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Équations différentielles
Équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b — définition, solutions, conditions initiales — programme de Spécialité Maths Terminale
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est la solution générale de $y' = 4y$ ?
- A. $y = Ce^{4x}$
- B. $y = 4Cx$
- C. $y = Ce^x + 4$
- D. $y = x^4 + C$
Réponse
A. $y = Ce^{4x}$ — La forme $y' = ay$ donne $y = Ce^{ax}$, ici $a = 4$.
La solution générale de $y' = -y$ est :
- A. $y = Ce^x$
- B. $y = Ce^{-x}$
- C. $y = -Cx$
- D. $y = C + x$
Réponse
B. $y = Ce^{-x}$ — $a = -1$, donc $y = Ce^{-x}$.
Quelle est la valeur de $C$ pour que $y = Ce^{3x}$ vérifie $y(0) = 7$ ?
- A. $C = 7$
- B. $C = 0$
- C. $C = 3$
- D. $C = -7$
Réponse
A. $C = 7$ — $y(0) = C e^0 = C = 7$.
L'inconnue d'une équation différentielle est :
- A. Un nombre réel
- B. Une fonction
- C. Un vecteur
- D. Un polynôme
Réponse
B. Une fonction — L'inconnue d'une équation différentielle est une fonction, pas un nombre.
Quelle est la solution particulière constante de $y' = 2y + 4$ ?
- A. $y = -2$
- B. $y = 2$
- C. $y = 4$
- D. $y = -4$
Réponse
A. $y = -2$ — $0 = 2y_p + 4$, donc $y_p = -2$.
La fonction $f(x) = 3e^{-2x}$ est solution de :
- A. $y' = 2y$
- B. $y' = -2y$
- C. $y' = -3y$
- D. $y' = 3y$
Réponse
B. $y' = -2y$ — $f'(x) = -6e^{-2x} = -2 \times 3e^{-2x} = -2f(x)$, donc $y' = -2y$.
Combien de solutions possède l'équation $y' = 5y$ ?
- A. Une seule
- B. Deux
- C. Une infinité
- D. Aucune
Réponse
C. Une infinité — Il y a une infinité de solutions $y = Ce^{5x}$, une pour chaque valeur de $C \in \mathbb{R}$.
La condition initiale $y(0) = 0$ appliquée à $y = Ce^{2x}$ donne :
- A. $C = 2$
- B. $C = 0$
- C. $C = 1$
- D. $C = -1$
Réponse
B. $C = 0$ — $y(0) = C = 0$ : la seule solution vérifiant $y(0) = 0$ est la fonction nulle.
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est solution de $y' = -3y$ ?
- A. $e^{3x}$
- B. $3e^x$
- C. $e^{-3x}$
- D. $-3e^x$
Réponse
C. $e^{-3x}$ — $(e^{-3x})' = -3e^{-3x} = -3 \times e^{-3x}$ ✓.
La solution générale de $y' = 0$ est :
- A. $y = 0$
- B. $y = Ce^x$
- C. $y = C$ (constante)
- D. $y = x + C$
Réponse
C. $y = C$ (constante) — $y' = 0$ signifie que $y$ est une constante $y = C$.
Pour $y' = ay$ avec $a \lt 0$ et $C \gt 0$, la solution est :
- A. Croissante
- B. Décroissante
- C. Constante
- D. Alternativement croissante et décroissante
Réponse
B. Décroissante — Si $a \lt 0$, $e^{ax} \to 0$, donc $y = Ce^{ax}$ est décroissante (et tend vers 0).
La fonction nulle ($y = 0$) est-elle solution de $y' = ay$ ?
- A. Non, jamais
- B. Oui, toujours
- C. Seulement si $a = 0$
- D. Seulement si $a = 1$
Réponse
B. Oui, toujours — $y = 0$ correspond à $C = 0$ dans $y = Ce^{ax}$ : c'est toujours une solution.
Niveau moyen — 12 questions
La solution de $y' = 3y - 9$ avec $y(0) = 5$ est :
- A. $y = 2e^{3x} + 3$
- B. $y = 5e^{3x} - 3$
- C. $y = 2e^{3x} - 3$
- D. $y = 5e^{3x} + 3$
Réponse
A. $y = 2e^{3x} + 3$ — $y_p = 3$ ; $y = Ce^{3x} + 3$ ; $y(0) = C + 3 = 5 \Rightarrow C = 2$.
Quelle est la limite de $y = -4e^{-2x} + 3$ quand $x \to +\infty$ ?
