Limites de suites

1. a)Le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur vers $0-0=0$ : il faut le signe du dénominateur. Pour $n⩾4$, ${\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{3}{n^2}}={\displaystyle \frac{n-3}{n^2}}>0$. Par quotient (numérateur de limite $-\infty$, dénominateur qui tend vers $0$ en restant positif), $lim{u}_n=-\infty$. Vérification : $u_n={\displaystyle \frac{n^2(5-n)}{n-3}}=n^2\times {\displaystyle \frac{\frac{5}{n}-1}{1-\frac{3}{n}}}$, produit de $n^2$, qui tend vers $+\infty$, par un quotient qui tend vers $-1$. (1)
2. b)Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour $n⩾1$, on factorise par $n^2$ :$$v_n={\displaystyle \frac{n^2(4-\frac{1}{n})}{n^2(2+\frac{5}{n^2})}}={\displaystyle \frac{4-\frac{1}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}}.$$Or $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=lim{\displaystyle \frac{5}{n^2}}=0$ ; par somme, le numérateur tend vers $4$ et le dénominateur vers $2$. Par quotient, $lim{v}_n={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$. (1)
3. c)Forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour $n⩾2$, on factorise le numérateur par $n$ et le dénominateur par $n^2$ :$$w_n={\displaystyle \frac{n(1+\frac{7}{n})}{n^2(1-\frac{3}{n^2})}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{1+\frac{7}{n}}{1-\frac{3}{n^2}}}.$$Par somme et quotient, le second facteur tend vers ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$ ; et $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$. Par produit, $lim{w}_n=0\times 1=0$. (1)
4. d)$\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}$ est une forme « $\infty -\infty$ » : on multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}>0$ :$$\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}={\displaystyle \frac{(n+3)-(n+1)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}}.$$Donc $t_n={\displaystyle \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}}$, encore de la forme « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour $n⩾1$, on divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{n}$ : $t_n={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}}$. Comme $lim{\displaystyle \frac{3}{n}}=lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$ et que la racine carrée est continue en $1$, le dénominateur tend vers $1+1=2$. Par quotient, $lim{t}_n={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$. (1)
5. e)Forme indéterminée « $+\infty -\infty$ ». Pour $n⩾1$, on factorise par le terme dominant $n^3$ : $s_n=n^3(1-{\displaystyle \frac{6}{n}}+{\displaystyle \frac{2}{n^3}})$. Par somme, la parenthèse tend vers $1$ ; et $lim{n}^3=+\infty$. Par produit, $lim{s}_n=+\infty$. (1)

Repère — Une forme indéterminée se lève en factorisant par le terme dominant : c’est lui qui impose la limite.

1. a)$2^{2n}=(2^2{)}^n=4^n$ et $3^{n+1}=3\times 3^n$, donc $a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n$ : $(a_n)$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{4}{3}}$. Comme ${\displaystyle \frac{4}{3}}>1$, $lim{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n=+\infty$ ; par produit par ${\displaystyle \frac{1}{3}}>0$, $lim{a}_n=+\infty$. Lire $2^{2n}$ comme $2^n$, plus petit que $3^n$, ferait conclure à tort vers $0$. (1)
2. b)$(b_n)$ est géométrique de raison $-1,05<-1$ : d’après le cours, elle n’a pas de limite. En effet, $b_{2k}=1,{05}^{2k}$ tend vers $+\infty$ tandis que $b_{2k+1}=-1,{05}^{2k+1}$ tend vers $-\infty$ : les termes changent de signe à chaque rang et $|b_n|=1,{05}^n\to +\infty$. (1)
3. c)Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\sin n⩽1$ et $5n⩾0$, donc $5n\sin n⩽5n$, puis $-5n\sin n⩾-5n$. Ainsi $c_n⩾n^2-5n=n(n-5)$. Or $limn=+\infty$ et $lim(n-5)=+\infty$, donc, par produit, $limn(n-5)=+\infty$. D’après le théorème de comparaison, $lim{c}_n=+\infty$. (1)
4. d)Pour tout $n$, $-1⩽(-1{)}^n⩽1$, donc $5n-2⩽5n+2(-1{)}^n⩽5n+2$. Comme $n+3>0$, on divise sans changer le sens :$${\displaystyle \frac{5n-2}{n+3}}⩽d_n⩽{\displaystyle \frac{5n+2}{n+3}}.$$Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{5n-2}{n+3}}={\displaystyle \frac{5-\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}}$ et ${\displaystyle \frac{5n+2}{n+3}}={\displaystyle \frac{5+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}}$ ; comme $lim{\displaystyle \frac{2}{n}}=lim{\displaystyle \frac{3}{n}}=0$, ces deux suites tendent vers ${\displaystyle \frac{5}{1}}=5$ (somme et quotient). Les deux bornes ont la même limite $5$ : d’après le théorème des gendarmes, $lim{d}_n=5$. (1)

