Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — suites récurrentes et itération
Application des matrices à la représentation et au calcul de suites définies par récurrence linéaire (programme officiel option Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Mise sous forme matricielle
/ 4 pts- Soit la suite $(w_n)$ définie par $w_{n+2} = 4w_{n+1} - 3w_n$, avec $w_0 = 1$ et $w_1 = 2$.
a) Déterminer la matrice compagnon $A$ de cette récurrence. - b) Écrire l'équation matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ en précisant $U_n$.
- c) Calculer $U_2$ et $U_3$ par itération matricielle.
- d) Vérifier que $w_3 = 4w_2 - 3w_1$.
Exercice 2 — Puissance de matrice et terme général
/ 5 pts- Soit $A = \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ et $V_0 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.
- a) Calculer $A^2$ et $A^3$.
- b) Conjecturer la forme de $A^n$ (pour $n \geq 1$) et vérifier par récurrence.
- c) Exprimer $V_n = A^n V_0$ explicitement, et donner les deux composantes de $V_n$ en fonction de $n$.
Exercice 3 — Modèle de transfert et état stable
/ 5 pts- Un opérateur téléphonique dispose de deux forfaits : « Basique » (B) et « Premium » (P). Chaque mois, 15 % des abonnés Basique passent au Premium et 5 % des abonnés Premium reviennent au Basique. En janvier, il y a 800 abonnés Basique et 200 abonnés Premium.
- a) Écrire la matrice de transition $A$ et le vecteur initial $V_0$.
- b) Calculer $V_1$ (état en février).
- c) Déterminer l'état stable $(B^*, P^*)$ sachant que la population totale reste 1000.
Exercice 4 — Suite de Lucas et matrice
/ 3 pts- La suite de Lucas vérifie $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$, $L_0 = 2$, $L_1 = 1$. La matrice compagnon est $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.
- a) Calculer $A^2$.
- b) Quel est le vecteur initial $U_0 = \begin{pmatrix}L_1\\L_0\end{pmatrix}$ ?
- c) Calculer $A^2\,U_0$ et identifier les deux composantes.
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 3 pts- Une population de bactéries se développe selon le modèle : $x_{n+1} = 2x_n - y_n$ et $y_{n+1} = x_n$ (où $x_n$ est la population en milliards à l'heure $n$ et $y_n$ est la valeur de l'heure précédente, servant de mémoire).
- a) Quelle est la matrice de transition $A$ ?
- b) Avec $x_0 = 1$ et $y_0 = 0$, calculer $x_1, x_2, x_3$ par itération.
- c) Que peut-on dire du comportement de $(x_n)$ ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Mise sous forme matricielle
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}4&-3\\1&0\end{pmatrix}$.
b) $U_n = \begin{pmatrix}w_{n+1}\\w_n\end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, et $U_{n+1} = A\,U_n$.
c) $U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix}4\cdot2-3\cdot1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$, donc $w_2=5$.
$U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix}4\cdot5-3\cdot2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix}$, donc $w_3=14$.
d) $4w_2-3w_1 = 4\cdot5-3\cdot2=20-6=14=w_3$. ✓
Exercice 2 — Puissance de matrice et terme général
Corrigé :
a) $A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$. Donc $A^3 = A^2\cdot A = I\cdot A = A = \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$.
b) On observe : $A^1=A$, $A^2=I$, $A^3=A$, $A^4=I$, … La matrice est d'ordre 2 ($A^2=I$). Pour $n$ pair $A^n = I$, pour $n$ impair $A^n = A$. (Preuve par récurrence : init. $A^2=I$ ✓ ; si $A^{2k}=I$ alors $A^{2(k+1)}=A^{2k}\cdot A^2=I$.)
c) Pour $n$ pair : $V_n = I\,V_0 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$. Pour $n$ impair : $V_n = A\,V_0 = \begin{pmatrix}1+2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.
Exercice 3 — Modèle de transfert et état stable
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}0{,}85 & 0{,}05 \\ 0{,}15 & 0{,}95\end{pmatrix}$, $V_0 = \begin{pmatrix}800\\200\end{pmatrix}$.
b) $V_1 = A\,V_0 = \begin{pmatrix}0{,}85\times800+0{,}05\times200\\0{,}15\times800+0{,}95\times200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}680+10\\120+190\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}690\\310\end{pmatrix}$.
c) L'état stable vérifie $A\,V^*=V^*$ : $-0{,}15B^*+0{,}05P^*=0 \Rightarrow P^*=3B^*$. Avec $B^*+P^*=1000$ : $B^*+3B^*=1000$, soit $B^*=250$ et $P^*=750$.
Exercice 4 — Suite de Lucas et matrice
Corrigé :
a) $A^2 = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$.
b) $U_0 = \begin{pmatrix}L_1\\L_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
c) $A^2\,U_0 = \begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot2\\1\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. La première composante est $L_3=4$ et la deuxième est $L_2=3$. On vérifie : $L_2=L_1+L_0=1+2=3$ ✓, $L_3=L_2+L_1=3+1=4$ ✓.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $A = \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}$.
b) $V_0 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. $V_1 = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, donc $x_1=2$. $V_2 = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$, $x_2=3$. $V_3=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$, $x_3=4$.
c) La récurrence $x_{n+2}=2x_{n+1}-x_n$ avec $x_0=1$, $x_1=2$ est une progression arithmétique de raison 1. On a $x_n = n+1$. La suite croît linéairement (et non exponentiellement) — la matrice a une valeur propre double égale à 1.
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Matrices — suites récurrentes et itération » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Mise sous forme matricielle/ 4 pts
- Exercice 2 — Puissance de matrice et terme général/ 5 pts
- Exercice 3 — Modèle de transfert et état stable/ 5 pts
- Exercice 4 — Suite de Lucas et matrice/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 3 pts
Notions évaluées
Suite récurrente linéaire d'ordre 1, Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle, Système de suites récurrentes et matrice de transition, Itération matricielle et puissances de matrices, Calcul du terme général via $A^n$, Modélisation : suites, états et transferts.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Matrices — suites récurrentes et itération » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Matrices — suites récurrentes et itération » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Suite récurrente linéaire d'ordre 1, Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle, Système de suites récurrentes et matrice de transition, Itération matricielle et puissances de matrices.
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