Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Limites de suites
Comportement asymptotique des suites : convergence, divergence et théorèmes de comparaison (programme de Terminale spécialité maths)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Limites immédiates et suite géométrique
/ 4 pts- Détermine la limite de $u_n = \dfrac{4}{n^3} - 2$ quand $n \to +\infty$.
- Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 50$ et de raison $q = \dfrac{2}{3}$. Calcule $\lim_{n\to+\infty} v_n$ en justifiant.
- Soit $w_n = (-3)^n$. Cette suite a-t-elle une limite ? Justifie.
Exercice 2 — Lever des formes indéterminées
/ 5 pts- Calcule $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7n}$ en indiquant la forme indéterminée et la technique utilisée.
- Calcule $\lim_{n\to+\infty} (\sqrt{n+4} - \sqrt{n})$ en multipliant par l'expression conjuguée.
- Calcule $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^3 + 2n}{n^4 - 5}$.
Exercice 3 — Théorème des gendarmes
/ 5 pts- Soit $u_n = \dfrac{2 + \sin n}{n}$. Sachant que $-1 \leq \sin n \leq 1$, encadre $u_n$ par deux suites de même limite et conclus.
- Soit $v_n$ vérifiant $\dfrac{n}{n+1} \leq v_n \leq \dfrac{n+1}{n}$ pour tout $n \geq 1$. Détermine $\lim v_n$.
- Énonce le théorème des gendarmes.
Exercice 4 — Suite récurrente
/ 6 ptsOn définit $(u_n)$ par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{4} + 3$.
- Trouver le(s) point(s) fixe(s) de $f(x) = \dfrac{x}{4} + 3$.
- Poser $v_n = u_n - 4$ et montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
- Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Limites immédiates et suite géométrique
Corrigé :
1. $4/n^3 \to 0$ (car $n^3 \to +\infty$) et $-2$ est constante. Donc $u_n \to 0 - 2 = -2$.
2. $|q| = 2/3 \lt 1$, donc $q^n \to 0$, et $v_n = 50 \times (2/3)^n \to 50 \times 0 = 0$. La suite converge vers $0$.
3. $q = -3$, $|q| = 3 \gt 1$. Les termes oscillent : $w_0 = 1$, $w_1 = -3$, $w_2 = 9$, … La suite n'a pas de limite (elle diverge en oscillant avec $|w_n| \to +\infty$).
Exercice 2 — Lever des formes indéterminées
Corrigé :
1. Forme $\infty/\infty$. On factorise par $n^2$ :
$\dfrac{5 - 3/n + 1/n^2}{2 + 7/n} \xrightarrow{n\to+\infty} \dfrac{5}{2}$.
2. Forme $\infty - \infty$. Conjugué :
$(\sqrt{n+4}-\sqrt{n}) \times \dfrac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} \to \dfrac{4}{+\infty} = 0$.
3. Forme $\infty/\infty$. Factorisation par $n^4$ :
$\dfrac{1/n + 2/n^3}{1 - 5/n^4} \to \dfrac{0}{1} = 0$.
Exercice 3 — Théorème des gendarmes
Corrigé :
1. $-1 \leq \sin n \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 2+\sin n \leq 3 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{3}{n}$. Or $1/n \to 0$ et $3/n \to 0$. Par le théorème des gendarmes : $u_n \to 0$.
2. $\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{1+1/n} \to 1$ et $\dfrac{n+1}{n} = 1+1/n \to 1$. Les deux encadrantes tendent vers $1$, donc par les gendarmes $v_n \to 1$.
3. Théorème des gendarmes : si $a_n \leq u_n \leq b_n$ pour tout $n$ assez grand, et si $\lim a_n = \lim b_n = L$ ($L$ réel), alors $\lim u_n = L$.
Exercice 4 — Suite récurrente
Corrigé :
a) Point fixe : $l = l/4 + 3 \Rightarrow 3l/4 = 3 \Rightarrow l = 4$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \dfrac{u_n}{4} + 3 - 4 = \dfrac{u_n}{4} - 1 = \dfrac{u_n - 4}{4} = \dfrac{v_n}{4}$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/4$ et $v_0 = u_0 - 4 = 2 - 4 = -2$.
c) $v_n = -2 \times (1/4)^n$. D'où $u_n = v_n + 4 = -2 \times (1/4)^n + 4$.
d) $(1/4)^n \to 0$ car $|1/4| \lt 1$. Donc $u_n \to -2 \times 0 + 4 = 4$. La suite converge vers $4$.
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Limites de suites » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Limites immédiates et suite géométrique/ 4 pts
- Exercice 2 — Lever des formes indéterminées/ 5 pts
- Exercice 3 — Théorème des gendarmes/ 5 pts
- Exercice 4 — Suite récurrente/ 6 pts
Notions évaluées
Définitions : limite finie et limite infinie, Suites classiques et leurs limites, Opérations sur les limites, Formes indéterminées — techniques de calcul, Théorèmes de comparaison, Suites géométriques : comportement asymptotique.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Limites de suites » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Limites de suites » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Définitions : limite finie et limite infinie, Suites classiques et leurs limites, Opérations sur les limites, Formes indéterminées — techniques de calcul.
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