Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Formulaire : équations différentielles

Équation différentielle et solution, y′ = f et primitives, y′ = ay, y′ = ay + b avec condition initiale, second membre non constant, modélisation et méthode d’Euler.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Équations différentielles

Fiche tableaux : les solutions à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Les solutions selon la forme de l’équation

Équation	Solutions	Partie particulière
$y' = f$ , $f$ continue sur $I$	$x \mapsto F (x) + C$	$F$ : une primitive de $f$
$y' = a y$	$x \mapsto C e^{a x}$	aucune
$y' = a y + b$ , $a \neq 0$	$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$	solution constante : $0 = a c + b$
$y' = b$ (cas $a = 0$ )	$x \mapsto b x + C$	primitive de la constante $b$
$y' = a y + f (x)$	$x \mapsto g (x) + C e^{a x}$	$g$ donnée, ou trouvée par identification

Exemple : $y' = - 4 y + 2$ : $0 = - 4 c + 2$ donne $c = 0, 5$ ; solutions $x \mapsto C e^{- 4 x} + 0, 5$ , $C \in ℝ$ .

La constante C et la condition initiale

Condition (solutions $C e^{a x} + c$ )	Valeur de $C$
$y (0) = y_{0}$	$C = y_{0} - c$
$y (x_{0}) = y_{0}$	$C = (y_{0} - c) e^{- a x_{0}}$
$y (x_{0}) = c$	$C = 0$ : c’est la solution constante

Exemple : $y' = y + 1$ et $y (0) = 2$ : $c = - 1$ , $C = 2 - (- 1) = 3$ , donc $f (x) = 3 e^{x} - 1$ .

Comportement des solutions Ce^(ax) + c

	$C > 0$	$C < 0$	$C = 0$
$a < 0$	décroissante, tend vers $c$ en $+ \infty$	croissante, tend vers $c$ en $+ \infty$	constante égale à $c$
$a > 0$	croissante, tend vers $+ \infty$	décroissante, tend vers $- \infty$	constante égale à $c$

Le sens de variation vient de $f' (x) = a C e^{a x}$ , du signe de $a C$ . Exemple : $f (x) = 6 - 2 e^{- 0, 3 x}$ : $a < 0$ et $C = - 2 < 0$ , donc $f$ est croissante et tend vers $6$ .

Méthode d’Euler

Étape	Formule
départ	$x_{0}$ et $y_{0} = y (x_{0})$ , pas $h > 0$
abscisse suivante	$x_{n + 1} = x_{n} + h$
ordonnée suivante	$y_{n + 1} = y_{n} + h \times (a y_{n} + b)$
en Python	`y = y + h * (a * y + b)` dans une boucle `for`

Exemple : $y' = 2 y$ , $y (0) = 1$ , $h = 0, 25$ : $y_{1} = 1 + 0, 25 \times 2 = 1, 5$ , puis $y_{2} = 1, 5 + 0, 25 \times 3 = 2, 25$ .

Modèles classiques

Situation	Équation	Valeur d’équilibre
croissance ou désintégration proportionnelle	$N' = k N$	$0$
refroidissement (loi de Newton)	$T' = - k (T - θ)$	$θ$ , la température ambiante
chute avec frottement	$v' = g - k v$	$\frac{g}{k}$ , la vitesse limite

Exemple : $T' = - 0, 2 (T - 18)$ s’écrit $T' = - 0, 2 T + 3, 6$ ; la température tend vers $18$ °C.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

1 / 1

À propos de cette page

La fiche de révision des équations différentielles en tableaux, pour le bac de spécialité maths : solutions de y′ = f, y′ = ay, y′ = ay + b et y′ = ay + f, valeur de la constante C selon la condition initiale, comportement des solutions selon les signes de a et de C, méthode d’Euler et modèles classiques (désintégration, refroidissement, chute). Chaque tableau est suivi d’un exemple ; la fiche se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs