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Loi binomiale
Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale et formule de P(X = k), P(X ≤ k) à la calculatrice, espérance, variance et écart type, seuils et intervalles de probabilité.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire…
- A. à deux issues exactement
- B. répétée n fois de suite
- C. aux issues équiprobables
- D. à n issues distinctes
Réponse
A. à deux issues exactement — Une épreuve de Bernoulli n’a que deux issues : le succès (probabilité p) et l’échec (probabilité 1 − p) ; elles ne sont pas forcément équiprobables.
X suit la loi B(n ; p). Pour 0 ≤ k ≤ n, P(X = k) vaut :
- A. pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- B. (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- C. (k parmi n) × pⁿ⁻ᵏ × (1 − p)ᵏ
- D. (k parmi n) × pᵏ
Réponse
B. (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ — Le coefficient binomial compte les chemins à k succès, et chacun a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Si X suit la loi B(n ; p), alors E(X) vaut :
- A. p
- B. n
- C. np
- D. np(1 − p)
Réponse
C. np — L’espérance d’une loi binomiale est np ; np(1 − p) est la variance.
Si X suit la loi B(n ; p), alors V(X) vaut :
- A. np
- B. √(np(1 − p))
- C. np²
- D. np(1 − p)
Réponse
D. np(1 − p) — V(X) = np(1 − p) ; sa racine carrée est l’écart type.
X suit la loi B(30 ; 0,2). E(X) vaut :
- A. 6
- B. 0,2
- C. 24
- D. 4,8
Réponse
A. 6 — E(X) = 30 × 0,2 = 6 ; 4,8 = 30 × 0,2 × 0,8 est la variance.
Laquelle de ces situations est un schéma de Bernoulli ?
- A. Tirer 3 cartes sans remise et compter les as
- B. Lancer 8 fois un dé et compter les « 1 »
- C. Lancer un dé jusqu’à obtenir un « 1 »
- D. Tirer une boule et noter sa couleur
Réponse
B. Lancer 8 fois un dé et compter les « 1 » — Il faut un nombre fixé de répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve à deux issues : c’est le cas des 8 lancers de dé.
Pour tout entier n ≥ 0, le coefficient « 0 parmi n » vaut :
- A. 0
- B. n
- C. 1
- D. n!
Réponse
C. 1 — Un seul chemin ne comporte aucun succès : celui où toutes les épreuves sont des échecs.
Si X suit la loi B(n ; p), alors P(X ≥ 1) vaut :
- A. 1 − pⁿ
- B. (1 − p)ⁿ
- C. 1 − (1 − p)ⁿ
- D. n × p × (1 − p)
Réponse
C. 1 − (1 − p)ⁿ — Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », de probabilité (1 − p)ⁿ.
X suit la loi B(16 ; 0,5). L’écart type σ(X) vaut :
- A. 4
- B. 8
- C. 2
- D. √8
Réponse
C. 2 — V(X) = 16 × 0,5 × 0,5 = 4, donc σ(X) = √4 = 2.
X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. E(X) vaut :
- A. p
- B. 1 − p
- C. p(1 − p)
- D. 1
Réponse
A. p — E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p ; p(1 − p) est la variance.
Par symétrie, le coefficient « k parmi n » est égal à :
- A. « k − 1 parmi n »
- B. « k + 1 parmi n »
- C. « k parmi n + k »
- D. « n − k parmi n »
Réponse
D. « n − k parmi n » — Choisir les positions des k succès revient à choisir celles des n − k échecs.
Combien d’issues a l’arbre d’une succession de 5 épreuves à deux issues ?
- A. 10
- B. 25
- C. 32
- D. 120
Réponse
C. 32 — 2 issues à chacune des 5 épreuves : 2⁵ = 32 chemins.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
X suit la loi B(3 ; 0,5). P(X = 1) vaut :
- A. 0,125
- B. 0,5
- C. 0,375
- D. 0,333
Réponse
C. 0,375 — P(X = 1) = 3 × 0,5³ = 3/8 = 0,375 ; 0,125 oublie le coefficient 3.
X suit la loi B(3 ; 0,1). P(X = 0) vaut :
