Suites de matrices

A. Uₙ = AⁿU₀ — Par récurrence : Uₙ₊₁ = AUₙ = A × AⁿU₀ = Aⁿ⁺¹U₀. L’écriture U₀Aⁿ n’a pas de sens : on ne multiplie pas une colonne par une matrice carrée dans cet ordre.

B. une matrice colonne de taille 2 × 1 — Une matrice à 2 lignes et 2 colonnes, multipliée par une matrice à 2 lignes et 1 colonne, donne une matrice à 2 lignes et 1 colonne : c’est ce qui permet à la suite (Uₙ) de rester une suite de matrices colonnes.

C. C = AC + B — L’état stable se reproduit à l’identique : si Uₙ = C, alors Uₙ₊₁ = AC + B doit valoir C. On le trouve en résolvant (I − A)C = B.

D. [0,4ⁿ 0 ; 0 0,7ⁿ] — Pour une matrice diagonale, chaque coefficient diagonal est élevé à la puissance n, à sa place.

C. chaque coefficient de Uₙ converge vers celui de L — La convergence d’une suite de matrices se définit coefficient par coefficient : il faut que toutes les suites coordonnées convergent.

B. [1 4 ; 0 9] — En haut à droite : 1 × 1 + 1 × 3 = 4 ; en bas à droite : 0 × 1 + 3 × 3 = 9. Élever une matrice au carré n’est pas élever chaque coefficient au carré.

B. uₙ₊₁ = 2uₙ − vₙ + 5 — La première ligne de A donne les coefficients de uₙ₊₁ et le premier coefficient de B la constante ajoutée : on lit la matrice ligne par ligne.

A. la matrice identité I — C’est une convention, choisie pour que AᵐAⁿ = Aᵐ⁺ⁿ reste vrai. Elle permet d’initialiser au rang 0 les récurrences sur Aⁿ.

D. 8 — ℓ = 0,75ℓ + 2 donne 0,25ℓ = 2, soit ℓ = 8. On le retrouve avec ℓ = b/(1 − a) = 2/0,25.

C. elle tend vers 0 — −1 < −0,6 < 1 : la suite tend vers 0. Ses termes changent de signe, mais leur valeur absolue 0,6ⁿ tend vers 0.

B. [0 4 ; 1 −1] — uₙ est absente de la première équation : la première ligne est (0 ; 4). La seconde ligne est (1 ; −1). Le choix [0 1 ; 4 −1] échange lignes et colonnes.

D. ne converge pas — Une suite de matrices converge quand toutes ses suites coordonnées convergent vers un réel. Ici (vₙ) diverge, donc (Uₙ) ne converge pas.

B. [12 ; −25] — U₂ = A²U₀ avec A² = [4 0 ; 0 25] : U₂ = [4 × 3 ; 25 × (−1)]. Le signe négatif est conservé.

D. [6 ; 8] — A est diagonale, les deux équations sont indépendantes : x = 0,5x + 3 donne x = 6, et y = 0,25y + 6 donne 0,75y = 6, soit y = 8.

A. [1 3n ; 0 1] — A² = [1 6 ; 0 1] et A³ = [1 9 ; 0 1] : le coefficient augmente de 3 à chaque étape, il est arithmétique, pas géométrique. Une récurrence le confirme.

C. Vₙ₊₁ = AVₙ — En soustrayant C = AC + B à Uₙ₊₁ = AUₙ + B, la matrice B disparaît : le changement de suite ramène au cas homogène.

A. C — Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C : le premier terme tend vers la colonne nulle, il reste C. La limite ne dépend pas de U₀.

C. la suite (Dⁿ) ne converge pas — 0,5ⁿ tend vers 0, mais 1,2ⁿ tend vers +∞ car 1,2 > 1 : un seul coefficient sans limite finie suffit pour que la suite de matrices ne converge pas.

D. Aⁿ = PDⁿP⁻¹ — De P⁻¹AP = D on tire A = PDP⁻¹, puis Aⁿ = PDⁿP⁻¹ car les facteurs P⁻¹P se simplifient deux à deux. L’ordre des trois facteurs est imposé.

