Équations différentielles

Trouver le réel demandé pour que la fonction soit solution de l’équation sur $ℝ$.

1. $g(x)=e^{4x}-2$ est solution de $y\prime =4y+b$ pour $b=$
   $g\prime (x)=4e^{4x}$ et $4g(x)+b=4e^{4x}-8+b$. L’égalité pour tout $x$ impose $-8+b=0$, soit $b=8$.
2. $g(x)=5e^{kx}$ est solution de $y\prime =-3y$ pour $k=$
   $g\prime (x)=5k{e}^{kx}$ et $-3g(x)=-15e^{kx}$. L’égalité pour tout $x$ impose $5k=-15$, soit $k=-3$.
3. $g(x)=\ln (x^2+1)$ est solution de $y\prime ={\displaystyle \frac{mx}{x^2+1}}$ pour $m=$
   $g=\ln u$ avec $u(x)=x^2+1>0$, donc $g\prime (x)={\displaystyle \frac{u\prime (x)}{u(x)}}={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$ : c’est ${\displaystyle \frac{mx}{x^2+1}}$ pour $m=2$. Ici le second membre ne dépend pas de $y$ : $g$ est une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.
4. $h(x)=x^2+e^{3x}$ est solution de $y\prime =3y-3x^2+\beta x$ pour $\beta =$
   D’une part, $h\prime (x)=2x+3e^{3x}$. D’autre part, $3h(x)-3x^2+\beta x$ $=3x^2+3e^{3x}-3x^2+\beta x$ $=3e^{3x}+\beta x$. L’égalité pour tout $x$ impose $\beta =2$.

Résoudre l’équation $y\prime =f$ avec la condition donnée, puis calculer la valeur demandée.

1. $y\prime =-\sin x$ sur $ℝ$, avec $y(0)=2$ : $y(\pi )=$
   Les primitives de $x\mapsto -\sin x$ sont les $x\mapsto \cos x+C$. La condition $y(0)=1+C=2$ donne $C=1$, donc $y(x)=\cos x+1$ et $y(\pi )=-1+1=0$.
2. $y\prime =2e^{2x}-1$ sur $ℝ$, avec $y(0)=0$ : $y(\ln 2)\approx$ (au centième)
   Les primitives de $x\mapsto 2e^{2x}-1$ sont les $x\mapsto e^{2x}-x+C$. La condition $y(0)=1+C=0$ donne $C=-1$, donc $y(x)=e^{2x}-x-1$. Comme $e^{2\ln 2}=4$, $y(\ln 2)=4-\ln 2-1=3-\ln 2\approx 2,307$, soit $2,31$.
3. $y\prime ={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $]0;+\infty [$, avec $y(1)=0$ : $y(2)=$
   Les primitives de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $]0;+\infty [$ sont les $x\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$. La condition $y(1)=-1+C=0$ donne $C=1$, donc $y(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $y(2)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$.

On considère l’équation $(E)$ : $y\prime =2y-4x$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $g(x)=2x+1$ est solution de $(E)$. Contrôle : le second membre $2g(x)-4x$ vaut pour tout $x$
   Rédaction attendue. D’une part, pour tout réel $x$, $g\prime (x)=2$. D’autre part, $2g(x)-4x=4x+2-4x=2$. Les deux membres sont égaux pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$ sur $ℝ$.
2. Prouver que $k(x)=x^2$ n’est pas solution de $(E)$. En $x=1$, $k\prime (1)=2$ tandis que $2k(1)-4=$
   Rédaction attendue. En $x=1$ : $k\prime (1)=2\times 1=2$ et $2k(1)-4\times 1=2-4=-2$. Comme $2\ne -2$, l’égalité $k\prime (x)=2k(x)-4x$ est fausse pour $x=1$ : $k$ n’est pas solution de $(E)$. Une seule valeur de $x$ suffit pour le prouver.
3. $F(x)=x^2+3$ et $G$ sont deux primitives de $x\mapsto 2x$ sur $ℝ$, avec $G(0)=-1$. Pour tout $x$, $G(x)-F(x)=$
   Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante : $G(x)-F(x)=C$ pour tout $x$. En $x=0$ : $C=G(0)-F(0)=-1-3=-4$.

