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Formulaire : compléments sur la dérivation

Composée de deux fonctions, dérivée de g(ax + b) et de g∘u, dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, dérivée seconde, études de fonctions composées.

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Dérivation : fonctions composées

Fiche tableaux : les dérivées à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Dérivées des fonctions de référence

$f (x)$	$f' (x)$	Dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$ℝ$
$x$	$1$	$ℝ$
$x^{n}$ , $n ⩾ 1$ entier	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x^{n}}$ , $n ⩾ 1$ entier	$- \frac{n}{x^{n + 1}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$

Exemples : $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ ; ${(\frac{1}{x^{3}})}^{'} = - \frac{3}{x^{4}}$ .

Opérations

Fonction	Dérivée	Condition
$u + v$	$u' + v'$	—
$k u$	$k u'$	$k$ réel
$u v$	$u' v + u v'$	—
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v'}{v^{2}}$	$v (x) \neq 0$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u' v - u v'}{v^{2}}$	$v (x) \neq 0$

Exemple : $(x e^{x})^{'} = 1 \times e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$ .

Composée avec une fonction affine : g(ax + b)

Fonction	Dérivée	Condition
$g (a x + b)$	$a g' (a x + b)$	$a x + b$ où $g$ est dérivable
$(a x + b)^{n}$ , $n ⩾ 1$	$n a (a x + b)^{n - 1}$	aucune
$\frac{1}{a x + b}$	$\frac{- a}{(a x + b)^{2}}$	$a x + b \neq 0$
$\sqrt{a x + b}$	$\frac{a}{2 \sqrt{a x + b}}$	$a x + b > 0$
$e^{a x + b}$	$a e^{a x + b}$	aucune

Exemples : $(e^{7 x})^{'} = 7 e^{7 x}$ ; ${(\sqrt{3 x + 1})}^{'} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ pour $x > - \frac{1}{3}$ .

Composées usuelles

Fonction	Dérivée	Condition
$g \circ u$	$u' \times (g' \circ u)$	$u (x)$ où $g$ est dérivable
$\sqrt{u}$	$\frac{u'}{2 \sqrt{u}}$	$u (x) > 0$
$u^{n}$ , $n ⩾ 1$	$n u' u^{n - 1}$	aucune
$u^{n}$ , $n ⩽ - 1$	$n u' u^{n - 1}$	$u (x) \neq 0$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u'}{u^{2}}$	$u (x) \neq 0$
$e^{u}$	$u' e^{u}$	aucune

Exemple : ${(\sqrt{x^{3} + 8})}^{'} = \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 8}}$ pour $x > - 2$ .

Signe de f′, de f″ et tangente

Si, sur $I$ …	alors…
$f' (x) > 0$ (sauf en des points isolés)	$f$ strictement croissante sur $I$
$f' (x) < 0$ (sauf en des points isolés)	$f$ strictement décroissante sur $I$
$f ″ (x) ⩾ 0$	$f'$ croissante sur $I$
$f ″ (x) ⩽ 0$	$f'$ décroissante sur $I$
$e^{u}$ , $\sqrt{u}$	mêmes variations que $u$
tangente en $a$	$y = f' (a) (x - a) + f (a)$

Exemple : $f (x) = x^{3} - 6 x$ : $f' (x) = 3 x^{2} - 6$ et $f ″ (x) = 6 x$ , donc $f'$ décroît sur $] - \infty; 0]$ et croît sur $[0; + \infty [$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des dérivées en tableaux, pour le bac de spécialité maths : dérivées des fonctions de référence, opérations (produit, quotient), dérivée de g(ax + b), dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, lien entre le signe de f′, celui de f″ et les variations, équation de la tangente. Chaque tableau est suivi d’un exemple court ; la fiche se télécharge en PDF.

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