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Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Matrices — suites récurrentes et itération

Application des matrices à la représentation et au calcul de suites définies par récurrence linéaire (programme officiel option Maths expertes Tle)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Matrices — suites récurrentes et itération » en terminale teste tes connaissances en maths expertes (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Suite récurrente linéaire d'ordre 1, Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle, Système de suites récurrentes et matrice de transition, Itération matricielle et puissances de matrices. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. La matrice compagnon de $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ est :

    • A. $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ — La matrice compagnon de $u_{n+2}=pu_{n+1}+qu_n$ est $\begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}$. Ici $p=q=1$.

  2. Si $U_{n+1} = A\,U_n$ et $U_0$ est donné, alors $U_3 =$

    • A. $A^3\,U_0$
    • B. $3A\,U_0$
    • C. $A\,U_0^3$
    • D. $A+A+A$
    Réponse

    A. $A^3\,U_0$ — Par itération : $U_3 = A\,U_2 = A^2\,U_1 = A^3\,U_0$.

  3. Le vecteur d'état associé à $u_0=2$, $u_1=5$ (avec $U_n=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$) est :

    • A. $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$ — $U_0 = \begin{pmatrix}u_1\\u_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$.

  4. La suite $u_{n+1} = 2u_n$ est :

    • A. Géométrique de raison 2
    • B. Arithmétique de raison 2
    • C. Récurrente d'ordre 2
    • D. Non linéaire
    Réponse

    A. Géométrique de raison 2 — $u_{n+1}=2u_n$ avec $b=0$ est bien une suite géométrique de raison 2.

  5. Pour $A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ (matrice identité), $A^n$ vaut :

    • A. $I$
    • B. $nI$
    • C. $\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}$
    • D. $0$
    Réponse

    A. $I$ — La matrice identité $I$ vérifie $I^n = I$ pour tout entier $n$.

  6. Dans $U_{n+1} = A\,U_n$, la matrice $A$ est appliquée :

    • A. À gauche du vecteur $U_n$
    • B. À droite du vecteur $U_n$
    • C. En dessous du vecteur $U_n$
    • D. À la transposée de $U_n$
    Réponse

    A. À gauche du vecteur $U_n$ — Par convention (vecteurs colonnes), on écrit $A\,U_n$, la matrice s'applique à gauche.

  7. La suite de Fibonacci $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ a pour matrice compagnon :

    • A. $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ — La matrice compagnon de $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ est $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

  8. Si $A = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, alors $A^2 =$

    • A. $\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}4&0\\0&6\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}4&4\\9&9\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}$ — Pour une matrice diagonale, $A^2 = \begin{pmatrix}2^2&0\\0&3^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}$.

  9. Un système couplé $x_{n+1}=2x_n+y_n$, $y_{n+1}=x_n+2y_n$ a pour matrice :

    • A. $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ — Les coefficients de $x_{n+1}$ forment la 1re ligne, ceux de $y_{n+1}$ la 2e ligne de $A$.

  10. Pour $A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3 =$

    • A. $\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}3&3\\0&3\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ — $A^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$, donc $A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$.

  11. L'état stable d'un système $V_{n+1}=A\,V_n$ vérifie :

    • A. $A\,V^*=V^*$
    • B. $A^2\,V^*=0$
    • C. $V^*=0$
    • D. $A+V^*=V^*$
    Réponse

    A. $A\,V^*=V^*$ — L'état stable (ou vecteur fixe) vérifie $A\,V^* = V^*$, i.e., $V^*$ est vecteur propre de valeur propre 1.

  12. La matrice compagnon de $u_{n+2} = -u_n$ est :

    • A. $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}-1&0\\1&0\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ — La récurrence $u_{n+2}=0\cdot u_{n+1}+(-1)\cdot u_n$ donne $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. Soit $A = \begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$, $U_0 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. La première composante de $U_2$ est :

    • A. 4
    • B. 3
    • C. 2
    • D. 1
    Réponse

    A. 4 — $U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$, $U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$. Première composante : 4.

  2. Soit $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$, $u_0=1$, $u_1=2$. Alors $u_3 =$

    • A. 8
    • B. 6
    • C. 4
    • D. 10
    Réponse

    A. 8 — $u_2 = 3\cdot2-2\cdot1=4$, $u_3=3\cdot4-2\cdot2=8$.

  3. Pour $A = \begin{pmatrix}0{,}9&0{,}05\\0{,}1&0{,}95\end{pmatrix}$, $V_0 = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$. La première composante de $A\,V_0$ est :

    • A. 3,7
    • B. 3,74
    • C. 3,8
    • D. 4
    Réponse

    B. 3,74 — $0{,}9\times4 + 0{,}05\times2 = 3{,}6+0{,}14=3{,}74$.

  4. La matrice $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Le produit $AB$ est :

    • A. $A$
    • B. $B$
    • C. $\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}$
    • D. Les deux premières réponses sont correctes
    Réponse

    D. Les deux premières réponses sont correctes — Multiplier par la matrice identité $I$ ne change pas la matrice. Donc $AB = AI = A$.