Repère — Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit ; pour une limite finie, il faut deux bornes de même limite.

1. a)$u_1=\sqrt{u_0+6}=\sqrt{0+6}=\sqrt{6}\approx 2,45$. (1)
2. b)Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $0⩽u_n⩽u_{n+1}⩽3$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{6}\approx 2,45$. On a bien $0⩽0⩽\sqrt{6}⩽3$ (car $6⩽9$). Donc $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c’est-à-dire $0⩽u_k⩽u_{k+1}⩽3$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c’est-à-dire $0⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3$. On ajoute $6$ à chaque membre, puis on applique la fonction racine carrée, croissante sur $[0;+\infty [$ (l’ordre est conservé) :$$\begin{array}{ccc}\hfill 0⩽u_k⩽u_{k+1}⩽3& \hfill ⟹\hfill & 6⩽u_k+6⩽u_{k+1}+6⩽9\hfill \\ \hfill & \hfill ⟹\hfill & \sqrt{6}⩽\sqrt{u_k+6}⩽\sqrt{u_{k+1}+6}⩽3\hfill \\ \hfill & \hfill ⟹\hfill & \sqrt{6}⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3.\hfill \end{array}$$Comme $0⩽\sqrt{6}$, on obtient $0⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3$ : $𝒫(k+1)$ est vraie, la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0⩽u_n⩽u_{n+1}⩽3$. (1)
3. c)D’après la question précédente, pour tout $n$, $u_n⩽u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Elle est aussi majorée par $3$. Étant croissante et majorée, elle converge, d’après le théorème de convergence monotone, vers un réel $\ell$ tel que $0⩽\ell ⩽3$ (passage à la limite dans $0⩽u_n⩽3$). (1)
4. d)On résout $\ell =\sqrt{\ell +6}$. Une racine carrée est positive, donc $\ell ⩾0$ ; en élevant au carré, ${\ell }^2=\ell +6$, soit ${\ell }^2-\ell -6=0$. Le discriminant vaut $\Delta =1+24=25$, d’où les racines ${\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2$ et ${\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3$ : ${\ell }^2-\ell -6=(\ell -3)(\ell +2)$. Comme $\ell ⩾0$, $\ell =3$ (et l’on vérifie $\sqrt{3+6}=3$). Conclusion : $lim{u}_n=3$. (1)

Repère — Le théorème de convergence monotone prouve l’existence de la limite ; il ne donne pas sa valeur.

