Limites de suites

C. 0 — √n tend vers +∞, donc 7/√n tend vers 0.

B. divergente — Seule une suite de limite finie est convergente ; une suite de limite infinie est divergente.

A. 0 — −1 < 0,3 < 1, donc 0,3ⁿ tend vers 0.

D. −∞ — 1,5 > 1 donc 1,5ⁿ tend vers +∞ ; multiplié par −2 < 0, le produit tend vers −∞.

C. n'a pas de limite — Ses termes valent 1, −2, 4, −8… : ils changent de signe et grandissent en valeur absolue, donc aucune limite.

D. +∞ — 4n tend vers +∞ et on retranche une constante : la limite est +∞.

A. −∞ — 1 + 1/n tend vers 1 et 5 − n tend vers −∞ : par produit, uₙ tend vers −∞.

B. « +∞ − ∞ » — +∞ − ∞ ne se conclut pas sans transformer l'écriture ; les trois autres donnent +∞, +∞ et 0.

A. converge — C'est le théorème de convergence monotone. Sa limite est inférieure ou égale au majorant, pas forcément égale.

B. tend vers −∞ — Comme une suite croissante non majorée tend vers +∞, une suite décroissante non minorée tend vers −∞.

D. tend vers 4 — C'est le théorème des gendarmes : les deux bornes ont la même limite 4, donc uₙ tend vers 4.

B. 6 — ℓ − 0,5ℓ = 3, soit 0,5ℓ = 3, donc ℓ = 6.

A. 3 — On factorise par n : (3 + 1/n)/(1 − 2/n) tend vers 3/1 = 3.

C. 0 — uₙ = (1/(2n)) × (1 + 1/n²) : le premier facteur tend vers 0, le second vers 1, donc la limite est 0.

D. −∞ — uₙ = n × (2/n² − 1)/(1 + 1/n) : produit de n qui tend vers +∞ par un quotient qui tend vers −1, donc −∞.

B. 1 — uₙ = 1 + 1/√n et 1/√n tend vers 0, donc uₙ tend vers 1.

C. uₙ tend vers 0 — Les deux bornes −2/n et 3/n tendent vers 0 : théorème des gendarmes.

B. −∞ — uₙ = 3ⁿ((2/3)ⁿ − 1) : 3ⁿ tend vers +∞ et la parenthèse tend vers −1, donc −∞.

D. 0 — −1 < −0,9 < 1 : la suite tend vers 0, en changeant de signe à chaque rang.

D. −∞ — 1,2 > 1 donc 1,2ⁿ tend vers +∞, puis −3 × 1,2ⁿ tend vers −∞ et uₙ aussi.

B. on ne peut rien dire de sa limite — Une suite majorée par n² peut tendre vers −∞ (−n), vers 0 (1/n) ou vers +∞ (n). Pour conclure à +∞ par comparaison, il faut un minorant qui tend vers +∞.

A. 0 — Avec la quantité conjuguée : uₙ = 2/(√(n + 1) + √(n − 1)), dont le dénominateur tend vers +∞ : la limite est 0.

C. 10 − 6 × 0,8ⁿ — ℓ = 0,8ℓ + 2 donne ℓ = 10. vₙ = uₙ − 10 est géométrique de raison 0,8, de premier terme v₀ = 4 − 10 = −6 : uₙ = 10 − 6 × 0,8ⁿ. La suite (uₙ) elle-même n’est pas géométrique.

A. 2 — Sₙ = (1 − 0,5ⁿ⁺¹)/(1 − 0,5) = 2(1 − 0,5ⁿ⁺¹), qui tend vers 2.

D. pas forcément convergente — (−1)ⁿ est bornée et diverge ; 1/n est bornée et converge : être bornée ne suffit pas.

A. est une forme indéterminée — « 0 × ∞ » est indéterminée : n × (1/n) tend vers 1, n² × (1/n) vers +∞, n × (1/n²) vers 0.

B. (uₙ) converge vers un réel ℓ ≥ 0 — Décroissante et minorée, elle converge vers ℓ ≥ 0, sans que ℓ soit forcément 0 : 1 + 1/n tend vers 1.

C. −1/2 — Quantité conjuguée : uₙ = −n/(n + √(n² + n)) = −1/(1 + √(1 + 1/n)), qui tend vers −1/2.

C. ℓ ≤ ℓ' — Le passage à la limite donne une inégalité large : 1/(n + 1) < 1/n, et pourtant les deux limites valent 0.

B. converge ou tend vers +∞ — Deux cas seulement : majorée, elle converge ; non majorée, elle tend vers +∞.

D. 3 — uₙ = 3 + (−1)ⁿ/n et −1/n ≤ (−1)ⁿ/n ≤ 1/n : par les gendarmes, le second terme tend vers 0, donc uₙ tend vers 3.

D. n'a pas de limite — (−1)ⁿ vaut 1 aux rangs pairs et −1 aux rangs impairs : pas de limite.

C. 100 — 2n + 1 > 1,99n + 1,99 équivaut à 0,01n > 0,99, soit n > 99 : le plus petit rang est 100 (u₉₉ = 1,99 exactement).

A. tend vers −∞ — L’inverse d’une suite qui tend vers 0 en restant négative tend vers −∞ (règle des signes) : par exemple, uₙ = −1/n donne 1/uₙ = −n.

B. tend vers −∞ — ℓ = 5 et uₙ = 5 + (4 − 5) × 2ⁿ = 5 − 2ⁿ : comme 2ⁿ tend vers +∞, uₙ tend vers −∞.

A. 1 + 0,02n — Avec a = 0,02 > 0 : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. C'est l'argument qui prouve que qⁿ tend vers +∞ quand q > 1.