Limites de suites

Déterminer la limite de chaque suite, définie pour $n⩾1$. Écris un nombre, +infini ou −infini.

1. $u_n={\displaystyle \frac{-4}{\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ : $lim{u}_n=$
   $\sqrt{n}\to +\infty$, donc le dénominateur ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ tend vers $0$ en restant positif. Le numérateur vaut $-4<0$ : par quotient (« ${\displaystyle \frac{-4}{0}}$ » avec un dénominateur positif), $lim{u}_n=-\infty$. On le voit aussi en écrivant $u_n=-4\sqrt{n}$. Le piège : « divisé par une suite qui tend vers $0$, ça tend vers $0$ » est faux.
2. $u_n=-2n^2+5$ : $lim{u}_n=$
   $n^2\to +\infty$, donc $-2n^2\to -\infty$ (produit par $-2<0$) ; par somme avec $5$, $lim{u}_n=-\infty$. Ce n’est pas une forme indéterminée.
3. $u_n=(4-{\displaystyle \frac{1}{n}})\sqrt{n}$ : $lim{u}_n=$
   $4-{\displaystyle \frac{1}{n}}\to 4>0$ et $\sqrt{n}\to +\infty$ : par produit, $lim{u}_n=+\infty$.
4. $u_n={\displaystyle \frac{-6}{n^2+1}}$ : $lim{u}_n=$
   $n^2+1\to +\infty$ ; un réel divisé par une suite qui tend vers l’infini tend vers $0$ : $lim{u}_n=0$.
5. $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}-n^3$ : $lim{u}_n=$
   ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$ et $-n^3\to -\infty$ : par somme, $lim{u}_n=-\infty$.

Ces suites donnent une forme « $+\infty -\infty$ ». Factorise par le terme dominant, puis donne la limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n=0,01n^2-100n$ : $lim{u}_n=$
   Pour $n⩾1$, $u_n=n^2(0,01-{\displaystyle \frac{100}{n}})$. $n^2\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $0,01>0$ : par produit, $lim{u}_n=+\infty$. Les coefficients ne changent rien : $u_n=0,01n(n-10000)$ est négatif pour $1⩽n<10000$ (nul au rang $10000$), mais c’est $n^2$ qui l’emporte.
2. $u_n=2n-3n^3+1$ : $lim{u}_n=$
   $u_n=n^3({\displaystyle \frac{2}{n^2}}-3+{\displaystyle \frac{1}{n^3}})$. $n^3\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $-3<0$ : par produit, $lim{u}_n=-\infty$.
3. $u_n=n-\sqrt{n}$ : $lim{u}_n=$
   Pour $n⩾1$, $u_n=n(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}})$ car ${\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$. $n\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : $lim{u}_n=+\infty$.
4. $u_n=n^3-(n+2{)}^3$ : $lim{u}_n=$
   Forme « $+\infty -\infty$ » où les termes en $n^3$ vont s’annuler : on développe d’abord. $(n+2{)}^3=n^3+6n^2+12n+8$, donc $u_n=-6n^2-12n-8$ $=n^2(-6-{\displaystyle \frac{12}{n}}-{\displaystyle \frac{8}{n^2}})$ pour $n⩾1$. $n^2\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $-6<0$ : par produit, $lim{u}_n=-\infty$. Factoriser tout de suite par $n^3$ donnerait « $+\infty \times 0$ » : encore une forme indéterminée.

