Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Suites de matrices

Suites de matrices colonnes Uₙ₊₁ = AUₙ + B : rappels sur les suites arithmético-géométriques, écriture matricielle d’évolutions couplées, cas homogène Uₙ = AⁿU₀, calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale, état stable, expression de Uₙ et convergence.

À propos de cette page

Des exercices corrigés sur les suites de matrices, classés par cas et par difficulté : suites arithmético-géométriques et sommes géométriques, vélos en libre-service et réservoirs reliés, puissances conjecturées puis démontrées, suite périodique, matrice P donnée, températures qui s’équilibrent, état stable, suite sans état stable, formule fausse d’un élève. Chaque cas contient une démonstration rédigée.

21 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels : suites géométriques et arithmético-géométriques

Réflexe — point fixe ℓ = aℓ + b ; uₙ − ℓ est géométrique de raison a ; uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ ; limite lue sur aⁿ. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

On considère la suite définie par $u_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ .

Le réel $ℓ$ tel que $ℓ = 0, 5 ℓ + 3$ vaut
$ℓ - 0, 5 ℓ = 3$ , soit $0, 5 ℓ = 3$ et $ℓ = 6$ .
On pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ . Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique et donner son premier terme : $v_{0} =$
Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1}$ $= u_{n + 1} - 6$ $= 0, 5 u_{n} + 3 - 6$ $= 0, 5 u_{n} - 3$ $= 0, 5 (u_{n} - 6)$ $= 0, 5 v_{n}$ . La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 5$ , de premier terme $v_{0} = 4 - 6 = - 2$ .
Valeur exacte de $u_{3}$ , calculée avec l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ :
$v_{n}$ $= v_{0} \times 0, 5^{n}$ $= - 2 \times 0, 5^{n}$ , donc $u_{n} = v_{n} + 6 = 6 - 2 \times 0, 5^{n}$ et $u_{3} = 6 - 2 \times 0, 125 = 5, 75$ . Contrôle par la relation : $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 5, 5$ , $u_{3} = 2, 75 + 3 = 5, 75$ .
Limite de la suite $(u_{n})$ :
Comme $- 1 < 0, 5 < 1$ , $0, 5^{n}$ tend vers $0$ , donc $(u_{n})$ converge vers $6$ , le point fixe.

Exercice 2★★★Facile

Déterminer la limite de chaque suite, puis la valeur demandée. Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; s’il n’y a pas de limite, écris « pas de limite ».

$(1, 02^{n})$ :
$1, 02 > 1$ , donc $1, 02^{n}$ tend vers $+ \infty$ , même si la croissance est lente.
$((- 0, 7)^{n})$ :
$- 1 < - 0, 7 < 1$ , donc $(- 0, 7)^{n}$ tend vers $0$ : les termes changent de signe, mais leur valeur absolue $0, 7^{n}$ tend vers $0$ .
$((- 1, 5)^{n})$ :
$- 1, 5 ⩽ - 1$ : la suite n’a pas de limite. Ses termes alternent de signe et leur valeur absolue $1, 5^{n}$ tend vers $+ \infty$ .
$(5 \times 0, 9^{n} - 2)$ :
$0, 9^{n}$ tend vers $0$ , donc $5 \times 0, 9^{n}$ aussi, et la suite tend vers $- 2$ .
$1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n - 1}$ $= \frac{4^{n} - 1}{k}$ avec $k =$
Somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de raison $q = 4$ : $\frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ $= \frac{4^{n} - 1}{3}$ . Contrôle pour $n = 2$ : $1 + 4 = 5 = \frac{16 - 1}{3}$ .

Exercice 3★★★Moyen

Un club de randonnée compte 30 membres. Chaque année, le nombre de membres augmente de 20 % par rapport à l’année précédente, puis 5 membres quittent le club. On note $u_{n}$ le nombre de membres au bout de $n$ années, avec $u_{0} = 30$ ; on admet le modèle même lorsque $u_{n}$ n’est pas entier. Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; s’il n’y a pas de limite, écris « pas de limite ».

