Calcul intégral

1. a)Une primitive de $x\mapsto x^3-3x+2$ sur $ℝ$ est $F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x$. Donc ${\int }_0^3(x^3-3x+2)dx=F(3)-F(0)$ $={\displaystyle \frac{81}{4}}-{\displaystyle \frac{27}{2}}+6-0$ $={\displaystyle \frac{81-54+24}{4}}={\displaystyle \frac{51}{4}}$. Sur $[2;6]$, $x>0$ et une primitive de ${\displaystyle \frac{3}{x}}$ est $3\ln x$. Donc ${\int }_2^6{\displaystyle \frac{3}{x}}dx=[3\ln x{]}_2^6$ $=3(\ln 6-\ln 2)=3\ln {\displaystyle \frac{6}{2}}=3\ln 3$ : $k=3$. (1)
2. b)Une primitive de $e^{2x}$ est ${\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}$ (forme ${\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime e^u$ avec $u(x)=2x$). Donc ${\int }_0^1{e}^{2x}dx={\left[{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}$. Avec $u(x)=x^2+1$, $u\prime (x)=2x$ : $x(x^2+1{)}^3={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime (x)u(x{)}^3$, de primitive ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{u^4}{4}}={\displaystyle \frac{(x^2+1{)}^4}{8}}$. Donc ${\int }_0^{1}x(x^2+1{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{2^4-1^4}{8}}={\displaystyle \frac{15}{8}}$. (1)
3. c)On pose $u(x)=\ln x$ et $v\prime (x)=x^{-3}$, d’où $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $v(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}$ ; $u\prime$ et $v\prime$ sont continues sur $[1;e]$. Par intégration par parties : ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{\ln x}{x^3}}dx$ $={[-{\displaystyle \frac{\ln x}{2x^2}}]}_1^e+{\int }_1^e{\displaystyle \frac{1}{2x^3}}dx$. Le crochet vaut $-{\displaystyle \frac{1}{2e^2}}-0$ ; et ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{dx}{2x^3}}={[-{\displaystyle \frac{1}{4x^2}}]}_1^e={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4e^2}}$. Total : ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4e^2}}\approx 0,148$. (1)
4. d)Première raison : $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ n’est pas définie en $0$, qui appartient à $[-1;1]$ ; elle n’est donc pas continue sur cet intervalle et la formule $F(b)-F(a)$ ne s’applique pas. Seconde raison : la fonction est positive et les bornes sont dans l’ordre croissant ; si l’intégrale existait, elle serait positive (positivité), pas égale à $-2$. (1)

Repère — Avant tout calcul : la fonction est-elle continue sur tout l’intervalle ? Un résultat de signe impossible signale l’erreur.

1. a)$f(x)=g(x)⟺4-x^2=2x+1$ $⟺x^2+2x-3=0$ $⟺(x-1)(x+3)=0$. Les abscisses sont $-3$ et $1$. Ensuite, $f(x)-g(x)=-x^2-2x+3=-(x-1)(x+3)$. Sur $[-3;1]$, $x-1⩽0$ et $x+3⩾0$, donc $f(x)-g(x)⩾0$ : ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$. (1)
2. b)Comme $f⩾g$ sur $[-3;1]$ : $𝒜={\int }_{-3}^1(3-2x-x^2)dx$ $={[3x-x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-3}^1$. En $1$ : $3-1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ ; en $-3$ : $-9-9+9=-9$. Donc $𝒜={\displaystyle \frac{5}{3}}+9={\displaystyle \frac{32}{3}}$ u.a. (1)
3. c)$1$ u.a. est l’aire d’un rectangle de $1$ cm sur $2$ cm, soit $2$ cm². Donc $𝒜={\displaystyle \frac{32}{3}}\times 2={\displaystyle \frac{64}{3}}\approx 21,3$ cm². (1)
4. d)$\mu ={\displaystyle \frac{1}{2-0}}{\int }_0^2(4-x^2)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^2$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})={\displaystyle \frac{8}{3}}$. Contrôle : $f$ décroît de $4$ à $0$ sur $[0;2]$ et $0⩽{\displaystyle \frac{8}{3}}⩽4$. (1)
5. e)$4-c^2={\displaystyle \frac{8}{3}}⟺c^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Avec $c⩾0$ : $c={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\approx 1,155$, qui appartient bien à $[0;2]$. (1)

Repère — L’aire entre deux courbes commence toujours par le signe de f − g : il dit quelle courbe est au-dessus et entre quelles bornes intégrer.

