À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Intégration » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de primitive, Primitives des fonctions usuelles, Opérations sur les primitives, Intégrale d'une fonction continue. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Notion de primitive
2 · Primitives des fonctions usuelles
3 · Opérations sur les primitives
4 · Intégrale d'une fonction continue
5 · Propriétés de l'intégrale
6 · Calcul d'aires
7 · Valeur moyenne d'une fonction
8 · Intégration par parties
1Notion de primitive
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$.
Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est $\{F+c \mid c\in\mathbb{R}\}$.
Exemple. $f(x)=2x$. On vérifie que $F(x)=x^2$ est une primitive car $F'(x)=2x=f(x)$. Toutes les primitives de $f$ s'écrivent $x^2+c$, $c\in\mathbb{R}$.
Attention ! Deux primitives d'une même fonction sur $I$ ne diffèrent que d'une constante. Ne pas oublier $+c$ lors d'un calcul de primitive générale.
Pour déterminer la primitive particulière vérifiant une condition initiale $F(x_0)=y_0$, on calcule la constante $c$ en substituant $x=x_0$.
Exemple. Primitive de $f(x)=3x^2-1$ vérifiant $F(0)=2$.
$F(x)=x^3-x+c$. $F(0)=c=2$, donc $F(x)=x^3-x+2$.
2Primitives des fonctions usuelles
Le tableau suivant regroupe les primitives à connaître (valables sur tout intervalle $I$ où la fonction est définie et continue) :
| $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Conditions |
|---|
| $k$ ($k$ constante) | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{Z}$, $n\neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n\geq 0$ ; $\mathbb{R}^*$ sinon |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $x\neq 0$ |
| $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $x\neq 0$ |
| $\sqrt{x}=x^{1/2}$ | $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ | $x>0$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
Astuce. Pour vérifier une primitive, il suffit de la dériver et de retrouver $f$.
3Opérations sur les primitives
Les règles de dérivation s'inversent pour donner des primitives de fonctions composées.
Règles composées (à connaître).- $[u^{n+1}/(n+1)]' = u' \cdot u^n$ donc $\int u'(x)\,u^n(x)\,dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+c$ (si $n\neq -1$)
- $[\ln|u|]' = u'/u$ donc $\int \dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)|+c$
- $[e^u]' = u'e^u$ donc $\int u'(x)\,e^{u(x)}\,dx = e^{u(x)}+c$
Exemples.
• $f(x)=(2x+1)^4$ : on reconnaît $u'\cdot u^n$ avec $u=2x+1$, $u'=2$. Primitive : $\dfrac{(2x+1)^5}{5\times 2}=\dfrac{(2x+1)^5}{10}$.
• $f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3-1}$ : forme $u'/u$ avec $u=x^3-1$, $u'=3x^2$. Primitive : $\ln|x^3-1|$.
• $f(x)=2x\,e^{x^2}$ : forme $u'e^u$ avec $u=x^2$. Primitive : $e^{x^2}$.
Attention ! La règle $u'u^n$ ne s'applique que si le facteur $u'$ est exactement présent (à une constante multiplicative près). On ne peut pas « créer » un $u'$ manquant.
4Intégrale d'une fonction continue
Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. On définit l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ par :
Formule de Newton (fondamentale). $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$
Cette valeur est un réel (pas une fonction). Elle ne dépend pas du choix de la primitive (les constantes s'annulent).
Exemple. $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx$.
$F(x)=x^3-2x^2+x$. $F(2)=8-8+2=2$. $F(0)=0$.
Donc $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx = 2-0 = 2$.
L'intégrale est orientée : $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. On pose aussi $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$.
