Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Intégration

Primitive, intégrale de Riemann et calcul d'aires — programme de Terminale Spécialité Maths

L'intégration permet de calculer des aires, des distances, des coûts cumulés et des valeurs moyennes ; il faut savoir trouver une primitive, calculer une intégrale, intégrer par parties et encadrer.

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Définitions

Primitive de $f$ sur $I$ : fonction $F$ dérivable telle que $F^{'} = f$ . Les primitives diffèrent d'une constante ; une seule vérifie $F (x_{0}) = y_{0}$ .
Intégrale : pour $f$ continue sur $[a; b]$ et $F$ primitive, $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ . Si $f \geq 0$ , c'est l'aire sous la courbe en unités d'aire.
Théorème fondamental : $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est la primitive de $f$ nulle en $a$ .
Valeur moyenne sur $[a; b]$ : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ .

Primitives usuelles

$x^{n} \to \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ ( $n \neq - 1$ ) ; $\frac{1}{x} \to \ln x$ ; $\frac{1}{x^{2}} \to - \frac{1}{x}$ ; $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2 \sqrt{x}$ .
$e^{a x} \to \frac{1}{a} e^{a x}$ ; $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to - \cos x$ .
Formes composées : $u^{'} u^{n} \to \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ ; $\frac{u^{'}}{u} \to \ln u$ ( $u > 0$ ) ; $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ ; $\frac{u^{'}}{\sqrt{u}} \to 2 \sqrt{u}$ .

Propriétés

$\int_{a}^{a} f = 0$ ; $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .
Linéarité : $\int (λ f + g) = λ \int f + \int g$ . Chasles : $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ .
Pour $a \leq b$ : $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ; $m \leq f \leq M \Rightarrow m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ .
IPP : $\int_{a}^{b} u^{'} v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}$ .

Méthodes

Calculer une intégrale : reconnaître la forme, écrire une primitive, calculer $F (b) - F (a)$ , vérifier en dérivant.
Aire : si $f \leq 0$ , aire $= - \int f$ ; entre deux courbes, aire $= \int (f - g)$ avec $f \geq g$ ; découper avec Chasles si le signe change ; convertir en cm² (unité en $x$ × unité en $y$ ).
IPP : dériver le polynôme ou $\ln$ , intégrer $e^{k x}$ , $\cos$ , $\sin$ ou $1$ .
Suite d'intégrales : monotonie en comparant les intégrandes ; limite par encadrement $0 \leq I_{n} \leq \frac{c}{n + 1}$ ; récurrence par IPP.

Pièges

Pas de formule pour $\int f g$ : forme composée ou IPP.
Une aire est positive, une intégrale peut être négative.
$\ln u$ exige $u > 0$ ; sur $] - \infty; 0 [$ , primitive de $\frac{1}{x}$ : $\ln (- x)$ .
Positivité et ordre supposent $a \leq b$ .
$(\int_{a}^{x} f (t) d t)^{'} = f (x)$ : on ne dérive pas $f$ .

L'essentiel

Si $F^{'} = f$ sur $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
Pour $f$ continue positive, l'intégrale est l'aire sous la courbe en unités d'aire.
Valeur moyenne : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
IPP : $\int_{a}^{b} u^{'} v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}$ .
Si $f \leq g$ sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .

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