- A. $-4$
- B. $+\infty$
- C. $0$
- D. $3$
Réponse
D. $3$ — $e^{-2x} \to 0$ donc $y \to 3$.
Résoudre $y' = -y + 5$ avec $y(0) = 2$. La solution est :
- A. $y = 3e^{-x} + 5$
- B. $y = -3e^{-x} + 5$
- C. $y = 2e^{-x} + 5$
- D. $y = 2e^{x} + 5$
Réponse
B. $y = -3e^{-x} + 5$ — $y_p = 5$ ; $y(0) = C + 5 = 2 \Rightarrow C = -3$.
Pour $y' = -2y + 6$, la solution particulière constante est :
- A. $y = -3$
- B. $y = 3$
- C. $y = 6$
- D. $y = 2$
Réponse
B. $y = 3$ — $0 = -2y_p + 6 \Rightarrow y_p = 3$.
La solution générale de $y' + 5y = 10$ est :
- A. $y = Ce^{5x} + 2$
- B. $y = Ce^{-5x} + 2$
- C. $y = Ce^{-5x} - 2$
- D. $y = Ce^{5x} - 2$
Réponse
B. $y = Ce^{-5x} + 2$ — $y' = -5y + 10$ ; $y_p = 2$ ; $y = Ce^{-5x} + 2$.
Une population $P$ vérifie $P' = 0{,}2P$ et $P(0) = 1000$. Quelle est $P(10)$ (environ) ?
- A. $1200$
- B. $7389$
- C. $2718$
- D. $1000$
Réponse
B. $7389$ — $P(10) = 1000e^{2} \approx 7389$.
La droite $y = 5$ est asymptote horizontale des solutions de quelle équation ?
- A. $y' = y - 5$
- B. $y' = -y + 5$
- C. $y' = 5y$
- D. $y' = y + 5$
Réponse
B. $y' = -y + 5$ — $y' = -y + 5$ a $y_p = 5$ et $a = -1 \lt 0$, donc $y \to 5$ quand $x \to +\infty$.
Quelle condition sur $y(0)$ fait que la solution de $y' = -y + 4$ est croissante en $x = 0$ ?
- A. $y(0) \gt 4$
- B. $y(0) \lt 4$
- C. $y(0) = 4$
- D. $y(0) = 0$
Réponse
B. $y(0) \lt 4$ — $y'(0) = -y(0) + 4 \gt 0 \Leftrightarrow y(0) \lt 4$.
Pour quelle valeur de $y(0)$ la solution de $y' = 2y - 4$ est-elle constante ?
- A. $y(0) = -2$
- B. $y(0) = 2$
- C. $y(0) = 4$
- D. $y(0) = 0$
Réponse
B. $y(0) = 2$ — $y_p = 2$ : si $y(0) = 2$, alors $C = 0$ et $y = 2$ constante.
Résoudre $y' = -4y$ avec $y(0) = 3$ donne :
- A. $y = 3e^{4x}$
- B. $y = -3e^{-4x}$
- C. $y = 3e^{-4x}$
- D. $y = 4e^{-3x}$
Réponse
C. $y = 3e^{-4x}$ — $y = Ce^{-4x}$ ; $y(0) = C = 3$.
La solution de $y' = 2y$ telle que $y(1) = e^2$ est :
- A. $y = e^{2x}$
- B. $y = e^{2x-2}$
- C. $y = 2e^{2x}$
- D. $y = e^{2x+2}$
Réponse
A. $y = e^{2x}$ — $y = Ce^{2x}$ ; $y(1) = Ce^2 = e^2 \Rightarrow C = 1$, donc $y = e^{2x}$.
L'équation $y' = ay + b$ avec $a \gt 0$ : les solutions avec $C \gt 0$ sont :
- A. Bornées
- B. Divergent vers $+\infty$
- C. Convergent vers $-b/a$
- D. Périodiques
Réponse
B. Divergent vers $+\infty$ — Si $a \gt 0$, $e^{ax} \to +\infty$ et le terme $Ce^{ax}$ (avec $C \gt 0$) domine : la solution diverge.
Niveau difficile — 12 questions
Soit $f$ solution de $y' = -3y + k$ avec $f(0) = 2$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$. Trouver $k$.
- A. $k = 8$
- B. $k = 12$
- C. $k = 6$
- D. $k = 4$
Réponse
B. $k = 12$ — La limite en $+\infty$ est $y_p = k/3 = 4$, donc $k = 12$.
Deux solutions $f$ et $g$ de $y' = ay$ (même $a$) vérifient $f(0) = 3$ et $g(0) = 5$. Que vaut $f(x) + g(x)$ ?
