Équations différentielles

1. a)L’équation est de la forme $y\prime =ay$ avec $a=7$. D’après le cours, ses solutions sur $ℝ$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{7x}$, $C\in ℝ$. (1)
2. b)$4y\prime =-y⟺y\prime =-{\displaystyle \frac{1}{4}}y$ : forme $y\prime =ay$ avec $a=-0,25$. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{-0,25x}$, $C\in ℝ$. (1)
3. c)Forme $y\prime =ay+b$ avec $a=5\ne 0$. Solution constante : $0=5c-20$, donc $c=4$. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{5x}+4$, $C\in ℝ$. (1)
4. d)Les solutions de $y\prime =f$ sont les primitives de $f$ : $x\mapsto 3\ln x+C$. $y(1)=C=2$ : la solution est $x\mapsto 3\ln x+2$. Vérification : dérivée ${\displaystyle \frac{3}{x}}$, valeur $2$ en $1$. (1)

Repère — Pour $y\prime =ay+b$, la solution constante se trouve en résolvant $0=ac+b$ ; on lui ajoute $C{e}^{ax}$.

1. a)Solution constante : $0=-0,6c+3$, donc $c=5$. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{-0,6x}+5$, $C\in ℝ$. La condition $f(0)=C+5=9$ donne $C=4$ : $f(x)=4e^{-0,6x}+5$. Vérification : $f(0)=4+5=9$. (1)
2. b)Par composition, $-0,6x\to -\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$, donc $e^{-0,6x}\to 0$ ; par produit et somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=5$. Pour tout réel $x$, $f\prime (x)$ $=4\times (-0,6)e^{-0,6x}$ $=-2,4e^{-0,6x}<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $ℝ$. (1)
3. c)$f(5)=4e^{-3}+5\approx 4\times 0,04979+5\approx 5,199$. (1)
4. d)$f(x)$ $=6$ $⟺4e^{-0,6x}$ $=1$ $⟺e^{-0,6x}$ $={\displaystyle \frac{1}{4}}$ $⟺-0,6x$ $=-\ln 4$ $⟺x$ $={\displaystyle \frac{\ln 4}{0,6}}$ $={\displaystyle \frac{10\ln 2}{3}}\approx 2,31$. L’équation a une unique solution, $x={\displaystyle \frac{\ln 4}{0,6}}$. (1)

Repère — Avec $a<0$, toutes les solutions tendent vers la solution constante : c’est la valeur d’équilibre.

1. a)Pour tout réel $x$, $g\prime (x)=\alpha$ et $-g(x)+2x=(2-\alpha )x-\beta$. $g$ est solution si et seulement si $\alpha =(2-\alpha )x-\beta$ pour tout $x$, c’est-à-dire, par identification des coefficients, $2-\alpha =0$ et $-\beta =\alpha$. Donc $\alpha =2$ et $\beta =-2$ : $g(x)=2x-2$. (1)
2. b)Soit $h$ dérivable sur $ℝ$. Comme $g\prime =-g+2x$, on a $h\prime +h-2x$ $=(h\prime -g\prime )+(h-g)$ $=(h-g{)}^{\prime }+(h-g)$. Donc $h\prime =-h+2x$ si et seulement si $(h-g{)}^{\prime }=-(h-g)$ : $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h-g$ est solution de $y\prime =-y$. (1)
3. c)D’après la question précédente, $h-g=C{e}^{-x}$, $C\in ℝ$ : les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{-x}+2x-2$. La condition $f(0)=C-2=1$ donne $C=3$ : $f(x)=3e^{-x}+2x-2$. (1)
4. d)Pour tout réel $x$, $f(x)-(2x-2)=3e^{-x}>0$ : la courbe de $f$ est strictement au-dessus de $d$. De plus $\underset{x\to +\infty }{lim}3e^{-x}=0$ : l’écart tend vers $0$, la droite $d$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$. (1)

Repère — Solutions de $y\prime =ay+f$ : une solution particulière plus les solutions $C{e}^{ax}$ de l’équation sans second membre.

1. a)En développant, $T\prime =-0,1T+2,4$ : forme $y\prime =ay+b$ avec $a=-0,1$ et $b=2,4$. La solution constante vérifie $0=-0,1c+2,4$, donc $c=24$ : c’est la température vers laquelle le radiateur amène la pièce. (1)
2. b)Les solutions sont les fonctions $t\mapsto C{e}^{-0,1t}+24$, $C\in ℝ$. La condition $T(0)=C+24=12$ donne $C=-12$ : $T(t)=24-12e^{-0,1t}$. (1)
3. c)$T(t)$ $=20$ $⟺12e^{-0,1t}$ $=4$ $⟺e^{-0,1t}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $⟺-0,1t$ $=-\ln 3$ $⟺t$ $=10\ln 3\approx 10,99$. La pièce atteint $20$ °C au bout d’environ $11$ minutes. (1)
4. d)Pour tout $t⩾0$, $12e^{-0,1t}>0$, donc $T(t)=24-12e^{-0,1t}<24$ : la température reste toujours strictement inférieure à $24$ °C, et ne peut pas dépasser $25$ °C. Elle s’approche de $24$ °C sans jamais l’atteindre. (1)

Repère — Dans un modèle, la solution constante est la valeur d’équilibre, et la condition initiale fixe $C$ : un résultat se contrôle sur $T(0)$.

1. a)$y_1=y_0+h(2y_0-1)=1+0,5\times 1=1,5$, puis $y_2$ $=y_1+h(2y_1-1)$ $=1,5+0,5\times 2$ $=2,5$. (1)
2. b)Solution constante : $0=2c-1$, donc $c=0,5$. Les solutions sont les $x\mapsto C{e}^{2x}+0,5$ ; la condition $C+0,5=1$ donne $C=0,5$ : $f(x)=0,5e^{2x}+0,5$. (1)
3. c)$f(1)=0,5e^2+0,5\approx 4,19$. L’erreur commise est $f(1)-y_2\approx 4,19-2,5=1,69$ : le pas est trop grand pour une bonne approximation. (1)
4. d)Pour tout réel $x$, $f\prime (x)=e^{2x}$ et $f″(x)=2e^{2x}>0$ : $f$ est convexe, donc sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Chaque pas d’Euler suit une tangente : il sous-estime. Par le calcul : $y_n-0,5=0,5\times (1+2h{)}^n=0,5\times 2^n$ et $f(0,5n)-0,5=0,5\times e^n$, avec $2<e$ : $y_n<f(0,5n)$ pour tout $n⩾1$. (1)

Repère — Courbe convexe : les tangentes sont dessous et Euler sous-estime ; courbe concave : il surestime.