- A. 0,729
- B. 0,9
- C. 0,001
- D. 0,271
Réponse
A. 0,729 — P(X = 0) = 0,9³ = 0,729 ; 0,001 = 0,1³ serait P(X = 3).
X suit la loi B(n ; p) et la calculatrice donne P(X ≤ 7) ≈ 0,62. Alors P(X ≥ 8) ≈
- A. 0,62
- B. 0,38
- C. 0,31
- D. 0,69
Réponse
B. 0,38 — {X ≥ 8} est le contraire de {X ≤ 7} : P(X ≥ 8) ≈ 1 − 0,62 = 0,38.
X suit la loi B(6 ; 0,1). P(X = 1) vaut environ :
- A. 0,059
- B. 0,354
- C. 0,531
- D. 0,600
Réponse
B. 0,354 — P(X = 1) = 6 × 0,1 × 0,9⁵ ≈ 0,354 ; 0,059 oublie le coefficient 6 et 0,531 = 0,9⁶ est P(X = 0).
X suit la loi B(n ; 0,2) et E(X) = 8. Alors n vaut :
- A. 10
- B. 40
- C. 16
- D. 1,6
Réponse
B. 40 — E(X) = 0,2n = 8 donne n = 40.
Dans un schéma de 8 épreuves, combien de chemins comportent exactement 3 succès ?
- A. 24
- B. 56
- C. 336
- D. 512
Réponse
B. 56 — « 3 parmi 8 » = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56 ; 336 compte les choix ordonnés.
X suit la loi B(5 ; 0,5). P(X ≥ 4) vaut environ :
- A. 0,156
- B. 0,031
- C. 0,188
- D. 0,813
Réponse
C. 0,188 — P(X = 4) + P(X = 5) = 5/32 + 1/32 = 6/32 ≈ 0,188.
X suit la loi B(12 ; 0,25). Alors :
- A. σ(X) = 1,5
- B. σ(X) = 2,25
- C. σ(X) = 3
- D. σ(X) = 0,75
Réponse
A. σ(X) = 1,5 — V(X) = 12 × 0,25 × 0,75 = 2,25, donc σ(X) = √2,25 = 1,5.
Pour une variable X à valeurs entières, P(X ≥ 3) est égal à :
- A. 1 − P(X ≤ 3)
- B. 1 − P(X ≤ 2)
- C. P(X ≤ 2)
- D. 1 − P(X = 3)
Réponse
B. 1 − P(X ≤ 2) — Le contraire de {X ≥ 3} est {X ≤ 2}.
X suit la loi B(3 ; 0,7). P(X = 3) vaut :
- A. 0,7
- B. 0,027
- C. 0,441
- D. 0,343
Réponse
D. 0,343 — P(X = 3) = 0,7³ = 0,343 ; 0,027 = 0,3³ est P(X = 0).
Le plus petit entier n tel que 1 − 0,5ⁿ ≥ 0,99 est :
- A. 6
- B. 10
- C. 8
- D. 7
Réponse
D. 7 — 0,5ⁿ ≤ 0,01 : 0,5⁶ ≈ 0,0156 > 0,01 et 0,5⁷ ≈ 0,0078 ≤ 0,01, donc n = 7.
X suit la loi B(5 ; 0,2). P(X ≤ 1) vaut environ :
- A. 0,328
- B. 0,410
- C. 0,737
- D. 0,263
Réponse
C. 0,737 — P(X = 0) + P(X = 1) = 0,8⁵ + 5 × 0,2 × 0,8⁴ = 0,32768 + 0,4096 ≈ 0,737.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
On tire successivement, sans remise, 3 cartes d’un jeu de 32 cartes ; X compte les cœurs. Alors :
- A. X suit B(3 ; 0,25), car 8 cœurs sur 32
- B. X ne suit pas une loi binomiale
- C. X suit B(32 ; 0,25), une épreuve par carte
- D. X suit B(3 ; 0,75), loi des échecs
Réponse
B. X ne suit pas une loi binomiale — Sans remise, la probabilité de tirer un cœur change à chaque tirage : les tirages ne sont pas indépendants.
X suit la loi B(n ; p). Quelle affirmation est toujours vraie ?
- A. P(X = k) est maximale pour k = np
- B. P(X ≤ k) = 1 − P(X ≥ k)
- C. σ(X) = np(1 − p)
- D. P(X = 0) + P(X ≥ 1) = 1
Réponse
D. P(X = 0) + P(X ≥ 1) = 1 — {X = 0} et {X ≥ 1} sont contraires. np n’est pas toujours entier ; P(X ≤ k) = 1 − P(X ≥ k + 1) ; np(1 − p) est la variance.
X suit la loi B(n ; 0,5). Alors, pour tout n et tout k de 0 à n :
- A. P(X = k) = P(X = n − k)
- B. E(X) = n et V(X) = n/2
- C. V(X) = n/2 pour tout n
- D. P(X = k) = 0,5 pour tout k
Réponse
A. P(X = k) = P(X = n − k) — Pour p = 0,5, P(X = k) = « k parmi n » × 0,5ⁿ, et « k parmi n » = « n − k parmi n ». Ici E(X) = n/2 et V(X) = n/4.
