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Formulaire : convexité

Fonction convexe ou concave (cordes et tangentes), dérivée seconde et convexité, points d’inflexion, inégalités obtenues par convexité, lecture graphique sur la courbe de f, f′ ou f″.

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Convexité

Fiche tableaux : ce qu’il faut connaître

(Spécialité maths Terminale)

Convexe ou concave : les caractérisations

	$f$ convexe sur $I$	$f$ concave sur $I$
Cordes	courbe en dessous	courbe au-dessus
Milieu	$f (\frac{a + b}{2}) ⩽ \frac{f (a) + f (b)}{2}$	$f (\frac{a + b}{2}) ⩾ \frac{f (a) + f (b)}{2}$
Tangentes	courbe au-dessus	courbe en dessous
$f'$	croissante	décroissante
$f ″$	$f ″ ⩾ 0$	$f ″ ⩽ 0$

Exemple : $x \mapsto - 3 x^{2} + x$ a pour dérivée seconde $- 6 < 0$ : elle est concave sur $ℝ$ .

Fonctions de référence

$f (x)$	$f ″ (x)$	Convexité
$a x + b$	$0$	convexe et concave sur $ℝ$
$x^{2}$	$2$	convexe sur $ℝ$
$x^{3}$	$6 x$	concave sur $] - \infty; 0]$ , convexe sur $[0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$\frac{2}{x^{3}}$	concave sur $] - \infty; 0 [$ , convexe sur $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$- \frac{1}{4 x \sqrt{x}}$	concave sur $[0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	convexe sur $ℝ$

Exemple : la fonction cube a un point d’inflexion à l’origine, où sa tangente est l’axe des abscisses.

Point d’inflexion

Situation en $a$	Conclusion
$f ″$ s’annule en changeant de signe	point d’inflexion $(a; f (a))$
$f ″ (a) = 0$ sans changement de signe	pas d’inflexion
$f'$ admet un extremum en $a$ (croît puis décroît, ou l’inverse)	point d’inflexion
changement de convexité en $a$ hors du domaine	pas de point d’inflexion

Exemple : pour $x \mapsto x^{3} + 3 x$ , $f ″ (x) = 6 x$ change de signe en $0$ : inflexion en $(0; 0)$ , de tangente $y = 3 x$ .

Lecture graphique

Courbe tracée	Variations de $f$	$f$ convexe	Inflexion
$𝒞_{f}$	lecture directe	sous les cordes	courbe qui traverse sa tangente
$𝒞_{f'}$	signe de $f'$	$f'$ croissante	extremum de $f'$
$𝒞_{f ″}$	non lisibles	au-dessus de l’axe	la courbe traverse l’axe

Exemple : si $f'$ admet un minimum en $- 2$ , la courbe de $f$ passe de concave à convexe en $- 2$ .

Inégalités de convexité classiques

Inégalité	Fonction	Tangente en	Valable pour
$e^{x} ⩾ 1 + x$	$\exp$ , convexe	$0$	tout réel $x$
$\sqrt{x} ⩽ \frac{x + 1}{2}$	$\sqrt{}$ , concave	$1$	$x ⩾ 0$
$\frac{1}{x} ⩾ 2 - x$	inverse, convexe sur $] 0; + \infty [$	$1$	$x > 0$

Exemple : $\frac{1}{x} - (2 - x) = \frac{(x - 1)^{2}}{x} ⩾ 0$ pour $x > 0$ confirme la troisième ligne.

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À propos de cette page

La fiche de révision de la convexité en tableaux, pour le bac de spécialité maths : caractérisations d’une fonction convexe ou concave (cordes, tangentes, f′, f″), fonctions de référence et leur dérivée seconde, conditions pour un point d’inflexion, lecture des courbes de f, f′ et f″, inégalités classiques comme eˣ ≥ 1 + x. Chaque tableau est suivi d’un exemple court ; la fiche se télécharge en PDF.

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