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120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Suites de matrices » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale.

Maths expertes (option Tle) Terminale

Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Suites de matrices

Suites de matrices colonnes Uₙ₊₁ = AUₙ + B : rappels sur les suites arithmético-géométriques, écriture matricielle d’évolutions couplées, cas homogène Uₙ = AⁿU₀, calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale, état stable, expression de Uₙ et convergence.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé rédigé : somme de deux suites couplées, puissance d’une matrice démontrée par récurrence, état stable et convergence, calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale, stocks de deux entrepôts.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Suites de matrices

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Deux suites couplées et leur somme ★★

(4 pts)

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont définies par $u_{0} = 10$ , $v_{0} = 20$ et, pour tout entier naturel $n$ , ${\begin{matrix} u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 0, 2 v_{n} + 3 \\ v_{n + 1} = 0, 3 u_{n} + 0, 6 v_{n} + 1 \end{matrix}$ . On pose $U_{n}$ $= (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ et $s_{n} = u_{n} + v_{n}$ .

a)Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ pour tout entier naturel $n$ .
b)Calculer $U_{1}$ .
c)Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $s_{n + 1} = 0, 8 s_{n} + 4$ .
d)En déduire l’expression de $s_{n}$ en fonction de $n$ , puis la limite de la suite $(s_{n})$ .

Exercice 2 – Puissance d’une matrice et terme général ★★

(4 pts)

On pose $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{matrix})$ .

a)Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ .
b)Conjecturer l’expression de $A^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)Démontrer par récurrence la formule conjecturée.
d)La suite $(U_{n})$ vérifie $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n}$ pour tout $n$ . Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer leurs limites.

Exercice 3 – État stable et convergence ★★

(4 pts)

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 0, 2 & 0, 5 \\ 0, 6 & 0, 1 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 17 \\ 3 \end{matrix})$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix})$ et, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ .

a)Démontrer que la relation admet un unique état stable et vérifier qu’il s’agit de $C$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 30 \end{matrix})$ .
b)On pose $V_{n} = U_{n} - C$ . Démontrer que $V_{n + 1} = A V_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)Calculer $V_{0}$ et $V_{1}$ , puis en déduire $U_{1}$ .
d)On admet que tous les coefficients de $A^{n}$ tendent vers $0$ . Déterminer la limite de $(U_{n})$ et préciser si elle dépend de $U_{0}$ .

Exercice 4 – Calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale ★★★

(4 pts)

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 7 & - 3 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ , $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ et $D$ $= (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})$ .

a)Vérifier que $A P = P D$ , puis calculer $P^{- 1}$ .
b)En déduire que $A = P D P^{- 1}$ , puis démontrer que $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)Donner l’expression des quatre coefficients de $A^{n}$ en fonction de $n$ .
d)La suite $(U_{n})$ vérifie $U_{n + 1} = A U_{n}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ . Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ .

Exercice 5 – Deux entrepôts d’une plateforme logistique ★★★

(4 pts)

Une plateforme dispose de deux entrepôts, A et B. Chaque semaine, l’entrepôt A conserve 80 % de ses palettes et en transfère 10 % vers l’entrepôt B, le reste étant expédié aux clients ; l’entrepôt B conserve 50 % de ses palettes et en transfère 30 % vers A, le reste étant expédié. Chaque semaine, 40 palettes arrivent en A et 50 en B. Au départ, A contient 700 palettes et B en contient 300. On note $U_{n}$ $= (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ l’état au bout de $n$ semaines.

a)Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ .
b)Calculer $U_{1}$ .
c)Déterminer l’état stable de cette évolution.
d)Un élève écrit : « puisque tous les coefficients de $A^{n}$ tendent vers $0$ , la suite $(U_{n})$ tend vers la matrice nulle : les deux entrepôts finissent par se vider ». On admet que les coefficients de $A^{n}$ tendent bien vers $0$ . Expliquer l’erreur et donner la limite correcte.

