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Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Limites de suites

Comportement asymptotique des suites : convergence, divergence et théorèmes de comparaison (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Limites de suites » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Définitions : limite finie et limite infinie, Suites classiques et leurs limites, Opérations sur les limites, Formes indéterminées — techniques de calcul. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !

Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Quelle est la limite de $u_n = \dfrac{1}{n}$ quand $n \to +\infty$ ?

    • A. $+\infty$
    • B. $1$
    • C. $0$
    • D. $-\infty$
    Réponse

    C. $0$ — $1/n \to 0$ car le dénominateur tend vers l'infini.

  2. Une suite qui a une limite finie est dite :

    • A. divergente
    • B. convergente
    • C. bornée
    • D. monotone
    Réponse

    B. convergente — Converger = avoir une limite finie.

  3. Quelle est la limite de $v_n = 3^n$ ?

    • A. $0$
    • B. $3$
    • C. $-\infty$
    • D. $+\infty$
    Réponse

    D. $+\infty$ — $3^n \to +\infty$ car la raison $q = 3 \gt 1$.

  4. Quelle est la limite de $w_n = (0{,}7)^n$ ?

    • A. $0{,}7$
    • B. $0$
    • C. $+\infty$
    • D. $1$
    Réponse

    B. $0$ — $|0{,}7| \lt 1$ donc $(0{,}7)^n \to 0$.

  5. La suite $u_n = (-1)^n$ est :

    • A. convergente vers $0$
    • B. convergente vers $1$
    • C. divergente
    • D. monotone
    Réponse

    C. divergente — Elle oscille entre $1$ et $-1$ sans se stabiliser : elle diverge.

  6. Quelle est la limite de $a_n = n^3 - 10n^2$ quand $n \to +\infty$ ?

    • A. $0$
    • B. $-\infty$
    • C. $+\infty$
    • D. $-10$
    Réponse

    C. $+\infty$ — Le terme dominant est $n^3 \to +\infty$.

  7. Quelle est la limite de $b_n = \dfrac{5}{n^3}$ ?

    • A. $5$
    • B. $+\infty$
    • C. $0$
    • D. $-\infty$
    Réponse

    C. $0$ — $5/n^3 \to 0$ car $n^3 \to +\infty$.

  8. Une suite géométrique de raison $q = 0{,}99$ tend vers :

    • A. $0{,}99$
    • B. $0$
    • C. $+\infty$
    • D. $1$
    Réponse

    B. $0$ — $|0{,}99| \lt 1$, donc $0{,}99^n \to 0$.

  9. Quelle est la limite de $c_n = 2 + \dfrac{3}{n}$ ?

    • A. $3$
    • B. $5$
    • C. $2$
    • D. $+\infty$
    Réponse

    C. $2$ — $3/n \to 0$ donc $c_n \to 2 + 0 = 2$.

  10. On dit que $+\infty$ est une limite infinie. Cela signifie que :

    • A. la suite est bornée
    • B. la suite dépasse tout réel fixé à partir d'un certain rang
    • C. la suite est négative
    • D. la suite oscille
    Réponse

    B. la suite dépasse tout réel fixé à partir d'un certain rang — Par définition : $u_n \to +\infty$ ssi pour tout $M$, $u_n \gt M$ à partir d'un certain rang.

  11. Quelle est la limite de $d_n = \sqrt{n}$ ?

    • A. $0$
    • B. $1$
    • C. $+\infty$
    • D. pas de limite
    Réponse

    C. $+\infty$ — $\sqrt{n} \to +\infty$.

  12. Quelle est la limite de $e_n = \dfrac{n+1}{n}$ ?

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. $1$
    • D. $2$
    Réponse

    C. $1$ — $e_n = 1 + 1/n \to 1 + 0 = 1$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. La limite de $u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 - 3}$ est :

    • A. $2$
    • B. $1$
    • C. $+\infty$
    • D. $0$
    Réponse

    A. $2$ — On factorise par $n^2$ : $(2 + 1/n^2)/(1 - 3/n^2) \to 2/1 = 2$.

  2. La forme $+\infty - \infty$ est :

    • A. égale à $0$
    • B. une forme indéterminée
    • C. égale à $+\infty$
    • D. impossible
    Réponse