  5. Si $A^2 = \lambda A - \mu I$, alors $A^3 =$

    • A. $\lambda A^2 - \mu A$
    • B. $\lambda^2 A - \mu^2 I$
    • C. $A^2 + A$
    • D. $\mu\lambda A$
    Réponse

    A. $\lambda A^2 - \mu A$ — $A^3 = A\cdot A^2 = A(\lambda A - \mu I) = \lambda A^2 - \mu A$.

  6. Le déterminant de la matrice compagnon de $u_{n+2}=pu_{n+1}+qu_n$ est :

    • A. $-q$
    • B. $p$
    • C. $q$
    • D. $p-q$
    Réponse

    A. $-q$ — $\det\begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} = p\cdot0 - q\cdot1 = -q$.

  7. Soit $V_{n+1}=A\,V_n$ avec $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$, $V_0=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$. La deuxième composante de $V_2$ est :

    • A. 4
    • B. 2
    • C. 3
    • D. 1
    Réponse

    A. 4 — $V_1=A\,V_0=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$, $V_2=A\,V_1=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$. Deuxième composante : 4.

  8. Un modèle stochastique (colonnes de somme 1) est utilisé pour :

    • A. Des transferts de probabilités ou de populations conservées
    • B. Des fonctions continues
    • C. La dérivation matricielle
    • D. Les fractions rationnelles
    Réponse

    A. Des transferts de probabilités ou de populations conservées — Les matrices stochastiques modélisent des transferts où la quantité totale est conservée (somme des colonnes = 1).

  9. Soit $u_{n+1} = -u_n + 2$ avec $u_0 = 3$. La valeur limite (point fixe) est :

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 3
    • D. -1
    Réponse

    A. 1 — Le point fixe $\ell = -\ell + 2$ donne $2\ell = 2$, soit $\ell = 1$.

  10. Pour $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $A^4$ est :

    • A. $\begin{pmatrix}81&0\\0&1\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}12&0\\0&-4\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}81&0\\0&-1\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}81&0\\0&1\end{pmatrix}$ — $A^4=\begin{pmatrix}3^4&0\\0&(-1)^4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}81&0\\0&1\end{pmatrix}$.

  11. Si $U_n = A^n U_0$ et $A$ est la matrice identité $I$, alors $U_n =$

    • A. $U_0$
    • B. $nU_0$
    • C. $0$
    • D. $A + U_0$
    Réponse

    A. $U_0$ — $I^n = I$, donc $U_n = I^n U_0 = U_0$ pour tout $n$. La suite est constante.

  12. Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$, $U_0=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ (suites de Fibonacci avec $F_0=0$, $F_1=1$). $U_4 =$

    • A. $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ — $U_1=(1;0)$... — attention, ici $U_n=(u_n;u_{n-1})$. On calcule : $F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5$. Donc $U_4=(F_5;F_4)=(5;3)$.

Niveau difficile — 13 questions

  1. Soit $A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$. Calcule $A^2$.

    • A. $\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}2&2\\-2&2\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ — $A^2=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot(-1)&1\cdot1+1\cdot1\\(-1)\cdot1+1\cdot(-1)&(-1)\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$.

  2. Si $A^2 = 2A - 5I$, quelle relation $A^3$ satisfait-elle (simplifie au maximum) ?

    • A. $A^3 = 2A^2-5A = -A-10I$
    • B. $A^3 = 3A^2 - 5I$
    • C. $A^3 = -5A$
    • D. $A^3 = A^2-5I$
    Réponse

    A. $A^3 = 2A^2-5A = -A-10I$ — $A^3 = A\cdot A^2 = A(2A-5I)=2A^2-5A=2(2A-5I)-5A=-A-10I$.

  3. Pour la suite de Fibonacci, $F_{2n}$ peut être calculé via $A^{2n}=(A^n)^2$. Cette propriété utilise :

    • A. La loi des exposants pour les matrices : $(A^n)^m = A^{nm}$
    • B. La commutativité des matrices
    • C. La transposée de $A$
    • D. Le déterminant de $A$
    Réponse

    A. La loi des exposants pour les matrices : $(A^n)^m = A^{nm}$ — Comme pour les réels, $(A^n)^m = A^{nm}$. La commutativité n'est pas nécessaire ici.

