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Formulaire : forme algébrique et conjugué

L’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, parties réelle et imaginaire, conjugué et ses propriétés, inverse, quotient et équations simples, module, formule du binôme dans ℂ.

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Forme algébrique et conjugué

Fiche tableaux : les règles de calcul dans ℂ

(Maths expertes Terminale)

Puissances de i

Reste de $n$ dans la division par $4$	$0$	$1$	$2$	$3$
$i^{n}$	$1$	$i$	$- 1$	$- i$

Exemple : $50 = 4 \times 12 + 2$ , donc $i^{50} = - 1$ .

Calculer en forme algébrique

Calcul	Résultat ( $z = a + i b$ , $z' = a' + i b'$ )
$z + z'$	$(a + a') + i (b + b')$
$z z'$	$(a a' - b b') + i (a b' + a' b)$
$z \overset{―}{z}$	$a^{2} + b^{2}$ (réel positif)
$\frac{1}{z}$ ( $z \neq 0$ )	$\frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}$
$\frac{z'}{z}$ ( $z \neq 0$ )	$\frac{z' \overset{―}{z}}{a^{2} + b^{2}}$

Exemple : $\frac{1}{1 + 3 i} = \frac{1 - 3 i}{10}$ .

Le conjugué

Propriété	Formule
Somme, produit	$\overset{―}{z + z'}$ $= \overset{―}{z} + \overset{―}{z'}$ ; $\overset{―}{z z'} = \overset{―}{z} \overset{―}{z'}$
Puissance ( $n \in ℕ$ )	$\overset{―}{z^{n}} = {(\overset{―}{z})}^{n}$
Inverse, quotient	$\overset{―}{(\frac{1}{z})}$ $= \frac{1}{\overset{―}{z}}$ ; $\overset{―}{(\frac{z}{z'})}$ $= \frac{\overset{―}{z}}{\overset{―}{z'}}$
Parties réelle et imaginaire	$z + \overset{―}{z} = 2 R e (z)$ ; $z - \overset{―}{z} = 2 i I m (z)$
Réel, imaginaire pur	$z \in ℝ \Leftrightarrow \overset{―}{z}$ $= z$ ; $z$ imaginaire pur $\Leftrightarrow \overset{―}{z} = - z$

Exemple : $\overset{―}{(1 - i)^{3}} = (1 + i)^{3}$ .

Le module

Propriété	Formule
Définition	$\| a + i b \| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
Lien avec le conjugué	$\| z \|^{2} = z \overset{―}{z}$ ; $\| \overset{―}{z} \| = \| - z \| = \| z \|$
Produit, puissance	$\| z z' \| = \| z \| \| z' \|$ ; $\| z^{n} \| = \| z \|^{n}$
Inverse, quotient	$\| \frac{1}{z} \| = \frac{1}{\| z \|}$ ; $\| \frac{z}{z'} \|$ $= \frac{\| z \|}{\| z' \|}$
Somme	$\| z + z' \| ⩽ \| z \| + \| z' \|$ (pas d’égalité en général)

Exemple : $| (2 + 2 i)^{4} | = {(2 \sqrt{2})}^{4} = 64$ .

Coefficients binomiaux

$n$	Ligne $n$ du triangle de Pascal : $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})$
$2$	$1, 2, 1$
$3$	$1, 3, 3, 1$
$4$	$1, 4, 6, 4, 1$
$5$	$1, 5, 10, 10, 5, 1$
$6$	$1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$

Formule du binôme : $(a + b)^{n}$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ . Exemple : $(3 + 2 i)^{3} = 27 + 54 i + 36 i^{2} + 8 i^{3} = - 9 + 46 i$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des nombres complexes en forme algébrique, en tableaux : puissances de i selon le reste modulo 4, somme, produit, inverse et quotient, propriétés du conjugué, propriétés du module, lignes du triangle de Pascal et formule du binôme. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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