    B. une forme indéterminée — On ne peut pas conclure directement, il faut lever la forme indéterminée.

  3. Si $0 \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$, alors $u_n$ tend vers :

    • A. $+\infty$
    • B. une valeur inconnue
    • C. $0$
    • D. $1$
    Réponse

    C. $0$ — Par le théorème des gendarmes : $0 \leq u_n \leq 1/n$, les deux encadrantes $\to 0$, donc $u_n \to 0$.

  4. La limite de $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ est :

    • A. $+\infty$
    • B. $1$
    • C. $0$
    • D. $1/2$
    Réponse

    C. $0$ — $v_n = 1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \to 1/(+\infty) = 0$.

  5. La limite de $w_n = \dfrac{3^n}{n^{100}}$ est :

    • A. $0$
    • B. $3$
    • C. $+\infty$
    • D. $1$
    Réponse

    C. $+\infty$ — Croissances comparées : $n^k = o(q^n)$ pour $q \gt 1$. Donc $3^n / n^{100} \to +\infty$.

  6. Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors :

    • A. elle diverge vers $+\infty$
    • B. elle converge
    • C. elle est constante
    • D. elle oscille
    Réponse

    B. elle converge — Théorème des suites monotones bornées : toute suite croissante majorée converge.

  7. La limite de $a_n = \dfrac{-n^2 + 4n}{2n^2 + 1}$ est :

    • A. $-1/2$
    • B. $4$
    • C. $0$
    • D. $+\infty$
    Réponse

    A. $-1/2$ — Factorisation par $n^2$ : $(-1 + 4/n)/(2 + 1/n^2) \to -1/2$.

  8. Pour la suite $u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 3$, le point fixe est :

    • A. $3$
    • B. $6$
    • C. $1{,}5$
    • D. $0$
    Réponse

    B. $6$ — $l = 0{,}5l + 3 \Rightarrow 0{,}5l = 3 \Rightarrow l = 6$.

  9. Quelle est la limite de $b_n = \dfrac{\cos n + n}{n}$ ?

    • A. $+\infty$
    • B. $0$
    • C. $1$
    • D. pas de limite
    Réponse

    C. $1$ — $b_n = 1 + \cos(n)/n$. Or $\cos(n)/n \to 0$, donc $b_n \to 1$.

  10. La limite de $c_n = (-0{,}8)^n$ est :

    • A. $-0{,}8$
    • B. $0$
    • C. pas de limite
    • D. $+\infty$
    Réponse

    B. $0$ — $|-0{,}8| = 0{,}8 \lt 1$ donc $(-0{,}8)^n \to 0$ (oscillations amorties).

  11. Quelle est la forme indéterminée de $\dfrac{n^2}{n^3 - 1}$ ?

    • A. $0/0$
    • B. $\infty/\infty$
    • C. $0 \times \infty$
    • D. aucune
    Réponse

    B. $\infty/\infty$ — Numérateur $\to +\infty$ et dénominateur $\to +\infty$ : forme $\infty/\infty$.

  12. La limite de $d_n = \dfrac{n^2}{n^3 - 1}$ est :

    • A. $1$
    • B. $0$
    • C. $+\infty$
    • D. $-1$
    Réponse

    B. $0$ — Factorisation par $n^3$ : $d_n = (1/n)/(1 - 1/n^3) \to 0/1 = 0$.

Niveau difficile — 13 questions

  1. Soit $u_n = n \sin(1/n)$. Sa limite est :

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. $1$
    • D. pas de limite
    Réponse

    C. $1$ — $u_n = \sin(1/n)/(1/n)$. En posant $x = 1/n \to 0$, on obtient $\sin(x)/x \to 1$.

  2. Une suite bornée est-elle nécessairement convergente ?

    • A. Oui, toujours
    • B. Non, elle peut diverger
    • C. Oui, si elle est positive
    • D. Oui, si elle est décroissante
    Réponse

