Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : calcul intégral

Intégrale d’une fonction continue et aire, calcul par une primitive, linéarité, relation de Chasles, positivité et intégration des inégalités, aire entre deux courbes, valeur moyenne, intégration par parties, méthode des rectangles.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Calcul intégral

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Calcul intégral)

La démarche devant une intégrale

1. Je vérifie la continuité de la fonction sur tout l’intervalle d’intégration, et je regarde son signe.

2. Je choisis l’outil : figure connue (aire), primitive (forme usuelle ou composée), intégration par parties (produit), encadrement (intégrale incalculable).

3. J’écris le crochet $[F (x)]_{a}^{b}$ puis $F (b) - F (a)$ avec des parenthèses.

4. Je contrôle et j’interprète : signe cohérent, aire en u.a. ou en cm², valeur moyenne entre le minimum et le maximum.

Le réflexe — une intégrale n’est une aire que si la fonction est positive et les bornes dans l’ordre croissant : sinon on découpe aux points où la fonction s’annule.

Cas 1 · Interpréter une intégrale comme une aire

Réflexe — fonction positive : l’intégrale est l’aire sous la courbe ; si le domaine est une figure connue, une formule d’aire suffit.

Exemple. Questions types : « Interpréter graphiquement $\int_{a}^{b} f (x) d x$ », « Calculer l’aire du domaine ». Exemple : $\int_{0}^{3} (4 - x) d x$ .

Sur $[0; 3]$ , $4 - x ⩾ 1 > 0$ : l’intégrale est l’aire du domaine sous la droite $y = 4 - x$ .

C’est un trapèze de bases $4$ et $1$ , de hauteur $3$ : $\frac{(4 + 1) \times 3}{2} = \frac{15}{2}$ u.a.

Contrôle : $[4 x - \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3} = 12 - \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$ .

Attention — une aire en u.a. se convertit en cm² en multipliant par l’aire d’une unité (produit des deux unités).

Cas 2 · Calculer avec une primitive

Réflexe — primitive contrôlée en dérivant, crochet, F(b) − F(a) entre parenthèses.

Exemple. Questions types : « Calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ », « Donner la valeur exacte puis une valeur approchée ». Exemple : $\int_{- 1}^{1} (x^{3} - 3 x^{2} + 2) d x$ .

Une primitive est $F (x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 2 x$ .

$F (1) = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{5}{4}$ et $F (- 1) = \frac{1}{4} + 1 - 2 = - \frac{3}{4}$ .

$\int_{- 1}^{1} (x^{3} - 3 x^{2} + 2) d x$ $= \frac{5}{4} - (- \frac{3}{4}) = 2$ .

Attention — (−1)³ = −1 : les erreurs de signe viennent presque toujours de F(a) écrit sans parenthèses.

1 / 2

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Cas 3 · Encadrer une intégrale

Réflexe — j’encadre la fonction, je vérifie a ≤ b, j’intègre l’encadrement (intégration des inégalités), puis je conclus.

Exemple. Questions types : « Montrer que $m ⩽ \int_{a}^{b} f ⩽ M$ », « Étudier le sens de variation et la limite de $(I_{n})$ ». Exemple : $J = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x$ .

Pour $x \in [0; 1]$ , $0 ⩽ x^{2} ⩽ 1$ , et l’exponentielle est croissante : $1 ⩽ e^{x^{2}} ⩽ e$ .

Les fonctions sont continues et $0 ⩽ 1$ : par intégration des inégalités, $\int_{0}^{1} 1 d x ⩽ J ⩽ \int_{0}^{1} e d x$ .

Donc $1 ⩽ J ⩽ e$ .

Attention — si les bornes sont dans l’ordre décroissant, l’inégalité change de sens.

Cas 4 · Aire entre deux courbes, valeur moyenne

Réflexe — signe de f − g, puis aire = intégrale de (haut − bas) ; valeur moyenne = intégrale divisée par b − a.

Exemple. Questions types : « Étudier la position relative », « Calculer l’aire du domaine », « Calculer la valeur moyenne ». Exemple : droite $y = 2 x$ et parabole $y = x^{2}$ sur $[0; 2]$ .

$2 x - x^{2} = x (2 - x) ⩾ 0$ sur $[0; 2]$ : la droite est au-dessus.

$𝒜 = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x$ $= [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}$ $= 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ u.a.

Valeur moyenne de $x \mapsto 4 x^{3}$ sur $[1; 2]$ : $\frac{1}{1} [x^{4}]_{1}^{2} = 16 - 1 = 15$ (entre $f (1) = 4$ et $f (2) = 32$ ).

Attention — la valeur moyenne n’est pas la moyenne des valeurs aux bornes, ni l’image du milieu.

Cas 5 · Intégrer par parties

Réflexe — u = le facteur qui se simplifie en dérivant (polynôme, ln), v′ = celui que l’on primitive (exp, sin, cos, puissance).

Exemple. Questions types : « À l’aide d’une intégration par parties, calculer… », « Établir une relation de récurrence ». Exemple : $\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x$ .

$u (x) = 2 x + 1$ , $u' (x) = 2$ ; $v' (x) = e^{x}$ , $v (x) = e^{x}$ ; $u'$ et $v'$ continues.

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x$ $= [(2 x + 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 e^{x} d x$

$= (3 e - 1) - 2 (e - 1) = e + 1$ .

Attention — le signe « − » devant l’intégrale restante, et le crochet évalué aux deux bornes.

Cas 6 · Méthode des rectangles

Réflexe — h = (b − a)/n, liste des xₖ ; sens de variation de f → somme par défaut et somme par excès.

Exemple. Questions types : « Calculer $s_{n}$ et $S_{n}$ », « Compléter l’algorithme », « Déterminer $n$ pour une précision donnée ». Exemple : $x \mapsto x^{2}$ sur $[0; 1]$ avec $n = 4$ .

$h = 0, 25$ ; $x_{k} = 0$ ; $0, 25$ ; $0, 5$ ; $0, 75$ ; $1$ .

$s_{4} = 0, 25 (0 + 0, 0625 + 0, 25 + 0, 5625)$ $= \frac{7}{32}$ et $S_{4} = 0, 25 (0, 0625 + 0, 25 + 0, 5625 + 1)$ $= \frac{15}{32}$ .

La fonction est croissante sur $[0; 1]$ : $\frac{7}{32} ⩽ \int_{0}^{1} x^{2} d x ⩽ \frac{15}{32}$ (valeur exacte $\frac{1}{3}$ ).

Attention — la somme à gauche ne contient pas f(b), la somme à droite ne contient pas f(a).

Les pièges

Fonction non continue sur l’intervalle (1/x sur [−1 ; 2]) : l’intégrale n’a pas de sens.
Intégrale ≠ aire quand la fonction change de signe : on découpe avec Chasles.
Une intégrale positive ne prouve pas que la fonction est positive.
L’intégrale d’un produit n’est pas le produit des intégrales : on intègre par parties.
Dériver x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt donne f(x) : la lettre t disparaît.
Valeur moyenne : ne pas oublier le facteur 1/(b − a).

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une intégrale, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types du bac et une réponse rédigée : aire d’une figure connue, calcul par une primitive, encadrement d’une intégrale, aire entre une droite et une parabole avec une valeur moyenne, intégration par parties, sommes de rectangles. Les propriétés à connaître sont rangées dans la fiche tableaux.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Soutien scolaire à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs