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Calcul intégral
Intégrale d’une fonction continue et aire, calcul par une primitive, linéarité, relation de Chasles, positivité et intégration des inégalités, aire entre deux courbes, valeur moyenne, intégration par parties, méthode des rectangles.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Si f est continue et positive sur [a ; b], le nombre ∫ₐᵇ f(x) dx est :
- A. la pente moyenne de la courbe sur [a ; b]
- B. l’aire sous la courbe, en unités d’aire
- C. la plus grande valeur prise par f sur [a ; b]
- D. la longueur de l’arc de courbe de a à b
Réponse
B. l’aire sous la courbe, en unités d’aire — C’est la définition : pour f continue et positive, l’intégrale est l’aire du domaine entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
∫₁² 3 dx est égale à :
- A. 1
- B. 3/2
- C. 6
- D. 3
Réponse
D. 3 — Une primitive de 3 est 3x : 6 − 3 = 3. C’est l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur 3.
Sur un quadrillage, chaque carreau représente 0,5 u.a. Le domaine sous la courbe d’une fonction positive f, entre 0 et 4, recouvre environ 13 carreaux. Une estimation de ∫₀⁴ f(x) dx est :
- A. 6,5
- B. 13
- C. 26
- D. 3,25
Réponse
A. 6,5 — L’intégrale est l’aire du domaine : 13 carreaux × 0,5 u.a. = 6,5 u.a. On multiplie le nombre de carreaux par l’aire d’un carreau.
Pour f continue sur un intervalle contenant a, b et c, l’intégrale de f de a à c plus l’intégrale de f de c à b vaut :
- A. l’intégrale de f de c à a
- B. l’intégrale de f de b à a
- C. l’intégrale de f de a à b
- D. deux fois l’intégrale de f de a à b
Réponse
C. l’intégrale de f de a à b — C’est la relation de Chasles, valable quelle que soit la position de c.
Si a < b et si f est continue et positive sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx est :
- A. strictement négative
- B. toujours égale à zéro
- C. positive ou nulle
- D. de signe imprévisible
Réponse
C. positive ou nulle — Propriété de positivité : f ≥ 0 et a ≤ b entraînent ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0.
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur [a ; b], avec a < b, est :
- A. (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx
- B. (b − a) × ∫ₐᵇ f(x) dx
- C. (f(a) + f(b))/2
- D. (1/(b + a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx
Réponse
A. (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx — On divise l’intégrale par la longueur b − a de l’intervalle.
La formule d’intégration par parties s’écrit ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx =
- A. [uv]ₐᵇ + ∫ₐᵇ u′v dx
- B. ∫ₐᵇ u dx × ∫ₐᵇ v′ dx
- C. [u′v′]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv dx
- D. [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′v dx
Réponse
D. [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′v dx — Elle provient de (uv)′ = u′v + uv′ : ∫ₐᵇ uv′ = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′v, avec un signe moins.
∫₂² (x² + 7) dx est égale à :
- A. 11
- B. 0
- C. 22
- D. 50/3
Réponse
B. 0 — Les deux bornes sont égales : l’intégrale est nulle, quelle que soit la fonction.
∫₀¹ eˣ dx est égale à :
- A. e
- B. 1
- C. e − 1
- D. e + 1
Réponse
C. e − 1 — Une primitive de eˣ est eˣ : e¹ − e⁰ = e − 1.
On pose F(x) = ∫₂ˣ f(t) dt, avec f continue sur ℝ. Alors F(2) vaut :
- A. f(2)
- B. 2
- C. F′(2)
- D. 0
Réponse
D. 0 — F(2) = ∫₂² f(t) dt = 0 : F est la primitive de f qui s’annule en 2.
Si f est continue et négative sur [a ; b], avec a < b, alors ∫ₐᵇ f(x) dx est :
- A. l’aire du domaine, en u.a.
- B. l’opposé de l’aire du domaine
- C. nulle dans tous les cas
- D. l’inverse de l’aire du domaine
Réponse
B. l’opposé de l’aire du domaine — Pour f ≤ 0, l’intégrale compte négativement l’aire située sous l’axe : elle vaut l’opposé de l’aire.
Pour la méthode des rectangles sur [1 ; 3] avec n = 8 rectangles, la largeur h vaut :
- A. 0,5
- B. 0,125
- C. 0,375
- D. 0,25
Réponse
D. 0,25 — h = (b − a)/n = (3 − 1)/8 = 0,25.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
∫₀² (x³ − x) dx vaut :
- A. 0
- B. 4
- C. 2
- D. 3/2
Réponse
C. 2 — Une primitive est x⁴/4 − x²/2, qui vaut 4 − 2 = 2 en 2 et 0 en 0 : l’intégrale vaut 2.
L’intégrale de 1/x entre 1 et e³ vaut :
- A. 3
- B. e³
- C. e³ − 1
- D. 1/3
Réponse
A. 3 — Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln x : ln(e³) − ln 1 = 3.
∫₋₁³ x² dx vaut :
- A. 26/3
- B. −26/3
- C. 8/3
- D. 28/3
Réponse
D. 28/3 — Une primitive est x³/3 : 9 − (−1/3) = 28/3. Attention au signe de (−1)³.
La valeur moyenne de x ↦ 6x² sur [0 ; 3] est :
- A. 54
- B. 18
- C. 27
- D. 9/2
Réponse
B. 18 — Une primitive est 2x³, donc ∫₀³ 6x² dx = 54, puis 54/3 = 18.
On sait que ∫₀¹ f(x) dx = 7 et ∫₀¹ g(x) dx = −2. Alors ∫₀¹ (2f(x) + 5g(x)) dx =
- A. 4
- B. 24
- C. −4
- D. 7/2
Réponse
A. 4 — Par linéarité : 2 × 7 + 5 × (−2) = 14 − 10 = 4.
L’aire, en u.a., du domaine compris entre les courbes de x ↦ x et x ↦ x³ sur [0 ; 1] vaut :
- A. 1/2
- B. 3/4
- C. −1/4
- D. 1/4
Réponse
D. 1/4 — Sur [0 ; 1], x³ ≤ x : l’aire vaut ∫₀¹ (x − x³) dx = 1/2 − 1/4 = 1/4.
Par parties, l’intégrale de x cos x entre 0 et π/2 vaut :
- A. π/2
- B. π/2 − 1
- C. π/2 + 1
- D. π²/8 − 1
Réponse
B. π/2 − 1 — u = x, v′ = cos x : le crochet x sin x vaut π/2, moins l’intégrale de sin x (qui vaut 1) : π/2 − 1.
Pour x ∈ [0 ; 2], 1 ≤ √(1 + x³) ≤ 3. On en déduit que ∫₀² √(1 + x³) dx appartient à :
- A. [1 ; 3]
- B. [0 ; 2]
- C. [2 ; 6]
- D. [1/2 ; 3/2]
Réponse
C. [2 ; 6] — On intègre l’encadrement sur un intervalle de longueur 2 : 2 × 1 ≤ I ≤ 2 × 3.
∫₋₁¹ x⁵ dx vaut :
- A. 1/3
- B. 0
- C. 2
- D. 1/6
Réponse
B. 0 — Une primitive est x⁶/6 : 1/6 − 1/6 = 0. Les aires au-dessus et au-dessous de l’axe se compensent.
F(x) = ∫₀ˣ cos(t²) dt. Alors F′(x) =
- A. cos(t²)
- B. sin(x²)
- C. −2x sin(x²)
- D. cos(x²)
Réponse
D. cos(x²) — t ↦ cos(t²) est continue sur ℝ, et F en est la primitive nulle en 0 : F′(x) = cos(x²). La lettre t disparaît.
La somme à gauche s₂ de x ↦ x³ sur [0 ; 2] (deux rectangles) vaut :
- A. 1
- B. 4
- C. 9
- D. 0
Réponse
A. 1 — h = 1 ; s₂ = 1 × (0³ + 1³) = 1. La somme à droite vaudrait 1³ + 2³ = 9.
L’intégrale de 2e²ˣ entre 0 et ln 5 vaut :
- A. 25
- B. 24
- C. 2 ln 5
- D. e¹⁰ − 1
Réponse
B. 24 — Une primitive de 2e²ˣ est e²ˣ, qui vaut 25 en ln 5 et 1 en 0 : 25 − 1 = 24.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Une fonction f, continue sur [a ; b] avec a < b, vérifie ∫ₐᵇ f(x) dx = 0. Alors :
- A. f est forcément la fonction nulle sur [a ; b]
- B. f est positive sur [a ; b]
- C. on a nécessairement a = b
- D. f peut prendre des valeurs non nulles
Réponse
D. f peut prendre des valeurs non nulles — Contre-exemple : ∫₋₁¹ x dx = 0 alors que x ↦ x n’est pas nulle ; les aires positive et négative se compensent.