B. [0,4 0,1 ; 0,3 0,2] — Chaque équation donne une ligne de la matrice, dans l’ordre u puis v. Le choix [0,4 0,3 ; 0,1 0,2] échange lignes et colonnes : c’est l’erreur la plus fréquente.

C. 2 − 0,5ⁿ — Le point fixe vaut 2, et uₙ − 2 est géométrique de raison 0,5 et de premier terme −1 : uₙ = 2 − 0,5ⁿ. Contrôle : u₀ = 1 et u₁ = 1,5.

B. [0,5 0,5 ; 0,5 0,5] — Dⁿ tend vers [1 0 ; 0 0], donc Aⁿ = PDⁿP⁻¹ tend vers P[1 0 ; 0 0]P⁻¹ = [1 0 ; 1 0] × [0,5 0,5 ; 0,5 −0,5] = [0,5 0,5 ; 0,5 0,5].

D. U₁ — 301 = 3 × 100 + 1, donc U₃₀₁ = A³⁰¹U₀ = (A³)¹⁰⁰AU₀ = AU₀ = U₁ : la suite est périodique de période 3.

D. aucun état stable — (I − A)C = B s’écrit 0,5x − 0,5y = 0 et −0,5x + 0,5y = 2 ; en additionnant, 0 = 2 : c’est impossible. I − A n’est pas inversible, et ici il n’y a aucune solution.

C. (I + A + ⋯ + Aⁿ⁻¹)B — Chaque apport B est ensuite multiplié par A à toutes les étapes suivantes : s’accumulent B, AB, …, Aⁿ⁻¹B, soit n termes. Contrôle pour n = 1 : U₁ = AU₀ + B.

B. I − A est inversible — L’équation équivaut à (I − A)C = B : elle a une solution unique exactement quand I − A est inversible, et alors C = (I − A)⁻¹B. L’inversibilité de A ne joue aucun rôle.

D. n’admet aucun état stable — I − A = [0 −5 ; 0 0] et la seconde ligne de (I − A)C = B donne 0 = 2, ce qui est impossible. Sans état stable, la suite ne peut pas converger.

C. tend vers LU₀ — Chaque coefficient de Uₙ est une combinaison des coefficients de Aⁿ avec des constantes données par U₀ : on passe à la limite dans le produit. La limite dépend alors de U₀.

D. la matrice nulle — qⁿ tend vers 0 dès que −1 < q < 1, même si q est négatif : ici −1 < −0,9 < 1. L’alternance du signe n’empêche pas la convergence.

A. il oublie l’accumulation des apports de B — Uₙ = AⁿU₀ ne vaut que dans le cas homogène. Dans le cas affine, on passe par l’état stable et la suite Vₙ = Uₙ − C.

C. des puissances Aⁿ, donc de A — L’écart vaut Uₙ − C = Aⁿ(U₀ − C) : U₀ ne fixe que l’écart de départ ; la rapidité avec laquelle il disparaît est imposée par Aⁿ.

B. [2 ; 6] — C = (I − 0,5I)⁻¹B = 2B = [2 ; 6], et Aⁿ = 0,5ⁿI tend vers la matrice nulle : (Uₙ) converge vers C.

C. L = AL + B — Uₙ₊₁ et AUₙ + B tendent respectivement vers L et AL + B, coefficient par coefficient : la limite est un état stable.

A. (−0,95)ⁿ, la plus grande en valeur absolue — |−0,95| = 0,95 > 0,9 : le terme en (−0,95)ⁿ disparaît le plus lentement, c’est lui qui fixe la vitesse. Les deux puissances tendent bien vers 0.

C. constante — uₙ₊₁ + vₙ₊₁ = (0,5 + 0,5)uₙ + (0,3 + 0,7)vₙ = uₙ + vₙ : chaque colonne de A a pour somme 1, le total se conserve.

C. n’a pas de limite — Le point fixe vaut 2 et uₙ = 2 + (−2)ⁿ. Comme −2 ≤ −1, (−2)ⁿ n’a pas de limite : les termes alternent autour de 2 en s’en éloignant.