Quotients : factorise numérateur et dénominateur par leur terme dominant. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que la suite $u_n={\displaystyle \frac{8n^2-3}{2n^2+n}}$ ($n⩾1$) converge : $lim{u}_n=$
   Rédaction attendue. Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : c’est une forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour tout $n⩾1$, on factorise par $n^2$ : $u_n={\displaystyle \frac{n^2(8-\frac{3}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n})}}={\displaystyle \frac{8-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}}$. Or $lim{\displaystyle \frac{3}{n^2}}=0$ et $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$ ; par somme, le numérateur tend vers $8$ et le dénominateur vers $2\ne 0$. Par quotient, $(u_n)$ converge et $lim{u}_n={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$.
2. $u_n={\displaystyle \frac{\frac{n}{2}+1}{3-\frac{2n}{3}}}$ : $lim{u}_n=$
   Pour $n⩾1$, on factorise par $n$ en haut et en bas : $u_n={\displaystyle \frac{n(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})}{n(\frac{3}{n}-\frac{2}{3})}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{2}{3}}}$. Le numérateur tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et le dénominateur vers $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ : par quotient, $lim{u}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (-{\displaystyle \frac{3}{2}})=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Le terme dominant du dénominateur, $-{\displaystyle \frac{2n}{3}}$, est écrit en second : son signe $-$ décide du signe de la limite.
3. $u_n={\displaystyle \frac{1-2n^3}{4n+3}}$ : $lim{u}_n=$
   $u_n={\displaystyle \frac{n^3(\frac{1}{n^3}-2)}{n(4+\frac{3}{n})}}=n^2\times {\displaystyle \frac{\frac{1}{n^3}-2}{4+\frac{3}{n}}}$. $n^2\to +\infty$ et le quotient tend vers $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$ : $lim{u}_n=-\infty$.
4. $u_n={\displaystyle \frac{(2n+1{)}^2}{3n^2-1}}$ : $lim{u}_n=$
   On développe : $(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1$. Puis $u_n={\displaystyle \frac{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n^2}}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Racines carrées : quantité conjuguée ou factorisation par le terme dominant. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n=\sqrt{n^2+6n}-n$ : $lim{u}_n=$
   Forme « $\infty -\infty$ ». On multiplie et on divise par $\sqrt{n^2+6n}+n>0$ : $u_n={\displaystyle \frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}}$. Pour $n⩾1$, $\sqrt{n^2+6n}=n\sqrt{1+\frac{6}{n}}$, donc $u_n={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{6}{2}}=3$.
2. $u_n={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ($n⩾2$) : $lim{u}_n=$
   Le dénominateur tend vers $0-0=0$ : il faut son signe. Pour $n⩾2$, $\sqrt{n}<n$, donc ${\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ : le dénominateur est négatif. Par quotient (« ${\displaystyle \frac{3}{0}}$ » avec un dénominateur négatif), $lim{u}_n=-\infty$. Contrôle par le calcul : ${\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{n}}{n}}$, donc $u_n={\displaystyle \frac{3n}{1-\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}}$ ; $3\sqrt{n}\to +\infty$ et ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}-1\to -1$ : par quotient, $-\infty$. Répondre $+\infty$ en oubliant le signe est l’erreur classique.
3. $u_n=n(\sqrt{1+{\displaystyle \frac{4}{n}}}-1)$ : $lim{u}_n=$
   Forme « $+\infty \times 0$ » : la parenthèse tend vers $\sqrt{1}-1=0$. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1>0$ : $u_n=n\times {\displaystyle \frac{(1+\frac{4}{n})-1}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}}$. Comme ${\displaystyle \frac{4}{n}}\to 0$, le dénominateur tend vers $\sqrt{1}+1=2$ : par quotient, $lim{u}_n={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$. Ni $0$ (« le $0$ l’emporte ») ni $+\infty$ : la forme indéterminée devait être levée.
4. $u_n=n-\sqrt{9n^2+1}$ : $lim{u}_n=$
   Pour $n⩾1$, $\sqrt{9n^2+1}=3n\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}$, donc $u_n=n(1-3\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}})$. La parenthèse tend vers $1-3=-2$ et $n\to +\infty$ : $lim{u}_n=-\infty$. Ici, pas besoin du conjugué : les termes dominants $n$ et $3n$ ne se compensent pas.

