Calcul intégral

Calculer chaque intégrale en reconnaissant l’aire d’une figure simple (rectangle, triangle, trapèze, disque).

1. ${\int }_2^{7}4dx=$
   Le domaine est un rectangle de base $7-2=5$ et de hauteur $4$ : ${\int }_2^{7}4dx=5\times 4=20$ u.a.
2. ${\int }_0^6{\displaystyle \frac{x}{3}}dx=$
   Sous la droite $y={\displaystyle \frac{x}{3}}$, de $0$ à $6$, le domaine est un triangle rectangle de base $6$ et de hauteur ${\displaystyle \frac{6}{3}}=2$ : aire ${\displaystyle \frac{6\times 2}{2}}=6$ u.a.
3. ${\int }_1^4(x+3)dx=$
   Trapèze de bases $f(1)=4$ et $f(4)=7$ et de hauteur $3$ : ${\displaystyle \frac{(4+7)\times 3}{2}}={\displaystyle \frac{33}{2}}=16,5$ u.a.
4. ${\int }_{-3}^3\sqrt{9-x^2}dx$, arrondie au dixième :
   La courbe de $x\mapsto \sqrt{9-x^2}$ est le demi-cercle supérieur de centre $O$ et de rayon $3$. Le domaine est un demi-disque : ${\displaystyle \frac{\pi \times 3^2}{2}}={\displaystyle \frac{9\pi }{2}}\approx 14,1$ u.a.

Dans un repère orthogonal, l’unité vaut $2$ cm sur l’axe des abscisses et $3$ cm sur l’axe des ordonnées.

1. $1$ u.a. $=$ cm²
   L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés $2$ cm et $3$ cm : $2\times 3=6$ cm².
2. Avec une primitive, ${\int }_0^3{x}^{2}dx=$ u.a.
   $x\mapsto {\displaystyle \frac{x^3}{3}}$ est une primitive de $x\mapsto x^2$ : ${\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^3$ $=9-0=9$ u.a.
3. L’aire de ce domaine, en cm², vaut
   $9$ u.a. $=9\times 6=54$ cm².

Les fonctions sont continues et positives sur l’intervalle d’intégration. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Justifier que ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{x}dx$ est une aire, puis la calculer : u.a.
   Rédaction attendue. La fonction exponentielle est continue et strictement positive sur $[0;\ln 3]$, donc ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{x}dx$ est l’aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=\ln 3$. Une primitive de $e^x$ est $e^x$, donc ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^{\ln 3}$ $=e^{\ln 3}-e^0=3-1=2$. L’aire vaut $2$ u.a.
2. ${\int }_1^4{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=$
   Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $[1;4]$ est $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ : ${[-{\displaystyle \frac{1}{x}}]}_1^4$ $=-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Pour $x⩾0$, on note $𝒜(x)$ l’aire du domaine sous la courbe de la fonction $f:t\mapsto 2t+1$, entre les abscisses $0$ et $x$ ($f$ positive et croissante).

1. Par un calcul d’aire de trapèze, $𝒜(3)=$
   Trapèze de bases $f(0)=1$ et $f(3)=7$, de hauteur $3$ : $𝒜(3)={\displaystyle \frac{(1+7)\times 3}{2}}=12$.
2. Pour $x⩾0$, $𝒜(x)={\displaystyle \frac{(1+2x+1)x}{2}}$, donc $𝒜(x)=x^2+$ $x$ (coefficient de $x$)
   ${\displaystyle \frac{(2+2x)x}{2}}=(1+x)x=x^2+x$ : le coefficient de $x$ est $1$.
3. Démontrer, sans utiliser la formule de $𝒜$, que pour $0<h⩽1$, $7h⩽𝒜(3+h)-𝒜(3)⩽hf(3+h)$, puis en déduire la limite du taux d’accroissement :
   Rédaction attendue. $𝒜(3+h)-𝒜(3)$ est l’aire sous la droite entre $3$ et $3+h$. La fonction $f$ est croissante : sur $[3;3+h]$, $f(3)⩽f(t)⩽f(3+h)$. Le domaine contient donc le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(3)=7$, et il est contenu dans celui de hauteur $f(3+h)$ : $7h⩽𝒜(3+h)-𝒜(3)⩽hf(3+h)$. On divise par $h>0$ : $7⩽{\displaystyle \frac{𝒜(3+h)-𝒜(3)}{h}}⩽f(3+h)$. Comme $f$ est continue, $f(3+h)\to f(3)=7$ quand $h\to 0^{+}$ ; d’après le théorème des gendarmes, le taux d’accroissement tend vers $7=f(3)$. C’est la démonstration du cours : $𝒜\prime (3)=f(3)$. Contrôle : $𝒜\prime (x)=2x+1$ donne bien $7$.