  4. Soit $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Si $A^2 = A$ (matrice idempotente), alors $\text{tr}(A) =$

    • A. 0 ou 2
    • B. 0 ou 1
    • C. 1 uniquement
    • D. 2 uniquement
    Réponse

    A. 0 ou 2 — Si $A^2=A$, les valeurs propres $\lambda$ vérifient $\lambda^2=\lambda$, soit $\lambda\in\{0,1\}$. La trace est la somme des valeurs propres : $0+0=0$ ou $0+1=1$ ou $1+1=2$.

  5. L'état stable $V^*$ d'un système de transfert conservatif à deux états $(x^*,y^*)$ avec matrice $A=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}$ est :

    • A. $\begin{pmatrix}q/(p+q)\\p/(p+q)\end{pmatrix}$
    • B. $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
    • C. $\begin{pmatrix}1-p\\1-q\end{pmatrix}$
    • D. $\begin{pmatrix}p/(p+q)\\q/(p+q)\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $\begin{pmatrix}q/(p+q)\\p/(p+q)\end{pmatrix}$ — On résout $A\,V^*=V^*$ : $(1-p)x^*+qy^*=x^*$ donne $-px^*+qy^*=0$, soit $x^*/y^*=q/p$. Avec $x^*+y^*=1$ : $x^*=q/(p+q)$.

  6. Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. $A^2=$

    • A. $0$
    • B. $A$
    • C. $I$
    • D. $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$
    Réponse

    A. $0$ — $A^2=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0&0\cdot1+1\cdot0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$. $A$ est nilpotente.

  7. Pour une suite $u_n = \alpha\,2^n + \beta\,3^n$, la matrice compagnon associée a pour valeurs propres :

    • A. 2 et 3
    • B. 1 et 2
    • C. $\alpha$ et $\beta$
    • D. 2 et $-3$
    Réponse

    A. 2 et 3 — Si $u_n=\alpha\,2^n+\beta\,3^n$, la récurrence caractéristique a pour racines 2 et 3. Ce sont les valeurs propres de la matrice compagnon.

  8. Si $A = PDP^{-1}$ avec $D = \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$, alors $A^n =$

    • A. $P D^n P^{-1}$
    • B. $P^n D P^{-n}$
    • C. $D^n$
    • D. $P D P^{-n}$
    Réponse

    A. $P D^n P^{-1}$ — $A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$ (la diagonalisation simplifie le calcul de puissances).

  9. Soit $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$. On a $A = 3I + N$ avec $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Comme $N^2=0$, $A^n =$

    • A. $3^n I + n\cdot 3^{n-1} N$
    • B. $3^n I + N$
    • C. $3^n(I+N)$
    • D. $(3+n)^n I$
    Réponse

    A. $3^n I + n\cdot 3^{n-1} N$ — Par la formule binomiale matricielle (avec $IN=NI$ et $N^2=0$) : $A^n=(3I+N)^n=\sum_{k=0}^{1}\binom{n}{k}3^{n-k}N^k=3^nI+n\cdot3^{n-1}N$.

  10. La suite $u_n = F_n$ (Fibonacci) vérifie $\lim_{n\to+\infty} F_{n+1}/F_n =$

    • A. $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$
    • B. 1
    • C. 2
    • D. $\sqrt{5}$
    Réponse

    A. $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ — Le rapport de deux termes consécutifs de Fibonacci converge vers le nombre d'or $\varphi=(1+\sqrt5)/2$, valeur propre dominante de la matrice compagnon.

  11. Si $\det(A)=0$, la matrice $A$ est :

    • A. Non inversible (singulière)
    • B. Inversible
    • C. Diagonale
    • D. Orthogonale
    Réponse

    A. Non inversible (singulière) — Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si $\det(A)=0$, elle est singulière (non inversible).

  12. Pour $A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ (rotation), $A^{12}$ quand $\theta=\pi/6$ vaut :

    • A. $I$
    • B. $-I$
    • C. $A$
    • D. $0$
    Réponse

    A. $I$ — $A^{12}$ correspond à une rotation d'angle $12\cdot(\pi/6)=2\pi$, qui est la matrice identité.

  13. Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. Laquelle de ces affirmations est VRAIE en général ?

    • A. $A^2 \neq 2A$
    • B. $A^2 = 2A$
    • C. $A^2 = A$
    • D. $A^2 = 4A$
    Réponse

    A. $A^2 \neq 2A$ — $A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$ et $2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$. Clairement $A^2\neq 2A$.

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