Conclure par le théorème de comparaison. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Pour tout $n$, $u_n⩾n^2-4$ : $lim{u}_n=$
   $n^2-4\to +\infty$ et $u_n⩾n^2-4$ : par comparaison, $lim{u}_n=+\infty$.
2. $u_n=n(2+\cos n)$ : $lim{u}_n=$
   $\cos n$ n’a pas de limite : on ne peut pas conclure « par produit ». On minore : $\cos n⩾-1$, donc $2+\cos n⩾1$, puis, en multipliant par $n⩾0$, $u_n⩾n$. Or $n\to +\infty$ : par comparaison, $lim{u}_n=+\infty$.
3. $u_n=-n^2+(-1{)}^n$ : $lim{u}_n=$
   $(-1{)}^n⩽1$, donc $u_n⩽-n^2+1$. Or $-n^2+1\to -\infty$ : par comparaison, $lim{u}_n=-\infty$.
4. $u_n=\sqrt{n}-2\cos n$ : $lim{u}_n=$
   $\cos n⩽1$, donc $-2\cos n⩾-2$ (on multiplie par $-2<0$ : le sens change). Ainsi $u_n⩾\sqrt{n}-2$, qui tend vers $+\infty$ : $lim{u}_n=+\infty$.

Conclure par le théorème des gendarmes quand c’est possible ; sinon, écris « on ne peut pas conclure ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Pour tout $n⩾1$, $1-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽u_n⩽3+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ : $lim{u}_n=$
   Les bornes tendent vers $1$ et vers $3$ : deux limites différentes, le théorème des gendarmes ne s’applique pas. D’ailleurs, $u_n=2$ (limite $2$) et $u_n=2+(-1{)}^n$ (pas de limite) vérifient toutes deux cet encadrement. On sait seulement que $(u_n)$ est bornée et que, si elle converge, sa limite est comprise entre $1$ et $3$.
2. $u_n={\displaystyle \frac{\cos n}{n}}$ : $lim{u}_n=$
   $-1⩽\cos n⩽1$ et $n>0$, donc $-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : $lim{u}_n=0$.
3. $u_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\cos n}{1-n}}$ ($n⩾2$) : $lim{u}_n=$
   Pour $n⩾2$, $1-n<0$ : diviser $-1⩽\cos n⩽1$ par $1-n$ change le sens : ${\displaystyle \frac{1}{1-n}}⩽{\displaystyle \frac{\cos n}{1-n}}⩽{\displaystyle \frac{-1}{1-n}}$, soit $-{\displaystyle \frac{1}{n-1}}⩽{\displaystyle \frac{\cos n}{1-n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$. On ajoute ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{n-1}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$. Les deux bornes tendent vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : par les gendarmes, $lim{u}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Encadrer, puis conclure. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer, par le théorème des gendarmes, que $u_n={\displaystyle \frac{2n+\cos n}{n+1}}$ converge : $lim{u}_n=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $-1⩽\cos n⩽1$, donc $2n-1⩽2n+\cos n⩽2n+1$. Comme $n+1>0$, on divise sans changer le sens : ${\displaystyle \frac{2n-1}{n+1}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}}$. Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{2n-1}{n+1}}={\displaystyle \frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}}$ et ${\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}}={\displaystyle \frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}}$ ; comme $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$, ces deux suites tendent vers ${\displaystyle \frac{2}{1}}=2$ (somme et quotient). Les deux suites qui encadrent $(u_n)$ ont la même limite $2$ : d’après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge et $lim{u}_n=2$.
2. $u_n={\displaystyle \frac{n^2\sin n}{n^3+1}}$ : $lim{u}_n=$
   $-1⩽\sin n⩽1$ et ${\displaystyle \frac{n^2}{n^3+1}}>0$, donc $-{\displaystyle \frac{n^2}{n^3+1}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{n^2}{n^3+1}}$. Or ${\displaystyle \frac{n^2}{n^3+1}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n^3}}}\to 0$ : par les gendarmes, $lim{u}_n=0$.
3. $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n-n^2}{\sqrt{n}+1}}$ : $lim{u}_n=$
   $(-1{)}^n⩽1$, donc $(-1{)}^n-n^2⩽1-n^2$ ; on divise par $\sqrt{n}+1>0$ sans changer le sens : $u_n⩽{\displaystyle \frac{1-n^2}{\sqrt{n}+1}}$. Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{1-n^2}{\sqrt{n}+1}}={\displaystyle \frac{n^2(\frac{1}{n^2}-1)}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}}=n\sqrt{n}\times {\displaystyle \frac{\frac{1}{n^2}-1}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ; $n\sqrt{n}\to +\infty$ et le quotient tend vers $-1$ : ce majorant tend vers $-\infty$. Par comparaison, $lim{u}_n=-\infty$. Pour une limite $-\infty$, c’est un majorant qui sert, pas un minorant.

