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Formulaire : calcul intégral

Intégrale d’une fonction continue et aire, calcul par une primitive, linéarité, relation de Chasles, positivité et intégration des inégalités, aire entre deux courbes, valeur moyenne, intégration par parties, méthode des rectangles.

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Calcul intégral

Fiche tableaux : les propriétés à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Intégrale et primitive

Situation	Résultat
$f$ continue et positive sur $[a; b]$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$ = aire sous $𝒞_{f}$ (en u.a.)
$f$ continue, $F$ primitive	$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}$ $= F (b) - F (a)$
$f$ continue sur $I$ , $a \in I$	$x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ : primitive de $f$ nulle en $a$
bornes égales	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
bornes échangées	$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

Exemple : $\int_{0}^{1} 5 x^{4} d x = [x^{5}]_{0}^{1} = 1$ .

Propriétés de l’intégrale

Propriété	Énoncé
Linéarité	$\int_{a}^{b} (λ f + μ g)$ $= λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$
Chasles	$\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f = \int_{a}^{b} f$
Positivité ( $a ⩽ b$ )	$f ⩾ 0$ donne $\int_{a}^{b} f ⩾ 0$
Inégalités ( $a ⩽ b$ )	$f ⩽ g$ donne $\int_{a}^{b} f ⩽ \int_{a}^{b} g$
Encadrement ( $a ⩽ b$ )	$m ⩽ f ⩽ M$ donne $m (b - a) ⩽ \int_{a}^{b} f$ $⩽ M (b - a)$

Exemple : $\int_{0}^{4} x d x = \int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{4} x d x$ $= \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = 8$ .

Intégrale et aire

Situation ( $a ⩽ b$ )	Aire du domaine
$f ⩾ 0$ sur $[a; b]$	$𝒜 = \int_{a}^{b} f (x) d x$
$f ⩽ 0$ sur $[a; b]$	$𝒜 = - \int_{a}^{b} f (x) d x$
$f$ change de signe en $c$	$𝒜$ = somme des aires de chaque morceau (Chasles en $c$ )
$f ⩾ g$ sur $[a; b]$	$𝒜 = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$
unités $u_{x}$ cm et $u_{y}$ cm	$1$ u.a. $= u_{x} \times u_{y}$ cm²

Exemple : $\int_{0}^{1} (x - 1) d x = - \frac{1}{2}$ ; la fonction est négative, l’aire vaut $\frac{1}{2}$ u.a.

Valeur moyenne

	Valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$
Définition ( $a < b$ )	$μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$
Encadrement	$m ⩽ f ⩽ M$ donne $m ⩽ μ ⩽ M$
Interprétation ( $f ⩾ 0$ )	le rectangle de hauteur $μ$ a la même aire que le domaine sous $𝒞_{f}$

Exemple : la valeur moyenne de $x \mapsto 6 x$ sur $[0; 1]$ est $[3 x^{2}]_{0}^{1} = 3$ .

Intégration par parties

$\int_{a}^{b} u (x) v' (x) d x$ $= [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) v (x) d x$ ( $u'$ , $v'$ continues).

Produit	$u$ (on dérive)	$v'$ (on primitive)
polynôme × $e^{a x}$	le polynôme	$e^{a x}$
polynôme × $\sin$ ou $\cos$	le polynôme	$\sin$ ou $\cos$
$x^{n} \times \ln x$	$\ln x$	$x^{n}$
$(\ln x)^{n}$ seul	$(\ln x)^{n}$	$1$

Exemple : $\int_{1}^{2} \ln x d x = [x \ln x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 d x = 2 \ln 2 - 1$ .

Méthode des rectangles

$f$ sur $[a; b]$	$s_{n}$ (à gauche)	$S_{n}$ (à droite)
croissante	valeur par défaut	valeur par excès
décroissante	valeur par excès	valeur par défaut

$h = \frac{b - a}{n}$ , $x_{k} = a + k h$ ; écart $| S_{n} - s_{n} | = h | f (b) - f (a) |$ . Exemple : $f$ croissante sur $[0; 3]$ avec $f (0) = 1$ et $f (3) = 7$ ; pour $n = 30$ , l’écart vaut $0, 1 \times 6 = 0, 6$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision du calcul intégral en tableaux, pour le bac de spécialité maths : intégrale et primitive, propriétés (linéarité, Chasles, positivité, intégration des inégalités) avec leurs conditions, intégrale et aire selon le signe, valeur moyenne, choix de u et v′ pour l’intégration par parties, rectangles par défaut ou par excès. Chaque tableau est suivi d’un exemple court ; la fiche se télécharge en PDF.

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