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Fiche de révision : suites de matrices

Suites de matrices colonnes Uₙ₊₁ = AUₙ + B : rappels sur les suites arithmético-géométriques, écriture matricielle d’évolutions couplées, cas homogène Uₙ = AⁿU₀, calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale, état stable, expression de Uₙ et convergence.

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Suites de matrices

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Graphes et matrices)

La démarche pour étudier une suite $U_{n + 1} = A U_{n} + B$

1. J’écris $A$ et $B$ en lisant le système ou l’énoncé ligne par ligne, et je contrôle avec $U_{1}$ .

2. Je trie : $B$ nulle, la suite est homogène et $U_{n} = A^{n} U_{0}$ ; sinon, je cherche l’état stable $C$ en résolvant $(I - A) C = B$ et je pose $V_{n} = U_{n} - C$ .

3. Je calcule $A^{n}$ : matrice diagonale, conjecture et récurrence, ou $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ avec $P$ et $D$ donnés.

4. Je conclus : expressions de $u_{n}$ et $v_{n}$ , contrôle pour $n = 0$ et $n = 1$ , limite lue sur les puissances $λ^{n}$ et $μ^{n}$ .

Le réflexe — c’est le schéma des suites arithmético-géométriques : point fixe, suite auxiliaire, puissance, limite.

Cas 1 · Suite arithmético-géométrique (rappel)

Réflexe — point fixe ℓ = aℓ + b ; vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a ; uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ ; limite lue sur aⁿ.

Exemple. Question type : « Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite ». Exemple : $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + 8$ .

$ℓ = 0, 6 ℓ + 8$ donne $0, 4 ℓ = 8$ , soit $ℓ = 20$ .

$v_{n} = u_{n} - 20$ : $v_{n + 1}$ $= 0, 6 u_{n} + 8 - 20$ $= 0, 6 (u_{n} - 20)$ $= 0, 6 v_{n}$ , et $v_{0} = - 15$ .

Donc $u_{n} = 20 - 15 \times 0, 6^{n}$ ; comme $- 1 < 0, 6 < 1$ , $(u_{n})$ converge vers $20$ .

Attention — uₙ n’est pas égal à u₀aⁿ : c’est uₙ − ℓ qui est géométrique.

Cas 2 · Écrire la relation matricielle

Réflexe — une ligne de A par équation, dans l’ordre des suites ; un 0 pour une suite absente ; les constantes dans B.

Exemple. Question type : « Déterminer $A$ et $B$ telles que $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ , puis calculer $U_{1}$ ». Exemple : ${\begin{matrix} u_{n + 1} = 2 u_{n} - v_{n} + 1 \\ v_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix}$ avec $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$ .

$A$ $= (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ( $v_{n}$ est absente de la seconde équation) et $B$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ .

$U_{1}$ $= A U_{0} + B$ $= (\begin{matrix} 2 - 4 + 1 \\ 1 + 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix})$ .

Attention — on ne lit pas A colonne par colonne : ce serait la matrice aux lignes et colonnes échangées.

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Cas 3 · Suite homogène Uₙ₊₁ = AUₙ

Réflexe — Uₙ = AⁿU₀ ; Aⁿ par conjecture (A², A³) et récurrence ; contrôle avec n = 0 et n = 1.

Exemple. Question type : « Démontrer que $M^{n} = \dots$ , puis exprimer $U_{n}$ ». Exemple : $M$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ , $U_{n + 1} = M U_{n}$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ .

$M^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{matrix})$ et $M^{3}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 9 & 1 \end{matrix})$ : on conjecture $M^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 n & 1 \end{matrix})$ .

Vraie pour $n = 0$ ( $I$ ). Si vraie au rang $n$ : $M^{n + 1}$ $= M^{n} \times M$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 n + 3 & 1 \end{matrix})$ , vraie au rang $n + 1$ .

Donc $U_{n}$ $= M^{n} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 6 n + 1 \end{matrix})$ : $u_{n} = 2$ et $v_{n} = 6 n + 1$ .

Attention — UₙA n’existe pas : on écrit AⁿU₀, la matrice carrée à gauche.

Cas 4 · Calculer Aⁿ avec P et D donnés

Réflexe — je vérifie AP = PD, je calcule P⁻¹, puis Aⁿ = PDⁿP⁻¹ (récurrence) ; contrôle avec n = 1.

Exemple. Question type : « Vérifier que $A P = P D$ et en déduire $A^{n}$ ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{matrix})$ , $P$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ , $D$ $= (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ .

$A P$ $= (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{matrix})$ $= P D$ , et $det (P) = - 1$ , donc $P^{- 1}$ $= (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix})$ .

$A^{n}$ $= P D^{n} P^{- 1}$ $= (\begin{matrix} 2^{n + 1} & 3^{n} \\ 3 \times 2^{n} & 3^{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix})$ , soit $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 3^{n + 1} - 2^{n + 1} & 2^{n + 1} - 2 \times 3^{n} \\ 3^{n + 1} - 3 \times 2^{n} & 3 \times 2^{n} - 2 \times 3^{n} \end{matrix})$ .

Pour $n = 1$ : $9 - 4 = 5$ , $4 - 6 = - 2$ , $9 - 6 = 3$ , $6 - 6 = 0$ : on retrouve $A$ .

Attention — Aⁿ = PDⁿP⁻¹, dans cet ordre ; on ne remplace pas Aⁿ par Dⁿ.

Cas 5 · Suite affine : état stable et limite

Réflexe — (I − A)C = B ; Vₙ = Uₙ − C vérifie Vₙ₊₁ = AVₙ ; Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C ; si Aⁿ tend vers O, Uₙ tend vers C.

Exemple. Question type : « Déterminer l’état stable, exprimer $U_{n}$ , étudier la convergence ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 0, 5 & 0, 25 \\ 0, 25 & 0, 5 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 25 \\ 25 \end{matrix})$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 140 \\ 60 \end{matrix})$ .

$(I - A) C = B$ : $0, 5 x - 0, 25 y = 25$ et $- 0, 25 x + 0, 5 y = 25$ , d’où $x = y = 100$ : $C$ $= (\begin{matrix} 100 \\ 100 \end{matrix})$ .

$V_{0}$ $= U_{0} - C$ $= (\begin{matrix} 40 \\ - 40 \end{matrix})$ et $A V_{0}$ $= (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \end{matrix})$ $= 0, 25 V_{0}$ , donc $V_{n} = A^{n} V_{0} = 0, 25^{n} V_{0}$ .

$u_{n} = 100 + 40 \times 0, 25^{n}$ et $v_{n} = 100 - 40 \times 0, 25^{n}$ : $(U_{n})$ converge vers $C$ .

Attention — si Aⁿ tend vers O, la limite est C, pas la matrice nulle.

Les pièges

La ligne i de A porte les coefficients de la i-ième équation.
Uₙ = AⁿU₀ seulement si B est nulle ; jamais Uₙ = AⁿU₀ + nB.
Aⁿ ne s’obtient pas coefficient par coefficient, sauf pour une matrice diagonale.
Une formule conjecturée pour Aⁿ se démontre par récurrence.
Sans état stable, la suite ne converge pas : on revient aux suites coordonnées.
Une raison négative strictement comprise entre −1 et 1 donne aussi une limite nulle.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une suite Uₙ₊₁ = AUₙ + B, puis un exemple rédigé par cas : point fixe d’une suite arithmético-géométrique, écriture de A et B à partir d’un système, puissance d’une matrice triangulaire démontrée par récurrence, calcul de Aⁿ par AP = PD, état stable et limite.

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