Pour $n⩾1$, on pose $T_n={\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}+{\displaystyle \frac{n}{n^2+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n^2+n}}$ (somme de $n$ termes).

1. Chacun des $n$ termes est compris entre ${\displaystyle \frac{n}{n^2+n}}$ et ${\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$. On en déduit ${\displaystyle \frac{n^2}{n^2+n}}⩽T_n⩽{\displaystyle \frac{n^2}{n^2+1}}$. Pour $n=9$, le minorant vaut
   Pour $1⩽k⩽n$ : $n^2+1⩽n^2+k⩽n^2+n$, donc ${\displaystyle \frac{n}{n^2+n}}⩽{\displaystyle \frac{n}{n^2+k}}⩽{\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$. On additionne les $n$ inégalités. Pour $n=9$ : ${\displaystyle \frac{81}{81+9}}={\displaystyle \frac{81}{90}}=0,9$.
2. $lim{T}_n=$
   Le majorant ${\displaystyle \frac{n^2}{n^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}}$ tend aussi vers $1$. Le minorant ${\displaystyle \frac{n^2}{n^2+n}}={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}$ tend aussi vers $1$ : par le théorème des gendarmes, $lim{T}_n=1$. Chaque terme tend vers $0$, mais il y en a de plus en plus : on ne pouvait pas conclure terme à terme.
3. On sait seulement que $u_n<5-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$ et que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Le plus petit réel $M$ dont on peut affirmer que $\ell ⩽M$ est
   On passe à la limite dans l’inégalité : $5-{\displaystyle \frac{1}{n}}\to 5$, donc $\ell ⩽5$. On ne peut pas faire mieux : $u_n=5-{\displaystyle \frac{2}{n}}$ vérifie $u_n<5-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ et converge vers $5$. Le piège : écrire « $\ell <5$ » (ou une valeur comme $4,99$) parce que l’inégalité de départ est stricte. À la limite, une inégalité stricte devient large.

Donner la limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; si la suite n’a pas de limite, écris « pas de limite ».

1. $lim{\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^n=$
   $\pi \approx 3,14>3$, donc ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\approx 1,05>1$ : $lim{\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^n=+\infty$. Une raison à peine plus grande que $1$ suffit.
2. $lim{\displaystyle \frac{1}{0,8^n}}=$
   ${\displaystyle \frac{1}{0,8^n}}={\left({\displaystyle \frac{1}{0,8}}\right)}^n=1,{25}^n$ et $1,25>1$ : la limite est $+\infty$. Autre lecture : $0,8^n\to 0$ en restant positif, donc son inverse tend vers $+\infty$. Répondre $0$ « parce que $0,8<1$ » est le piège.
3. $lim(-0,8{)}^n=$
   $-1<-0,8<1$ : la suite tend vers $0$ en changeant de signe à chaque rang.
4. $lim(-\sqrt{2}{)}^n=$
   $-\sqrt{2}\approx -1,41⩽-1$ : les termes valent $1$, $-\sqrt{2}$, $2$, $-2\sqrt{2}$, $4$… ; ils changent de signe et grandissent en valeur absolue : la suite n’a pas de limite.
5. $lim{2}^{-n}=$
   $2^{-n}={\displaystyle \frac{1}{2^n}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ et $-1<{\displaystyle \frac{1}{2}}<1$ : la limite est $0$. La base $2$ est plus grande que $1$, mais l’exposant $-n$ inverse tout.

