Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes
Calculer l'inverse d'une matrice 2×2 ou 3×3 et résoudre des systèmes linéaires par la méthode matricielle (programme Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels — déterminant d'une matrice 2×2, Matrice inverse d'une matrice 2×2, Existence et unicité de la matrice inverse, Matrice inverse d'une matrice 3×3 : méthode de Gauss-Jordan. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
1
Rappels — déterminant d'une matrice 2×2
Avant d'inverser une matrice, on calcule son déterminant, qui conditionne l'existence de l'inverse.
Définition. Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d'ordre 2. Son déterminant est :
$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$
$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$
Exemple. $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$. On calcule $\det(A) = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 15 - 2 = 13$.
Autre exemple : $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$. On calcule $\det(B) = 4 \times 3 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$.
Autre exemple : $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$. On calcule $\det(B) = 4 \times 3 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$.
Attention ! Si $\det(A) = 0$, la matrice n'est pas inversible. En particulier, une matrice dont deux lignes (ou colonnes) sont proportionnelles a un déterminant nul.
2
Matrice inverse d'une matrice 2×2
Formule. Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ vérifie $\det(A) = ad - bc \neq 0$, alors $A$ est inversible et :
$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
On permute les coefficients diagonaux ($a$ et $d$) et on change le signe des coefficients anti-diagonaux ($b$ et $c$).
$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
On permute les coefficients diagonaux ($a$ et $d$) et on change le signe des coefficients anti-diagonaux ($b$ et $c$).
Exemple. $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 13$.
$$A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/13 & -2/13 \\ -1/13 & 3/13 \end{pmatrix}$$
Vérification : $A \times A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\0&13\end{pmatrix} = I_2$. ✓
$$A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/13 & -2/13 \\ -1/13 & 3/13 \end{pmatrix}$$
Vérification : $A \times A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\0&13\end{pmatrix} = I_2$. ✓
Astuce mnémotechnique. « dp » pour la diagonale principale ($a$ et $d$) → on les permute ; « as » pour l'anti-diagonale ($b$ et $c$) → on change le signe. Enfin on divise par le déterminant.
| Matrice | Permutation | Changement de signe | Facteur |
|---|---|---|---|
| $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ | Échange $a \leftrightarrow d$ | $b \to -b$, $c \to -c$ | $\frac{1}{ad-bc}$ |
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Existence et unicité de la matrice inverse
Théorème. Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Dans ce cas, il existe une unique matrice $A^{-1}$ telle que :
$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$$
où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$.
$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$$
où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$.
Propriétés essentielles de l'inverse :
- $(A^{-1})^{-1} = A$
- $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (attention à l'ordre !)
- $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
- $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$
Attention ! Le produit de matrices n'est pas commutatif en général : $AB \neq BA$. La formule $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ s'applique en inversant l'ordre.
Exemple. Si $A$ est inversible et $AB = AC$, peut-on conclure $B = C$ ?
Oui ! En multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC)$, soit $(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C$, donc $I_n B = I_n C$, d'où $B = C$.
Oui ! En multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC)$, soit $(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C$, donc $I_n B = I_n C$, d'où $B = C$.
4
Matrice inverse d'une matrice 3×3 : méthode de Gauss-Jordan
Pour les matrices d'ordre 3, la formule directe est très lourde. On utilise la méthode de Gauss-Jordan : on augmente la matrice $A$ avec l'identité $I_3$ et on transforme $A$ en $I_3$ par opérations élémentaires sur les lignes. Les mêmes opérations transforment $I_3$ en $A^{-1}$.
Méthode. On part du tableau augmenté $\left(A \mid I_3\right)$ et on applique des opérations élémentaires de lignes :
- $L_i \leftarrow \lambda L_i$ (multiplier une ligne par un scalaire $\lambda \neq 0$)
- $L_i \leftarrow L_i + \mu L_j$ (ajouter un multiple d'une autre ligne)
- $L_i \leftrightarrow L_j$ (échanger deux lignes)
Exemple. Soit $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.