Calculer chaque intégrale. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : −2/5).

1. ${\int }_1^3(2x-5)dx=$
   ${\int }_1^3(2x-5)dx=[x^2-5x{]}_1^3$ $=(9-15)-(1-5)$ $=-6+4=-2$.
2. ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=$
   Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ : $[-\cos x{]}_0^{\pi }$ $=-\cos \pi +\cos 0=1+1=2$.
3. ${\int }_{-2}^0(x^2+4x)dx=$
   ${[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2]}_{-2}^0$ $=0-(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+8)$ $=-{\displaystyle \frac{16}{3}}$.
4. ${\int }_1^9{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx=$
   Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\infty [$ est $2\sqrt{x}$ : $[2\sqrt{x}{]}_1^9$ $=6-2=4$.

Reconnaître une forme composée, puis calculer. Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. ${\int }_0^1{e}^{3x}dx\approx$
   Une primitive de $e^{3x}$ est ${\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}$ : ${\int }_0^1{e}^{3x}dx={\left[{\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}\right]}_0^1$ $={\displaystyle \frac{e^3-1}{3}}\approx 6,36$.
2. ${\int }_0^1{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+1}}dx\approx$
   Avec $u(x)=x^2+x+1>0$ (discriminant $-3<0$), la fonction est ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, de primitive $\ln u$ : $[\ln (x^2+x+1){]}_0^1$ $=\ln 3-\ln 1=\ln 3\approx 1,10$.
3. ${\int }_0^{1}3x^2(x^3+1{)}^{2}dx=$ (fraction)
   Forme $u\prime u^2$ avec $u(x)=x^3+1$ : primitive ${\displaystyle \frac{(x^3+1{)}^3}{3}}$. ${\left[{\displaystyle \frac{(x^3+1{)}^3}{3}}\right]}_0^1$ $={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$.

On considère $f(x)=x^2-1$ sur $[0;2]$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. ${\int }_0^2(x^2-1)dx=$
   ${[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x]}_0^2$ $={\displaystyle \frac{8}{3}}-2={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. Justifier que ${\int }_0^{2}f(x)dx$ n’est pas l’aire du domaine compris entre ${𝒞}_f$, l’axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$, puis calculer cette aire : u.a.
   Rédaction attendue. $f(x)=(x-1)(x+1)$ : sur $[0;2]$, $x+1>0$, donc $f(x)⩽0$ sur $[0;1]$ et $f(x)⩾0$ sur $[1;2]$. L’intégrale compte négativement la partie située sous l’axe : ce n’est pas l’aire. On découpe en $1$ (Chasles) : $𝒜={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx$. Or ${\int }_0^1(1-x^2)dx={[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\int }_1^2(x^2-1)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x]}_1^2$ $={\displaystyle \frac{2}{3}}-(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Donc $𝒜={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}=2$ u.a.

Pour tout réel $x$, on pose $H(x)={\int }_1^x\sqrt{t^2+3}dt$.