Suites géométriques : déterminer la limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n=(1-\sqrt{2})\times 1,5^n$ : $lim{u}_n=$
   $1,5>1$ donc $1,5^n\to +\infty$. Le premier terme $u_0=1-\sqrt{2}\approx -0,41$ est négatif : par produit, $lim{u}_n=-\infty$.
2. $u_n=4\times 3^n-3^{n+1}$ : $lim{u}_n=$
   Forme « $+\infty -\infty$ ». Or $3^{n+1}=3\times 3^n$, donc $u_n=4\times 3^n-3\times 3^n=3^n$, et $3>1$ : $lim{u}_n=+\infty$. L’exposant $n+1$ ne fait pas de $3^{n+1}$ le terme dominant : il ne vaut que $3$ fois $3^n$.
3. $u_n=4^n\times 0,2^n$ : $lim{u}_n=$
   Forme « $+\infty \times 0$ ». On regroupe les puissances de même exposant : $4^n\times 0,2^n=(4\times 0,2{)}^n=0,8^n$, et $-1<0,8<1$ : $lim{u}_n=0$.
4. $u_n=10-4\times 1,{01}^n$ : $lim{u}_n=$
   $1,01>1$ donc $1,{01}^n\to +\infty$, même si la croissance est lente. Alors $-4\times 1,{01}^n\to -\infty$ et $lim{u}_n=-\infty$.

Plusieurs puissances : factorise par la plus grande base. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n={\displaystyle \frac{(-2{)}^n+3^{n+1}}{3^n}}$ : $lim{u}_n=$
   On divise chaque terme du numérateur par $3^n$ : $u_n={(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^n+3$, car ${\displaystyle \frac{3^{n+1}}{3^n}}=3$. Comme $-1<-{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$, ${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^n\to 0$ : par somme, $lim{u}_n=3$. $(-2{)}^n$ seul n’a pas de limite, mais divisé par $3^n$ il tend vers $0$.
2. $u_n={\displaystyle \frac{2^n+3}{2^n-1}}$ ($n⩾1$) : $lim{u}_n=$
   On divise en haut et en bas par $2^n$ : $u_n={\displaystyle \frac{1+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.
3. Démontrer que $u_n={\displaystyle \frac{3^n-4^n}{4^n+1}}$ converge et préciser sa limite : $lim{u}_n=$
   Rédaction attendue. Forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » (au signe près). Pour tout $n$, $4^n>0$ ; on divise numérateur et dénominateur par $4^n$ : $u_n={\displaystyle \frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-1}{1+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}}$. Comme $-1<{\displaystyle \frac{3}{4}}<1$ et $-1<{\displaystyle \frac{1}{4}}<1$, $lim{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n=lim{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n=0$. Par somme, le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers $1$ ; par quotient, $(u_n)$ converge et $lim{u}_n=-1$.
4. $u_n={\displaystyle \frac{6^n}{2^n+5^n}}$ : $lim{u}_n=$
   On divise en haut et en bas par $5^n$ : $u_n={\displaystyle \frac{{\left(\frac{6}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{2}{5}\right)}^n+1}}$. Le numérateur tend vers $+\infty$ ($\frac{6}{5}>1$), le dénominateur vers $1$ : $lim{u}_n=+\infty$.

Somme géométrique et inégalité de Bernoulli. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $S_n={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{2}{5^n}}$ ($n⩾1$) : $lim{S}_n=$
   La somme ne commence pas par $1$ : on factorise par son premier terme ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Elle compte $n$ termes, de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ à ${\displaystyle \frac{2}{5^n}}$ : $S_n={\displaystyle \frac{2}{5}}(1+{\displaystyle \frac{1}{5}}+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{n-1})={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{1-\frac{1}{5}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^n)$. Comme ${\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^n\to 0$, $lim{S}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Appliquer la formule comme si la somme commençait par $2$ donnerait $2,5$ : faux.
2. Bernoulli donne $1,1^n⩾1+0,1n$. Le plus petit entier $n$ tel que $1+0,1n⩾1000$ est
   $1+0,1n⩾1000⟺0,1n⩾999⟺n⩾9990$ : le plus petit entier est $9990$. Pour tout $n⩾9990$, on a donc $1,1^n⩾1+0,1n⩾1000$. Bernoulli donne un rang sûr, mais très loin du vrai seuil.
3. À la calculatrice (ou avec une boucle), le premier entier $n$ tel que $1,1^n⩾1000$ est
   $1,1^{72}\approx 955,6$ et $1,1^{73}\approx 1051,2$ : le premier rang est $73$. L’inégalité de Bernoulli suffit pour prouver la limite $+\infty$, pas pour trouver le seuil exact.