    B. Non, elle peut diverger — $(-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$) mais diverge.

  3. Soit $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{3}$, $u_0 = 10$. La limite de $(u_n)$ est :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $10$
    • D. $0$
    Réponse

    A. $1$ — Point fixe : $l = (l+2)/3 \Rightarrow 3l = l+2 \Rightarrow l = 1$. Raison $1/3 \lt 1$ : converge vers $1$.

  4. La limite de $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ est :

    • A. $1$
    • B. $+\infty$
    • C. $e \approx 2{,}718$
    • D. $2$
    Réponse

    C. $e \approx 2{,}718$ — C'est la définition du nombre $e$ (résultat hors programme mais classique).

  5. Si $u_n \to L$ et $v_n \to L'$ avec $L \gt L'$, alors à partir d'un certain rang :

    • A. $u_n \lt v_n$
    • B. $u_n \gt v_n$
    • C. $u_n = v_n$
    • D. On ne peut rien dire
    Réponse

    B. $u_n \gt v_n$ — Si $L \gt L'$, alors $u_n - v_n \to L - L' \gt 0$, donc $u_n \gt v_n$ à partir d'un certain rang.

  6. Soit $u_n = \dfrac{n!}{n^n}$. La suite est :

    • A. croissante et diverge
    • B. décroissante et converge vers $0$
    • C. constante
    • D. oscillante
    Réponse

    B. décroissante et converge vers $0$ — $u_n \to 0$ car $n^n$ croît beaucoup plus vite que $n!$ (croissances comparées).

  7. La suite $u_n = \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n + n$ a pour limite :

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. pas de limite
    • D. $-\infty$
    Réponse

    B. $+\infty$ — $(-1/2)^n \to 0$ et $n \to +\infty$, donc $u_n \to 0 + \infty = +\infty$.

  8. Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(1/u_n)$ tend vers :

    • A. $+\infty$
    • B. $-\infty$
    • C. $0^+$
    • D. pas de limite
    Réponse

    C. $0^+$ — $u_n \to +\infty$ implique $1/u_n \to 0$ par valeurs positives.

  9. Soit $u_n$ décroissante avec $u_n \geq 0$ pour tout $n$. Que peut-on dire ?

    • A. $u_n \to 0$
    • B. $(u_n)$ converge
    • C. $(u_n)$ diverge
    • D. $(u_n)$ est constante
    Réponse

    B. $(u_n)$ converge — Suite décroissante et minorée par $0$ : elle converge (théorème des suites monotones bornées). Mais sa limite n'est pas forcément $0$.

  10. La limite de $v_n = \dfrac{2^n + 3^n}{4^n}$ est :

    • A. $1$
    • B. $0$
    • C. $+\infty$
    • D. $3/4$
    Réponse

    B. $0$ — $v_n = (2/4)^n + (3/4)^n = (1/2)^n + (3/4)^n \to 0+0 = 0$.

  11. Si $\lim u_n = +\infty$ et $\lim v_n = -\infty$, la limite de $u_n + v_n$ est :

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. $-\infty$
    • D. indéterminée
    Réponse

    D. indéterminée — $+\infty + (-\infty)$ est une forme indéterminée. On ne peut conclure sans calcul.

  12. Soit $u_n = \ln(n+1) - \ln(n) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$. Sa limite est :

    • A. $1$
    • B. $+\infty$
    • C. $0$
    • D. $e$
    Réponse

    C. $0$ — $1/n \to 0$ et $\ln(1+x) \to 0$ quand $x \to 0$, donc $\ln(1+1/n) \to 0$.

  13. Soit $(u_n)$ vérifiant $|u_n - 3| \leq \dfrac{2}{n}$. Alors $(u_n)$ converge vers :

    • A. $2$
    • B. $3$
    • C. $0$
    • D. valeur inconnue
    Réponse

    B. $3$ — $3 - 2/n \leq u_n \leq 3 + 2/n$, les deux encadrantes $\to 3$, donc $u_n \to 3$.

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