L’aire du domaine limité par la courbe de x ↦ x, l’axe des abscisses et les droites x = −2 et x = 1 vaut :
- A. −3/2
- B. 5/2
- C. 3/2
- D. 1/2
Réponse
B. 5/2 — L’intégrale vaut −3/2, mais l’aire additionne les deux triangles : 2 + 1/2 = 5/2 u.a.
Pour x > 0, on pose F(x) = ∫₁ˣ ln t dt. Alors F′(x) =
- A. 1/x
- B. x ln x − x
- C. ln x
- D. 1/x − 1
Réponse
C. ln x — ln est continue sur ]0 ; +∞[, et F en est la primitive nulle en 1 : F′(x) = ln x.
f et g sont continues, b < a et f ≤ g sur [b ; a]. Que dire des intégrales de f et de g de a à b (bornes dans cet ordre) ?
- A. celle de f est supérieure ou égale
- B. celle de g est supérieure ou égale
- C. elles sont toujours égales
- D. on ne peut pas les comparer
Réponse
A. celle de f est supérieure ou égale — De b à a (bon sens), l’intégrale de f est inférieure à celle de g ; échanger les bornes change les signes et inverse l’inégalité.
La valeur moyenne de x ↦ x² sur [0 ; 6] est :
- A. f(3) = 9
- B. 12
- C. 18
- D. 72
Réponse
B. 12 — (1/6) × ∫₀⁶ x² dx = (1/6) × 72 = 12 : ce n’est ni l’image du milieu (9), ni la moyenne des images aux bornes (18).
Pour calculer ∫₁² x³ ln x dx par parties, le choix efficace est :
- A. u = x³ et v′ = ln x
- B. u = x⁴ et v′ = 1/x
- C. u = ln x et v′ = x³
- D. u = x³ ln x et v′ = 1
Réponse
C. u = ln x et v′ = x³ — On dérive ln x (dérivée 1/x) et on primitive x³ en x⁴/4 : il reste l’intégrale de x³/4, immédiate.
Pour tout entier n, on pose Wₙ = ∫₀¹ xⁿ cos x dx. La suite (Wₙ) :
- A. est décroissante
- B. est croissante
- C. est constante
- D. n’est pas monotone
Réponse
A. est décroissante — Sur [0 ; 1], cos x > 0 (car 1 < π/2) et xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ : on intègre, Wₙ₊₁ ≤ Wₙ.
f est décroissante sur [a ; b]. La somme des rectangles à gauche fournit :
- A. la valeur exacte de l’intégrale
- B. une valeur par défaut de l’intégrale
- C. une valeur toujours nulle
- D. une valeur par excès de l’intégrale
Réponse
D. une valeur par excès de l’intégrale — f décroissante : sur chaque intervalle, la valeur à gauche est la plus grande, donc les rectangles débordent au-dessus de la courbe.
L’intégrale de sin x entre 0 et 2π vaut 0. L’aire du domaine entre la courbe de sin et l’axe des abscisses, sur [0 ; 2π], vaut :
- A. 0
- B. 2
- C. 2π
- D. 4
Réponse
D. 4 — sin ≥ 0 sur [0 ; π] et sin ≤ 0 sur [π ; 2π] : on découpe ; la première intégrale vaut 2, la seconde −2. L’aire vaut 2 + 2 = 4 u.a.
Pour tout n ∈ ℕ, ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1). Quand n tend vers +∞, cette intégrale :
- A. tend vers 1
- B. tend vers 0
- C. tend vers +∞
- D. n’a pas de limite
Réponse
B. tend vers 0 — 1/(n + 1) tend vers 0. Graphiquement, la courbe de x ↦ xⁿ s’écrase sur l’axe des abscisses, sauf près de 1.
f est croissante sur [0 ; 4] avec f(0) = 2 et f(4) = 10. Avec n rectangles, l’écart Sₙ − sₙ vaut :
- A. 8/n
- B. 32/n
- C. 4/n
- D. 12/n
Réponse
B. 32/n — h = 4/n et f(4) − f(0) = 8 : l’écart vaut h × 8 = 32/n.
Une fonction f, continue sur [0 ; 3], vérifie ∫₀³ f(x) dx = 6. On peut affirmer que :
- A. f(x) = 2 pour tout x de [0 ; 3]
- B. f prend la valeur 6 sur [0 ; 3]
- C. la valeur moyenne de f est 2
- D. f est positive sur [0 ; 3]
Réponse
C. la valeur moyenne de f est 2 — μ = (1/3) × 6 = 2. Rien n’oblige f à être constante ni positive : une partie négative peut être compensée.
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