Tableau augmenté :
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}2&1&0&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right)$$
$L_1 \leftrightarrow L_2$ puis opérations de pivot conduisent finalement à :
$$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}$$
(Vérification : $A \times A^{-1} = I_3$.)
Tableau augmenté :
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}2&1&0&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right)$$
$L_1 \leftrightarrow L_2$ puis opérations de pivot conduisent finalement à :
$$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}$$
(Vérification : $A \times A^{-1} = I_3$.)
Astuce. À chaque étape, vérifier que le pivot est non nul. Si un pivot est nul, échanger la ligne avec une ligne inférieure. Si aucune ligne inférieure n'a de coefficient non nul dans cette colonne, la matrice n'est pas inversible.
5
Résolution d'un système AX = B
Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues peut s'écrire sous la forme matricielle $AX = B$, où :
- $A$ est la matrice des coefficients (carrée d'ordre $n$)
- $X = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ est le vecteur colonne des inconnues
- $B = \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$ est le vecteur colonne des seconds membres
Théorème. Si $A$ est inversible ($\det(A) \neq 0$), le système $AX = B$ admet une unique solution : $$X = A^{-1}B$$
Exemple. Résoudre $\begin{cases}3x + 2y = 7 \\ x + 5y = 9\end{cases}$.
Forme matricielle : $\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix}$.
On a $\det(A) = 13$ et $A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix}$.
Donc :
$$X = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}35-18\\-7+27\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}17\\20\end{pmatrix}$$
Donc $x = \dfrac{17}{13}$ et $y = \dfrac{20}{13}$.
Forme matricielle : $\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix}$.
On a $\det(A) = 13$ et $A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix}$.
Donc :
$$X = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}35-18\\-7+27\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix}17\\20\end{pmatrix}$$
Donc $x = \dfrac{17}{13}$ et $y = \dfrac{20}{13}$.
Attention ! On calcule $X = A^{-1}B$ (et non $B A^{-1}$), car la multiplication de matrices n'est pas commutative. L'ordre est essentiel.
6
Le pivot de Gauss — méthode sur la matrice augmentée
La méthode du pivot de Gauss permet de résoudre un système linéaire (même non carré, ou dont on ne connaît pas encore l'inversibilité) en travaillant directement sur la matrice augmentée $(A | B)$.
Étapes du pivot de Gauss.
- Échelonnage : par opérations élémentaires sur les lignes, mettre $A$ sous forme échelonnée (triangulaire supérieure avec des zéros sous les pivots).
- Substitution ascendante (back-substitution) : résoudre de bas en haut, en substituant les inconnues déjà trouvées.
Exemple. $\begin{cases}x + 2y - z = 3 \\ 2x + 3y + z = 8 \\ -x + y + 2z = 1\end{cases}$.
Matrice augmentée :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&3&1&8\\-1&1&2&1\end{array}\right)$$
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&-1&3&2\\0&3&1&4\end{array}\right)$$
$L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&-1&3&2\\0&0&10&10\end{array}\right)$$
Back-substitution : $z = 1$, $y = -2-3 \cdot 1 = \ldots$ Non, $-y + 3z = 2 \Rightarrow -y = 2 - 3 = -1 \Rightarrow y = 1$, puis $x = 3 - 2(1) + 1 = 2$.
Solution : $(x, y, z) = (2, 1, 1)$.
Matrice augmentée :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&3&1&8\\-1&1&2&1\end{array}\right)$$
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&-1&3&2\\0&3&1&4\end{array}\right)$$
$L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&-1&3&2\\0&0&10&10\end{array}\right)$$
Back-substitution : $z = 1$, $y = -2-3 \cdot 1 = \ldots$ Non, $-y + 3z = 2 \Rightarrow -y = 2 - 3 = -1 \Rightarrow y = 1$, puis $x = 3 - 2(1) + 1 = 2$.
Solution : $(x, y, z) = (2, 1, 1)$.
Astuce. Pour éviter les fractions, on peut choisir le pivot comme le coefficient le plus grand (pivot partiel). Cela améliore aussi la stabilité numérique.
7
Cas particuliers : systèmes sans solution ou avec infinité de solutions
Lorsque $\det(A) = 0$, la matrice $A$ n'est pas inversible. Le système $AX = B$ peut alors avoir :
| Rang de la matrice augmentée vs rang de A | Nombre de solutions |
|---|---|
| $\text{rang}(A|B) \gt \text{rang}(A)$ | Aucune solution (système incompatible) |
| $\text{rang}(A|B) = \text{rang}(A) \lt n$ | Infinité de solutions (paramètre libre) |
Exemple 1 — Système incompatible.
$\begin{cases}x + y = 1 \\ 2x + 2y = 5\end{cases}$. La deuxième équation est $2 \times$ la première, mais le second membre est différent ($5 \neq 2$). Aucune solution.
$\begin{cases}x + y = 1 \\ 2x + 2y = 5\end{cases}$. La deuxième équation est $2 \times$ la première, mais le second membre est différent ($5 \neq 2$). Aucune solution.
Exemple 2 — Infinité de solutions.
$\begin{cases}x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4\end{cases}$. La deuxième est $2 \times$ la première. Solutions : $\{(t, 2-t) \mid t \in \mathbb{R}\}$, paramètre $t$ libre.
$\begin{cases}x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4\end{cases}$. La deuxième est $2 \times$ la première. Solutions : $\{(t, 2-t) \mid t \in \mathbb{R}\}$, paramètre $t$ libre.
Attention ! En Terminale Maths expertes, il faut savoir identifier ces cas à partir du tableau échelonné et décrire les solutions (avec un paramètre si infinité).
8
Applications et modélisation
La résolution matricielle de systèmes permet de modéliser de nombreuses situations : réseau de flux, équilibre économique, circuit électrique, cryptographie (matrice de Hill), etc.
Application — Problème économique. Deux entreprises A et B produisent pour elles-mêmes et se fournissent mutuellement. Si le modèle donne le système :
$$\begin{cases} 0{,}8x - 0{,}3y = d_1 \\ -0{,}2x + 0{,}7y = d_2 \end{cases}$$
La solution est $X = A^{-1}D$ où $A = \begin{pmatrix}0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}d_1\\d_2\end{pmatrix}$.
$\det(A) = 0{,}8 \times 0{,}7 - (-0{,}3)(-0{,}2) = 0{,}56 - 0{,}06 = 0{,}50$.
$A^{-1} = 2\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8\end{pmatrix}$.
$$\begin{cases} 0{,}8x - 0{,}3y = d_1 \\ -0{,}2x + 0{,}7y = d_2 \end{cases}$$
La solution est $X = A^{-1}D$ où $A = \begin{pmatrix}0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}d_1\\d_2\end{pmatrix}$.
$\det(A) = 0{,}8 \times 0{,}7 - (-0{,}3)(-0{,}2) = 0{,}56 - 0{,}06 = 0{,}50$.
$A^{-1} = 2\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8\end{pmatrix}$.
Démarche. Face à un problème :
- Poser les inconnues et écrire les équations.
- Mettre sous forme $AX = B$.
- Calculer $\det(A)$. Si $\det(A) \neq 0$, calculer $A^{-1}$ puis $X = A^{-1}B$.
- Interpréter la solution dans le contexte.
En bref
- $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$.
- Si $\det(A) \neq 0$, alors $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ (ordre 2).
- Pour l'ordre 3 : méthode de Gauss-Jordan sur $(A|I_3)$.
- Si $\det(A) \neq 0$, l'unique solution de $AX = B$ est $X = A^{-1}B$.
- Si $\det(A) = 0$ : 0 ou infinité de solutions (étudier la matrice augmentée).
- Pivot de Gauss : échelonner $(A|B)$ puis substitution ascendante.
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