Justifier que $u_{n + 1} = 1, 2 u_{n} - 5$ , puis calculer $u_{1}$ :
Rédaction attendue. Augmenter de $20 %$ , c’est multiplier par $1 + \frac{20}{100} = 1, 2$ ; on retire ensuite $5$ membres. Donc $u_{n + 1} = 1, 2 u_{n} - 5$ pour tout $n$ , et $u_{1} = 1, 2 \times 30 - 5 = 36 - 5 = 31$ .
Démontrer que la suite $(u_{n} - 25)$ est géométrique. $u_{n} = 25 + k \times 1, 2^{n}$ avec $k =$
Rédaction attendue. On pose $v_{n} = u_{n} - 25$ . Alors $v_{n + 1}$ $= 1, 2 u_{n} - 5 - 25$ $= 1, 2 u_{n} - 30$ $= 1, 2 (u_{n} - 25)$ $= 1, 2 v_{n}$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $1, 2$ et de premier terme $v_{0} = 30 - 25 = 5$ . Donc $v_{n} = 5 \times 1, 2^{n}$ et $u_{n} = 25 + 5 \times 1, 2^{n}$ .
Limite de $(u_{n})$ :
$1, 2 > 1$ , donc $1, 2^{n}$ tend vers $+ \infty$ ; comme $5 > 0$ , $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ . Le point fixe $25$ n’est pas la limite : le club s’éloigne de cette valeur.
Le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > 100$ :
$u_{n} > 100 ⟺ 5 \times 1, 2^{n} > 75 ⟺ 1, 2^{n} > 15$ . À la calculatrice, $1, 2^{14} \approx 12, 84$ et $1, 2^{15} \approx 15, 41$ ; comme $(1, 2^{n})$ est croissante, le plus petit entier est $n = 15$ (ou bien : $n > \frac{\ln 15}{\ln 1, 2} \approx 14, 85$ ).

Exercice 4★★★Difficile

On définit la suite $(x_{n})$ par $x_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ , $x_{n + 1} = 3 x_{n} + 1$ .

$x_{4} =$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3 + 1 = 4$ , $x_{3} = 12 + 1 = 13$ , $x_{4} = 39 + 1 = 40$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout $n ⩾ 1$ , $x_{n} = 1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1}$ . Valeur de cette somme pour $n = 5$ :
Rédaction attendue. Initialisation : pour $n = 1$ , la somme se réduit à $1$ , et $x_{1} = 3 \times 0 + 1 = 1$ . Hérédité : supposons $x_{n} = 1 + 3 + \dots + 3^{n - 1}$ pour un entier $n ⩾ 1$ . Alors $x_{n + 1}$ $= 3 x_{n} + 1$ $= 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n} + 1$ , qui est la somme au rang $n + 1$ . Conclusion : la formule est vraie pour tout $n ⩾ 1$ . Pour $n = 5$ : $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ .
En déduire $x_{n} = \frac{3^{n} - 1}{k}$ avec $k =$
Somme géométrique de raison $3$ : $1 + 3 + \dots + 3^{n - 1}$ $= \frac{3^{n} - 1}{3 - 1}$ $= \frac{3^{n} - 1}{2}$ . Contrôle : $\frac{81 - 1}{2} = 40 = x_{4}$ .
On retrouve ce résultat avec la méthode du point fixe. Le réel $ℓ$ tel que $ℓ = 3 ℓ + 1$ vaut
$ℓ = 3 ℓ + 1$ donne $- 2 ℓ = 1$ , soit $ℓ = - \frac{1}{2}$ . Alors $x_{n}$ $= ℓ + (x_{0} - ℓ) \times 3^{n}$ $= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 3^{n}$ $= \frac{3^{n} - 1}{2}$ . La formule par la somme est celle qui servira, avec des matrices, quand il n’y a pas d’état stable (partie 5).

Cas 2Écrire une suite de matrices colonnes

Réflexe — une ligne de A par équation, dans l’ordre des suites ; un 0 pour une suite absente ; contrôle de U₁ par le système et par AU₀ + B. Revoir la méthode →

Exercice 5★★★Facile

On considère la suite $(U_{n})$ de matrices colonnes définie par $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ et, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ , où $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix})$ .

Le système vérifié par les suites coordonnées s’écrit $u_{n + 1} = u_{n} + a v_{n} - 1$ et $v_{n + 1} = b u_{n} + 4$ , avec $a =$ et $b =$
La première ligne de $A$ , $(1; 2)$ , donne les coefficients de $u_{n + 1}$ ; la seconde, $(3; 0)$ , ceux de $v_{n + 1}$ : $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 4$ . Le coefficient nul signifie que $v_{n + 1}$ ne dépend pas de $v_{n}$ .
$U_{1}$ : $u_{1} =$ et $v_{1} =$
$A U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 \\ 3 \times 2 + 0 \times 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix})$ , puis on ajoute $B$ : $U_{1}$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})$ .
$U_{2}$ : $u_{2} =$ et $v_{2} =$
$A U_{1}$ $= (\begin{matrix} 3 + 20 \\ 9 + 0 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 23 \\ 9 \end{matrix})$ , donc $U_{2}$ $= (\begin{matrix} 22 \\ 13 \end{matrix})$ .
$U_{3}$ : $u_{3} =$ et $v_{3} =$
$A U_{2}$ $= (\begin{matrix} 22 + 26 \\ 66 + 0 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 48 \\ 66 \end{matrix})$ , donc $U_{3}$ $= (\begin{matrix} 47 \\ 70 \end{matrix})$ . Contrôle avec le système : $v_{3} = 3 u_{2} + 4 = 66 + 4 = 70$ .