On considère l’équation $(L)$ : $y\prime =y(1-y)$, qui n’est pas de la forme $y\prime =ay+b$ (le théorème du cours ne s’y applique pas).

1. Démontrer que $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$ est solution de $(L)$ sur $ℝ$. Contrôle : $f\prime (0)=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $1+e^{-x}>0$ et $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ avec $u(x)=1+e^{-x}$, $u\prime (x)=-e^{-x}$. D’une part, $f\prime (x)$ $=-{\displaystyle \frac{u\prime (x)}{u(x{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}}$. D’autre part, $1-f(x)$ $={\displaystyle \frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}}}$ $={\displaystyle \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}}$, donc $f(x)(1-f(x))={\displaystyle \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}}$. Les deux membres sont égaux pour tout $x$ : $f$ est solution de $(L)$. Enfin $f\prime (0)={\displaystyle \frac{1}{(1+1{)}^2}}=0,25$.
2. La fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+e^{-kx}}}$ est solution de $y\prime =2y(1-y)$ pour $k=$
   Même calcul : la dérivée vaut ${\displaystyle \frac{k{e}^{-kx}}{(1+e^{-kx}{)}^2}}$ et $2y(1-y)={\displaystyle \frac{2e^{-kx}}{(1+e^{-kx}{)}^2}}$. L’égalité pour tout $x$ impose $k=2$.
3. Une fonction constante $x\mapsto c$ est solution de $(L)$ pour deux valeurs de $c$ ; la plus grande est $c=$
   La dérivée d’une constante est nulle : il faut $0=c(1-c)$, soit $c=0$ ou $c=1$. La plus grande valeur est $1$.

Les solutions de chaque équation sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{kx}$, $C\in ℝ$. Donner $k$ (écrire un décimal ou une fraction).

1. $y\prime =9y$ : $k=$
   L’équation est de la forme $y\prime =ay$ avec $a=9$ : $k=9$.
2. $y\prime +2y=0$ : $k=$
   $y\prime +2y=0⟺y\prime =-2y$ : $k=-2$.
3. $5y\prime =y$ : $k=$
   $5y\prime =y⟺y\prime ={\displaystyle \frac{1}{5}}y$ : $k=0,2$.
4. $2y\prime =-3y$ : $k=$
   $2y\prime =-3y⟺y\prime =-1,5y$ : $k=-1,5$.

Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition, puis répondre. Arrondir au centième quand c’est demandé.

1. $y\prime =4y$ et $y(0)=-3$ : $f(x)=C{e}^{4x}$ avec $C=$
   $f(0)=C{e}^0=C$, donc $C=-3$ et $f(x)=-3e^{4x}$.
2. $y\prime =-2y$ et $y(0)=5$ : $f(1)\approx$ (au centième)
   $f(x)=5e^{-2x}$, donc $f(1)=5e^{-2}\approx 0,677$, soit $0,68$ au centième.
3. $y\prime =0,5y$ et $y(2)=3$ : $f(0)\approx$ (au centième)
   $f(x)=C{e}^{0,5x}$ et $f(2)=C{e}^1=3$, donc $C=3e^{-1}$. Alors $f(0)=C={\displaystyle \frac{3}{e}}\approx 1,104$, soit $1,10$.
4. $y\prime =y$ et $y(\ln 5)=10$ : $f(x)=C{e}^x$ avec $C=$
   $f(\ln 5)=C{e}^{\ln 5}=5C=10$, donc $C=2$ et $f(x)=2e^x$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $ℝ$ telle que $f\prime =-4f$. On pose, pour tout réel $x$, $g(x)=f(x)e^{4x}$.

1. Démontrer que $g$ est constante, puis que $f(x)=C{e}^{-4x}$. Si $f(0)=7$, alors $C=$
   Rédaction attendue. $g$ est dérivable comme produit et, pour tout réel $x$, $g\prime (x)$ $=f\prime (x)e^{4x}+4f(x)e^{4x}$ $=(f\prime (x)+4f(x))e^{4x}$ $=0$, puisque $f\prime (x)=-4f(x)$. La fonction $g$ est donc constante sur l’intervalle $ℝ$ : il existe un réel $C$ tel que $f(x)e^{4x}=C$, soit $f(x)=C{e}^{-4x}$. Avec $f(0)=7$ : $C=7$.
2. On prend maintenant $f(x)=-2e^{-4x}$. Alors $f\prime (x)=$ $e^{-4x}$
   $f\prime (x)=-2\times (-4)e^{-4x}=8e^{-4x}$. Ici $a=-4$ et $C=-2$ : le produit $aC=8$ est positif, donc $f$ est strictement croissante.
3. Pour $f(x)=-2e^{-4x}$, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=$
   $-4x\to -\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$, donc par composition $e^{-4x}\to 0$ et, par produit, $f(x)\to 0$. La courbe monte vers l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre.

