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Géométrie dans l'espace
Vecteurs, droites, plans, produit scalaire et sphères dans l'espace (programme de Terminale Spécialité Mathématiques)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vecteurs de l'espace et repère, Droites dans l'espace, Plans dans l'espace, Positions relatives. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Vecteurs de l'espace et repère
On se place dans l'espace à trois dimensions muni d'un repère orthonormal $\left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
Définition. Un vecteur de l'espace $\vec{u}$ est caractérisé par ses trois coordonnées $(x, y, z)$ dans le repère. On note $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.
La norme de $\vec{u}$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
La norme de $\vec{u}$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Les opérations sur les vecteurs se généralisent :
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition | $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}$ |
| Multiplication scalaire | $\lambda\vec{u} = \begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}$ |
| Vecteur $\overrightarrow{AB}$ | $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\\z_B - z_A\end{pmatrix}$ |
Exemple. Si $A(1, 2, 3)$ et $B(4, 0, -1)$, alors $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$ et $AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$.
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Droites dans l'espace
Définition. Une droite $\mathcal{D}$ de l'espace passant par le point $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ (avec $\vec{u}\neq\vec{0}$) est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ pour un réel $t$.
On obtient une représentation paramétrique :
Représentation paramétrique d'une droite.
$$\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
$$\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Exemple. La droite passant par $A(1, -1, 2)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
En $t=1$ : point $(3, 0, -1)$ appartient à la droite.
$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
En $t=1$ : point $(3, 0, -1)$ appartient à la droite.
Astuce. Pour vérifier qu'un point $B$ appartient à une droite, substituer ses coordonnées dans la représentation paramétrique et vérifier que la même valeur de $t$ convient pour les trois équations.
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Plans dans l'espace
Un plan est déterminé par un point et un vecteur normal, ou par trois points non alignés.
Équation cartésienne d'un plan. Tout plan $\mathcal{P}$ de l'espace admet une équation de la forme :
$$ax + by + cz + d = 0$$
où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan (perpendiculaire à tous les vecteurs du plan) et $d \in \mathbb{R}$.
$$ax + by + cz + d = 0$$
où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan (perpendiculaire à tous les vecteurs du plan) et $d \in \mathbb{R}$.
Méthode : connaissant un vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et un point $A(x_0, y_0, z_0)$ du plan :
- L'équation du plan est $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.
- On développe et simplifie pour obtenir $ax + by + cz + d = 0$.
Exemple. Plan passant par $A(2, 1, -3)$ de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ :
$(x-2) - 2(y-1) + 4(z+3) = 0$
$x - 2 - 2y + 2 + 4z + 12 = 0$
$\boxed{x - 2y + 4z + 12 = 0}$
$(x-2) - 2(y-1) + 4(z+3) = 0$
$x - 2 - 2y + 2 + 4z + 12 = 0$
$\boxed{x - 2y + 4z + 12 = 0}$
Attention ! Le vecteur $(a, b, c)$ lu dans l'équation est toujours normal au plan, même si les coefficients semblent quelconques. Ne pas confondre vecteur normal et vecteur directeur.
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Positions relatives
Dans l'espace, deux droites, deux plans, ou une droite et un plan peuvent avoir diverses positions relatives.
| Configuration | Critère | Résultat |
|---|---|---|
| Deux plans | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ non colinéaires | Sécants selon une droite |
| Deux plans | $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires, équations distinctes | Parallèles (pas de point commun) |
| Deux plans | Mêmes équations (proportionnelles) | Confondus |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ | Sécants en un point |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ et point $\notin$ plan | Parallèles |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ et point $\in$ plan | Droite incluse dans le plan |
| Deux droites | Même direction, point commun | Confondues |
| Deux droites | Même direction, pas de point commun | Parallèles |
| Deux droites | Directions différentes, point commun | Sécantes |
| Deux droites | Directions différentes, pas de point commun | Gauches (non coplanaires) |
Astuce. Pour l'intersection de deux plans, résoudre le système en paramétrant une variable libre (ex. $z = t$) pour trouver la représentation paramétrique de la droite d'intersection.
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Produit scalaire dans l'espace
Définition. Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ est :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$
Il vérifie également la formule trigonométrique :
Formule trigonométrique.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta$$
où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ($0 \le \theta \le \pi$).
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta$$
où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ($0 \le \theta \le \pi$).
