1
    • D. 21
    Réponse

    C. 1 — Par convention, $\binom{n}{0} = 1$ pour tout entier $n \geq 0$.

  4. $\binom{6}{6} = $

    • A. 0
    • B. 36
    • C. 6
    • D. 1
    Réponse

    D. 1 — $\binom{n}{n} = 1$ par définition (une seule façon de choisir tous les éléments).

  5. Si $X \sim \mathcal{B}(8, 0{,}3)$, les valeurs possibles de $X$ sont…

    • A. les réels entre 0 et 8
    • B. les entiers de 0 à 8
    • C. les entiers de 1 à 8
    • D. les entiers de 0 à 7
    Réponse

    B. les entiers de 0 à 8 — X compte le nombre de succès, donc X ∈ {0, 1, 2, ..., 8}.

  6. La somme $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)$ pour une loi binomiale vaut…

    • A. n
    • B. p
    • C. 1
    • D. np
    Réponse

    C. 1 — La somme des probabilités de tous les résultats possibles est toujours égale à 1.

  7. $\binom{5}{2} = $

    • A. 10
    • B. 20
    • C. 5
    • D. 25
    Réponse

    A. 10 — $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.

  8. La loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ est le cas particulier de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec…

    • A. n = 0
    • B. n = 2
    • C. n = 1
    • D. p = 0
    Réponse

    C. n = 1 — Pour n = 1, on ne réalise qu'une seule épreuve, ce qui correspond à la loi de Bernoulli.

  9. On tire 3 fois de suite, avec remise, une boule dans une urne contenant 2 rouges et 8 bleues. La proba de tirer une boule rouge est $p = $

    • A. 0,2
    • B. 0,3
    • C. 0,8
    • D. 0,6
    Réponse

    A. 0,2 — $p = 2/10 = 0{,}2$.

  10. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$, $p = 0{,}5$, le nombre maximal de succès est…

    • A. 2
    • B. 3
    • C. 4
    • D. 5
    Réponse

    C. 4 — Le nombre de succès est compris entre 0 et n = 4.

  11. La relation de Pascal s'écrit…

    • A. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} - \binom{n-1}{k}$
    • B. $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$
    • C. $\binom{n}{k} = \binom{n}{k+1}$
    • D. $\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} \times n$
    Réponse

    B. $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ — La relation de Pascal : $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$.

  12. Un tirage sans remise peut être assimilé à un schéma de Bernoulli si…

    • A. la population est petite
    • B. n ≥ 10 % de la population
    • C. n ≤ 10 % de la population
    • D. p = 0,5
    Réponse

    C. n ≤ 10 % de la population — Règle des 10 % : on peut utiliser la loi binomiale si n ≤ 10 % de la population totale N.

Niveau moyen — 12 questions

  1. Si $X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}4)$, alors $P(X = 2) = $

    • A. $\binom{5}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^3$
    • B. $\binom{5}{2}(0{,}4)^3(0{,}6)^2$
    • C. $(0{,}4)^2(0{,}6)^3$
    • D. $5 \times (0{,}4)^2(0{,}6)^3$
    Réponse

    A. $\binom{5}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^3$ — La formule est $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Ici k=2, n=5, p=0,4.

  2. Si $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}3)$, l'espérance $E(X) = $

    • A. 3
    • B. 0,3
    • C. 7
    • D. 10
    Réponse

    A. 3 — $E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3$.

  3. Si $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}3)$, la variance $V(X) = $

    • A. 3
    • B. 2,1
    • C. 0,21
    • D. 7
    Réponse

    B. 2,1 — $V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$.

  4. $P(X \geq 3)$ s'exprime en fonction de la loi cumulée par…

    • A. $P(X \leq 3)$
    • B. $1 - P(X \leq 3)$
    • C. $1 - P(X \leq 2)$
    • D. $P(X \leq 2)$
    Réponse

    C. $1 - P(X \leq 2)$ — $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$. Attention au « -1 » : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.

  5. Sur TI, la commande calculant $P(X \leq k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ est…

    • A. binompdf(n,p,k)
    • B. binomcdf(n,p,k)
    • C. normcdf(k)
    • D. binom(n,k)
    Réponse

    B. binomcdf(n,p,k) — binomcdf calcule la probabilité cumulée $P(X \leq k)$.

  6. Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $E(X) = 6$, $V(X) = 4{,}8$, quelle est la valeur de $p$ ?