Retrouver une solution de $y\prime =ay$ à partir de deux de ses valeurs. Écrire un décimal.

1. $f$ est solution de $y\prime =ay$, $f(0)=5$ et $f(2)=5e^{-1}$ : $a=$
   $f(x)=C{e}^{ax}$ avec $C=f(0)=5$. Puis $5e^{2a}=5e^{-1}$ donne $2a=-1$, soit $a=-0,5$.
2. $f$ est solution de $y\prime =ay$, $f(1)=6$ et $f(3)=24$. En écrivant $f(x)=C{e}^{ax}$ : $C=$
   ${\displaystyle \frac{f(3)}{f(1)}}={\displaystyle \frac{C{e}^{3a}}{C{e}^a}}=e^{2a}=4$, donc $a={\displaystyle \frac{\ln 4}{2}}=\ln 2$. Puis $C{e}^{\ln 2}=2C=6$ donne $C=3$.
3. Justifier qu’une solution non nulle de $y\prime =ay$ ne s’annule jamais. La fonction de la question précédente s’écrit $f(x)=3\times b^x$ avec $b=$
   Rédaction attendue. Une solution s’écrit $f(x)=C{e}^{ax}$. Si elle n’est pas la fonction nulle, $C\ne 0$ ; comme $e^{ax}>0$ pour tout réel $x$, le produit $C{e}^{ax}$ n’est jamais nul (et garde le signe de $C$). Ici $f(x)=3e^{x\ln 2}=3\times {\left(e^{\ln 2}\right)}^x=3\times 2^x$.

Donner la solution constante $c$ de chaque équation (écrire un nombre décimal, entier ou une fraction).

1. $y\prime =2y+10$ : $c=$
   $0=2c+10$ donne $c=-5$.
2. $y\prime =-0,4y+6$ : $c=$
   $0=-0,4c+6$ donne $0,4c=6$, soit $c=15$.
3. $y\prime =3y-1$ : $c=$
   $0=3c-1$ donne $c={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (valeur exacte : on n’arrondit pas).
4. $y\prime =-5y-20$ : $c=$
   $0=-5c-20$ donne $5c=-20$, soit $c=-4$.

Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale, puis répondre. Arrondir au centième quand c’est demandé.

1. $y\prime =-2y+8$ et $y(0)=1$ : $f(x)=C{e}^{-2x}+4$ avec $C=$
   Solution constante : $0=-2c+8$, $c=4$. Condition : $C+4=1$, donc $C=-3$ et $f(x)=4-3e^{-2x}$.
2. $y\prime =0,5y-3$ et $y(0)=10$ : $f(2)\approx$ (au centième)
   Solution constante : $0=0,5c-3$, $c=6$ ; $C+6=10$ donne $C=4$. Donc $f(x)=4e^{0,5x}+6$ et $f(2)=4e+6\approx 16,873$, soit $16,87$.
3. $y\prime =3y+3$ et $y(0)=-1$ : $f(5)=$
   Solution constante : $0=3c+3$, $c=-1$. Comme $y(0)=-1=c$, on a $C=0$ : $f$ est la solution constante, et $f(5)=-1$.

