Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Intégration
Primitive, intégrale de Riemann et calcul d'aires — programme de Terminale Spécialité Maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une primitive de $f(x)=3x^2$ est :
- A. $3x^3$
- B. $x^3$
- C. $6x$
- D. $x^3+1$
Réponse
B. $x^3$ — $F'(x)=(x^3)'=3x^2=f(x)$. La constante ne change pas le fait que c'est une primitive.
Une primitive de $f(x)=\cos x$ est :
- A. $-\sin x$
- B. $\cos x$
- C. $\sin x$
- D. $-\cos x$
Réponse
C. $\sin x$ — $(\sin x)'=\cos x$
Une primitive de $f(x)=e^x$ est :
- A. $xe^x$
- B. $e^x+1$
- C. $e^{x+1}$
- D. $e^x$
Réponse
D. $e^x$ — $(e^x)'=e^x$, c'est la seule fonction égale à sa dérivée.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, toutes les primitives de $f$ sont :
- A. $F+k$, $k\in\mathbb{R}$
- B. $F\times k$
- C. $kF$, $k\neq0$
- D. $F+F'$
Réponse
A. $F+k$, $k\in\mathbb{R}$ — Deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante réelle.
$\int_1^3 2\,dx =$
- A. $2$
- B. $3$
- C. $4$
- D. $6$
Réponse
C. $4$ — $[2x]_1^3=6-2=4$
$\int_0^2 x\,dx =$
- A. $1$
- B. $2$
- C. $4$
- D. $0$
Réponse
B. $2$ — $[x^2/2]_0^2=2-0=2$
La formule de Newton est :
- A. $\int_a^b f=f(b)-f(a)$
- B. $\int_a^b f=F(b)-F(a)$
- C. $\int_a^b f=F(a)-F(b)$
- D. $\int_a^b f=f'(b)-f'(a)$
Réponse
B. $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ — $F$ est une primitive de $f$, pas $f$ elle-même.
Si $f\geq0$ sur $[a,b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est :
- A. Toujours négative
- B. Toujours nulle
- C. Toujours positive ou nulle
- D. Peut être quelconque
Réponse
C. Toujours positive ou nulle — Par la propriété de positivité de l'intégrale.
Une primitive de $\frac{1}{x}$ ($x\gt 0$) est :
- A. $\frac{1}{x^2}$
- B. $\ln x$
- C. $-\frac{1}{x^2}$
- D. $x\ln x$
Réponse
B. $\ln x$ — $(\ln x)'=1/x$
$\int_a^a f(x)\,dx =$
- A. $f(a)$
- B. $F(a)$
- C. $1$
- D. $0$
Réponse
D. $0$ — Quand les deux bornes sont égales, l'intégrale est nulle.
Si $F$ est primitive de $f$ et $F(0)=5$, $f(x)=2x$, alors $F(x)=$
- A. $x^2$
- B. $x^2+5$
- C. $2x+5$
- D. $x^2-5$
Réponse
B. $x^2+5$ — $F(x)=x^2+c$. $F(0)=c=5$, donc $F(x)=x^2+5$.
$\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=$
- A. $0$
- B. $-1$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
C. $1$ — $[-\cos x]_0^{\pi/2}=0-(-1)=1$
Niveau moyen — 12 questions
Une primitive de $f(x)=(2x-1)^3$ est :
- A. $\frac{(2x-1)^4}{4}$
- B. $\frac{(2x-1)^4}{8}$
- C. $6(2x-1)^2$
- D. $\frac{(2x-1)^4}{2}$
Réponse
B. $\frac{(2x-1)^4}{8}$ — Forme $u'u^n$ avec $u=2x-1$, $u'=2$ : $\frac{(2x-1)^4}{4\times2}=\frac{(2x-1)^4}{8}$
Une primitive de $\frac{3x^2}{x^3+1}$ est :
- A. $\frac{x^3}{(x^3+1)^2}$
- B. $\ln(x^3+1)$
- C. $\frac{3}{(x^3+1)^2}$
- D. $3\ln|x^3+1|$
Réponse
B. $\ln(x^3+1)$ — Forme $u'/u$ avec $u=x^3+1$, $u'=3x^2$. On obtient $\ln|x^3+1|$.
$\int_0^1 (2x-1)\,dx =$
- A. $1$
- B. $-1$
- C. $0$
- D. $2$
Réponse
C. $0$ — $[x^2-x]_0^1=(1-1)-0=0$
La relation de Chasles donne ($a\lt c\lt b$) :
- A. $\int_a^b=\int_a^c-\int_c^b$
- B. $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$
- C. $\int_a^b=\int_c^b-\int_a^c$
- D. $\int_a^b=\int_a^c\times\int_c^b$
Réponse
B. $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ — $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ est la relation de Chasles.
