À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vecteurs de l'espace et repère, Droites dans l'espace, Plans dans l'espace, Positions relatives. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Vecteurs de l'espace et repère
2 · Droites dans l'espace
3 · Plans dans l'espace
4 · Positions relatives
5 · Produit scalaire dans l'espace
6 · Orthogonalité et vecteur normal
7 · Distances dans l'espace
8 · Sphères
1Vecteurs de l'espace et repère
On se place dans l'espace à trois dimensions muni d'un repère orthonormal $\left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
Définition. Un vecteur de l'espace $\vec{u}$ est caractérisé par ses trois coordonnées $(x, y, z)$ dans le repère. On note $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.
La norme de $\vec{u}$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Les opérations sur les vecteurs se généralisent :
| Opération | Formule |
|---|
| Addition | $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}$ |
| Multiplication scalaire | $\lambda\vec{u} = \begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}$ |
| Vecteur $\overrightarrow{AB}$ | $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\\z_B - z_A\end{pmatrix}$ |
Exemple. Si $A(1, 2, 3)$ et $B(4, 0, -1)$, alors $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$ et $AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$.
2Droites dans l'espace
Définition. Une droite $\mathcal{D}$ de l'espace passant par le point $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ (avec $\vec{u}\neq\vec{0}$) est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ pour un réel $t$.
On obtient une représentation paramétrique :
Représentation paramétrique d'une droite.
$$\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Exemple. La droite passant par $A(1, -1, 2)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
En $t=1$ : point $(3, 0, -1)$ appartient à la droite.
Astuce. Pour vérifier qu'un point $B$ appartient à une droite, substituer ses coordonnées dans la représentation paramétrique et vérifier que la même valeur de $t$ convient pour les trois équations.
3Plans dans l'espace
Un plan est déterminé par un point et un vecteur normal, ou par trois points non alignés.
Équation cartésienne d'un plan. Tout plan $\mathcal{P}$ de l'espace admet une équation de la forme :
$$ax + by + cz + d = 0$$
où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan (perpendiculaire à tous les vecteurs du plan) et $d \in \mathbb{R}$.
Méthode : connaissant un vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et un point $A(x_0, y_0, z_0)$ du plan :
- L'équation du plan est $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
- On développe et simplifie pour obtenir $ax + by + cz + d = 0$.
Exemple. Plan passant par $A(2, 1, -3)$ de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ :
$(x-2) - 2(y-1) + 4(z+3) = 0$
$x - 2 - 2y + 2 + 4z + 12 = 0$
$\boxed{x - 2y + 4z + 12 = 0}$
Attention ! Le vecteur $(a, b, c)$ lu dans l'équation est toujours normal au plan, même si les coefficients semblent quelconques. Ne pas confondre vecteur normal et vecteur directeur.
4Positions relatives
Dans l'espace, deux droites, deux plans, ou une droite et un plan peuvent avoir diverses positions relatives.
| Configuration | Critère | Résultat |
|---|
| Deux plans | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ non colinéaires | Sécants selon une droite |
| Deux plans | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires, équations distinctes | Parallèles (pas de point commun) |
| Deux plans | Mêmes équations (proportionnelles) | Confondus |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ | Sécants en un point |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ et point $\notin$ plan | Parallèles |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ et point $\in$ plan | Droite incluse dans le plan |
| Deux droites | Même direction, point commun | Confondues |
| Deux droites | Même direction, pas de point commun | Parallèles |
| Deux droites | Directions différentes, point commun | Sécantes |
| Deux droites | Directions différentes, pas de point commun | Gauches (non coplanaires) |
Astuce. Pour l'intersection de deux plans, résoudre le système en paramétrant une variable libre (ex. $z = t$) pour trouver la représentation paramétrique de la droite d'intersection.
5Produit scalaire dans l'espace
Définition. Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ est :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$
Il vérifie également la formule trigonométrique :
Formule trigonométrique.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta$$
où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ($0 \le \theta \le \pi$).
Propriétés :
- Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
- Symétrie : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
- $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$
Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times3 + 2\times(-1) + (-1)\times2 = 3 - 2 - 2 = -1$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$
$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}} = \frac{-1}{\sqrt{84}}$
6Orthogonalité et vecteur normal
Orthogonalité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Deux droites, un plan et une droite sont perpendiculaires (orthogonaux) si leurs vecteurs directeurs (ou normal/directeur) ont un produit scalaire nul.
Vecteur normal à un plan. Un vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ si $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{P}$.
Si $\mathcal{P}$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
Perpendiculaire à un plan : une droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ si son vecteur directeur est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
Exemple. La droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ est-elle perpendiculaire au plan $x - 2y + 4z + 1 = 0$ ?
Le vecteur normal au plan est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$. Or $\vec{u} = \vec{n}$, donc oui, $\mathcal{D} \perp \mathcal{P}$.
Astuce. Pour trouver le plan perpendiculaire à une droite passant par un point, on prend le vecteur directeur de la droite comme vecteur normal du plan.
7Distances dans l'espace
Le produit scalaire permet de calculer toutes les distances usuelles.
Distance d'un point à un plan. La distance du point $A(x_0, y_0, z_0)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ est :
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Distance de deux plans parallèles. La distance entre les plans $ax+by+cz+d_1=0$ et $ax+by+cz+d_2=0$ est :
$$d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Exemple. Distance de $A(1, 2, -1)$ au plan $2x - y + 2z + 3 = 0$ :
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(-1) + 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2-2+3|}{3} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$
Attention ! La formule de distance d'un point à un plan nécessite que le vecteur normal $(a,b,c)$ ne soit pas nul. Si les coefficients ont un facteur commun, la simplification n'affecte pas le résultat.
Distance d'un point à une droite. Pour la distance d'un point $B$ à une droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$, on calcule le projeté orthogonal $H$ de $B$ sur la droite, puis $BH$.
8Sphères
Définition. La sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $\Omega M = r$, soit :
$$\boxed{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2}$$
En développant :
Forme développée. Une sphère a toujours une équation de la forme :
$$x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$$
pour passer à la forme centrée, on complète le carré sur chaque variable.
Exemple. Reconnaître et identifier la sphère $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$.
$(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 - 2 = 0$
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$
Centre $\Omega(1, -2, 3)$, rayon $r = 4$.
Intersection d'une sphère et d'un plan : elle peut être vide, réduite à un point (tangence) ou un cercle. On calcule la distance $d$ du centre au plan :
- $d > r$ : pas d'intersection
- $d = r$ : tangence (un seul point)
- $d < r$ : cercle de rayon $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$
Exemple. Sphère de centre $\Omega(0,0,0)$ et rayon $r=5$, plan $3x+4z=0$ :
$d(\Omega, \mathcal{P}) = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{9+0+16}} = 0$
$d = 0 < 5$ : le plan passe par le centre, le cercle a rayon $\rho = \sqrt{25-0} = 5$.
★À retenir
En bref :
• Vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ : norme $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, opérations composante par composante.
• Droite : représentation paramétrique $(x_0+ta, y_0+tb, z_0+tc)$.
• Plan : équation $ax+by+cz+d=0$, vecteur normal $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
• Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz' = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$. Nul ⟺ vecteurs orthogonaux.
• Distance point-plan : $d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• Sphère : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$, centre $(a,b,c)$, rayon $r$.