Propriétés :
- Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
- Symétrie : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
- $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$
Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times3 + 2\times(-1) + (-1)\times2 = 3 - 2 - 2 = -1$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$
$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}} = \frac{-1}{\sqrt{84}}$
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times3 + 2\times(-1) + (-1)\times2 = 3 - 2 - 2 = -1$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$
$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}} = \frac{-1}{\sqrt{84}}$
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Orthogonalité et vecteur normal
Orthogonalité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Deux droites, un plan et une droite sont perpendiculaires (orthogonaux) si leurs vecteurs directeurs (ou normal/directeur) ont un produit scalaire nul.
Deux droites, un plan et une droite sont perpendiculaires (orthogonaux) si leurs vecteurs directeurs (ou normal/directeur) ont un produit scalaire nul.
Vecteur normal à un plan. Un vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ si $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{P}$.
Si $\mathcal{P}$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
Si $\mathcal{P}$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, alors $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
Perpendiculaire à un plan : une droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ si son vecteur directeur est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
Exemple. La droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ est-elle perpendiculaire au plan $x - 2y + 4z + 1 = 0$ ?
Le vecteur normal au plan est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$. Or $\vec{u} = \vec{n}$, donc oui, $\mathcal{D} \perp \mathcal{P}$.
Le vecteur normal au plan est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$. Or $\vec{u} = \vec{n}$, donc oui, $\mathcal{D} \perp \mathcal{P}$.
Astuce. Pour trouver le plan perpendiculaire à une droite passant par un point, on prend le vecteur directeur de la droite comme vecteur normal du plan.
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Distances dans l'espace
Le produit scalaire permet de calculer toutes les distances usuelles.
Distance d'un point à un plan. La distance du point $A(x_0, y_0, z_0)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ est :
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Distance de deux plans parallèles. La distance entre les plans $ax+by+cz+d_1=0$ et $ax+by+cz+d_2=0$ est :
$$d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
$$d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Exemple. Distance de $A(1, 2, -1)$ au plan $2x - y + 2z + 3 = 0$ :
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(-1) + 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2-2+3|}{3} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(-1) + 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2-2+3|}{3} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$
Attention ! La formule de distance d'un point à un plan nécessite que le vecteur normal $(a,b,c)$ ne soit pas nul. Si les coefficients ont un facteur commun, la simplification n'affecte pas le résultat.
Distance d'un point à une droite. Pour la distance d'un point $B$ à une droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$, on calcule le projeté orthogonal $H$ de $B$ sur la droite, puis $BH$.
8
Sphères
Définition. La sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $r \gt 0$ est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $\Omega M = r$, soit :
$$\boxed{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2}$$
$$\boxed{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2}$$
En développant :
Forme développée. Une sphère a toujours une équation de la forme :
$$x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$$
pour passer à la forme centrée, on complète le carré sur chaque variable.
$$x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$$
pour passer à la forme centrée, on complète le carré sur chaque variable.
Exemple. Reconnaître et identifier la sphère $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$.
$(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 - 2 = 0$
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$
Centre $\Omega(1, -2, 3)$, rayon $r = 4$.
$(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 - 2 = 0$
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$
Centre $\Omega(1, -2, 3)$, rayon $r = 4$.
Intersection d'une sphère et d'un plan : elle peut être vide, réduite à un point (tangence) ou un cercle. On calcule la distance $d$ du centre au plan :
- $d \gt r$ : pas d'intersection
- $d = r$ : tangence (un seul point)
- $d \lt r$ : cercle de rayon $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$
Exemple. Sphère de centre $\Omega(0,0,0)$ et rayon $r=5$, plan $3x+4z=0$ :
$d(\Omega, \mathcal{P}) = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{9+0+16}} = 0$
$d = 0 \lt 5$ : le plan passe par le centre, le cercle a rayon $\rho = \sqrt{25-0} = 5$.
$d(\Omega, \mathcal{P}) = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{9+0+16}} = 0$
$d = 0 \lt 5$ : le plan passe par le centre, le cercle a rayon $\rho = \sqrt{25-0} = 5$.
En bref
- Vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ : norme $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, opérations composante par composante.
- Droite : représentation paramétrique $(x_0+ta, y_0+tb, z_0+tc)$.
- Plan : équation $ax+by+cz+d=0$, vecteur normal $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
- Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz' = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$. Nul ⟺ vecteurs orthogonaux.
- Distance point-plan : $d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
- Sphère : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$, centre $(a,b,c)$, rayon $r$.
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