Calcul intégral

Aire d’une figure connue. Le domaine sous la droite $y=x$ entre $1$ et $3$ est un trapèze de bases $1$ et $3$ et de hauteur $2$ :

${\int }_1^{3}xdx={\displaystyle \frac{(1+3)\times 2}{2}}$ $=4$ u.a.

Avec une primitive : ${\int }_1^{3}xdx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_1^3$ $={\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=4$. Les deux calculs concordent.

Un quart de disque. Pour $x\in [0;2]$, le point $(x;\sqrt{4-x^2})$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$. Le domaine sous la courbe entre $0$ et $2$ est un quart de disque : ${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx={\displaystyle \frac{\pi \times 2^2}{4}}=\pi$ u.a. Ici, on ne sait pas écrire de primitive : la géométrie donne la valeur exacte.

Démonstration du théorème (exigible, cas où $f$ est continue, positive et croissante sur $[a;b]$). Soit $x\in [a;b[$ et $h>0$ tel que $x+h⩽b$. La différence $F_a(x+h)-F_a(x)$ est l’aire sous ${𝒞}_f$ entre $x$ et $x+h$. Comme $f$ est croissante, ce domaine contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x)$, et il est contenu dans celui de hauteur $f(x+h)$ :

$hf(x)⩽F_a(x+h)-F_a(x)$ $⩽hf(x+h)$, donc

$f(x)⩽{\displaystyle \frac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h}}⩽f(x+h)$.

$f$ est continue en $x$, donc $f(x+h)\to f(x)$ quand $h\to 0^{+}$ ; d’après le théorème des gendarmes, le taux d’accroissement tend vers $f(x)$. Pour $h<0$ (avec $x+h⩾a$), le même raisonnement sur l’intervalle $[x+h;x]$ donne $f(x+h)⩽{\displaystyle \frac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h}}⩽f(x)$, et la même limite. Donc $F_a$ est dérivable et $F_a^{\prime }(x)=f(x)$ ; de plus $F_a(a)=0$ (aire d’un segment).

Démonstration de la conséquence (exigible). Si $F$ est une primitive de $f$, $F$ et $F_a$ diffèrent d’une constante : $F=F_a+k$. Alors $F(b)-F(a)$ $=F_a(b)+k-F_a(a)-k$ $=F_a(b)$, c’est-à-dire ${\int }_a^{b}f(x)dx$.

Polynôme. ${\int }_1^2(3x^2+2x)dx=[x^3+x^2{]}_1^2$ $=(8+4)-(1+1)$ $=10$.

Forme $u\prime u$. Sur $[1;e]$, ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=u\prime (x)u(x)$ avec $u=\ln$ : une primitive est ${\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{2}}$. Donc ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx={\left[{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{2}}\right]}_1^e$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}-0={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Aire algébrique. ${\int }_{-3}^{1}xdx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_{-3}^1$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}=-4$ : le triangle situé sous l’axe (aire ${\displaystyle \frac{9}{2}}$) l’emporte sur celui situé au-dessus (aire ${\displaystyle \frac{1}{2}}$).

Fonction négative. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right]$, $\cos x⩽0$ et ${\int }_{\pi /2}^{3\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_{\pi /2}^{3\pi /2}$ $=-1-1=-2$. L’aire du domaine entre la courbe et l’axe vaut donc $2$ u.a.

Fonction définie par une intégrale. $G(x)={\int }_0^x\sqrt{1+t^4}dt$. La fonction $t\mapsto \sqrt{1+t^4}$ est continue sur $ℝ$, donc $G$ est dérivable sur $ℝ$ et $G\prime (x)=\sqrt{1+x^4}>0$ : $G$ est strictement croissante, avec $G(0)=0$. On en déduit le signe de $G$ ($G(x)<0$ pour $x<0$, $G(x)>0$ pour $x>0$) sans savoir exprimer $G(x)$ avec les fonctions usuelles.

Linéarité. Si ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ et ${\int }_0^{1}g(x)dx=5$, alors ${\int }_0^1(3f(x)-g(x))dx$ $=3\times 2-5=1$.

Chasles pour une valeur absolue. $|x-1|=1-x$ sur $[0;1]$ et $|x-1|=x-1$ sur $[1;3]$, donc :

${\int }_0^3|x-1|dx$ $={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^3(x-1)dx$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}+2={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Encadrer sans calculer. Pour $x\in [0;1]$, $1⩽1+x^2⩽2$, donc $1⩽\sqrt{1+x^2}⩽\sqrt{2}$. Comme $0⩽1$, on intègre : $1⩽{\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx⩽\sqrt{2}$.

