Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Formulaire : fonction logarithme népérien

La fonction ln, réciproque de l’exponentielle : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, variations et limites, croissances comparées, fonctions ln(u).

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Fonction logarithme népérien

Fiche tableaux : ce qu’il faut connaître

(Spécialité maths Terminale)

Définition et valeurs

Résultat	Condition
$\ln a = b ⟺ a = e^{b}$	$a > 0$ , $b$ réel
$e^{\ln x} = x$	$x > 0$
$\ln (e^{x}) = x$	$x$ réel
$\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$	—
courbes de ln et exp symétriques par rapport à $y = x$	repère orthonormé

Exemples : $\ln (e^{0, 3}) = 0, 3$ ; $e^{\ln 9} = 9$ ; $\ln x = 4 ⟺ x = e^{4}$ .

Propriétés algébriques ( $a > 0$ , $b > 0$ , $n$ entier relatif)

Produit	Inverse	Quotient	Puissance	Racine
$\ln (a b) = \ln a + \ln b$	$\ln \frac{1}{b} = - \ln b$	$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$	$\ln (a^{n}) = n \ln a$	$\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$

Exemples : $\ln 40 = 3 \ln 2 + \ln 5$ ; $\ln \frac{e^{3}}{2} = 3 - \ln 2$ . Aucune formule pour $\ln (a + b)$ .

Équations et inéquations

Écriture	Équivaut à	Condition
$\ln a = \ln b$	$a = b$	$a > 0$ , $b > 0$
$\ln a < \ln b$	$a < b$	$a > 0$ , $b > 0$
$e^{a} < e^{b}$	$a < b$	$a$ , $b$ réels
$\ln x < k$	$0 < x < e^{k}$	$k$ réel
$e^{x} < k$	$x < \ln k$	$k > 0$
$q^{n} < a$	$n > \frac{\ln a}{\ln q}$	$0 < q < 1$ , $a > 0$ (sens changé)
$q^{n} > a$	$n > \frac{\ln a}{\ln q}$	$q > 1$ , $a > 0$

Exemples : $\ln (x - 1) < 2$ $⟺ 1 < x < 1 + e^{2}$ ; $0, 95^{n} < 0, 5$ $⟺ n > \frac{\ln 0, 5}{\ln 0, 95} \approx 13, 5$ , soit $n ⩾ 14$ .

Signe, variations, tangentes

$x$	$0$		$1$		$e$		$+ \infty$
signe de $\ln x$	\|\|	$-$	$0$	$+$		$+$
variations de $\ln$	$- \infty$	↗	$0$	↗	$1$	↗	$+ \infty$

Tangentes : $y = x - 1$ en $1$ , $y = \frac{x}{e}$ en $e$ . Inégalité : $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ . Exemple : $\ln 0, 8 < 0 < \ln 1, 2$ .

Limites et croissances comparées

En $0^{+}$	En $+ \infty$
$\ln x \to - \infty$	$\ln x \to + \infty$
$x \ln x \to 0$	$\frac{\ln x}{x} \to 0$
$x^{n} \ln x \to 0$ ( $n ⩾ 1$ )	$\frac{\ln x}{x^{n}} \to 0$ ( $n ⩾ 1$ )
$\frac{\ln x}{x} \to - \infty$ (pas de FI)	$x - \ln x \to + \infty$

Exemples : $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} = 0$ ; $lim_{x \to 0^{+}} (x^{3} \ln x - 4) = - 4$ .

Dérivées

Fonction	Dérivée	Où
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$
$\ln (a x + b)$	$\frac{a}{a x + b}$	là où $a x + b > 0$
$\ln u$	$\frac{u'}{u}$	là où $u > 0$

Exemples : $(3 \ln x - x)^{'} = \frac{3}{x} - 1$ ; $(\ln (x^{2} + 7))^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 7}$ sur $ℝ$ .

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

1 / 1

À propos de cette page

La fiche de révision du logarithme népérien en tableaux, pour le bac de spécialité maths : définition et valeurs, propriétés algébriques (produit, inverse, quotient, puissance, racine), équivalences pour les équations, inéquations et seuils, signe et variations de ln avec ses tangentes, limites et croissances comparées, dérivées de ln x et de ln(u). Chaque tableau est suivi d’exemples courts ; la fiche se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs