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Formulaire : limites de suites

Limite finie ou infinie, opérations et formes indéterminées, comparaison et gendarmes, limite de qⁿ, suites monotones et seuils, suites arithmético-géométriques.

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Limites de suites

Fiche tableaux : les limites à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Limites de référence

Suite	$n$	$n^{2}$	$n^{3}$	$\sqrt{n}$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{n^{2}}$	$\frac{1}{n^{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{n}}$
Limite	$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$0$	$0$	$0$	$0$

Exemple : $lim (2 + \frac{9}{\sqrt{n}}) = 2$ , car $\frac{9}{\sqrt{n}} \to 0$ .

Somme

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim (u_{n} + v_{n})$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ + ℓ'$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	FI

Exemple : $lim (n^{2} + \frac{1}{n}) = + \infty$ (« $+ \infty + 0$ »). Forme indéterminée : $n^{2} - n = n^{2} (1 - \frac{1}{n}) \to + \infty$ .

Produit

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim (u_{n} v_{n})$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ ℓ'$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	FI

Exemple : $lim (- 5 n^{2}) = - \infty$ (« $(- 5) \times (+ \infty)$ »). Forme indéterminée : $n^{2} \times \frac{1}{n} = n \to + \infty$ mais $n \times \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} \to 0$ .

Quotient

$lim u_{n}$	$lim v_{n}$	$lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$
$ℓ$	$ℓ' \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$ℓ' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$ℓ \neq 0$ ou $\pm \infty$	$0$ , $v_{n}$ de signe constant	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI
$0$	$0$	FI

Exemple : $lim \frac{8}{n + 2} = 0$ (« $\frac{8}{+ \infty}$ ») ; $\frac{1}{1 / n} = n \to + \infty$ (« $\frac{1}{0}$ » avec $\frac{1}{n} > 0$ ). Forme indéterminée : $\frac{2 n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2$ .

Limite de qⁿ et suites géométriques

$q$	$q ⩽ - 1$	$- 1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$lim q^{n}$	pas de limite	$0$	$1$	$+ \infty$
$lim u_{0} q^{n}$ ( $u_{0} > 0$ )	pas de limite	$0$	$u_{0}$	$+ \infty$
$lim u_{0} q^{n}$ ( $u_{0} < 0$ )	pas de limite	$0$	$u_{0}$	$- \infty$
$1 + q + \dots + q^{n}$	pas de limite	$\frac{1}{1 - q}$	$+ \infty$	$+ \infty$

Exemples : $lim 0, 2^{n} = 0$ ; $lim (- 8 \times 1, 1^{n}) = - \infty$ ; $1 + 0, 6 + \dots + 0, 6^{n} \to \frac{1}{0, 4} = 2, 5$ .

Comparaison, gendarmes, monotonie

Si…	et si…	alors…
$u_{n} ⩾ v_{n}$ (à partir d’un rang)	$v_{n} \to + \infty$	$u_{n} \to + \infty$
$u_{n} ⩽ w_{n}$ (à partir d’un rang)	$w_{n} \to - \infty$	$u_{n} \to - \infty$
$a_{n} ⩽ u_{n} ⩽ b_{n}$	$a_{n} \to ℓ$ et $b_{n} \to ℓ$	$u_{n} \to ℓ$ (gendarmes)
$u_{n} ⩽ v_{n}$ , $u_{n} \to ℓ$ , $v_{n} \to ℓ'$	—	$ℓ ⩽ ℓ'$
$(u_{n})$ croissante	majorée	$(u_{n})$ converge
$(u_{n})$ croissante	non majorée	$u_{n} \to + \infty$
$(u_{n})$ décroissante	minorée	$(u_{n})$ converge
$(u_{n})$ décroissante	non minorée	$u_{n} \to - \infty$

Exemples : $n + \sin n ⩾ n - 1 \to + \infty$ ; $\frac{- 1}{n} ⩽ \frac{\sin n}{n} ⩽ \frac{1}{n}$ donne $\frac{\sin n}{n} \to 0$ .

Suites arithmético-géométriques

Relation	Point d’équilibre	Suite auxiliaire	Forme explicite	Limite si $- 1 < a < 1$
$u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , $a \neq 1$	$ℓ = \frac{b}{1 - a}$	$v_{n} = u_{n} - ℓ$ , géométrique de raison $a$	$u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$	$ℓ$

Exemple : $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 2$ et $u_{0} = 1$ : $ℓ = \frac{2}{0, 2} = 10$ , $u_{n} = 10 - 9 \times 0, 8^{n} \to 10$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des limites de suites en tableaux, pour le bac de spécialité maths : limites de référence (n, n², √n, 1/n…), somme, produit et quotient de limites avec les formes indéterminées signalées, limite de qⁿ selon la valeur de q, comparaison, gendarmes et suites monotones, suites arithmético-géométriques. Chaque tableau est suivi d’un exemple court ; la fiche se télécharge en PDF pour la réviser avant un devoir surveillé.

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