Une suite d’intégrales. Pour $n\in \mathbb{N}$, $I_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1+x}dx$.

• Sens de variation. Pour $x\in [0;1]$, $x^{n+1}⩽x^n$ et $\sqrt{1+x}>0$, donc $x^{n+1}\sqrt{1+x}⩽x^n\sqrt{1+x}$. Comme $0⩽1$, on intègre : $I_{n+1}⩽I_n$. La suite $(I_n)$ est décroissante.

• Limite. Pour $x\in [0;1]$, $1⩽\sqrt{1+x}⩽\sqrt{2}$ et $x^n⩾0$, donc $x^n⩽x^n\sqrt{1+x}⩽\sqrt{2}{x}^n$. On intègre : ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{n+1}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : d’après le théorème des gendarmes, $lim{I}_n=0$.

Entre une droite et une parabole. Pour $x\in [0;1]$, $x-x^2=x(1-x)⩾0$ : la droite $y=x$ est au-dessus de la parabole $y=x^2$. L’aire du domaine vaut :

${\int }_0^1(x-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ u.a.

Valeur moyenne de la racine carrée. Sur $[0;4]$, $x\mapsto \sqrt{x}=x^{1/2}$ a pour primitive $x\mapsto {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3/2}$. Donc ${\int }_0^4\sqrt{x}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 8={\displaystyle \frac{16}{3}}$ et $\mu ={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Contrôle : $0⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}⩽2$, entre le minimum et le maximum de $\sqrt{x}$ sur $[0;4]$.

Valeur moyenne de la fonction inverse. Sur $[1;e]$ : $\mu ={\displaystyle \frac{1}{e-1}}{\int }_1^e{\displaystyle \frac{dx}{x}}$ $={\displaystyle \frac{1}{e-1}}[\ln x{]}_1^e={\displaystyle \frac{1}{e-1}}\approx 0,58$.

Démonstration (exigible). Le produit $uv$ est dérivable sur $[a;b]$ et $(uv{)}^{\prime }=u\prime v+uv\prime$, fonction continue. Comme $uv$ est une primitive de $(uv{)}^{\prime }$ :

${\int }_a^b(u\prime (x)v(x)+u(x)v\prime (x))dx$ $=[u(x)v(x){]}_a^b$.

Par linéarité, ${\int }_a^{b}u\prime (x)v(x)dx+{\int }_a^{b}u(x)v\prime (x)dx$ $=[u(x)v(x){]}_a^b$ ; on isole ${\int }_a^{b}u(x)v\prime (x)dx$ et on obtient la formule.

Polynôme × sinus. ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$. On pose $u(x)=x$ et $v\prime (x)=\sin x$, d’où $u\prime (x)=1$ et $v(x)=-\cos x$ ; $u\prime$ et $v\prime$ sont continues sur $[0;\pi ]$.

${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ $=[-x\cos x{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx$ $=\pi +[\sin x{]}_0^{\pi }=\pi$.

Logarithme × puissance. ${\int }_1^e{x}^2\ln xdx$. On pose $u(x)=\ln x$, $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $v\prime (x)=x^2$, $v(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}$ : dérivées continues sur $[1;e]$.

${\int }_1^e{x}^2\ln xdx$ $={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\ln x\right]}_1^e-{\int }_1^e{\displaystyle \frac{x^2}{3}}dx$ $={\displaystyle \frac{e^3}{3}}-{\displaystyle \frac{e^3-1}{9}}$ $={\displaystyle \frac{2e^3+1}{9}}\approx 4,575$.

Encadrer $\ln 2$. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $[1;2]$, avec $n=4$, donc $h=0,25$. La fonction $f$ est décroissante, donc $S_4⩽{\int }_1^2{\displaystyle \frac{dx}{x}}⩽s_4$.

$s_4=0,25(1+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{7}})\approx 0,760$ et $S_4=0,25({\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})\approx 0,635$.

Comme ${\int }_1^2{\displaystyle \frac{dx}{x}}=\ln 2$ : $0,634⩽\ln 2⩽0,760$. L’écart vaut $0,25\times (1-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0,125$.

Programme. La fonction ci-dessous renvoie la somme à gauche $s_n$ :

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s += h * f(a + k*h)
    return s

f = lambda x: 1 / x
print(rectangles(f,1,2,4))
# affiche 0.7595...

Pour la somme à droite, la boucle prend $k$ de $1$ à $n$ : for k in range(1, n + 1).