    • A. 0,2
    • B. 0,8
    • C. 0,6
    • D. 0,4
    Réponse

    A. 0,2 — $V(X) = np(1-p) = 6(1-p) = 4{,}8 \Rightarrow 1-p = 0{,}8 \Rightarrow p = 0{,}2$.

  7. Pour $X \sim \mathcal{B}(4, 0{,}5)$, $P(X = 4) = $

    • A. $0{,}5^4 = 0{,}0625$
    • B. $4 \times 0{,}5^4$
    • C. $\binom{4}{4} \times 0{,}5^4 \times 0{,}5^0 = 0{,}0625$
    • D. $0{,}5^3$
    Réponse

    C. $\binom{4}{4} \times 0{,}5^4 \times 0{,}5^0 = 0{,}0625$ — $P(X=4) = \binom{4}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^0 = 1 \times 0{,}0625 \times 1 = 0{,}0625$.

  8. Si $X \sim \mathcal{B}(20, 0{,}5)$, par symétrie, $P(X = 8) = P(X = $___$)$

    • A. 8
    • B. 12
    • C. 10
    • D. 5
    Réponse

    B. 12 — Par symétrie ($p = 0{,}5$) : $P(X = k) = P(X = n-k) = P(X = 20-8) = P(X = 12)$.

  9. Un élève répond au hasard à 10 questions (4 choix chacune). La proba d'avoir exactement 3 bonnes réponses est…

    • A. $\binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7$
    • B. $(0{,}25)^3(0{,}75)^7$
    • C. $\binom{10}{3}(0{,}75)^3(0{,}25)^7$
    • D. $(0{,}25)^3$
    Réponse

    A. $\binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7$ — n=10, p=1/4=0,25, k=3 : $P(X=3) = \binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7$.

  10. L'écart-type de $\mathcal{B}(16, 0{,}25)$ vaut…

    • A. 4
    • B. 3
    • C. $\sqrt{3}$
    • D. $\sqrt{12}$
    Réponse

    C. $\sqrt{3}$ — $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{16 \times 0{,}25 \times 0{,}75} = \sqrt{3}$.

  11. Si $E(X) = np = 8$ et $n = 40$, alors $p = $

    • A. 5
    • B. 0,5
    • C. 0,2
    • D. 0,8
    Réponse

    C. 0,2 — $p = E(X)/n = 8/40 = 0{,}2$.

  12. Le mode de $\mathcal{B}(n, p)$ est la valeur de $k$ qui maximise $P(X = k)$. Pour $\mathcal{B}(10, 0{,}4)$, il est proche de…

    • A. 6
    • B. 5
    • C. 4
    • D. 3
    Réponse

    C. 4 — Le mode est proche de $\lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 11 \times 0{,}4 \rfloor = \lfloor 4{,}4 \rfloor = 4$.

Niveau difficile — 12 questions

  1. Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $p \neq 0$ et $p \neq 1$, le rapport $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = $

    • A. $\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$
    • B. $\frac{(k+1)p}{(n-k)(1-p)}$
    • C. $\frac{np}{k}$
    • D. $\frac{k+1}{n-k}$
    Réponse

    A. $\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$ — $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\binom{n}{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$.

  2. La formule $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ découle de…

    • A. la formule de Pascal
    • B. le binôme de Newton avec $(1+1)^n$
    • C. la définition des factorielles
    • D. la formule de Stirling
    Réponse

    B. le binôme de Newton avec $(1+1)^n$ — En posant $x = y = 1$ dans $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}$, on obtient $2^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.

  3. Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y = n - X$, alors $Y$ suit…

    • A. $\mathcal{B}(n, p)$
    • B. $\mathcal{B}(n, 1-p)$
    • C. $\mathcal{B}(n, n-p)$
    • D. une loi uniforme
    Réponse

    B. $\mathcal{B}(n, 1-p)$ — $Y$ = nombre d'échecs = succès pour la proba $1-p$, donc $Y \sim \mathcal{B}(n, 1-p)$.

  4. Pour $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}01)$, l'espérance $E(X) = 1$ et l'écart-type $\sigma(X) \approx$