1. $H(1)=$
   Les deux bornes sont égales : $H(1)={\int }_1^1\sqrt{t^2+3}dt=0$.
2. Justifier que $H$ est dérivable sur $ℝ$ et calculer $H\prime (1)=$
   Rédaction attendue. La fonction $t\mapsto \sqrt{t^2+3}$ est continue sur $ℝ$ (composée de fonctions continues, avec $t^2+3>0$). D’après le cours, $H$ est la primitive de cette fonction qui s’annule en $1$ : $H$ est dérivable sur $ℝ$ et $H\prime (x)=\sqrt{x^2+3}$. Donc $H\prime (1)=\sqrt{4}=2$.
3. La tangente à la courbe de $H$ au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=2x+b$ avec $b=$
   $y=H\prime (1)(x-1)+H(1)=2(x-1)+0=2x-2$ : $b=-2$. Comme $H\prime (x)>0$, $H$ est strictement croissante sur $ℝ$.

$f$ et $g$ sont continues sur $ℝ$, avec ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$, ${\int }_2^{6}f(x)dx=-3$ et ${\int }_0^{2}g(x)dx=4$.

1. ${\int }_0^{6}f(x)dx=$
   Relation de Chasles : ${\int }_0^{6}f={\int }_0^{2}f+{\int }_2^{6}f=5+(-3)=2$.
2. ${\int }_6^{2}f(x)dx=$
   Échanger les bornes change le signe : ${\int }_6^{2}f=-{\int }_2^{6}f=3$.
3. ${\int }_0^2(2f(x)-3g(x))dx=$
   Par linéarité : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2$.

Découper avec la relation de Chasles. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. ${\int }_{-2}^3|x|dx=$
   $|x|=-x$ sur $[-2;0]$ et $|x|=x$ sur $[0;3]$ : ${\int }_{-2}^0(-x)dx+{\int }_0^{3}xdx=2+{\displaystyle \frac{9}{2}}={\displaystyle \frac{13}{2}}$ (deux triangles).
2. $f(x)=x^2$ si $x⩽1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$ ($f$ est continue). ${\int }_0^{3}f(x)dx=$
   ${\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^3(2x-1)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}+[x^2-x{]}_1^3$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}+6={\displaystyle \frac{19}{3}}$.

On pose $K={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^4}}dx$, que l’on ne cherche pas à calculer. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽K⩽1$. Le minorant obtenu vaut
   Rédaction attendue. Pour $x\in [0;1]$, $0⩽x^4⩽1$, donc $1⩽1+x^4⩽2$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{1+x^4}}⩽1$. Les fonctions sont continues et $0⩽1$ : par intégration des inégalités, ${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{2}}dx⩽K⩽{\int }_0^{1}1dx$, soit ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽K⩽1$.
2. Pour $x\in [0;1]$, $1-x^4⩽{\displaystyle \frac{1}{1+x^4}}$ (car $(1-x^4)(1+x^4)=1-x^8⩽1$). En intégrant, on obtient le minorant
   ${\int }_0^1(1-x^4)dx={[x-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}]}_0^1$ $={\displaystyle \frac{4}{5}}$ : donc $K⩾{\displaystyle \frac{4}{5}}$, un minorant meilleur que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n={\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}dx$. Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. $u_0\approx$
   $u_0={\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{1+x}}=[\ln (1+x){]}_0^1$ $=\ln 2\approx 0,69$.
2. Démontrer que $u_n+u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pour tout $n$, puis en déduire $u_1\approx$
   Rédaction attendue. Par linéarité, $u_n+u_{n+1}={\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^n+x^{n+1}}{1+x}}dx={\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^n(1+x)}{1+x}}dx$ $={\int }_0^1{x}^{n}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Avec $n=0$ : $u_1=1-u_0=1-\ln 2\approx 0,31$.
3. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, puis donner $lim{u}_n=$
   Rédaction attendue. Pour $x\in [0;1]$, $1⩽1+x⩽2$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{1+x}}⩽1$, puis, en multipliant par $x^n⩾0$ : ${\displaystyle \frac{x^n}{2}}⩽{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}⩽x^n$. Comme $0⩽1$, on intègre : ${\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ ; d’après le théorème des gendarmes, $lim{u}_n=0$.

