Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Équations différentielles
Équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b — définition, solutions, conditions initiales — programme de Spécialité Maths Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vérification et solution générale
/ 4 pts- Montrer que $f(x) = 5e^{-3x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -3y$.
- Donner la solution générale de $y' = -3y$.
- Quelle valeur de $C$ donne la solution $f(x) = 5e^{-3x}$ ?
Exercice 2 — Résolution avec condition initiale
/ 5 pts- Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y + 6$.
- Déterminer la solution particulière vérifiant $y(0) = -1$.
- Calculer la limite de cette solution quand $x \to -\infty$.
Exercice 3 — Étude d'une équation différentielle
/ 6 pts- Résoudre $y' = -y + 4$ sachant que $y(0) = 6$.
- Dresser le tableau de variations de la solution.
- Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la solution vaut $4{,}5$. On donnera la réponse exacte.
- Donner la limite de la solution quand $x \to +\infty$.
Exercice 4 — Problème de modélisation
/ 5 ptsUn médicament est absorbé dans le sang. Sa concentration $C(t)$ (en mg/L, $t$ en heures) vérifie $C'(t) = -0{,}5C(t) + 2$ et $C(0) = 0$ (avant la prise).
- Montrer que la solution particulière constante est $C_p = 4$.
- Donner la solution générale, puis la solution particulière avec $C(0) = 0$.
- Calculer la concentration après 2 heures (arrondir à 0,1 mg/L).
- Vers quelle valeur tend $C(t)$ quand $t \to +\infty$ ? Interpréter.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Vérification et solution générale
Corrigé :
1. $f'(x) = -15e^{-3x}$ et $-3f(x) = -15e^{-3x}$. On a bien $f'(x) = -3f(x)$, donc $f$ est solution. (2 pts)
2. La solution générale de $y' = -3y$ est $y = Ce^{-3x}$, $C \in \mathbb{R}$. (1 pt)
3. $f(x) = 5e^{-3x}$ correspond à $C = 5$. (1 pt)
Exercice 2 — Résolution avec condition initiale
Corrigé :
1. Solution particulière constante : $0 = 2y_p + 6 \Rightarrow y_p = -3$. Solution générale : $y = Ce^{2x} - 3$. (2 pts)
2. Condition initiale : $y(0) = C - 3 = -1 \Rightarrow C = 2$. Solution particulière : $y = 2e^{2x} - 3$. (2 pts)
3. Limite : $a = 2 \gt 0$, donc $e^{2x} \to 0$ quand $x \to -\infty$. Ainsi $y \to -3$. (1 pt)
Exercice 3 — Étude d'une équation différentielle
Corrigé :
1. $y_p = 4$ ; solution générale $Ce^{-x} + 4$ ; $y(0) = C + 4 = 6 \Rightarrow C = 2$. Solution : $y = 2e^{-x} + 4$. (2 pts)
2. Variations : $y'(x) = -2e^{-x}$. Comme $e^{-x} \gt 0$, $y'(x) \lt 0$ pour tout $x$ : la solution est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (2 pts)
3. $2e^{-x} + 4 = 4{,}5 \Rightarrow e^{-x} = 0{,}25 \Rightarrow -x = \ln(0{,}25) = -\ln 4 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. (1 pt)
4. Limite : $e^{-x} \to 0$, donc $y \to 4$. La droite $y = 4$ est asymptote horizontale. (1 pt)
Exercice 4 — Problème de modélisation
Corrigé :
a) On cherche $C_p$ constante telle que $0 = -0{,}5C_p + 2 \Rightarrow C_p = 4$. (1 pt)
b) Solution générale : $C(t) = Ke^{-0{,}5t} + 4$. Condition $C(0) = K + 4 = 0 \Rightarrow K = -4$. Solution : $C(t) = -4e^{-0{,}5t} + 4 = 4(1 - e^{-0{,}5t})$. (2 pts)
c) $C(2) = 4(1 - e^{-1}) \approx 4 \times 0{,}632 \approx 2{,}5$ mg/L. (1 pt)
d) $e^{-0{,}5t} \to 0$, donc $C(t) \to 4$ mg/L : c'est la concentration d'équilibre (plateau). (1 pt)
Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Équations différentielles » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Vérification et solution générale/ 4 pts
- Exercice 2 — Résolution avec condition initiale/ 5 pts
- Exercice 3 — Étude d'une équation différentielle/ 6 pts
- Exercice 4 — Problème de modélisation/ 5 pts
Notions évaluées
Notion d'équation différentielle, Équation y' = ay — solution générale, Condition initiale et solution particulière, Équation y' = ay + b — méthode, Représentation graphique des solutions, Modélisation et applications.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Équations différentielles » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Équations différentielles » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit Notion d'équation différentielle, Équation y' = ay — solution générale, Condition initiale et solution particulière, Équation y' = ay + b — méthode.
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