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Fiche de révision : équations différentielles

Équation différentielle et solution, y′ = f et primitives, y′ = ay, y′ = ay + b avec condition initiale, second membre non constant, modélisation et méthode d’Euler.

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Équations différentielles

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Équations différentielles)

La démarche pour résoudre une équation différentielle

1. J’isole $y'$ pour reconnaître la forme : $y' = f$ , $y' = a y$ , $y' = a y + b$ ou $y' = a y + f (x)$ .

2. Je trouve une solution particulière : une primitive (pour $y' = f$ ), la solution constante $c$ en résolvant $0 = a c + b$ , ou la fonction $g$ donnée par l’énoncé.

3. J’écris toutes les solutions : solution particulière $+ C e^{a x}$ (ou $+ C$ pour $y' = f$ ), avec « $C \in ℝ$ ».

4. J’utilise la condition initiale sur l’expression complète pour trouver $C$ , puis je vérifie $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Le réflexe — toutes les solutions s’écrivent « une solution particulière + Ce^(ax) » ; la constante C ne se trouve qu’avec la condition initiale, appliquée à l’expression complète.

Cas 1 · Vérifier qu’une fonction est solution

Réflexe — deux calculs séparés : g′(x) d’un côté, le second membre de l’autre ; égalité pour tout x, puis une phrase de conclusion.

Exemple. Questions types : « Montrer que $g$ est solution de $(E)$ ». Exemple : $g (x) = 2 x + 1 + e^{- x}$ et $(E)$ : $y' = - y + 2 x + 3$ .

D’une part, $g' (x) = 2 - e^{- x}$ .

D’autre part, $- g (x) + 2 x + 3$ $= - 2 x - 1 - e^{- x} + 2 x + 3$ $= 2 - e^{- x}$ .

Les deux expressions sont égales pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$ sur $ℝ$ .

Attention — écrire « g′ = −g + 2x + 3 » sans les deux calculs ne prouve rien ; pour « n’est pas solution », une valeur de x suffit.

Cas 2 · Résoudre y′ = ay avec une condition

Réflexe — j’isole y′ pour lire a ; solutions Ce^(ax) ; condition en x₀ : Ce^(ax₀) = y₀.

Exemple. Questions types : « Déterminer la solution $f$ telle que $f (x_{0}) = y_{0}$ ». Exemple : $y' = - 4 y$ avec $y (1) = e$ .

Les solutions sont les fonctions $x \mapsto C e^{- 4 x}$ , $C \in ℝ$ .

$f (1) = C e^{- 4} = e$ donne $C = e \times e^{4} = e^{5}$ .

Donc $f (x) = e^{5} e^{- 4 x} = e^{5 - 4 x}$ . Vérification : $f (1) = e^{1} = e$ .

Attention — C n’est égal à y₀ que si la condition est donnée en 0.

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Cas 3 · Résoudre y′ = ay + b avec une condition

Réflexe — solution constante c (0 = ac + b), puis Ce^(ax) + c, puis condition initiale, puis vérification.

Exemple. Questions types : « Résoudre $(E)$ », « Déterminer la solution vérifiant $y (0) = \dots$ », « Limite et sens de variation ». Exemple : $y' = - 2 y + 10$ avec $y (0) = 7$ .

Solution constante : $0 = - 2 c + 10$ , donc $c = 5$ . Solutions : $x \mapsto C e^{- 2 x} + 5$ , $C \in ℝ$ .

Condition : $C + 5 = 7$ , donc $C = 2$ et $f (x) = 2 e^{- 2 x} + 5$ ; on vérifie que $f (0) = 7$ .

$f' (x) = - 4 e^{- 2 x} < 0$ : $f$ est strictement décroissante, et $lim_{x \to + \infty} f (x) = 5$ car $e^{- 2 x} \to 0$ .

Attention — la constante ajoutée est −b/a, pas b ; et C = y(0) − c, pas y(0).

Cas 4 · Second membre non constant

Réflexe — je trouve g (identification ou vérification), j’écris g + Ce^(ax), puis j’applique la condition à la somme.

Exemple. Questions types : « Déterminer $α$ et $β$ tels que $g (x) = α x + β$ soit solution », « En déduire toutes les solutions ». Exemple : $(E)$ : $y' = 2 y - 6 x + 1$ avec $y (0) = 4$ .

$g' (x) = α$ et $2 g (x) - 6 x + 1 = (2 α - 6) x + 2 β + 1$ . Par identification : $2 α - 6 = 0$ et $2 β + 1 = α$ , donc $α = 3$ et $β = 1$ : $g (x) = 3 x + 1$ .

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{2 x} + 3 x + 1$ .

Condition : $C + 1 = 4$ , donc $C = 3$ et $f (x) = 3 e^{2 x} + 3 x + 1$ .

Attention — la condition initiale porte sur g + Ce^(ax), pas sur Ce^(ax) seul.

Cas 5 · Modéliser, méthode d’Euler

Réflexe — j’écris yₙ₊₁ = yₙ + h × (ayₙ + b) en partant de y₀, et je compare à la solution exacte quand on la demande.

Exemple. Questions types : « Traduire la situation par une équation différentielle », « Calculer $y_{1}$ et $y_{2}$ par la méthode d’Euler ». Exemple : $y' = 0, 5 y + 1$ , $y (0) = 0$ , pas $h = 0, 5$ .

$y_{1} = 0 + 0, 5 \times (0, 5 \times 0 + 1) = 0, 5$ , valeur approchée de $f (0, 5)$ .

$y_{2}$ $= 0, 5 + 0, 5 \times (0, 5 \times 0, 5 + 1)$ $= 0, 5 + 0, 625$ $= 1, 125$ , valeur approchée de $f (1)$ .

Solution exacte : $c = - 2$ et $C = 2$ , donc $f (x) = 2 e^{0, 5 x} - 2$ et $f (1) = 2 \sqrt{e} - 2 \approx 1, 297$ . La fonction $f$ est convexe ( $f ″ (x) = 0, 5 e^{0, 5 x} > 0$ ) : Euler donne une valeur trop petite.

Attention — une quantité qui diminue donne un coefficient négatif ; Euler donne une valeur approchée, jamais la valeur exacte.

Les pièges

Écrire Ce^(ax) + b : la constante ajoutée est −b/a, solution de 0 = ac + b.
Dire « la solution » sans condition initiale : il y en a une infinité.
Confondre C et y(0) : pour y′ = ay + b, y(0) = C + c.
Appliquer la condition initiale à Ce^(ax) seul au lieu de g + Ce^(ax).
Appliquer la formule à y′ = y² ou à y′ = b (cas a = 0) : ce n’est pas le cadre du théorème.
Condition donnée en x₀ ≠ 0 : ne pas oublier le facteur e^(−ax₀) dans C.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes pour résoudre une équation différentielle, puis une réponse rédigée pour chacun des cinq cas : vérifier une solution, y′ = ay avec une condition hors de 0, y′ = ay + b, solution particulière affine par identification, méthode d’Euler comparée à la solution exacte. Les formes de solutions à connaître sont regroupées dans la fiche tableaux.

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