Un élève écrit « P(X ≥ 1) = 1 − P(X ≤ 1) ». Cette égalité est :
- A. correcte pour toute loi binomiale
- B. fausse : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)
- C. fausse : P(X ≥ 1) = P(X ≤ 1)
- D. fausse : P(X ≥ 1) = 1 − P(X > 1)
Réponse
B. fausse : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) — Le contraire de {X ≥ 1} est {X = 0}, c’est-à-dire {X ≤ 0}.
X suit la loi B(n ; p) et Y = n − X est le nombre d’échecs. Alors Y suit :
- A. B(n ; p)
- B. B(n ; 1 − p)
- C. B(n − 1 ; p)
- D. aucune loi binomiale
Réponse
B. B(n ; 1 − p) — Compter les échecs, c’est compter les succès de l’épreuve dont le succès est l’échec, de probabilité 1 − p.
a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0,025 et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975. Alors P(a ≤ X ≤ b) est :
- A. égale à 0,95 exactement
- B. supérieure ou égale à 0,95
- C. inférieure ou égale à 0,95
- D. égale à 1 − 0,025 − 0,975
Réponse
B. supérieure ou égale à 0,95 — P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1), avec P(X ≤ b) ≥ 0,975 et P(X ≤ a − 1) ≤ 0,025 : elle vaut au moins 0,95.
X suit la loi B(10 ; 0,3) ; la calculatrice donne P(X ≤ 1) ≈ 0,149 et P(X ≤ 4) ≈ 0,850. Alors P(2 ≤ X ≤ 4) ≈
- A. 0,15
- B. 0,47
- C. 0,70
- D. 0,85
Réponse
C. 0,70 — P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1) ≈ 0,850 − 0,149 ≈ 0,70 ; 0,47 retirerait P(X ≤ 2) au lieu de P(X ≤ 1).
X suit la loi B(100 ; 0,02) et Y la loi B(10 ; 0,2). Alors :
- A. E(X) = E(Y) et V(X) = V(Y)
- B. E(X) = E(Y) et V(X) > V(Y)
- C. E(X) = E(Y) et V(X) < V(Y)
- D. E(X) ≠ E(Y)
Réponse
B. E(X) = E(Y) et V(X) > V(Y) — E(X) = E(Y) = 2 ; V(X) = 100 × 0,02 × 0,98 = 1,96 et V(Y) = 10 × 0,2 × 0,8 = 1,6.
Dans un schéma de Bernoulli de n épreuves, le nombre de chemins comportant exactement k succès est :
- A. n × k
- B. n à la puissance k
- C. « k parmi n »
- D. n! divisé par k!
Réponse
C. « k parmi n » — C’est la définition du coefficient binomial : nombre de façons de placer les k succès parmi les n épreuves.
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d’une issue précise (ordre donné) comportant k succès est :
- A. « k parmi n » × pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- B. pᵏ
- C. pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- D. k × p
Réponse
C. pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ — Une seule issue : produit des probabilités le long du chemin, sans coefficient binomial (qui compte toutes les issues à k succès).
X suit une loi binomiale avec E(X) = 10 et V(X) = 8. Ses paramètres sont :
- A. n = 40 et p = 0,25
- B. n = 20 et p = 0,5
- C. n = 50 et p = 0,2
- D. n = 100 et p = 0,1
Réponse
C. n = 50 et p = 0,2 — 1 − p = V(X)/E(X) = 0,8 donc p = 0,2, puis n = 10/0,2 = 50. Les autres choix ont bien E(X) = 10 mais V(X) = 7,5 ; 5 ; 9.
On lance 10 fois un dé équilibré (X = nombre de « 6 ») et 10 fois une pièce équilibrée (Y = nombre de « Pile »). Quelle affirmation est vraie ?
- A. X et Y ont la même loi
- B. X + Y suit B(20 ; 1/6)
- C. P(X ≥ 1) > P(Y ≥ 1)
- D. P(Y ≥ 1) > P(X ≥ 1)
Réponse
D. P(Y ≥ 1) > P(X ≥ 1) — P(X ≥ 1) = 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 0,838 et P(Y ≥ 1) = 1 − 0,5¹⁰ ≈ 0,999. Les paramètres p diffèrent, donc X + Y ne suit pas une loi binomiale.
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