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Fiche de révision : forme algébrique et conjugué

L’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, parties réelle et imaginaire, conjugué et ses propriétés, inverse, quotient et équations simples, module, formule du binôme dans ℂ.

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Forme algébrique et conjugué

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Nombres complexes · Point de vue algébrique)

La démarche pour calculer dans ℂ

1. Je repère la forme du calcul : produit, puissance, quotient, équation, module.

2. Je choisis l’outil : développer et remplacer $i^{2}$ par $- 1$ ; conjugué du dénominateur ; poser $z = x + i y$ ; propriétés du module ou du conjugué ; formule du binôme.

3. Je sépare partie réelle et partie imaginaire, qui sont deux réels, et j’identifie si besoin.

4. Je contrôle : en remultipliant, en calculant un module, ou en vérifiant que le résultat est bien réel ou imaginaire pur.

Le réflexe — une égalité entre complexes donne deux égalités entre réels : c’est l’identification, qui ne vaut que si les parties comparées sont réelles.

Cas 1 · Écrire sous forme algébrique

Réflexe — je développe, je remplace i² par −1, je regroupe ; pour iⁿ, je garde le reste de n dans la division par 4.

Exemple. Questions types : « Donner la forme algébrique de… », « Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que… ». Exemple : $(3 - i) (2 + 4 i)$ .

On développe : $(3 - i) (2 + 4 i) = 6 + 12 i - 2 i - 4 i^{2}$ .

On remplace $i^{2}$ par $- 1$ : $6 + 10 i + 4$ .

Donc $(3 - i) (2 + 4 i) = 10 + 10 i$ : partie réelle $10$ , partie imaginaire $10$ .

Attention — la partie imaginaire est un réel : Im(a + ib) = b, sans le i.

Cas 2 · Réel ou imaginaire pur avec le conjugué

Réflexe — je conjugue l’expression en conjuguant chaque nombre ; si je retrouve le nombre, il est réel ; si je trouve son opposé, il est imaginaire pur.

Exemple. Questions types : « Montrer que … est réel », « Montrer que … est imaginaire pur ». Exemple : $u = z^{2} - {\overset{―}{z}}^{2}$ pour un complexe $z$ .

Le conjugué d’une différence est la différence des conjugués, celui d’une puissance la puissance du conjugué.

$\overset{―}{u}$ $= \overset{―}{z^{2}} - \overset{―}{{\overset{―}{z}}^{2}}$ $= {\overset{―}{z}}^{2} - z^{2}$ $= - u$ .

Comme $\overset{―}{u} = - u$ , le nombre $u$ est imaginaire pur.

Attention — le conjugué de iz est −i z̄ : i se conjugue aussi.

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Cas 3 · Quotient et équations

Réflexe — quotient : je multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur ; équation avec z̄ : je pose z = x + iy et j’identifie.

Exemple. Questions types : « Écrire $\frac{z}{z'}$ sous forme algébrique », « Résoudre dans ℂ ». Exemples : $\frac{5 + 2 i}{3 - i}$ , puis $z - 2 \overset{―}{z} = - 8 + 9 i$ .

$\frac{5 + 2 i}{3 - i}$ $= \frac{(5 + 2 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$ $= \frac{15 + 5 i + 6 i + 2 i^{2}}{10}$ $= \frac{13}{10} + \frac{11}{10} i$ .

Avec $z = x + i y$ : $z - 2 \overset{―}{z}$ $= x + i y - 2 x + 2 i y$ $= - x + 3 i y$ .

On identifie : $- x = - 8$ et $3 y = 9$ , donc $z = 8 + 3 i$ .

Attention — on n’isole pas z quand z̄ figure dans l’équation : on passe par x et y.

Cas 4 · Calculer un module sans développer

Réflexe — je découpe en produits, quotients et puissances, puis |zz′| = |z||z′|, |z/z′| = |z|/|z′|, |zⁿ| = |z|ⁿ.

Exemple. Questions types : « Calculer le module de… », « Montrer que |…| = … ». Exemple : $| \frac{(3 - i)^{4}}{(1 + 2 i)^{3}} |$ .

$| 3 - i | = \sqrt{10}$ et $| 1 + 2 i | = \sqrt{5}$ .

Donc $| \frac{(3 - i)^{4}}{(1 + 2 i)^{3}} |$ $= \frac{{(\sqrt{10})}^{4}}{{(\sqrt{5})}^{3}}$ $= \frac{100}{5 \sqrt{5}}$ $= \frac{20}{\sqrt{5}}$ .

Soit $4 \sqrt{5}$ après simplification.

Attention — |z + z′| ≠ |z| + |z′| : le module ne se découpe pas sur une somme.

Cas 5 · Développer avec la formule du binôme

Réflexe — ligne n du triangle de Pascal, puissances du second terme (i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1), puis je regroupe.

Exemple. Questions types : « Développer $(a + i b)^{n}$ », « En déduire une somme de coefficients binomiaux ». Exemple : $(1 - 2 i)^{4}$ .

Ligne $4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ , avec $b = - 2 i$ : $b^{2} = - 4$ , $b^{3} = 8 i$ , $b^{4} = 16$ .

$(1 - 2 i)^{4}$ $= 1 + 4 (- 2 i) + 6 (- 4) + 4 (8 i) + 16$ $= 1 - 8 i - 24 + 32 i + 16$ .

Donc $(1 - 2 i)^{4} = - 7 + 24 i$ .

Attention — (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ, et le signe de −2i se garde dans chaque puissance.

Les pièges

« √−9 = 3i » n’a pas de sens : le symbole √ est réservé aux réels positifs.
Im(z) est un réel : Im(2 − 6i) = −6, pas −6i.
Re(zz′) ≠ Re(z) Re(z′) : pour z = z′ = i, Re(i²) = −1 alors que Re(i) Re(i) = 0.
On ne compare pas deux complexes non réels : « z > 0 » n’a de sens que si z est réel.
Conjugué : i change de signe aussi, donc le conjugué de iz est −i z̄.
|z + z′| ≠ |z| + |z′| : seule l’inégalité |z + z′| ≤ |z| + |z′| est vraie.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer dans ℂ, puis une réponse rédigée pour chacun des cinq cas : écrire sous forme algébrique, prouver qu’un nombre est réel ou imaginaire pur avec le conjugué, quotient et équation avec z̄, module sans développer, développement par la formule du binôme. Les règles à connaître sont dans la fiche tableaux.

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