Que dit le cours ? Écris un nombre, +infini ou −infini.

1. $(u_n)$ est croissante, majorée par $7$, et $u_0=2$ : elle converge vers $\ell$. Le passage à la limite dans $u_0⩽u_n⩽7$ donne : $⩽\ell ⩽7$.
   Croissante et majorée : elle converge. Comme $u_n⩾u_0=2$ pour tout $n$, on obtient à la limite $\ell ⩾2$ ; et $u_n⩽7$ donne $\ell ⩽7$.
2. $(v_n)$ est décroissante, minorée par $-1$, et $v_0=4$ : elle converge vers $\ell \prime$. Le passage à la limite dans $-1⩽v_n⩽v_0$ donne : $⩽\ell \prime ⩽$
   Décroissante et minorée par $-1$ : elle converge vers $\ell \prime ⩾-1$ ; et $v_n⩽v_0=4$ donne $\ell \prime ⩽4$.
3. $(w_n)$ est croissante et n’est pas majorée : $lim{w}_n=$
   Théorème du cours (démonstration exigible) : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
4. $(t_n)$ vérifie $t_0=-3$ et $t_{n+1}⩾t_n+0,2$ pour tout $n$ : $lim{t}_n=$
   En additionnant les $n$ inégalités $t_{k+1}-t_k⩾0,2$ (de $k=0$ à $k=n-1$) : $t_n-t_0⩾0,2n$, soit $t_n⩾-3+0,2n$. Or $-3+0,2n\to +\infty$ : par comparaison, $lim{t}_n=+\infty$. Savoir que $(t_n)$ est croissante ne suffisait pas : c’est l’écart d’au moins $0,2$ à chaque rang qui l’empêche d’être majorée.

Soit $u_n={\displaystyle \frac{3n+1}{n+2}}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

1. On peut écrire $u_n=3-{\displaystyle \frac{a}{n+2}}$ avec $a=$
   $3-{\displaystyle \frac{a}{n+2}}={\displaystyle \frac{3n+6-a}{n+2}}$ ; il faut $6-a=1$, donc $a=5$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$. Contrôle : $u_1-u_0=$ (fraction irréductible)
   Rédaction attendue. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=(3-{\displaystyle \frac{5}{n+3}})-(3-{\displaystyle \frac{5}{n+2}})={\displaystyle \frac{5}{n+2}}-{\displaystyle \frac{5}{n+3}}={\displaystyle \frac{5(n+3)-5(n+2)}{(n+2)(n+3)}}={\displaystyle \frac{5}{(n+2)(n+3)}}$. Comme $(n+2)(n+3)>0$, $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. De plus, ${\displaystyle \frac{5}{n+2}}>0$, donc $u_n=3-{\displaystyle \frac{5}{n+2}}<3$ : $(u_n)$ est majorée par $3$. Croissante et majorée, elle converge (théorème de convergence monotone). Contrôle : $u_1-u_0={\displaystyle \frac{5}{2\times 3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ ($u_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $u_1={\displaystyle \frac{4}{3}}$).
3. $lim{u}_n=$
   $lim{\displaystyle \frac{5}{n+2}}=0$ car $n+2\to +\infty$ ; par somme, $lim{u}_n=3-0=3$. Le théorème de convergence monotone disait seulement que la limite existe et vaut au plus $3$ ; l’écriture de $u_n$ donne sa valeur.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $T_n={\displaystyle \frac{1}{0!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}$ (avec $0!=1$).

