Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Limites de suites
Comportement asymptotique des suites : convergence, divergence et théorèmes de comparaison (programme de Terminale spécialité maths)
Dire vers quoi tend une suite, le prouver (récurrence, comparaison, encadrement) et étudier les suites u(n+1) = f(u(n)), du modèle d'évolution au sujet de bac.
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Définitions
- Converge vers L : tout intervalle ouvert contenant L contient tous les un à partir d'un certain rang ; la limite est unique.
- Tend vers +∞ : tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
- Divergente = ne converge pas : limite infinie ou pas de limite, comme (−1)n.
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Limites de référence
- n, n², n³, √n → +∞ ; 1/n, 1/n², 1/√n → 0.
- qn : q > 1 → +∞ ; −1 < q < 1 → 0 ; q = 1 → 1 ; q ≤ −1 → pas de limite.
- Bernoulli : pour a > 0, (1 + a)n ≥ 1 + na (récurrence), d'où qn → +∞ si q > 1.
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Formes indéterminées
- Quatre FI : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Une FI se lève, elle ne se calcule pas.
- Factoriser par le terme dominant (plus haute puissance de n, plus grande base qn) ou multiplier par le conjugué pour les racines.
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Théorèmes
- Comparaison : un ≥ vn et vn → +∞ ⇒ un → +∞ (démonstration exigible).
- Gendarmes : an ≤ un ≤ bn et an, bn → L ⇒ un → L (même limite finie obligatoire).
- Monotones : croissante et majorée ⇒ converge (vers L ≤ M, pas forcément M) ; croissante non majorée ⇒ +∞ (démonstration exigible).
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Méthodes
- Récurrence : nommer P(n) ; initialisation ; hérédité (« supposons P(n) vraie pour un entier n fixé ») ; conclusion.
- un+1 = f(un) : résoudre f(x) = x ; encadrer et étudier la monotonie par récurrence ; monotone bornée ⇒ converge ; limite = point fixe compatible (f continue).
- un+1 = a un + b : point fixe ℓ ; vn = un − ℓ géométrique de raison a ; un = ℓ + v0 an.
- Seuil : boucle « while u ≤ A : u = f(u) ; n = n + 1 » qui renvoie le premier rang tel que un > A.
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Pièges
- Bornée ne veut pas dire convergente ; croissante ne veut pas dire « tend vers +∞ ».
- Le point fixe ne prouve pas la convergence : d'abord monotone et bornée.
- Gendarmes avec deux limites différentes : rien à conclure.
- Récurrence sans initialisation, ou hypothèse « pour tout n » : démonstration invalide.
L'essentiel
- Une suite converge vers L, tend vers ±∞, ou n'a pas de limite : dans les deux derniers cas elle diverge.
- q^n tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si −1 < q < 1, n'a pas de limite si q ≤ −1.
- Devant une forme indéterminée : factoriser par le terme dominant ou utiliser le conjugué.
- Gendarmes = deux suites encadrantes de même limite finie ; comparaison = une seule suite suffit pour l'infini.
- Croissante et majorée ⇒ convergente ; croissante non majorée ⇒ tend vers +∞.
- Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion ; puis f(L) = L pour la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n)).
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