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Équations différentielles

Équations du premier ordre y' = ay et y' = ay + b — définition, solutions, conditions initiales — programme de Spécialité Maths Terminale

Résoudre y' = ay + b, isoler l'unique solution qui vérifie une condition initiale et exploiter le modèle (refroidissement, population, médicament) : c'est ce qu'attend le bac sur ce chapitre.

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Définitions

Équation différentielle : équation dont l'inconnue est une fonction $y$ dérivable, reliant $y$ et sa dérivée $y^{'}$ .
Solution : fonction $f$ dérivable sur $I$ vérifiant l'égalité pour tout $x$ de $I$ . Résoudre, c'est trouver toutes les solutions.
Condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ : elle sélectionne une unique solution.
Équation $y^{'} = f$ ( $f$ continue) : les solutions sont les primitives de $f$ , de la forme $F + C$ .

Formules

Équation	Solutions sur $ℝ$
$y^{'} = a y$	$x \mapsto C e^{a x}$ , $C \in ℝ$
$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq 0$ )	$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , $C \in ℝ$
$y^{'} = a y + f (x)$ , $g$ solution particulière	$x \mapsto g (x) + C e^{a x}$ , $C \in ℝ$
$y^{'} = b$ (cas $a = 0$ )	$x \mapsto b x + C$

Avec $y (0) = y_{0}$ : $C = y_{0} + \frac{b}{a}$ . Avec $y (x_{0}) = y_{0}$ : $C = (y_{0} + \frac{b}{a}) e^{- a x_{0}}$ .

Méthodes

Résoudre $y^{'} = a y + b$ : solution constante $c$ (résoudre $0 = a c + b$ ), puis $C e^{a x} + c$ , puis condition initiale pour trouver $C$ , puis vérification.
Vérifier qu'une fonction est solution : calculer $g^{'}$ d'un côté, $a g + b$ de l'autre, comparer, conclure.
Second membre non constant : chercher $g$ de la forme imposée (affine, $x e^{a x}$ …), puis montrer que $h - g$ est solution de $y^{'} = a y$ .
Méthode d'Euler : $y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b)$ ; en Python, y = y + h * (a * y + b) dans une boucle.

Comportement des solutions

$a < 0$ : toutes les solutions de $y^{'} = a y + b$ tendent vers $- \frac{b}{a}$ en $+ \infty$ (équilibre stable : refroidissement, médicament, vitesse limite).
$a > 0$ : les solutions s'éloignent de l'équilibre, sauf la solution constante (population avec prélèvement, capital).
Une solution de $y^{'} = a y$ ne s'annule jamais, sauf la fonction nulle ; deux solutions distinctes ne se coupent pas.
Le signe de $f^{'} = a C e^{a x}$ est celui du produit $a C$ .

Pièges

Écrire $C e^{a x} + b$ au lieu de $C e^{a x} - \frac{b}{a}$ .
Dire « la solution » sans condition initiale : il y en a une infinité.
Confondre $C$ et $y (0)$ dès qu'il y a une constante ajoutée.
Condition en $x_{0} \neq 0$ : ne pas oublier le facteur $e^{- a x_{0}}$ .
Appliquer la formule à $y^{'} = y^{2}$ ou à $y^{'} = b$ ( $a = 0$ ) : hors cadre.

L'essentiel

Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ Ce^(ax), C réel quelconque.
Les solutions de y' = ay + b (a ≠ 0) sont x ↦ Ce^(ax) − b/a : la constante ajoutée est la solution constante.
Une condition initiale y(x₀) = y₀ détermine une unique solution : on résout l'équation d'inconnue C.
Si g est une solution particulière de y' = ay + f(x), les solutions sont g + Ce^(ax).
Pour a < 0, toutes les solutions tendent vers −b/a en +∞ ; pour a > 0, elles s'en éloignent.

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