1. $T_3=$ (fraction irréductible)
   $T_3=1+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6+6+3+1}{6}}={\displaystyle \frac{16}{6}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$.
2. Pour $k⩾1$, $k!⩾2^{k-1}$. Donc $T_n⩽1+(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}})$, soit $T_n⩽1+2(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n)$. Ce majorant reste strictement inférieur à sa limite, l’entier
   $T_{n+1}-T_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}>0$ : $(T_n)$ est croissante. Et $1+2(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n)<1+2=3$. Croissante et majorée par $3$ : $(T_n)$ converge.
3. Valeur approchée de $T_6$ au centième :
   $T_6=1+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{120}}+{\displaystyle \frac{1}{720}}={\displaystyle \frac{1957}{720}}\approx 2,718$, soit $2,72$ au centième. La limite de $(T_n)$ est le nombre $e$, que l’on retrouvera avec l’exponentielle.

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{u_n}}$. On admet que $u_n>0$ pour tout $n$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_2=$
   $u_1=1+{\displaystyle \frac{1}{1}}=2$, puis $u_2=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}=2,5$. La suite est croissante : $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}>0$.
2. $u_{n+1}^2=u_n^2+2+{\displaystyle \frac{1}{u_n^2}}⩾u_n^2+2$. En additionnant ces inégalités de $k=0$ à $k=n-1$ : $u_n^2-u_0^2⩾2n$, soit $u_n^2⩾2n+$ (valeur de $u_0^2$)
   Les écarts $u_{k+1}^2-u_k^2$ valent au moins $2$ ; en additionnant de $k=0$ à $k=n-1$ : $u_n^2-u_0^2⩾2n$, donc $u_n^2⩾2n+1$ (car $u_0^2=1$).
3. $lim{u}_n=$
   $u_n>0$ et $u_n^2⩾2n+1$ donnent $u_n⩾\sqrt{2n+1}$, qui tend vers $+\infty$ : par comparaison, $lim{u}_n=+\infty$. La suite est croissante non majorée.
4. La fonction suivante renvoie (premier rang tel que $u_n>10$).
   def seuil():
  n, u = 0, 1
  while u <= 10:
    u = u + 1/u
    n = n + 1
  return n
   En exécutant la boucle : $u_{48}\approx 9,98$ et $u_{49}\approx 10,08$. La fonction renvoie $49$. La minoration $u_n⩾\sqrt{2n+1}$ garantit déjà $u_n>10$ dès que $2n+1>100$, c’est-à-dire $n⩾50$ : cohérent.

Pour chaque relation $u_{n+1}=a{u}_n+b$, résoudre $\ell =a\ell +b$, ou retrouver la donnée manquante.

1. $u_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{u}_n+5$ : $\ell =$
   $\ell -{\displaystyle \frac{2}{3}}\ell =5⟺{\displaystyle \frac{1}{3}}\ell =5⟺\ell =15$.
2. $u_{n+1}=0,6u_n+b$ a pour valeur d’équilibre $\ell =20$ : $b=$
   $\ell =0,6\ell +b$ avec $\ell =20$ : $20=12+b$, donc $b=8$. Contrôle : $\ell ={\displaystyle \frac{b}{1-a}}={\displaystyle \frac{8}{0,4}}=20$.
3. $u_{n+1}=3u_n-10$ : $\ell =$
   $\ell =3\ell -10⟺2\ell =10⟺\ell =5$.
4. $u_{n+1}=6-{\displaystyle \frac{u_n}{2}}$ : $\ell =$
   Ici $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $b=6$ : l’ordre des termes est inversé. $\ell =6-{\displaystyle \frac{\ell }{2}}⟺{\displaystyle \frac{3}{2}}\ell =6⟺\ell =4$.

Soit $u_0=12$ et $u_{n+1}=0,75u_n+1$. On pose $v_n=u_n-4$.