On considère $(E)$ : $y\prime +3y=6$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-2$ est solution de $y\prime =-3y$, puis en déduire la solution telle que $f(0)=-1$ : $f(x)=2-$ $e^{-3x}$
   Rédaction attendue. $(E)$ s’écrit $y\prime =-3y+6$. Pour toute fonction $f$ dérivable sur $ℝ$, $(f-2{)}^{\prime }=f\prime$ et $-3(f-2)=-3f+6$. Donc $f\prime =-3f+6$ si et seulement si $(f-2{)}^{\prime }=-3(f-2)$ : $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-2$ est solution de $y\prime =-3y$, c’est-à-dire $f(x)-2=C{e}^{-3x}$, $C\in ℝ$. Les solutions de $(E)$ sont les $x\mapsto C{e}^{-3x}+2$. Avec $f(0)=C+2=-1$ : $C=-3$, donc $f(x)=2-3e^{-3x}$.
2. Pour cette solution, $f\prime (0)=$
   $f\prime (x)=-3\times (-3)e^{-3x}=9e^{-3x}$, donc $f\prime (0)=9$. On peut aussi lire l’équation : $f\prime (0)=-3f(0)+6=3+6=9$.
3. Justifier que $f$ est croissante et tend vers $2$ en $+\infty$, puis donner le plus petit entier $n⩾0$ tel que $f(n)>1,99$ : $n=$
   Rédaction attendue. Pour tout $x$, $f\prime (x)=9e^{-3x}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$. Comme $e^{-3x}\to 0$ en $+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=2$. Puis $f(x)>1,99$ $⟺3e^{-3x}<0,01$ $⟺e^{-3x}<{\displaystyle \frac{1}{300}}$ $⟺-3x<-\ln 300$ $⟺x>{\displaystyle \frac{\ln 300}{3}}\approx 1,90$. Le plus petit entier est $n=2$ ($f(1)\approx 1,851$ et $f(2)\approx 1,9926$).

On considère $(E)$ : $y\prime =0,25y-2$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $(E)$ admet une unique solution $f$ telle que $f(4)=10$, puis donner $f(0)\approx$ (au centième)
   Rédaction attendue. Solution constante : $0=0,25c-2$, donc $c=8$. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{0,25x}+8$, $C\in ℝ$. La condition $f(4)=10$ s’écrit $C{e}^1+8=10$, soit $Ce=2$ : comme $e\ne 0$, cette équation a une seule solution $C=2e^{-1}$. Il existe donc une unique solution, $f(x)=2e^{0,25x-1}+8$, et $f(0)=2e^{-1}+8\approx 8,736$, soit $8,74$.
2. Une solution de $(E)$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si et seulement si sa valeur en $0$ est strictement inférieure à
   Une solution s’écrit $C{e}^{0,25x}+8$ avec $C=y(0)-8$. Comme $a=0,25>0$, $e^{0,25x}\to +\infty$ : la solution tend vers $-\infty$ si et seulement si $C<0$, c’est-à-dire $y(0)<8$.
3. La solution $h$ de $(E)$ telle que $h(0)=5$ s’annule pour $x=4\ln a$ avec $a=$ (écrire une fraction)
   $h(x)=-3e^{0,25x}+8$ ($C=5-8=-3$). $h(x)$ $=0$ $⟺e^{0,25x}$ $={\displaystyle \frac{8}{3}}$ $⟺0,25x$ $=\ln {\displaystyle \frac{8}{3}}$ $⟺x$ $=4\ln {\displaystyle \frac{8}{3}}$, soit $a={\displaystyle \frac{8}{3}}$.

Trouver le coefficient demandé par identification (écrire un décimal).

1. $g(x)=2x+\beta$ est solution de $y\prime =4y-8x$ pour $\beta =$
   $g\prime (x)=2$ et $4g(x)-8x=8x+4\beta -8x=4\beta$. Il faut $4\beta =2$, soit $\beta =0,5$.
2. $g(x)=\alpha x+\beta$ est solution de $y\prime =2y+6x$ : $\alpha =$
   $g\prime (x)=\alpha$ et $2g(x)+6x=(2\alpha +6)x+2\beta$. Par identification, $2\alpha +6=0$ (coefficient de $x$), donc $\alpha =-3$.
3. Pour la même équation $y\prime =2y+6x$ : $\beta =$
   Les termes constants donnent $\alpha =2\beta$, soit $-3=2\beta$ et $\beta =-1,5$ : $g(x)=-3x-1,5$.
4. $g(x)=k{e}^{2x}$ est solution de $y\prime =y+e^{2x}$ pour $k=$
   $g\prime (x)=2k{e}^{2x}$ et $g(x)+e^{2x}=(k+1)e^{2x}$. Il faut $2k=k+1$, soit $k=1$.

On considère $(E)$ : $y\prime =-y+x^2$ sur $ℝ$ ; on admet que $g(x)=x^2-2x+2$ est solution de $(E)$. On cherche la solution $f$ telle que $f(0)=5$.

