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Équations différentielles
Équation différentielle et solution, y′ = f et primitives, y′ = ay, y′ = ay + b avec condition initiale, second membre non constant, modélisation et méthode d’Euler.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est :
- A. un nombre réel x
- B. une fonction y dérivable
- C. un vecteur du plan
- D. une suite numérique (uₙ)
Réponse
B. une fonction y dérivable — L’inconnue est une fonction, et l’équation relie cette fonction à sa dérivée.
Les solutions sur ℝ de y′ = 6y sont les fonctions :
- A. x ↦ 6eˣ
- B. x ↦ e⁶ˣ uniquement
- C. x ↦ Cx + 6, C réel
- D. x ↦ Ce⁶ˣ, C réel
Réponse
D. x ↦ Ce⁶ˣ, C réel — Théorème du cours : les solutions de y′ = ay sont les Ceᵃˣ, ici avec a = 6.
Les solutions de y′ = −y sont les fonctions :
- A. x ↦ Ce⁻ˣ, C réel
- B. x ↦ −Ceˣ, C réel
- C. x ↦ C − x, C réel
- D. x ↦ Ceˣ, C réel
Réponse
A. x ↦ Ce⁻ˣ, C réel — Ici a = −1, donc les solutions sont les Ce⁻ˣ. On vérifie : (Ce⁻ˣ)′ = −Ce⁻ˣ.
La solution constante de y′ = 3y − 12 est la fonction :
- A. x ↦ −12
- B. x ↦ 12
- C. x ↦ 4
- D. x ↦ −4
Réponse
C. x ↦ 4 — On résout 0 = 3c − 12, d’où c = 4 : c’est −b/a avec a = 3 et b = −12.
La fonction f(x) = 8e^(0,3x) est solution de l’équation :
- A. y′ = 8y
- B. y′ = 0,3y + 8
- C. y′ = 8y + 0,3
- D. y′ = 0,3y
Réponse
D. y′ = 0,3y — f′(x) = 0,3 × 8e^(0,3x) = 0,3 f(x) : le coefficient de x dans l’exposant donne a.
Une solution de l’équation y′ = 3x² est :
- A. x ↦ 6x
- B. x ↦ x³
- C. x ↦ 3x³
- D. x ↦ e³ˣ
Réponse
B. x ↦ x³ — Les solutions de y′ = f sont les primitives de f : (x³)′ = 3x².
Pour a ≠ 0, les solutions de y′ = ay + b sont de la forme :
- A. Ceᵃˣ + b
- B. Ceᵃˣ + b/a
- C. Ceᵃˣ − b/a
- D. Ce^(ax + b)
Réponse
C. Ceᵃˣ − b/a — La solution constante est −b/a ; on lui ajoute les solutions Ceᵃˣ de y′ = ay.
Si f et g sont solutions de y′ = ay, alors f + g est :
- A. solution de y′ = 2ay
- B. solution de y′ = ay
- C. solution seulement si f = g
- D. jamais solution
Réponse
B. solution de y′ = ay — (f + g)′ = f′ + g′ = af + ag = a(f + g) : la somme de deux solutions de y′ = ay est encore solution.
Combien de solutions l’équation y′ = −4y possède-t-elle sur ℝ ?
- A. une infinité
- B. une seule : x ↦ e⁻⁴ˣ
- C. exactement deux
- D. aucune
Réponse
A. une infinité — Une solution par valeur de la constante C : il y en a une infinité. Une condition initiale en sélectionne une.
Si f est solution de y′ = ay et f(0) = 1, alors f est la fonction :
- A. x ↦ aeˣ
- B. x ↦ eˣ + a
- C. x ↦ eᵃˣ
- D. x ↦ eᵃˣ + 1
Réponse
C. x ↦ eᵃˣ — f(x) = Ceᵃˣ et f(0) = C = 1.
Pour a < 0, toute solution Ceᵃˣ de y′ = ay a pour limite en +∞ :
- A. +∞
- B. 0
- C. −∞
- D. a
Réponse
B. 0 — Si a < 0, eᵃˣ tend vers 0 en +∞, quelle que soit la valeur de C.
Pour y′ = ay + b avec a ≠ 0, la condition y(0) = y₀ détermine :
- A. aucune solution
- B. deux solutions
- C. une infinité de solutions
- D. exactement une solution
Réponse
D. exactement une solution — Existence et unicité : l’équation C − b/a = y₀ a une seule solution C.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
La solution de y′ = 0,5y + 1 telle que y(0) = 3 est :
- A. x ↦ 3e^(0,5x)