Calculer la valeur moyenne $\mu$ de chaque fonction sur l’intervalle donné. Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. $f(x)=2x+1$ sur $[0;4]$ : $\mu =$
   ${\int }_0^4(2x+1)dx=[x^2+x{]}_0^4=20$, donc $\mu ={\displaystyle \frac{20}{4}}=5$.
2. $f(x)=x^3$ sur $[0;2]$ : $\mu =$
   ${\int }_0^2{x}^{3}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}\right]}_0^2=4$, donc $\mu ={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$. Ce n’est pas ${\displaystyle \frac{f(0)+f(2)}{2}}=4$.
3. $f(x)=\cos x$ sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ : $\mu \approx$
   ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$, donc $\mu ={\displaystyle \frac{1}{\pi /2}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx 0,64$.

On considère $f(x)=x+2$ et $g(x)=x^2$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Les courbes se coupent en deux points ; la plus petite de leurs abscisses vaut
   $x^2=x+2⟺x^2-x-2=0$ $⟺(x+1)(x-2)=0$ : $x=-1$ ou $x=2$.
2. Aire du domaine compris entre les deux courbes : u.a.
   Sur $[-1;2]$, $f(x)-g(x)=-(x+1)(x-2)⩾0$ : la droite est au-dessus. $𝒜={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^2$ $={\displaystyle \frac{10}{3}}-(-{\displaystyle \frac{7}{6}})={\displaystyle \frac{9}{2}}$ u.a.

On considère $f(x)=e^x$ et $g(x)=x+1$ sur $[0;1]$. Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. Démontrer que ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$ sur $[0;1]$, puis calculer l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x=0$ et $x=1$ : u.a.
   Rédaction attendue. On pose $d(x)=e^x-x-1$. $d$ est dérivable et $d\prime (x)=e^x-1⩾0$ sur $[0;1]$ (car $e^x⩾e^0=1$) : $d$ est croissante sur $[0;1]$, donc $d(x)⩾d(0)=0$. Ainsi $f⩾g$ sur $[0;1]$. L’aire vaut $𝒜={\int }_0^1(e^x-x-1)dx$ $={[e^x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_0^1$ $=(e-{\displaystyle \frac{3}{2}})-1=e-{\displaystyle \frac{5}{2}}\approx 0,22$ u.a.
2. Valeur moyenne de $f$ sur $[0;\ln 2]$ : $\mu \approx$
   ${\int }_0^{\ln 2}{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^{\ln 2}=2-1=1$, donc $\mu ={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\approx 1,44$, bien compris entre $f(0)=1$ et $f(\ln 2)=2$.

Après une injection, la concentration d’un médicament dans le sang est modélisée par $C(t)={\displaystyle \frac{4}{t+1}}$ (en mg/L), où $t\in [0;9]$ est le temps en heures. Arrondir au centième.

1. Démontrer que la concentration moyenne $\mu$ sur $[0;9]$ vérifie $0,4⩽\mu ⩽4$, puis la calculer : $\mu \approx$ mg/L
   Rédaction attendue. $C$ est décroissante sur $[0;9]$ (inverse d’une fonction affine croissante et positive), donc $C(9)⩽C(t)⩽C(0)$, soit $0,4⩽C(t)⩽4$ : la valeur moyenne vérifie $0,4⩽\mu ⩽4$. Une primitive de ${\displaystyle \frac{4}{t+1}}$ sur $[0;9]$ est $4\ln (t+1)$, donc $\mu ={\displaystyle \frac{1}{9}}[4\ln (t+1){]}_0^9$ $={\displaystyle \frac{4\ln 10}{9}}\approx 1,02$ mg/L.
2. À quel instant $t_0$ la concentration est-elle égale à sa valeur moyenne ? $t_0\approx$ h
   $C(t_0)=\mu ⟺{\displaystyle \frac{4}{t_0+1}}={\displaystyle \frac{4\ln 10}{9}}$ $⟺t_0+1={\displaystyle \frac{9}{\ln 10}}$, donc $t_0={\displaystyle \frac{9}{\ln 10}}-1\approx 2,91$ h.