1. a)Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ : $K_0=[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}+1=1-{\displaystyle \frac{1}{e}}$. (1)
2. b)On pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v\prime (x)=e^{-x}$, d’où $u\prime (x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=-e^{-x}$ ; $u\prime$ et $v\prime$ sont continues sur $[0;1]$. Par intégration par parties : $K_{n+1}=[-x^{n+1}{e}^{-x}{]}_0^1$ $+(n+1){\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}dx$. Le crochet vaut $-e^{-1}-0=-{\displaystyle \frac{1}{e}}$, donc $K_{n+1}=(n+1)K_n-{\displaystyle \frac{1}{e}}$. (1)
3. c)Avec $n=0$ : $K_1=K_0-{\displaystyle \frac{1}{e}}=1-{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx 0,264$. Avec $n=1$ : $K_2=2K_1-{\displaystyle \frac{1}{e}}=2-{\displaystyle \frac{4}{e}}-{\displaystyle \frac{1}{e}}=2-{\displaystyle \frac{5}{e}}\approx 0,161$. (1)
4. d)Pour $x\in [0;1]$, $x^{n+1}=x\times x^n⩽x^n$ (car $0⩽x⩽1$ et $x^n⩾0$) et $e^{-x}>0$, donc $x^{n+1}{e}^{-x}⩽x^n{e}^{-x}$. Les fonctions sont continues et $0⩽1$ : par intégration des inégalités, $K_{n+1}⩽K_n$. La suite $(K_n)$ est décroissante. (1)
5. e)Pour $x\in [0;1]$, $-1⩽-x⩽0$ et l’exponentielle est croissante : ${\displaystyle \frac{1}{e}}⩽e^{-x}⩽1$. On multiplie par $x^n⩾0$ : ${\displaystyle \frac{x^n}{e}}⩽x^n{e}^{-x}⩽x^n$. On intègre sur $[0;1]$, avec ${\int }_0^1{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{e(n+1)}}⩽K_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ ; d’après le théorème des gendarmes, $lim{K}_n=0$. (1)
6. f)D’après la question 2, $(n+1)K_n=K_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{e}}$, et $K_{n+1}\to 0$ (question 5) : $(n+1)K_n\to {\displaystyle \frac{1}{e}}$. Or $n{K}_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}\times (n+1)K_n$ et ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}\to 1$. Par produit, $limn{K}_n={\displaystyle \frac{1}{e}}$. (1)

Repère — Suite d’intégrales : monotonie en comparant les fonctions intégrées, limite en encadrant, relation de récurrence par parties.

1. a)$f$ est continue sur $]0;+\infty [$ (quotient de fonctions continues, dénominateur non nul). D’après le cours, $F$ est la primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$ qui s’annule en $1$ : $F$ est dérivable, $F\prime (x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}>0$, donc $F$ est strictement croissante, et $F(1)={\int }_1^{1}f(t)dt=0$. (1)
2. b)$f$ est dérivable sur $[1;2]$ et $f\prime (t)={\displaystyle \frac{e^t\times t-e^t\times 1}{t^2}}={\displaystyle \frac{e^t(t-1)}{t^2}}⩾0$ sur $[1;2]$ : $f$ est croissante. Donc, pour $t\in [1;2]$, $f(1)⩽f(t)⩽f(2)$, soit $e⩽f(t)⩽{\displaystyle \frac{e^2}{2}}$. Par intégration des inégalités sur $[1;2]$ (longueur $1$) : $e⩽F(2)⩽{\displaystyle \frac{e^2}{2}}$. (1)
3. c)$h=0,5$ ; $f(1)\approx 2,7183$, $f(1,5)\approx 2,9878$, $f(2)\approx 3,6945$. $s_2=0,5(f(1)+f(1,5))\approx 2,853$ et $S_2=0,5(f(1,5)+f(2))\approx 3,341$. Comme $f$ est croissante sur $[1;2]$, $s_2⩽F(2)⩽S_2$ : $2,853⩽F(2)⩽3,342$ (minorant arrondi par défaut, majorant par excès), un encadrement plus fin que celui de la question 2. (1)
4. d)

   from math import exp
   def gauche(n):
       h = 1 / n
       s = 0
       for k in range(n):
           x = 1 + k*h
           s += h * exp(x) / x
       return s

   La boucle prend $k=0,1,\dots ,n-1$ : les bords gauches $x_k=1+kh$, sans $x_n=2$. (1)
5. e)Avec $h={\displaystyle \frac{1}{n}}$ : $S_n-s_n=h(f(x_1)+\cdots +f(x_n))$ $-h(f(x_0)+\cdots +f(x_{n-1}))$. Les termes de $f(x_1)$ à $f(x_{n-1})$ se simplifient : $S_n-s_n=h(f(2)-f(1))$ $={\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{e^2}{2}}-e)\approx {\displaystyle \frac{0,9762}{n}}$. Puis ${\displaystyle \frac{0,9762\dots }{n}}⩽0,01⟺n⩾97,62\dots$ : le plus petit entier est $n=98$. (1)

Repère — Une fonction définie par une intégrale se dérive sans être calculée ; les rectangles l’encadrent, d’autant mieux que n est grand.