- B. x ↦ 3e^(0,5x) − 2
- C. x ↦ 5e^(0,5x) − 2
- D. x ↦ 5e^(0,5x) + 2
Réponse
C. x ↦ 5e^(0,5x) − 2 — Solution constante −2 ; C − 2 = 3 donne C = 5.
La fonction f(x) = e⁷ˣ + 2 est solution de :
- A. y′ = 7y − 14
- B. y′ = 7y + 2
- C. y′ = 7y + 14
- D. y′ = 7y − 2
Réponse
A. y′ = 7y − 14 — f′ = 7e⁷ˣ et 7f − 14 = 7e⁷ˣ + 14 − 14 = 7e⁷ˣ. La constante 2 doit valoir −b/7, donc b = −14.
La solution de y′ = y − 3 vérifiant y(0) = 3 est :
- A. x ↦ 3eˣ
- B. x ↦ eˣ + 3
- C. x ↦ 3eˣ − 3
- D. x ↦ 3
Réponse
D. x ↦ 3 — La solution constante est 3 ; comme y(0) = 3, on a C = 0.
Méthode d’Euler pour y′ = y + 1, y(0) = 2, pas h = 0,2 : la première valeur y₁ vaut :
- A. 2,2
- B. 2,6
- C. 2,4
- D. 3
Réponse
B. 2,6 — y₁ = y₀ + h(y₀ + 1) = 2 + 0,2 × 3 = 2,6.
f(x) = 8 − 3e⁻ˣ est solution de y′ = ay + b avec :
- A. a = −1 et b = 8
- B. a = 1 et b = −8
- C. a = −1 et b = −8
- D. a = −3 et b = 8
Réponse
A. a = −1 et b = 8 — f′ = 3e⁻ˣ ; l’exposant donne a = −1, et −f + b = −8 + 3e⁻ˣ + b impose b = 8.
La solution de y′ = −3y telle que y(1) = 2 est :
- A. x ↦ 2e⁻³ˣ
- B. x ↦ 2e^(−3x + 1)
- C. x ↦ 2e^(3x − 3)
- D. x ↦ 2e^(3 − 3x)
Réponse
D. x ↦ 2e^(3 − 3x) — Ce⁻³ = 2 donne C = 2e³, d’où f(x) = 2e³e⁻³ˣ = 2e^(3 − 3x).
La solution de y′ = 4y − 2 vérifiant y(0) = 1 est :
- A. x ↦ e⁴ˣ − 0,5
- B. x ↦ 0,5e⁴ˣ + 0,5
- C. x ↦ 0,5e⁴ˣ − 0,5
- D. x ↦ e⁴ˣ
Réponse
B. x ↦ 0,5e⁴ˣ + 0,5 — Solution constante 0,5 ; C + 0,5 = 1 donne C = 0,5.
Soit f la solution de y′ = 2y + 1 avec f(0) = 0. Alors f(1) vaut :
- A. e² − 1
- B. (e² + 1)/2
- C. (e² − 1)/2
- D. e²/2
Réponse
C. (e² − 1)/2 — Solution constante −0,5 et C = 0,5 : f(x) = 0,5e²ˣ − 0,5, donc f(1) = (e² − 1)/2.
f est solution de y′ = −5y avec f(0) = 4. Le coefficient directeur de la tangente en 0 vaut :
- A. −5
- B. 4
- C. −4
- D. −20
Réponse
D. −20 — f′(0) = −5 f(0) = −20, directement à partir de l’équation.
Une solution particulière affine de y′ = −2y + 4x est :
- A. x ↦ 2x + 1
- B. x ↦ 2x − 1
- C. x ↦ −2x + 1
- D. x ↦ x − 2
Réponse
B. x ↦ 2x − 1 — Pour g(x) = 2x − 1 : g′ = 2 et −2g + 4x = −4x + 2 + 4x = 2.
Toutes les solutions de y′ = −0,1y + 5 ont pour limite en +∞ :
- A. 50
- B. 5
- C. 0
- D. +∞ ou −∞ selon le signe de C
Réponse
A. 50 — Solutions Ce^(−0,1x) + 50 ; comme a < 0, Ce^(−0,1x) tend vers 0 et toutes tendent vers 50.
Une population vérifie P′ = 0,02P avec P(0) = 600. Son temps de doublement, en années, est :
- A. environ 50
- B. environ 20
- C. environ 34,7
- D. environ 69,3
Réponse
C. environ 34,7 — P(t) = 600e^(0,02t) ; e^(0,02t) = 2 donne t = ln 2 / 0,02 = 50 ln 2 ≈ 34,7.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Si une solution f de y′ = ay s’annule en un réel x₀, alors :
