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Fiche de révision : compléments sur la dérivation

Composée de deux fonctions, dérivée de g(ax + b) et de g∘u, dérivées de √u, uⁿ, 1/u et eᵘ, dérivée seconde, études de fonctions composées.

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Dérivation : fonctions composées

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Dérivation)

La démarche pour dériver et étudier une composée

1. Je décompose : je repère le dernier calcul (racine, puissance, inverse, exponentielle) et j’écris $u (x)$ et $u' (x)$ à part.

2. Je vérifie la condition : $u (x) > 0$ pour $\sqrt{u}$ , $u (x) \neq 0$ pour $\frac{1}{u}$ ou une puissance négative.

3. J’applique la formule en nommant la forme, puis je factorise $f' (x)$ .

4. J’étudie le signe : j’écarte les facteurs positifs ( $e^{u}$ , $\sqrt{u}$ , carrés) ; si le signe ne se lit toujours pas, je passe par $f ″$ .

Le réflexe — chaque dérivée se justifie par la forme reconnue et la condition vérifiée (« u(x) > 0 sur I, donc… ») ; une dérivée laissée développée ne permet pas d’étudier un signe.

Cas 1 · Composer et décomposer

Réflexe — le dernier calcul effectué est la fonction extérieure ; même sens de variation pour u et g : g∘u croissante, sens contraires : décroissante.

Exemple. Questions types : « Écrire $f$ comme composée », « Ensemble de définition », « Sens de variation sans dériver ». Exemple : $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ .

On calcule d’abord $\sqrt{x}$ , puis son exponentielle : $f = g \circ u$ avec $u (x) = \sqrt{x}$ et $g (X) = e^{X}$ .

$u$ est définie sur $[0; + \infty [$ et $g$ sur $ℝ$ : $f$ est définie sur $[0; + \infty [$ .

$u$ est croissante sur $[0; + \infty [$ et $g$ est croissante sur $ℝ$ : même sens, donc $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$ .

Attention — g∘u ≠ u∘g en général ; on remplace la variable de g par u(x) tout entier.

Cas 2 · Règle générale et g(ax + b)

Réflexe — dérivée de l’extérieur prise en u(x), multipliée par u′(x) ; pour g(ax + b), on multiplie par a.

Exemple. Questions types : « Calculer la dérivée de $(a x + b)^{n}$ , $e^{a x + b}$ … », « Exprimer la dérivée de $x \mapsto g (u (x))$ ». Exemple : $f (x) = (6 x + 1)^{3}$ .

$f (x) = g (6 x + 1)$ avec $g (X) = X^{3}$ , $g' (X) = 3 X^{2}$ , et $a = 6$ .

Donc $f' (x) = 6 \times 3 (6 x + 1)^{2} = 18 (6 x + 1)^{2}$ .

Attention — oublier le facteur a (ou u′) : la dérivée de (6x + 1)³ n’est pas 3(6x + 1)².

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Cas 3 · Formules √u, uⁿ, 1/u, eᵘ

Réflexe — j’écris u et u′, je vérifie la condition, j’applique la formule de la forme reconnue, je simplifie.

Exemple. Questions types : « Montrer que $f' (x) = \dots$ ». Exemple : $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1}$ sur $ℝ$ .

$f = \frac{1}{u}$ avec $u (x) = e^{x} + 1 > 0$ (donc $u (x) \neq 0$ ) et $u' (x) = e^{x}$ .

Avec ${(\frac{1}{u})}^{'} = - \frac{u'}{u^{2}}$ : $f' (x) = \frac{- e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}$ .

Le numérateur est négatif et le dénominateur positif : $f$ est strictement décroissante sur $ℝ$ .

Attention — (eᵘ)′ = u′eᵘ, jamais u eᵘ⁻¹ ; √u n’est dérivable que là où u > 0.

Cas 4 · Dérivée seconde

Réflexe — f″ = (f′)′ ; signe de f″ → variations de f′ → minimum ou maximum de f′ → signe de f′.

Exemple. Questions types : « Calculer $f ″ (x)$ », « Étudier les variations de $f'$ et en déduire son signe ». Exemple : $f (x) = 2 e^{x} - x^{2}$ sur $ℝ$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 x$ : le signe ne se lit pas. $f ″ (x) = 2 e^{x} - 2 = 2 (e^{x} - 1)$ .

$e^{x} ⩾ 1 ⟺ x ⩾ 0$ : $f'$ décroît sur $] - \infty; 0]$ et croît sur $[0; + \infty [$ , de minimum $f' (0) = 2$ .

Donc $f' (x) ⩾ 2 > 0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

Attention — f″ > 0 veut dire « f′ croissante », pas « f croissante ».

Cas 5 · Étude complète

Réflexe — intervalle, f′ factorisée, facteurs positifs écartés, signe du reste, tableau de variations, extremum calculé.

Exemple. Questions types : « Étudier les variations de $f$ », « Déterminer son maximum », « Équation de la tangente en $a$ ». Exemple : $f (x) = e^{4 x - x^{2}}$ .

$f' (x) = (4 - 2 x) e^{4 x - x^{2}}$ , et $e^{4 x - x^{2}} > 0$ : $f' (x)$ a le signe de $4 - 2 x$ .

$f$ est croissante sur $] - \infty; 2]$ , décroissante sur $[2; + \infty [$ .

Maximum : $f (2) = e^{8 - 4} = e^{4}$ .

Attention — le maximum de eᵘ est e^M, pas M : même abscisse, valeur différente.

Les pièges

Oublier le facteur u′ : (e^(x²))′ = 2x e^(x²), pas e^(x²).
Dériver l’intérieur à l’intérieur : (√(x² + 3))′ ≠ 1/(2√(2x)).
Traiter eᵘ comme une puissance : (eᵘ)′ ≠ u eᵘ⁻¹.
Oublier la condition : √(x²) = |x| n’est pas dérivable en 0.
Confondre g∘u et u∘g : écrire u et g avant de dériver.
Lire f″ comme si elle renseignait sur f : elle donne les variations de f′.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour dériver et étudier une fonction composée : décomposer, vérifier la condition u > 0 ou u ≠ 0, appliquer la formule, factoriser, étudier le signe. Pour chacun des cinq cas du cours, elle donne les questions types et une réponse rédigée, puis les pièges classiques (facteur u′ oublié, eᵘ traité comme une puissance).

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