Matrice inverse et systèmes

Définition. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB=BA=I_n$. Cette matrice $B$ est alors unique : c’est l’inverse de $A$, notée $A^{-1}$. Seule une matrice carrée peut être inversible.

Unicité (démonstration). Si $B$ et $C$ vérifient toutes deux $AB=BA=I_n$ et $AC=CA=I_n$, alors, par associativité, $B=B{I}_n=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C$.

Un seul produit suffit (résultat admis). Pour deux matrices carrées de même ordre, si $AB=I_n$, alors $BA=I_n$ aussi : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.

Propriétés. Soient $A$ et $B$ inversibles d’ordre $n$ et $k$ un réel non nul.

• $A^{-1}$ est inversible et $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ ;
• $kA$ est inversible et $(kA{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{k}}{A}^{-1}$ ;
• $AB$ est inversible et $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ : l’ordre s’inverse, car $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})$ $=A(B{B}^{-1})A^{-1}$ $=A{A}^{-1}$ $=I_n$.

Simplifier. Si $A$ est inversible, $AM=AN$ entraîne $M=N$ (on multiplie les deux membres à gauche par $A^{-1}$), et $MA=NA$ entraîne $M=N$ (à droite). Conséquence : s’il existe $B\ne O$ telle que $AB=O$, alors $A$ n’est pas inversible.

Inverse par une relation. Si $A^2+pA+q{I}_n=O$ avec $q\ne 0$, alors $A(A+p{I}_n)=-q{I}_n$, donc $A\times (-{\displaystyle \frac{1}{q}}(A+p{I}_n))$ $=I_n$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{q}}(A+p{I}_n)$.

Déterminant. Pour $A$ $=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, le déterminant de $A$ est le nombre $det(A)=ad-bc$ : produit des coefficients de la diagonale principale, moins produit des deux autres.

Théorème. $A$ est inversible si et seulement si $det(A)\ne 0$, et dans ce cas

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

On échange les deux coefficients de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, on divise par le déterminant.

Démonstration. On pose $\tilde{A}$ $=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Le produit donne $A\tilde{A}$ $=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& -ab+ba\\ cd-dc& -cb+da\end{array}\right)$, c’est-à-dire $A\tilde{A}=(ad-bc)I_2$ ; de même $\tilde{A}A=(ad-bc)I_2$.

• Si $ad-bc\ne 0$ : $A\times {\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\tilde{A}$ $=I_2$, donc $A$ est inversible, d’inverse ${\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\tilde{A}$.
• Si $ad-bc=0$ : $A\tilde{A}=O$. Si $A$ était inversible, on aurait $\tilde{A}=A^{-1}O=O$, donc $a=b=c=d=0$ et $A=O$, qui n’est pas inversible : contradiction.

Lecture. $det(A)=0$ exactement quand les deux lignes de $A$ (ou ses deux colonnes) sont proportionnelles. Une matrice diagonale $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)$ avec $a\ne 0$ et $d\ne 0$ a pour inverse $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& 0\\ 0& \frac{1}{d}\end{array}\right)$.

Pas de formule à apprendre. Pour une matrice d’ordre 3, on obtient l’inverse par la méthode du pivot, par une relation matricielle (cas 1) ou à la calculatrice. Dans tous les cas, on peut contrôler le résultat : $AB=I_3$.

Méthode du pivot de Gauss-Jordan. On écrit côte à côte $A$ et $I_3$, puis on applique les mêmes opérations aux lignes des deux tableaux jusqu’à transformer $A$ en $I_3$ : le tableau de droite est alors $A^{-1}$. Opérations autorisées :

• échanger deux lignes ;
• multiplier une ligne par un réel non nul ;
• ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne.

Quand le pivot s’arrête. Si une ligne de la partie gauche devient entièrement nulle, $A$ n’est pas inversible. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n’est nul (résultat admis : le pivot se fait alors sans échange ni ligne nulle).

Un peu d’histoire. La méthode porte les noms de Carl Friedrich Gauss (1810) et du géodésien Wilhelm Jordan (1888), mais on la trouve déjà au huitième chapitre, « Fangcheng » (disposition rectangulaire), des Neuf Chapitres sur l’art mathématique, un ouvrage chinois vieux d’environ deux mille ans.

Écriture matricielle. Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s’écrit $AX=B$, où $A$ est la matrice carrée des coefficients (une ligne par équation, une colonne par inconnue), $X$ la matrice colonne des inconnues et $B$ la matrice colonne des seconds membres. Une inconnue absente d’une équation a pour coefficient $0$.

Théorème. Si $A$ est inversible, le système $AX=B$ admet une unique solution : $X=A^{-1}B$.

Démonstration. Si $AX=B$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}(AX)=A^{-1}B$, donc $(A^{-1}A)X=A^{-1}B$, soit $X=A^{-1}B$. Réciproquement, $A(A^{-1}B)=(A{A}^{-1})B=B$ : cette colonne est bien solution.

Plusieurs seconds membres. Pour résoudre plusieurs systèmes de même matrice $A$, on calcule $A^{-1}$ une seule fois ; chaque solution coûte ensuite un produit.

Équations matricielles. Si $A$ est inversible : $AY=C$ équivaut à $Y=A^{-1}C$ ; $YA=C$ équivaut à $Y=C{A}^{-1}$. Le côté de la multiplication est imposé par la place de $A$.

Trois cas, et trois seulement. Pour un système $AX=B$ de $n$ équations à $n$ inconnues :

• $A$ inversible : une unique solution, $X=A^{-1}B$ ;
• $A$ non inversible et équations incompatibles : aucune solution ;
• $A$ non inversible et équations compatibles : une infinité de solutions.

Jamais exactement deux solutions (démonstration). Si $X_1$ et $X_2$ sont deux solutions distinctes, alors pour tout réel $t$ : $A(X_1+t(X_2-X_1))$ $=A{X}_1+t(A{X}_2-A{X}_1)$ $=B+t(B-B)$ $=B$. Les colonnes $X_1+t(X_2-X_1)$ sont toutes solutions, et elles sont deux à deux distinctes : il y en a une infinité.

Méthode quand $A$ n’est pas inversible. On repère la combinaison de lignes qui « s’annule » (une ligne multiple d’une autre, ou somme des autres) et on l’applique aux seconds membres. Égalité fausse : aucune solution. Égalité vraie : une équation est de trop ; on pose une inconnue égale à $t$ et on exprime les autres en fonction de $t$.

Interprétation graphique (2 × 2). Chaque équation est celle d’une droite. Déterminant non nul : droites sécantes, un point commun. Déterminant nul : droites strictement parallèles (aucune solution) ou confondues (une infinité).