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Corrigé et barème – Suites de matrices

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Deux suites couplées et leur somme ★★

(4 pts)

a)On lit le système ligne par ligne : $A$ $= (\begin{matrix} 0, 5 & 0, 2 \\ 0, 3 & 0, 6 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ . (1)
b) $u_{1}$ $= 0, 5 \times 10 + 0, 2 \times 20 + 3$ $= 5 + 4 + 3$ $= 12$ et $v_{1}$ $= 0, 3 \times 10 + 0, 6 \times 20 + 1$ $= 3 + 12 + 1$ $= 16$ , donc $U_{1}$ $= (\begin{matrix} 12 \\ 16 \end{matrix})$ . (1)
c)Pour tout entier naturel $n$ , en additionnant les deux égalités : $s_{n + 1}$ $= (0, 5 + 0, 3) u_{n} + (0, 2 + 0, 6) v_{n} + 3 + 1$ $= 0, 8 u_{n} + 0, 8 v_{n} + 4$ $= 0, 8 s_{n} + 4$ . Les deux colonnes de $A$ ont la même somme, $0, 8$ : c’est ce qui rend ce calcul possible. (1)
d)La suite $(s_{n})$ est arithmético-géométrique. Son point fixe vérifie $ℓ = 0, 8 ℓ + 4$ , soit $ℓ = 20$ . Pour tout $n$ , $s_{n + 1} - 20$ $= 0, 8 s_{n} - 16$ $= 0, 8 (s_{n} - 20)$ : la suite $(s_{n} - 20)$ est géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme $s_{0} - 20 = 30 - 20 = 10$ . Donc $s_{n} = 20 + 10 \times 0, 8^{n}$ (contrôle : $s_{1} = 28 = 12 + 16$ ). Comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , $0, 8^{n}$ tend vers $0$ et $(s_{n})$ converge vers $20$ . (1)

Repère — Une combinaison des deux suites peut redonner une suite arithmético-géométrique : point fixe, suite géométrique, limite de qⁿ.

Exercice 2 – Puissance d’une matrice et terme général ★★

(4 pts)

a) $A^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 4 + 12 & 9 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 16 & 9 \end{matrix})$ et $A^{3}$ $= A^{2} \times A$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 16 + 36 & 27 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 52 & 27 \end{matrix})$ . (1)
b)Les coefficients en bas à gauche, $4$ , $16$ , $52$ , valent $2 (3^{n} - 1)$ pour $n = 1$ , $2$ , $3$ ; celui en bas à droite vaut $3^{n}$ . On conjecture : pour tout entier naturel $n$ , $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 (3^{n} - 1) & 3^{n} \end{matrix})$ . (1)
c)On note $𝒫 (n)$ la propriété « $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 (3^{n} - 1) & 3^{n} \end{matrix})$ ». Initialisation : pour $n = 0$ , la formule donne $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $= I$ $= A^{0}$ , donc $𝒫 (0)$ est vraie. Hérédité : soit $n$ un entier naturel tel que $𝒫 (n)$ est vraie. Alors $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 (3^{n} - 1) + 4 \times 3^{n} & 3^{n + 1} \end{matrix})$ , et $2 \times 3^{n} - 2 + 4 \times 3^{n}$ $= 6 \times 3^{n} - 2$ $= 2 (3^{n + 1} - 1)$ : $𝒫 (n + 1)$ est vraie. Conclusion : par récurrence, $𝒫 (n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ . (1)
d)La suite est homogène, donc $U_{n} = A^{n} U_{0}$ d’après le cours : $U_{n}$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 10 (3^{n} - 1) - 3^{n} \end{matrix})$ , soit $u_{n} = 5$ et $v_{n} = 9 \times 3^{n} - 10$ (contrôle : $v_{0} = 9 - 10 = - 1$ ). La suite $(u_{n})$ est constante, de limite $5$ ; comme $3 > 1$ , $3^{n}$ tend vers $+ \infty$ , et $(v_{n})$ tend vers $+ \infty$ par produit et somme. (1)

Repère — Conjecture sur A² et A³, récurrence avec Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A, puis Uₙ = AⁿU₀ : la colonne U₀ à droite.