- A. f est strictement monotone
- B. f change de signe en x₀
- C. f(x) tend vers +∞ en +∞
- D. f est la fonction nulle
Réponse
D. f est la fonction nulle — f(x₀) = Ce^(ax₀) = 0 impose C = 0 car e^(ax₀) ≠ 0 : f est nulle partout.
Pour a = 0 et b ≠ 0, l’équation y′ = ay + b, soit y′ = b, a pour solutions :
- A. x ↦ Ceᵇˣ
- B. les fonctions constantes
- C. x ↦ bx + C
- D. x ↦ C − b
Réponse
C. x ↦ bx + C — La formule Ceᵃˣ − b/a ne s’applique pas (a = 0) : on cherche les primitives de la constante b.
Deux solutions distinctes de y′ = ay :
- A. se coupent en exactement un point
- B. ne se coupent jamais
- C. se coupent en x = 0
- D. sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Réponse
B. ne se coupent jamais — C₁eᵃˣ = C₂eᵃˣ impliquerait C₁ = C₂ : les courbes n’ont aucun point commun.
Une solution particulière de y′ = 2y + e²ˣ est :
- A. x ↦ xe²ˣ
- B. x ↦ e²ˣ
- C. x ↦ 2e²ˣ
- D. x ↦ (x + 2)eˣ
Réponse
A. x ↦ xe²ˣ — g = xe²ˣ : g′ = e²ˣ + 2xe²ˣ = 2g + e²ˣ. Les Ce²ˣ sont solutions de y′ = 2y, pas de cette équation.
L’équation y′ = y² :
- A. a pour solutions les Ce^(x²)
- B. a pour solutions les Ce²ˣ
- C. n’est pas de la forme y′ = ay + b
- D. a pour solutions les x ↦ Cx²
Réponse
C. n’est pas de la forme y′ = ay + b — Le second membre est y², pas ay + b : le théorème du cours ne s’applique pas. Par exemple x ↦ −1/x est solution sur ]0 ; +∞[.
Soit f la solution de y′ = ay + b avec a < 0 et f(0) > −b/a. Alors f est :
- A. strictement décroissante
- B. strictement croissante
- C. constante
- D. croissante puis décroissante
Réponse
A. strictement décroissante — C = f(0) + b/a > 0 et f′(x) = aCeᵃˣ < 0 : f décroît vers la valeur d’équilibre −b/a.
Pour y′ = ay + b avec a > 0 et b ≠ 0, la solution constante est :
- A. la limite de toutes les solutions
- B. la seule solution de l’équation
- C. inexistante, car a > 0
- D. la seule solution bornée
Réponse
D. la seule solution bornée — Les autres solutions Ceᵃˣ − b/a, avec C ≠ 0, tendent vers +∞ ou −∞ : elles ne sont pas bornées.
f est solution de y′ = 5y − 15 avec f(0) = 3. Alors f(10) vaut :
- A. 3e⁵⁰
- B. 3
- C. 3e⁵⁰ − 3
- D. 15
Réponse
B. 3 — La solution constante est 3 et f(0) = 3, donc C = 0 : f est constante.
Une fonction f dérivable sur ℝ vérifie f′ = 2f et f(1) = e². Alors f est :
- A. x ↦ e^(2x + 1)
- B. x ↦ e²ˣ
- C. x ↦ 2e²ˣ
- D. x ↦ e^(2x − 1)
Réponse
B. x ↦ e²ˣ — f = Ce²ˣ et Ce² = e² donne C = 1.
Un élève écrit : « les solutions de y′ = −y + 3 sont les Ce⁻ˣ − 3 ». Son erreur :
- A. aucune, c’est correct
- B. il fallait écrire Ceˣ − 3
- C. il fallait écrire Ce⁻ˣ − 3x
- D. la solution constante est 3
Réponse
D. la solution constante est 3 — 0 = −c + 3 donne c = 3 : les solutions sont les Ce⁻ˣ + 3.
Méthode d’Euler pour y′ = ay avec a > 0 et y(0) > 0 : pour tout pas h > 0 et tout n ≥ 1, les valeurs yₙ sont :
- A. inférieures aux valeurs exactes
- B. supérieures aux valeurs exactes
- C. égales aux valeurs exactes
- D. de signes alternés
Réponse
A. inférieures aux valeurs exactes — yₙ = y₀(1 + ah)ⁿ, tandis que la valeur exacte est y₀(e^(ah))ⁿ ; or e^(ah) > 1 + ah. La courbe est convexe : les tangentes sont dessous.
Si g est une solution particulière de y′ = ay + f(x), avec a ≠ 0, l’ensemble des solutions est :
- A. {g + C, C réel}
- B. {Cg, C réel}
- C. {g + Ceᵃˣ, C réel}
- D. {g × eᵃˣ + C, C réel}
Réponse
C. {g + Ceᵃˣ, C réel} — h est solution si et seulement si h − g est solution de y′ = ay, c’est-à-dire h − g = Ceᵃˣ.
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