    • A. 1
    • B. 0,99
    • C. 0,995
    • D. 0,01
    Réponse

    C. 0,995 — $\sigma = \sqrt{100 \times 0{,}01 \times 0{,}99} = \sqrt{0{,}99} \approx 0{,}995$.

  5. On veut $P(X = 0) \leq 0{,}01$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, 0{,}2)$. La plus petite valeur de $n$ vérifiant cela est telle que $(0{,}8)^n \leq 0{,}01$. On obtient $n \geq$

    • A. 20
    • B. 21
    • C. 22
    • D. 23
    Réponse

    B. 21 — $(0{,}8)^n \leq 0{,}01 \Leftrightarrow n \ln(0{,}8) \leq \ln(0{,}01) \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}6$, donc $n \geq 21$.

  6. L'intervalle $[E(X) - 2\sigma(X)\,;\,E(X) + 2\sigma(X)]$ pour $\mathcal{B}(100, 0{,}5)$ est approximativement…

    • A. [40 ; 60]
    • B. [45 ; 55]
    • C. [48 ; 52]
    • D. [0 ; 100]
    Réponse

    B. [45 ; 55] — $E = 50$, $\sigma = \sqrt{25} = 5$. Intervalle : $[50-10\,;\,50+10] = [40\,;\,60]$. Attention, 2σ = 10. L'intervalle est [40 ; 60].

  7. Pour $X \sim \mathcal{B}(6, p)$, $P(X = 6) = P(X = 0)$ si et seulement si…

    • A. $p = 0{,}5$
    • B. $p = 0{,}6$
    • C. $p = 0$ ou $p = 1$
    • D. toujours
    Réponse

    A. $p = 0{,}5$ — $P(X=6)=p^6$ et $P(X=0)=(1-p)^6$. Égalité $\Leftrightarrow p^6 = (1-p)^6 \Leftrightarrow p = 1-p \Leftrightarrow p = 0{,}5$.

  8. Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, $V(X)$ est maximale quand…

    • A. $p = 0$
    • B. $p = 1$
    • C. $p = 0{,}5$
    • D. $p = n$
    Réponse

    C. $p = 0{,}5$ — $V(X) = np(1-p)$. La fonction $f(p) = p(1-p)$ est maximale en $p = 0{,}5$ (dérivée nulle en 0,5).

  9. Pour $X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}3)$, $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx$

    • A. 0,163
    • B. 0,528
    • C. 0,472
    • D. 0,837
    Réponse

    C. 0,472 — $P(X=0)=(0{,}7)^5 \approx 0{,}168$, $P(X=1)=5(0{,}3)(0{,}7)^4 \approx 0{,}360$. Donc $P(X \geq 2) \approx 1 - 0{,}528 = 0{,}472$.

  10. On cherche $p$ tel que $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$ pour $X \sim \mathcal{B}(5, p)$. On obtient…

    • A. $(1-p)^5 \leq 0{,}01$
    • B. $(1-p)^5 \geq 0{,}01$
    • C. $p^5 \leq 0{,}01$
    • D. $5p \geq 0{,}99$
    Réponse

    A. $(1-p)^5 \leq 0{,}01$ — $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^5 \geq 0{,}99 \Leftrightarrow (1-p)^5 \leq 0{,}01$.

  11. La variance $V(X)$ de $\mathcal{B}(n, p)$ vérifie toujours $V(X) \leq$

    • A. $np$
    • B. $n/4$
    • C. $n^2/4$
    • D. $np^2$
    Réponse

    B. $n/4$ — $V(X) = np(1-p) \leq n \times \frac{1}{4} = \frac{n}{4}$ car $p(1-p) \leq \frac{1}{4}$ pour tout $p \in [0,1]$.

  12. Si $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}6)$ et $Y \sim \mathcal{B}(10, 0{,}4)$, alors pour tout $k$…

    • A. $P(X=k) \gt P(Y=k)$
    • B. $P(X=k) = P(Y=10-k)$
    • C. $P(X=k) = P(Y=k)$
    • D. $E(X) = E(Y)$
    Réponse

    B. $P(X=k) = P(Y=10-k)$ — $P(X=k) = \binom{10}{k}(0{,}6)^k(0{,}4)^{10-k} = \binom{10}{10-k}(0{,}4)^{10-k}(0{,}6)^k = P(Y=10-k)$ par symétrie des coefficients binomiaux.

Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs