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Fiche de révision : limites de suites

Limite finie ou infinie, opérations et formes indéterminées, comparaison et gendarmes, limite de qⁿ, suites monotones et seuils, suites arithmético-géométriques.

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Limites de suites

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Suites)

La démarche pour déterminer une limite

1. Je reconnais la forme de la suite : expression de $n$ , puissances $q^{n}$ , terme qui oscille, suite définie par récurrence.

2. Je calcule la limite de chaque morceau avec les limites de référence et le tableau de $q^{n}$ .

3. Si c’est une forme indéterminée, je transforme : terme dominant, plus grande base, conjugué. Si rien ne se calcule, j’encadre ou je compare.

4. Je conclus en citant l’opération ou le théorème (« par produit », « par comparaison », « d’après le théorème des gendarmes »).

Le réflexe — la limite se justifie toujours par une règle nommée : un résultat sans « par somme », « par comparaison » ou « d’après le théorème… » risque de ne pas rapporter tous les points.

Cas 1 · Lever une forme indéterminée

Réflexe — polynôme ou quotient : je factorise par le terme de plus haut degré (en haut et en bas) ; différence de racines : quantité conjuguée.

Exemple. Questions types : « Déterminer $lim u_{n}$ » pour un quotient de polynômes en $n$ , ou pour $\sqrt{\dots} - \sqrt{\dots}$ . Exemple : $u_{n} = \frac{3 n^{2} - 2 n}{n^{2} + 4}$ .

Numérateur et dénominateur tendent vers $+ \infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ .

Pour $n ⩾ 1$ : $u_{n} = \frac{n^{2} (3 - \frac{2}{n})}{n^{2} (1 + \frac{4}{n^{2}})} = \frac{3 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n^{2}}}$ .

$\frac{2}{n} \to 0$ et $\frac{4}{n^{2}} \to 0$ : le numérateur tend vers $3$ , le dénominateur vers $1$ . Par quotient, $lim u_{n} = 3$ .

Attention — « ∞/∞ = 1 » et « ∞ − ∞ = 0 » sont faux : une forme indéterminée n’est pas un résultat.

Cas 2 · Encadrer ou comparer

Réflexe — terme qui oscille : je l’encadre entre −1 et 1, je reconstruis la suite en justifiant chaque inégalité, puis comparaison (limite infinie) ou gendarmes (limite finie).

Exemple. Questions types : « Montrer que $u_{n} ⩾ \dots$ et en déduire la limite », « Encadrer $u_{n}$ puis conclure ». Exemple : $u_{n} = \frac{2 + (- 1)^{n}}{\sqrt{n}}$ pour $n ⩾ 1$ .

Pour tout $n$ , $- 1 ⩽ (- 1)^{n} ⩽ 1$ , donc $1 ⩽ 2 + (- 1)^{n} ⩽ 3$ .

On divise par $\sqrt{n} > 0$ : $\frac{1}{\sqrt{n}} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{\sqrt{n}}$ .

$\sqrt{n} \to + \infty$ , donc les deux bornes tendent vers $0$ . D’après le théorème des gendarmes, $lim u_{n} = 0$ .

Attention — multiplier par un nombre négatif change le sens de l’inégalité ; deux bornes de limites différentes ne permettent rien.

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Cas 3 · Puissances qⁿ

Réflexe — je compare q à −1 et 1 ; plusieurs puissances : je factorise par la plus grande base pour ne garder que des (a/b)ⁿ qui tendent vers 0.

Exemple. Questions types : « Limite de $u_{0} q^{n} + b$ », « Limite d’un quotient de puissances ». Exemple : $u_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3 \times 4^{n} + 2^{n}}$ .

On divise numérateur et dénominateur par $4^{n}$ : $u_{n} = \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{n}}{3 + {(\frac{1}{2})}^{n}}$ .

$- 1 < \frac{1}{4} < 1$ et $- 1 < \frac{1}{2} < 1$ , donc ${(\frac{1}{4})}^{n} \to 0$ et ${(\frac{1}{2})}^{n} \to 0$ .

Par quotient, $lim u_{n} = \frac{1}{3}$ .

Attention — q ≤ −1 : pas de limite ; q = −1 n’est pas dans le cas −1 < q < 1.

Cas 4 · Prouver qu’une suite converge

Réflexe — sens de variation (signe de uₙ₊₁ − uₙ ou récurrence) + borne du bon côté, puis théorème de convergence monotone.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée ; en déduire qu’elle converge ». Exemple : $u_{n} = \frac{1}{2^{0} + 1} + \frac{1}{2^{1} + 1} + \dots + \frac{1}{2^{n} + 1}$ .

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2^{n + 1} + 1} > 0$ : $(u_{n})$ est croissante.

Pour tout $k$ , $\frac{1}{2^{k} + 1} < \frac{1}{2^{k}}$ , donc $u_{n} < 1 + \frac{1}{2} + \dots + {(\frac{1}{2})}^{n} = 2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}) < 2$ .

Croissante et majorée par $2$ : d’après le théorème de convergence monotone, $(u_{n})$ converge.

Attention — le théorème prouve que la limite existe, pas qu’elle vaut le majorant.

Cas 5 · Suite arithmético-géométrique

Réflexe — ℓ = aℓ + b ; vₙ = uₙ − ℓ géométrique de raison a ; uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ ; limite de aⁿ.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(v_{n})$ est géométrique », « Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ », « En déduire la limite ». Exemple : $u_{0} = 5$ , $u_{n + 1} = 0, 4 u_{n} + 6$ , $v_{n} = u_{n} - 10$ .

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 10 = 0, 4 u_{n} + 6 - 10 = 0, 4 u_{n} - 4 = 0, 4 (u_{n} - 10) = 0, 4 v_{n}$ .

$(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 4$ , de premier terme $v_{0} = 5 - 10 = - 5$ . Donc $v_{n} = - 5 \times 0, 4^{n}$ et $u_{n} = 10 - 5 \times 0, 4^{n}$ .

$- 1 < 0, 4 < 1$ , donc $0, 4^{n} \to 0$ et $lim u_{n} = 10$ .

Attention — vₙ = uₙ − ℓ (pas uₙ + ℓ) ; et (uₙ) elle-même n’est pas géométrique.

Les pièges

Bornée ne veut pas dire convergente : (−1)ⁿ est bornée et n’a pas de limite.
Croissante ne veut pas dire « tend vers +∞ » : elle peut converger.
Une inégalité stricte devient large à la limite : uₙ < 5 donne seulement ℓ ≤ 5.
Un seuil se vérifie sur les deux rangs qui l’encadrent (uₙ₋₁ ≤ A < uₙ).
Résoudre ℓ = f(ℓ) ne prouve pas que la suite converge : on prouve d’abord la convergence (monotone et bornée).
Dénominateur qui tend vers 0 : il faut son signe pour conclure à +∞ ou −∞.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour déterminer une limite de suite, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types du bac et une réponse entièrement rédigée : lever une forme indéterminée, encadrer, puissances qⁿ, prouver la convergence d’une suite monotone, suite arithmético-géométrique. Les résultats à connaître par cœur sont dans la fiche tableaux, juste à côté.

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