5Propriétés de l'intégrale
Les propriétés suivantes découlent directement de la définition.
| Propriété | Formule |
|---|
| Linéarité | $\displaystyle\int_a^b (\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx$ |
| Relation de Chasles | $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ |
| Positivité | Si $f\geq 0$ sur $[a,b]$ alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \geq 0$ |
| Croissance | Si $f\leq g$ sur $[a,b]$ alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$ |
| Valeur absolue | $\displaystyle\left|\int_a^b f\,dx\right|\leq \int_a^b |f|\,dx$ |
Théorème fondamental du calcul intégral. Si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $G$ définie par $G(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ vérifiant $G(a)=0$. En particulier, $G'(x)=f(x)$.
Exemple. $G(x)=\displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \ln x$ pour $x>0$. On vérifie : $G'(x)=\frac{1}{x}=f(x)$ et $G(1)=0$.
6Calcul d'aires
L'intégrale permet de calculer des aires de domaines plans délimités par des courbes.
Aire sous une courbe. Si $f\geq 0$ sur $[a,b]$, l'aire (en u.a.) du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ est : $$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx$$
Aire entre deux courbes. L'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a,b]$ (sans signe d'intersection ou signe connu) est : $$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$$
Méthode. Étude du signe de $f-g$ sur $[a,b]$ → on découpe en sous-intervalles où le signe est constant → on somme les intégrales en valeur absolue.
Exemple. Aire entre $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$ sur $[0,1]$.
Sur $[0,1]$ : $g(x)-f(x)=x-x^2=x(1-x)\geq 0$, donc l'aire est $\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ u.a.
Attention ! Si $f$ change de signe sur $[a,b]$, $\int_a^b f\,dx$ n'est PAS l'aire géométrique (mais l'aire algébrique). Pour l'aire géométrique, on intègre $|f|$.
7Valeur moyenne d'une fonction
La valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ (avec $aValeur moyenne. $$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
Interprétation : $\mu$ est la hauteur du rectangle de largeur $(b-a)$ ayant la même aire que le domaine sous $\mathcal{C}_f$.
Théorème de la valeur moyenne. Si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\mu$, i.e. $f$ atteint sa valeur moyenne.
Exemple. Valeur moyenne de $f(x)=\sin x$ sur $[0,\pi]$.
$\mu=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\dfrac{1}{\pi}\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=\dfrac{1}{\pi}(1+1)=\dfrac{2}{\pi}\approx 0{,}637.$
Application. En physique, la valeur moyenne d'un signal est l'intégrale sur une période divisée par la période — même formule !
8Intégration par parties
L'intégration par parties (IPP) permet d'intégrer un produit de fonctions en utilisant la règle de dérivation d'un produit.
Formule d'intégration par parties. Soient $u$ et $v$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ : $$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$$
Méthode. On choisit $u$ et $v'$ tel que :
- $u'$ soit plus simple que $u$ (on dérive).
- $v$ soit facile à trouver à partir de $v'$ (on primitive).
Règle mnémotechnique LIATE : Logarithme, Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle → choisir $u$ parmi les premiers.
Exemple 1. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$.
On pose $u=x$, $v'=e^x$, donc $u'=1$, $v=e^x$.
$\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e-(e-1)=1$.
Exemple 2. $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$.
On pose $u=\ln x$, $v'=1$, donc $u'=1/x$, $v=x$.
$\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e 1\,dx = (e-0)-(e-1)=1$.
Attention ! Après l'IPP, la nouvelle intégrale doit être plus simple que l'initiale. Si ce n'est pas le cas, on a peut-être mal choisi $u$ et $v'$.
★À retenir
À retenir — Intégration
• Primitive : $F'=f$. Toutes les primitives diffèrent d'une constante.
• Formule de Newton : $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$.
• Primitives clés : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac{1}{x}\to\ln|x|$ ; $e^x\to e^x$ ; $\cos x\to\sin x$ ; $\sin x\to -\cos x$.
• Formes composées : $u'u^n\to\frac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac{u'}{u}\to\ln|u|$ ; $u'e^u\to e^u$.
• Aire entre deux courbes : $\int_a^b|f-g|\,dx$ (décomposer selon le signe).
• Valeur moyenne : $\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
• IPP : $\int_a^b uv'=[uv]_a^b-\int_a^b u'v$.