On calcule ${\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx$ par parties, avec $u(x)=x$ et $v\prime (x)=e^{2x}$. Arrondir au centième.

1. $v(x)=k{e}^{2x}$ avec $k=$
   ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2e^{2x}=e^{2x}$ : $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. ${\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx\approx$
   ${\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx={\left[{\displaystyle \frac{x{e}^{2x}}{2}}\right]}_0^1-{\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}dx$ $={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{e^2-1}{4}}$ $={\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}\approx 2,10$.

Calculer par parties. Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. ${\int }_1^{3}x\ln xdx\approx$
   $u(x)=\ln x$, $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $v\prime (x)=x$, $v(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. ${\int }_1^{3}x\ln xdx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x\right]}_1^3-{\int }_1^3{\displaystyle \frac{x}{2}}dx$ $={\displaystyle \frac{9}{2}}\ln 3-{\left[{\displaystyle \frac{x^2}{4}}\right]}_1^3$ $={\displaystyle \frac{9}{2}}\ln 3-2\approx 2,94$.
2. ${\int }_0^{\pi }(x+1)\cos xdx=$ (valeur exacte)
   $u(x)=x+1$, $u\prime (x)=1$, $v\prime (x)=\cos x$, $v(x)=\sin x$ : dérivées continues sur $[0;\pi ]$. ${\int }_0^{\pi }(x+1)\cos xdx=[(x+1)\sin x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin xdx$ $=0-[-\cos x{]}_0^{\pi }=-(1+1)=-2$. Le résultat est négatif : sur $\left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$, $(x+1)\cos x<0$ et cette partie l’emporte.

Valeurs approchées : arrondir au centième.

1. Démontrer que ${\int }_0^{\pi /2}(2x+1)\sin xdx$ est un entier, et donner sa valeur :
   Rédaction attendue. On pose $u(x)=2x+1$ et $v\prime (x)=\sin x$, d’où $u\prime (x)=2$ et $v(x)=-\cos x$ ; $u\prime$ et $v\prime$ sont continues sur $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$. Par intégration par parties : ${\int }_0^{\pi /2}(2x+1)\sin xdx=[-(2x+1)\cos x{]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}2\cos xdx$. Or $[-(2x+1)\cos x{]}_0^{\pi /2}=0-(-1)=1$ et ${\int }_0^{\pi /2}2\cos xdx=[2\sin x{]}_0^{\pi /2}=2$. L’intégrale vaut $1+2=3$.
2. ${\int }_1^4{\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}}dx\approx$
   $u(x)=\ln x$, $v\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$, $v(x)=2\sqrt{x}$. $[2\sqrt{x}\ln x{]}_1^4-{\int }_1^4{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}dx$ $=4\ln 4-[4\sqrt{x}{]}_1^4$ $=8\ln 2-4\approx 1,55$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $J_n={\int }_1^e(\ln x{)}^{n}dx$. Arrondir au centième.

1. $J_0\approx$
   $J_0={\int }_1^{e}1dx=e-1\approx 1,72$.
2. Démontrer que $J_{n+1}=e-(n+1)J_n$. Le coefficient de $J_n$ dans cette relation (sans le signe) est
   Rédaction attendue. On pose $u(x)=(\ln x{)}^{n+1}$ et $v\prime (x)=1$, d’où $u\prime (x)=(n+1){\displaystyle \frac{(\ln x{)}^n}{x}}$ et $v(x)=x$ ; $u\prime$ et $v\prime$ sont continues sur $[1;e]$. Par intégration par parties : $J_{n+1}=[x(\ln x{)}^{n+1}{]}_1^e-{\int }_1^{e}x\times (n+1){\displaystyle \frac{(\ln x{)}^n}{x}}dx$ $=e\times 1-0-(n+1){\int }_1^e(\ln x{)}^{n}dx$ $=e-(n+1)J_n$.
3. En déduire $J_2\approx$
   $J_1=e-1\times J_0=e-(e-1)=1$, puis $J_2=e-2J_1=e-2\approx 0,72$.

On approche ${\int }_0^2(1+x^2)dx$ avec $n=4$ rectangles.