1. $f(x)=x^2-2x+2+C{e}^{-x}$ avec $C=$
   Les solutions de $(E)$ sont les $x\mapsto g(x)+C{e}^{-x}$. $f(0)=2+C=5$ donne $C=3$ : $f(x)=x^2-2x+2+3e^{-x}$.
2. Valeur de $f(1)$ arrondie au centième :
   $f(1)=1-2+2+3e^{-1}=1+{\displaystyle \frac{3}{e}}\approx 2,104$, soit $2,10$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}(f(x)-g(x))=$
   $f(x)-g(x)=3e^{-x}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$ : la courbe de $f$ se rapproche de la parabole d’équation $y=x^2-2x+2$.

On considère $(E)$ : $y\prime =-y+2\cos x$ sur $ℝ$, et $g(x)=\cos x+\sin x$.

1. Démontrer que $g$ est solution de $(E)$. Contrôle : $g\prime (0)=$
   Rédaction attendue. D’une part, pour tout réel $x$, $g\prime (x)=-\sin x+\cos x$. D’autre part, $-g(x)+2\cos x=-\cos x-\sin x+2\cos x=\cos x-\sin x$. Les deux membres sont égaux pour tout $x$ : $g$ est solution de $(E)$. Et $g\prime (0)=-0+1=1$.
2. Démontrer que $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h-g$ est solution de $y\prime =-y$. Solution telle que $h(0)=4$ : $h(x)=\cos x+\sin x+$ $e^{-x}$
   Rédaction attendue. Soit $h$ dérivable sur $ℝ$. Comme $g\prime =-g+2\cos x$, on a $h\prime +h-2\cos x$ $=(h\prime -g\prime )+(h-g)$ $=(h-g{)}^{\prime }+(h-g)$. Donc $h\prime =-h+2\cos x$ si et seulement si $(h-g{)}^{\prime }=-(h-g)$ : $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h-g=C{e}^{-x}$, $C\in ℝ$. Les solutions sont les $x\mapsto \cos x+\sin x+C{e}^{-x}$. Avec $h(0)=1+0+C=4$ : $C=3$.
3. Pour cette solution, $h\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\approx$ (au centième)
   $h\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ $=0+1+3e^{-\pi /2}\approx 1+0,624$ $=1,624$, soit $1,62$.

On considère $(E)$ : $y\prime =y+(2x+1)e^x$ sur $ℝ$. On cherche une solution particulière de la forme $g(x)=(x^2+\beta x)e^x$.

1. Démontrer que $g$ est solution de $(E)$ pour une seule valeur de $\beta$ : $\beta =$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $g\prime (x)$ $=(2x+\beta )e^x+(x^2+\beta x)e^x$ $=(x^2+(\beta +2)x+\beta )e^x$. D’autre part, $g(x)+(2x+1)e^x$ $=(x^2+(\beta +2)x+1)e^x$. Comme $e^x\ne 0$, l’égalité pour tout $x$ équivaut à l’égalité des polynômes, qui impose $\beta =1$. Donc $g(x)=(x^2+x)e^x$ est solution.
2. La solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=2$ s’écrit $f(x)=(x^2+x+$ $)e^x$
   Les solutions sont les $x\mapsto (x^2+x)e^x+C{e}^x=(x^2+x+C)e^x$. $f(0)=C=2$.
3. Image de $-1$ par $f$, arrondie au centième :
   $f(-1)=(1-1+2)e^{-1}={\displaystyle \frac{2}{e}}\approx 0,736$, soit $0,74$.

Méthode d’Euler pour $y\prime =2y+1$, $y(0)=1$, avec le pas $h=0,1$. Écrire les valeurs exactes des $y_n$ (décimaux).

1. $y_1=$
   $y_1=y_0+h(2y_0+1)=1+0,1\times 3=1,3$.
2. $y_2=$
   $y_2$ $=1,3+0,1\times (2\times 1,3+1)$ $=1,3+0,36$ $=1,66$.
3. $y_3=$
   $y_3$ $=1,66+0,1\times (3,32+1)$ $=1,66+0,432$ $=2,092$, valeur approchée de $f(0,3)$.