Exercice 3 – État stable et convergence ★★

(4 pts)

a)Un état stable vérifie $C = A C + B$ , c’est-à-dire $(I - A) C = B$ , avec $I - A$ $= (\begin{matrix} 0, 8 & - 0, 5 \\ - 0, 6 & 0, 9 \end{matrix})$ . Son déterminant vaut $0, 8 \times 0, 9 - (- 0, 5) \times (- 0, 6)$ $= 0, 72 - 0, 30$ $= 0, 42 \neq 0$ : $I - A$ est inversible, donc l’état stable existe et il est unique. Or $A C + B$ $= (\begin{matrix} 0, 2 \times 40 + 0, 5 \times 30 + 17 \\ 0, 6 \times 40 + 0, 1 \times 30 + 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 8 + 15 + 17 \\ 24 + 3 + 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 30 \end{matrix})$ $= C$ : c’est bien $C$ . (1)
b)Comme $C$ est un état stable, $C = A C + B$ . Pour tout entier naturel $n$ : $V_{n + 1}$ $= U_{n + 1} - C$ $= (A U_{n} + B) - (A C + B)$ $= A U_{n} - A C$ $= A (U_{n} - C)$ $= A V_{n}$ , par distributivité du produit. (1)
c) $V_{0}$ $= U_{0} - C$ $= (\begin{matrix} 60 \\ 0 \end{matrix})$ et $V_{1}$ $= A V_{0}$ $= (\begin{matrix} 0, 2 \times 60 \\ 0, 6 \times 60 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 12 \\ 36 \end{matrix})$ , d’où $U_{1}$ $= V_{1} + C$ $= (\begin{matrix} 52 \\ 66 \end{matrix})$ . Vérification directe : $A U_{0} + B$ $= (\begin{matrix} 20 + 15 + 17 \\ 60 + 3 + 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 52 \\ 66 \end{matrix})$ . (1)
d)La suite $(V_{n})$ est homogène, donc $V_{n} = A^{n} V_{0}$ , et $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C$ . Chaque coefficient de $A^{n} V_{0}$ est une somme de coefficients de $A^{n}$ multipliés par des constantes : il tend vers $0$ . Donc $(U_{n})$ converge vers $C$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 30 \end{matrix})$ . Cette limite ne dépend pas de $U_{0}$ , qui ne fixe que l’écart de départ à l’équilibre. (1)

Repère — État stable par (I − A)C = B, changement de suite Vₙ = Uₙ − C, puis limite C si Aⁿ tend vers la matrice nulle.

Exercice 4 – Calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale ★★★

(4 pts)

a) $A P$ $= (\begin{matrix} 7 - 3 & 21 - 6 \\ 2 + 2 & 6 + 4 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 & 15 \\ 4 & 10 \end{matrix})$ et $P D$ $= (\begin{matrix} 1 \times 4 & 3 \times 5 \\ 1 \times 4 & 2 \times 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 & 15 \\ 4 & 10 \end{matrix})$ : $A P = P D$ . Comme $det (P)$ $= 1 \times 2 - 3 \times 1$ $= - 1 \neq 0$ , $P$ est inversible et $P^{- 1}$ $= - (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ . (1)
b)En multipliant $A P = P D$ à droite par $P^{- 1}$ : $A P P^{- 1} = P D P^{- 1}$ , soit $A = P D P^{- 1}$ . Par récurrence : pour $n = 0$ , $P D^{0} P^{- 1} = P I P^{- 1} = I = A^{0}$ . Si $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour un entier $n$ , alors $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= P D^{n} P^{- 1} P D P^{- 1}$ $= P D^{n} I D P^{- 1}$ $= P D^{n + 1} P^{- 1}$ . La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$ . (1)
c) $D^{n}$ $= (\begin{matrix} 4^{n} & 0 \\ 0 & 5^{n} \end{matrix})$ , donc $P D^{n}$ $= (\begin{matrix} 4^{n} & 3 \times 5^{n} \\ 4^{n} & 2 \times 5^{n} \end{matrix})$ et $A^{n}$ $= P D^{n} P^{- 1}$ $= (\begin{matrix} - 2 \times 4^{n} + 3 \times 5^{n} & 3 \times 4^{n} - 3 \times 5^{n} \\ - 2 \times 4^{n} + 2 \times 5^{n} & 3 \times 4^{n} - 2 \times 5^{n} \end{matrix})$ . Contrôle pour $n = 1$ : $- 8 + 15 = 7$ , $12 - 15 = - 3$ , $- 8 + 10 = 2$ et $12 - 10 = 2$ , on retrouve $A$ . (1)
d) $U_{n} = A^{n} U_{0}$ donne $u_{n}$ $= 2 (- 2 \times 4^{n} + 3 \times 5^{n}) + 3 \times 4^{n} - 3 \times 5^{n}$ $= - 4^{n} + 3 \times 5^{n}$ et $v_{n}$ $= 2 (- 2 \times 4^{n} + 2 \times 5^{n}) + 3 \times 4^{n} - 2 \times 5^{n}$ $= - 4^{n} + 2 \times 5^{n}$ . En divisant numérateur et dénominateur par $5^{n}$ , non nul : $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $= \frac{3 - 0, 8^{n}}{2 - 0, 8^{n}}$ . Comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , $0, 8^{n}$ tend vers $0$ , et par quotient $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ tend vers $\frac{3}{2}$ . (1)

