Intégration

Exercice 1 — Primitives et primitive particulière
Corrigé :
1. $f(x)=4x^3-6x+x^{-2}$ → $F(x)=x^4-3x^2-x^{-1}+c = x^4-3x^2-\frac{1}{x}+c$. (1 pt)
2. $g(x)=\frac{2x+1}{x(x+1)}$. On remarque $u=x^2+x$, $u'=2x+1$ : forme $u'/u$. Donc $G(x)=\ln(x^2+x)+c$. $G(1)=\ln 2+c=0 \Rightarrow c=-\ln2$. $G(x)=\ln(x^2+x)-\ln2=\ln\frac{x^2+x}{2}$. (2 pts)
3. $u=5x-2$, $u'=5$, forme $u'u^n$ : $H(x)=\frac{(5x-2)^4}{4\times5}=\frac{(5x-2)^4}{20}$. (1 pt)

Exercice 2 — Calcul d'intégrales
Corrigé :
$I_1=[x^3/3-x^2/2]_{-1}^{2}=(8/3-2)-(-1/3-1/2)=(2/3)-(-5/6)=3/2$. (1,5 pts)
$I_2=[-\cos x+\sin x]_0^{\pi/2}=(0+1)-(−1+0)=2$. (1 pt)
$I_3$ : $u=x^2+1$, $u'=2x$, forme $u'/u$. $I_3=\frac{1}{2}[\ln(x^2+1)]_0^1=\frac{\ln2}{2}$. (1,5 pts)
Par Chasles : $\int_0^2=\int_0^4-\int_2^4=10-3=7$. (1 pt)

Exercice 3 — Calcul d'aires
Corrigé :
Intersection : $x^2+1=2x \Leftrightarrow x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0$. Unique point $x=1$, $y=2$. (1 pt)
Les courbes ne se coupent qu'en un point : $g(x)-f(x)=-(x-1)^2\leq0$ partout. Il n'y a donc pas de région délimitée au sens strict (les courbes sont tangentes). (2 pts — accepter toute justification correcte)
Aire sur $[0,2]$ : $\int_0^2|-(x-1)^2|\,dx=\int_0^2(x-1)^2\,dx=[(x-1)^3/3]_0^2=1/3+1/3=2/3$ u.a. (2 pts)

Exercice 4 — Valeur moyenne
Corrigé :
$\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 e^x\,dx=\frac{1}{2}[e^x]_0^2=\frac{e^2-1}{2}\approx3{,}19$. (1,5 pts)
Par le théorème de la valeur moyenne : $f$ est continue sur $[0,2]$, donc il existe $c\in[0,2]$ tel que $e^c=\frac{e^2-1}{2}$, soit $c=\ln\frac{e^2-1}{2}\approx\ln(3{,}19)\approx1{,}16$. (1,5 pts)

Exercice 5 — Intégration par parties
Corrigé :
$u=\ln x \Rightarrow u'=1/x$ ; $v'=x \Rightarrow v=x^2/2$.
$J=\Big[\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2}-0 - \int_1^e\frac{x}{2}\,dx$.
$\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\Big[\frac{x^2}{4}\Big]_1^e=\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4}$.
$J=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$. (3 pts)