1. $v_0=$
   $4$ est bien le réel tel que $\ell =0,75\ell +1$ ($0,25\ell =1$). $v_0=u_0-4=12-4=8$.
2. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique (raison et premier terme). Contrôle : $v_1=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-4=0,75u_n+1-4=0,75u_n-3=0,75(u_n-4)=0,75v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=8$. (Le $4$ n’est pas pris au hasard : c’est la solution de $\ell =0,75\ell +1$.) Contrôle : $v_1=0,75\times 8=6$ (et $u_1=0,75\times 12+1=10$, $10-4=6$).
3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite : $lim{u}_n=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $v_n=v_0\times 0,{75}^n=8\times 0,{75}^n$, donc $u_n=v_n+4=4+8\times 0,{75}^n$. Comme $-1<0,75<1$, $lim0,{75}^n=0$ ; par produit, $lim8\times 0,{75}^n=0$, et par somme, $lim{u}_n=4$.

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n=$ $\times 2^n-3$
   $\ell =2\ell +3⟺\ell =-3$. $v_n=u_n+3$ vérifie $v_{n+1}=2u_n+6=2v_n$ : géométrique de raison $2$, $v_0=4$. Donc $u_n=4\times 2^n-3$.
2. Un élève résout $\ell =2\ell +3$, trouve $\ell =-3$ et conclut que $(u_n)$ tend vers $-3$. En réalité, $lim{u}_n=$
   $2>1$ donc $2^n\to +\infty$ ; par produit et somme, $u_n=4\times 2^n-3\to +\infty$. Le réel $\ell =-3$ sert à construire la suite géométrique $v_n=u_n+3$, mais ce n’est la limite que si $-1<a<1$ : résoudre $\ell =a\ell +b$ ne prouve pas que la suite converge.
3. Le premier rang $n$ tel que $u_n>1000$ est
   $u_n>1000⟺4\times 2^n>1003⟺2^n>250,75$. Or $2^7=128$ et $2^8=256$ : le premier rang est $8$ ($u_7=509$, $u_8=1021$).

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=12$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=-0,8u_n+9$.

1. $u_2=$ (écriture décimale)
   $u_1=-0,8\times 12+9=-9,6+9=-0,6$, puis $u_2=-0,8\times (-0,6)+9=0,48+9=9,48$.
2. Démontrer que, pour tout $n$, $u_n=5+c\times (-0,8{)}^n$, avec $c=$
   Rédaction attendue. Le réel $\ell$ tel que $\ell =-0,8\ell +9$ vérifie $1,8\ell =9$, soit $\ell =5$. On pose $v_n=u_n-5$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-5=-0,8u_n+9-5=-0,8u_n+4=-0,8(u_n-5)=-0,8v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $-0,8$ et de premier terme $v_0=12-5=7$. Ainsi $v_n=7\times (-0,8{)}^n$ et $u_n=5+7\times (-0,8{)}^n$ : $c=7$.
3. La suite $(u_n)$ n’est pas monotone ($u_0>u_1$ mais $u_1<u_2$). Si elle converge, écris sa limite ; sinon, écris « pas de limite » :
   Comme $-1<-0,8<1$, $(-0,8{)}^n\to 0$ ; par produit et somme, $lim{u}_n=5$. Les termes passent alternativement au-dessus et au-dessous de $5$ (signe de $(-0,8{)}^n$) : la suite converge sans être monotone. Le théorème de convergence monotone ne s’applique pas ici ; c’est la formule explicite qui conclut.
4. Le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, $u_n$ soit dans l’intervalle $]4,99;5,01[$ : $N=$
   L’écart entre $u_n$ et $5$ vaut $7\times 0,8^n$ (on enlève le signe de $(-0,8{)}^n$). On cherche donc $7\times 0,8^n<0,01$, soit $0,8^n<{\displaystyle \frac{1}{700}}$. À la calculatrice, $7\times 0,8^{29}\approx 0,0108$ ($u_{29}\approx 4,989$, hors de l’intervalle) et $7\times 0,8^{30}\approx 0,0087$ ($u_{30}\approx 5,009$). Comme la suite $(0,8^n)$ est décroissante, l’écart reste inférieur à $0,01$ pour tout $n⩾30$ : $N=30$.