Repère — AP = PD se vérifie sans inverse ; Aⁿ = PDⁿP⁻¹ se démontre par récurrence ; pour un quotient, on factorise par la plus grande puissance.

Exercice 5 – Deux entrepôts d’une plateforme logistique ★★★

(4 pts)

a)L’entrepôt A garde $80 %$ de ses palettes, reçoit $30 %$ de celles de B et $40$ palettes : $a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 0, 3 b_{n} + 40$ . De même $b_{n + 1} = 0, 1 a_{n} + 0, 5 b_{n} + 50$ . Donc $A$ $= (\begin{matrix} 0, 8 & 0, 3 \\ 0, 1 & 0, 5 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 50 \end{matrix})$ . (1)
b) $a_{1}$ $= 0, 8 \times 700 + 0, 3 \times 300 + 40$ $= 560 + 90 + 40$ $= 690$ et $b_{1}$ $= 0, 1 \times 700 + 0, 5 \times 300 + 50$ $= 70 + 150 + 50$ $= 270$ : $U_{1}$ $= (\begin{matrix} 690 \\ 270 \end{matrix})$ palettes. (1)
c) $C$ $= (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ vérifie $(I - A) C = B$ : $0, 2 x - 0, 3 y = 40$ et $- 0, 1 x + 0, 5 y = 50$ . Le déterminant de $I - A$ vaut $0, 2 \times 0, 5 - 0, 3 \times 0, 1$ $= 0, 07 \neq 0$ : l’état stable est unique. La seconde équation donne $x = 5 y - 500$ ; en reportant : $0, 2 (5 y - 500) - 0, 3 y = 40$ , soit $0, 7 y = 140$ , $y = 200$ et $x = 500$ . L’état stable est $C$ $= (\begin{matrix} 500 \\ 200 \end{matrix})$ . (1)
d)La formule $U_{n} = A^{n} U_{0}$ ne vaut que dans le cas homogène ; ici $B$ n’est pas nulle et la bonne formule est $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C$ . Le facteur $A^{n}$ n’efface que l’écart à l’équilibre : $A^{n} (U_{0} - C)$ tend vers la colonne nulle, donc $(U_{n})$ converge vers $C$ $= (\begin{matrix} 500 \\ 200 \end{matrix})$ . Les stocks se stabilisent à $500$ et $200$ palettes, ils ne s’annulent pas. (1)

Repère — Dans le cas affine, Aⁿ qui tend vers la matrice nulle donne la limite C, l’état stable, et jamais la matrice nulle.

Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites de matrices » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Deux suites couplées et leur somme ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Puissance d’une matrice et terme général ★★/ 4 pts
Exercice 3 — État stable et convergence ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Deux entrepôts d’une plateforme logistique ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Suite géométrique, limite de qⁿ, suite arithmético-géométrique, point fixe, suite de matrices colonnes, suites coordonnées, relation Uₙ₊₁ = AUₙ + B, suite homogène, suite affine, convergence coefficient par coefficient, Uₙ = AⁿU₀, puissances d’une matrice, récurrence, matrice diagonale, AP = PD, Aⁿ = PDⁿP⁻¹, limite de Aⁿ, état stable, (I − A)C = B, suite Vₙ = Uₙ − C, Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C, vitesse de convergence, seuil en Python.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites de matrices » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites de matrices » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit : suite de matrices colonnes vérifiant une relation de récurrence Uₙ₊₁ = AUₙ + B ; puissances d’une matrice carrée ; utilisation du calcul matriciel pour étudier une suite récurrente linéaire ; évolution couplée de deux suites récurrentes (modèle proie-prédateur discrétisé).

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