1. a)Augmenter de $0,5\%$, c’est multiplier par $1+{\displaystyle \frac{0,5}{100}}=1,005$ : après les intérêts, la dette vaut $1,005d_n$. On retire ensuite la mensualité de $400$ €. Donc, pour tout $n$ (tant que la dette n’est pas remboursée), $d_{n+1}=1,005d_n-400$. Alors $d_1=1,005\times 20000-400=20100-400=19700$ €. (1)
2. b)Pour tout $n\in \mathbb{N}$ :$$\begin{array}{ccc}\hfill v_{n+1}=d_{n+1}-80000& \hfill =\hfill & 1,005d_n-400-80000\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 1,005d_n-80400\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 1,005(d_n-80000)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 1,005v_n,\hfill \end{array}$$car $1,005\times 80000=80400$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,005$ et de premier terme $v_0=20000-80000=-60000$. Donc, pour tout $n$, $v_n=-60000\times 1,{005}^n$ et $d_n=v_n+80000=80000-60000\times 1,{005}^n$. (1)
3. c)Comme $1,005>1$, $lim1,{005}^n=+\infty$ ; par produit par $-60000<0$, $lim(-60000\times 1,{005}^n)=-\infty$, et par somme, $lim{d}_n=-\infty$. La suite est d’ailleurs décroissante : $d_{n+1}-d_n=-60000\times 1,{005}^n\times (1,005-1)=-300\times 1,{005}^n<0$. L’erreur de l’élève : $80000$ est bien la solution de $\ell =1,005\ell -400$, mais cette équation ne dit pas que la suite converge. Elle sert seulement à construire la suite géométrique $(v_n)$ ; la limite dépend ensuite de la raison. Ici $1,005>1$ : l’écart $d_n-80000=v_n$ tend vers $-\infty$, la dette s’éloigne de $80000$ au lieu de s’en rapprocher, et elle finit par être remboursée. (1)
4. d)$d_n⩽0⟺80000-60000\times 1,{005}^n⩽0⟺1,{005}^n⩾{\displaystyle \frac{80000}{60000}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$, avec ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx 1,3333$. Or $1,{005}^{57}\approx 1,3288<{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et $1,{005}^{58}\approx 1,3355>{\displaystyle \frac{4}{3}}$. Comme $1,005>1$, la suite $(1,{005}^n)$ est croissante : pour tout $n⩽57$, $1,{005}^n⩽1,{005}^{57}<{\displaystyle \frac{4}{3}}$, donc $d_n>0$ ; et $d_{58}⩽0$. Il faut donc $58$ mensualités, la dernière étant plus petite que $400$ € (environ $272$ €, car $d_{57}\approx 271$ €). (1)

Repère — Résoudre $\ell =a\ell +b$ donne la limite seulement si $-1<a<1$ ; si $a>1$, la suite s’éloigne de $\ell$.

1. a)Pour tout entier $n⩾4$, $2^n⩾n^2$ ; en divisant par $n>0$, on obtient $v_n={\displaystyle \frac{2^n}{n}}⩾{\displaystyle \frac{n^2}{n}}=n$. Or $limn=+\infty$. D’après le théorème de comparaison, $lim{v}_n=+\infty$. (1)
2. b)

   def seuil():
       n = 1
       while 2**n / n <= 10**6:
           n = n + 1
       return n

   La boucle s’arrête, car $lim{v}_n=+\infty$ (question 1) : $v_n$ finit par dépasser ${10}^6$. $v_{24}={\displaystyle \frac{2^{24}}{24}}\approx 699051⩽{10}^6$ et $v_{25}={\displaystyle \frac{2^{25}}{25}}\approx 1342177>{10}^6$ ; de plus, pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}}={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}⩾1$ : la suite est croissante, donc aucun rang avant $25$ ne dépasse ${10}^6$. La fonction renvoie $25$. (1)
3. c)« ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » est une forme indéterminée : elle ne donne aucun résultat, il faut transformer l’écriture ou comparer. Ici, la question 1 montre que $v_n⩾n$ pour $n⩾4$, donc $lim{v}_n=+\infty$ : $2^n$ l’emporte sur $n$. Avec la même forme, ${\displaystyle \frac{n}{n^2}}$ tend vers $0$ et ${\displaystyle \frac{2n}{n}}$ vers $2$ : la forme seule ne permet pas de conclure. (1)

Repère — Une suite qui tend vers +∞ dépasse tout seuil : une boucle « tant que » trouve le premier rang.