Si $G(x)=\int_2^x e^t\,dt$, alors $G'(x)=$
- A. $e^x-e^2$
- B. $e^x$
- C. $e^2$
- D. $xe^x$
Réponse
B. $e^x$ — Par le théorème fondamental : $G'(x)=e^x$.
La valeur moyenne de $f(x)=x$ sur $[0,4]$ est :
- A. $1$
- B. $2$
- C. $4$
- D. $8$
Réponse
B. $2$ — $\mu=\frac{1}{4}\int_0^4 x\,dx=\frac{1}{4}[x^2/2]_0^4=\frac{1}{4}\times8=2$
Une primitive de $2xe^{x^2}$ est :
- A. $2e^{x^2}$
- B. $e^{x^2}$
- C. $4xe^{x^2}$
- D. $x^2e^{x^2}$
Réponse
B. $e^{x^2}$ — Forme $u'e^u$ avec $u=x^2$, $u'=2x$. Primitive : $e^{x^2}$.
Pour l'IPP $\int x\ln x\,dx$, le meilleur choix est :
- A. $u=x$, $v'=\ln x$
- B. $u=\ln x$, $v'=x$
- C. $u=x\ln x$, $v'=1$
- D. $u=1$, $v'=x\ln x$
Réponse
B. $u=\ln x$, $v'=x$ — On choisit $u=\ln x$ (se simplifie en dérivant) et $v'=x$ (facile à primitiver).
$\int_0^2 |x-1|\,dx =$
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $3$
Réponse
B. $1$ — $\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx=1/2+1/2=1$
Si $\int_0^3 f\,dx=6$ et $\int_0^3 g\,dx=2$, alors $\int_0^3(f-3g)\,dx=$
- A. $0$
- B. $4$
- C. $8$
- D. $12$
Réponse
A. $0$ — $6-3\times2=0$
$\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx =$
- A. $1$
- B. $1/2$
- C. $e$
- D. $\ln 2$
Réponse
B. $1/2$ — Forme $u'u$ avec $u=\ln x$, $u'=1/x$ : $[\ln^2x/2]_1^e=1/2$.
$\int_{-1}^{1} x^2\,dx =$
- A. $0$
- B. $1/3$
- C. $2/3$
- D. $2$
Réponse
C. $2/3$ — $[x^3/3]_{-1}^1=1/3-(-1/3)=2/3$
Niveau difficile — 12 questions
$\int_0^1 x\,e^x\,dx =$ (IPP)
- A. $e$
- B. $e-1$
- C. $1$
- D. $e+1$
Réponse
C. $1$ — $u=x,v'=e^x$ : $[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-(e-1)=1$.
La valeur de $\int_1^e \ln x\,dx$ est :
- A. $e$
- B. $1$
- C. $e-1$
- D. $e+1$
Réponse
B. $1$ — IPP : $u=\ln x,v'=1$ → $[x\ln x]_1^e-\int_1^e dx=e-(e-1)=1$.
L'aire entre $y=\sin x$ et $y=\cos x$ sur $[\pi/4,5\pi/4]$ est :
- A. $\sqrt{2}$
- B. $2\sqrt{2}$
- C. $2$
- D. $\sqrt{2}-1$
Réponse
B. $2\sqrt{2}$ — $\sin x\geq\cos x$ sur cet intervalle. $\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=[-\cos x-\sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}=2\sqrt{2}$.
Si $f$ est impaire et continue, $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=$
- A. $2\int_0^af$
- B. $0$
- C. $\int_0^af$
- D. $-\int_0^af$
Réponse
B. $0$ — Pour $f$ impaire, les contributions s'annulent symétriquement.
Une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ est :
- A. $\frac{1}{2}x^{-3/2}$
- B. $2\sqrt{x}$
- C. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$
- D. $\sqrt{x}$
Réponse
B. $2\sqrt{x}$ — $n=-1/2$, $n+1=1/2$ : $\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}=2\sqrt{x}$.
$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$ vaut :
- A. $\pi$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
A. $\pi$ — $u=x,v'=\sin x$ : $[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+[\sin x]_0^{\pi}=\pi$.
Si $\int_a^b f\,dx = \int_a^b g\,dx$, on peut conclure que :
- A. $f=g$ sur $[a,b]$
- B. $f-g$ s'annule sur $[a,b]$
- C. $\int_a^b(f-g)\,dx=0$ mais $f$ peut différer de $g$
- D. $f(a)=g(a)$
Réponse
C. $\int_a^b(f-g)\,dx=0$ mais $f$ peut différer de $g$ — L'égalité des intégrales n'implique pas $f=g$ ; seulement que $\int_a^b(f-g)=0$.
$\int_0^1 \frac{1}{2x+1}\,dx =$
- A. $\ln 3$
- B. $\ln 2$
- C. $\frac{\ln 3}{2}$
- D. $\frac{1}{2}$
Réponse
C. $\frac{\ln 3}{2}$ — Forme $u'/u$ avec $u=2x+1$, $u'=2$ : $\frac{1}{2}[\ln(2x+1)]_0^1=\frac{\ln3}{2}$.
Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F-G$ est :
- A. Nulle
- B. Constante sur $I$
- C. Dérivable mais non constante
- D. Égale à $f$
Réponse
B. Constante sur $I$ — $(F-G)'=f-f=0$, donc $F-G$ est constante sur tout intervalle $I$.
$G(x)=\int_0^{x^2} e^t\,dt$, alors $G'(x)=$
- A. $e^{x^2}$
- B. $2xe^{x^2}$
- C. $2e^{x^2}$
- D. $e^{x^2}-1$
Réponse
B. $2xe^{x^2}$ — Par composition : $G(x)=H(x^2)$ où $H'=e^t$. Donc $G'(x)=H'(x^2)\cdot 2x=2xe^{x^2}$.
L'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-x}\,dx$ (impropre) vaut :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $e$
Réponse
B. $1$ — $[-e^{-x}]_0^{+\infty}=0-(-1)=1$ (limite en $+\infty$ nulle).
Pour $\int_0^1 x^2 e^x\,dx$, une double IPP donne :
- A. $e-2$
- B. $2e-4$
- C. $2$
- D. $e+2$
Réponse
A. $e-2$ — Résultat : $[x^2e^x]_0^1-2\int_0^1xe^x=[e-2\cdot1]=e-2$.
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