Une culture de bactéries compte $1000$ bactéries à l’instant $t=0$ ($t$ en heures). Sa vitesse de croissance est proportionnelle à son effectif, avec le coefficient $0,3$ : $N\prime =0,3N$.

1. Vitesse de croissance initiale : $N\prime (0)=$ bactéries par heure
   L’équation donne directement $N\prime (0)=0,3\times N(0)=0,3\times 1000=300$.
2. $N(5)\approx$ (à l’unité)
   Les solutions de $N\prime =0,3N$ sont les $C{e}^{0,3t}$ ; $N(0)=C=1000$, donc $N(t)=1000e^{0,3t}$. Alors $N(5)=1000e^{1,5}\approx 4481,7$, soit environ $4482$ bactéries.
3. Durée, en heures, au bout de laquelle la culture atteint $10000$ bactéries : (au dixième)
   $1000e^{0,3t}$ $=10000$ $⟺e^{0,3t}$ $=10$ $⟺t$ $={\displaystyle \frac{\ln 10}{0,3}}\approx 7,68$, soit $7,7$ heures.

Une pièce métallique sort d’un four à $180$ °C dans un atelier à $25$ °C. Sa température $T(t)$, en °C après $t$ minutes, vérifie $T\prime =-0,04(T-25)$ et $T(0)=180$.

1. Écrire l’équation sous la forme $T\prime =aT+b$ : $b=$
   $T\prime =-0,04T+0,04\times 25=-0,04T+1$ : $a=-0,04$ et $b=1$.
2. Démontrer que $T(t)=25+155e^{-0,04t}$, puis donner $T(10)$ arrondi à l’unité : °C
   Rédaction attendue. Solution constante : $0=-0,04c+1$, donc $c=25$ (la température de l’atelier). Les solutions sont les $t\mapsto C{e}^{-0,04t}+25$. La condition $T(0)=C+25=180$ donne $C=155$, d’où $T(t)=25+155e^{-0,04t}$. Alors $T(10)=25+155e^{-0,4}\approx 128,9$, soit $129$ °C.
3. Le plus petit nombre entier de minutes au bout duquel la température est inférieure à $50$ °C est
   $T(t)<50$ $⟺155e^{-0,04t}<25$ $⟺e^{-0,04t}<{\displaystyle \frac{5}{31}}$ $⟺t>25\ln 6,2\approx 45,6$. Comme $T$ est décroissante, la réponse est $46$ minutes ($T(45)\approx 50,6$ et $T(46)\approx 49,6$).

Soit $f$ la solution de $y\prime =3-2x$ telle que $f(0)=0$. On l’approche par la méthode d’Euler de pas $h=0,5$ sur $[0;1,5]$.

1. $y_3$, valeur approchée de $f(1,5)$ :
   Ici $y\prime =3-2x$ ne dépend pas de $y$ : $y_{n+1}=y_n+0,5\times (3-2x_n)$. Donc $y_1=0+0,5\times 3=1,5$, $y_2=1,5+0,5\times (3-1)=2,5$, puis $y_3=2,5+0,5\times (3-2)=3$.
2. Valeur exacte : $f(1,5)=$
   Les primitives de $x\mapsto 3-2x$ sont les $x\mapsto 3x-x^2+C$ ; $f(0)=C=0$, donc $f(x)=3x-x^2$ et $f(1,5)=4,5-2,25=2,25$.
3. Justifier que la méthode d’Euler surestime ici. Écart $y_3-f(1,5)=$
   Rédaction attendue. $f″(x)=-2<0$ : $f$ est concave, donc sa courbe est sous chacune de ses tangentes : $f(x_k+h)⩽f(x_k)+hf\prime (x_k)$, soit $f(x_{k+1})-f(x_k)⩽hf\prime (x_k)$. Or, pour $y\prime =f\prime$, chaque pas d’Euler ajoute exactement $hf\prime (x_k)$ : $y_n=h(f\prime (x_0)+\cdots +f\prime (x_{n-1}))$. En sommant, $f(x_n)⩽y_n$ : la méthode surestime (les pentes $f\prime (x_k)$, prises en début de pas, sont les plus grandes du pas, car $f\prime$ décroît). Ici les accroissements exacts $1,25$ ; $0,75$ ; $0,25$ sont inférieurs aux pas d’Euler $1,5$ ; $1$ ; $0,5$. Écart : $3-2,25=0,75$.