- A. $8e^{ax}$
- B. $15e^{ax}$
- C. $8e^{2ax}$
- D. $2e^{ax}$
Réponse
A. $8e^{ax}$ — $f = 3e^{ax}$, $g = 5e^{ax}$, donc $f + g = 8e^{ax}$.
La solution de $y' = y$ qui vérifie $y(2) = 1$ est :
- A. $y = e^x$
- B. $y = e^{x-2}$
- C. $y = e^{2-x}$
- D. $y = e^{x+2}$
Réponse
B. $y = e^{x-2}$ — $y = Ce^x$ ; $y(2) = Ce^2 = 1 \Rightarrow C = e^{-2}$ ; $y = e^{x-2}$.
Pour $y' = ay + b$ avec $a \gt 0$ et $b \gt 0$, la solution particulière constante $y_p$ est :
- A. $y_p \gt 0$
- B. $y_p \lt 0$
- C. $y_p = 0$
- D. $y_p = a$
Réponse
B. $y_p \lt 0$ — $y_p = -b/a$ ; comme $a \gt 0$ et $b \gt 0$, $y_p \lt 0$.
Le produit de deux solutions de $y' = ay$ est :
- A. Solution de $y' = ay$
- B. Solution de $y' = 2ay$
- C. Solution de $y' = a^2 y$
- D. Pas une solution
Réponse
B. Solution de $y' = 2ay$ — Si $f = C_1 e^{ax}$ et $g = C_2 e^{ax}$, alors $fg = C_1C_2 e^{2ax}$, qui est solution de $y' = 2ay$.
Soit $f$ solution de $y' = -f + e^{2x}$. Quelle est la forme de la solution particulière à chercher ?
- A. $y_p = Ce^{-x}$
- B. $y_p = ke^{2x}$
- C. $y_p$ constante
- D. $y_p = kx$
Réponse
B. $y_p = ke^{2x}$ — Le second membre est $e^{2x}$, on cherche une solution particulière de même forme : $y_p = ke^{2x}$.
Si $f$ est solution de $y' = 2y$ et $g$ est solution de $y' = 3y$, alors $f \cdot g$ est solution de :
- A. $y' = 5y$
- B. $y' = 6y$
- C. $y' = 2y \cdot 3y$
- D. $y' = y$
Réponse
A. $y' = 5y$ — $(fg)' = f'g + fg' = 2fg + 3fg = 5fg$, donc $fg$ est solution de $y' = 5y$.
Parmi ces affirmations, laquelle est vraie pour $y' = ay$ ($a \neq 0$) ?
- A. Les solutions peuvent s'annuler en dehors de $x = 0$
- B. La solution nulle est l'unique solution s'annulant quelque part
- C. Toutes les solutions sont positives
- D. Les solutions ont toutes même limite en $+\infty$
Réponse
B. La solution nulle est l'unique solution s'annulant quelque part — $y = Ce^{ax}$ ne s'annule que si $C = 0$. La seule solution qui s'annule est $y = 0$.
La solution de $y' = 2y - 4$ telle que la tangente à sa courbe en $x = 0$ ait une pente nulle est :
- A. $y(0) = 0$
- B. $y(0) = 2$
- C. $y(0) = 4$
- D. $y(0) = -2$
Réponse
B. $y(0) = 2$ — $y'(0) = 2y(0) - 4 = 0 \Rightarrow y(0) = 2$.
Si $f$ est une solution non nulle de $y' = ky$, quel est le signe de $\dfrac{f'}{f}$ ?
- A. $\gt 0$ si $k \gt 0$
- B. $= k$ (constante)
- C. $\gt 0$ toujours
- D. Indéterminé
Réponse
B. $= k$ (constante) — $\dfrac{f'}{f} = \dfrac{kf}{f} = k$, constante.
Résoudre $y' = -y + 2$ avec $y(\ln 2) = \frac{3}{2}$. La solution est :
- A. $y = e^{-x} + 2$
- B. $y = 2e^{-x} + 2$
- C. $y = e^{-(x - \ln 2)} + 2$
- D. $y = \frac{1}{2}e^{-x} + 2$
Réponse
A. $y = e^{-x} + 2$ — On a $y = Ce^{-x} + 2$ ; $y(\ln 2) = C/2 + 2 = 3/2 \Rightarrow C = -1$, donc $y = -e^{-x} + 2$. La solution correcte est $y = -e^{-x} + 2$.
Pour $f$ solution de $y' = ay$ avec $a \lt 0$ et $C \gt 0$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ est :
- A. $0$
- B. $+\infty$
- C. $-\infty$
- D. $C$
Réponse
B. $+\infty$ — $a \lt 0$ : $e^{ax} \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. Donc $Ce^{ax} \to +\infty$ (si $C \gt 0$).
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