1. Largeur des rectangles : $h=$
   $h={\displaystyle \frac{2-0}{4}}=0,5$ ; les bornes sont $0$ ; $0,5$ ; $1$ ; $1,5$ ; $2$.
2. Somme à gauche : $s_4=$
   $s_4=0,5(f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5))$ $=0,5(1+1,25+2+3,25)$ $=0,5\times 7,5=3,75$.
3. Somme à droite : $S_4=$
   $S_4=0,5(1,25+2+3,25+5)$ $=0,5\times 11,5=5,75$. La fonction est croissante sur $[0;2]$ : $3,75⩽{\int }_0^2(1+x^2)dx⩽5,75$ (valeur exacte ${\displaystyle \frac{14}{3}}\approx 4,67$).

Toujours pour $f(x)=1+x^2$, croissante sur $[0;2]$, l’écart entre les deux sommes est $S_n-s_n=h(f(2)-f(0))$.

1. Pour $n=10$ : $S_{10}-s_{10}=$
   $h={\displaystyle \frac{2}{10}}=0,2$ et $f(2)-f(0)=5-1=4$ : écart $0,2\times 4=0,8$.
2. Pour $n=40$ : $S_{40}-s_{40}=$
   $h={\displaystyle \frac{2}{40}}=0,05$ : écart $0,05\times 4=0,2$. Quatre fois plus de rectangles, un écart quatre fois plus petit.

On approche ${\int }_0^{1}3x^{2}dx$ par la fonction rectangles du cours.

1. Que renvoie rectangles(lambda x: 3 * x**2, 0, 1, 2) ?
   $h=0,5$ ; la boucle prend $k=0$ et $k=1$ : $s=0,5\times 3\times 0^2+0,5\times 3\times 0,5^2$ $=0+0,375=0,375$.
2. Justifier que la somme à droite $S_2$ est une valeur par excès de l’intégrale, puis la calculer : $S_2=$
   Rédaction attendue. La fonction $x\mapsto 3x^2$ est croissante sur $[0;1]$ (dérivée $6x⩾0$). Sur chaque intervalle $[x_k;x_{k+1}]$, $f(x)⩽f(x_{k+1})$ : le rectangle de hauteur $f(x_{k+1})$ contient le domaine sous la courbe. Par intégration des inégalités et relation de Chasles, ${\int }_0^{1}3x^{2}dx⩽S_2$. Avec $h=0,5$ : $S_2=0,5(f(0,5)+f(1))$ $=0,5(0,75+3)=1,875$. On a bien $0,375⩽1⩽1,875$, avec ${\int }_0^{1}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^1=1$.

On approche ${\int }_0^2{e}^{-x}dx$ par la méthode des rectangles. Arrondir au centième.

1. Valeur de l’intégrale, arrondie au centième :
   Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ : $[-e^{-x}{]}_0^2$ $=1-e^{-2}\approx 0,86$.
2. Démontrer qu’avec $n$ rectangles, $s_n-S_n={\displaystyle \frac{2(1-e^{-2})}{n}}$, puis donner le plus petit $n$ tel que cet écart soit inférieur ou égal à ${10}^{-2}$ : $n=$
   Rédaction attendue. La fonction $x\mapsto e^{-x}$ est décroissante : $s_n$ est par excès et $S_n$ par défaut. Avec $h={\displaystyle \frac{2}{n}}$ et $x_k=kh$ : $s_n-S_n=h(f(x_0)+\cdots +f(x_{n-1}))-h(f(x_1)+\cdots +f(x_n))$. Tous les termes de $f(x_1)$ à $f(x_{n-1})$ se simplifient : $s_n-S_n=h(f(x_0)-f(x_n))={\displaystyle \frac{2}{n}}(f(0)-f(2))$ $={\displaystyle \frac{2(1-e^{-2})}{n}}$. Puis ${\displaystyle \frac{2(1-e^{-2})}{n}}⩽0,01⟺n⩾200(1-e^{-2})\approx 172,9$. Le plus petit entier est $n=173$.