Exercice 6★★★Facile

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ vérifient, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 3 u_{n} + v_{n} - 2$ et $v_{n + 1} = - u_{n} + 4 v_{n} + 1$ , avec $u_{0} = 1$ et $v_{0} = 2$ . On pose $U_{n}$ $= (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ .

Matrice $A$ telle que $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
On lit le système ligne par ligne : $A$ $= (\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$ .
Coefficients de $B$ : et
Les constantes des deux équations, dans l’ordre : $B$ $= (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ .
$U_{2}$ : $u_{2} =$ et $v_{2} =$
$u_{1} = 3 \times 1 + 2 - 2 = 3$ et $v_{1} = - 1 + 8 + 1 = 8$ , puis $u_{2} = 9 + 8 - 2 = 15$ et $v_{2} = - 3 + 32 + 1 = 30$ . En continuant : $U_{3}$ $= (\begin{matrix} 45 + 30 - 2 \\ - 15 + 120 + 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 73 \\ 106 \end{matrix})$ .
Trois autres suites vérifient $x_{n + 1} = y_{n} + z_{n}$ , $y_{n + 1} = x_{n} - 2 z_{n} + 1$ et $z_{n + 1} = 3 x_{n}$ . Troisième ligne de la matrice $M$ d’ordre 3 telle que $X_{n + 1} = M X_{n} + K$ , avec $X_{n}$ $= (\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \end{matrix})$ : , et
La troisième équation ne contient que $x_{n}$ : sa ligne est $(3; 0; 0)$ . En entier : $M$ $= (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix})$ et $K$ $= (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .

Exercice 7★★★Moyen

Un service de vélos en libre-service a deux stations, Gare et Port. On note $g_{n}$ et $p_{n}$ les nombres de vélos présents le soir du jour $n$ . D’un jour au suivant, la station Gare garde 70 % de ses vélos, 20 % partent vers Port et les autres partent en réparation ; la station Port garde 80 % de ses vélos, 15 % partent vers Gare et les autres partent en réparation. Chaque nuit, l’opérateur ajoute 12 vélos à Gare et 6 à Port. Au départ, $g_{0} = 100$ et $p_{0} = 80$ . On pose $U_{n}$ $= (\begin{matrix} g_{n} \\ p_{n} \end{matrix})$ .

Justifier que $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ et donner $A$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
Rédaction attendue. Le soir du jour $n + 1$ , Gare contient les $70 %$ de ses vélos restés sur place, les $15 %$ venus de Port et les $12$ vélos ajoutés : $g_{n + 1} = 0, 7 g_{n} + 0, 15 p_{n} + 12$ . De même $p_{n + 1} = 0, 2 g_{n} + 0, 8 p_{n} + 6$ . Donc $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ avec $A$ $= (\begin{matrix} 0, 7 & 0, 15 \\ 0, 2 & 0, 8 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})$ .
Somme des coefficients de la première colonne de $A$ :
$0, 7 + 0, 2 = 0, 9$ : la première colonne décrit ce que deviennent les vélos de Gare ; il en reste $90 %$ dans le réseau, les $10 %$ manquants partent en réparation.
$U_{1}$ : $g_{1} =$ et $p_{1} =$
$g_{1}$ $= 0, 7 \times 100 + 0, 15 \times 80 + 12$ $= 70 + 12 + 12$ $= 94$ et $p_{1}$ $= 0, 2 \times 100 + 0, 8 \times 80 + 6$ $= 20 + 64 + 6$ $= 90$ .
Nombre de vélos partis en réparation au cours du premier jour :
$10 %$ des $100$ vélos de Gare et $5 %$ des $80$ vélos de Port : $10 + 4 = 14$ . Contrôle : $g_{1} + p_{1} = 184 = 180 - 14 + 18$ .

Exercice 8★★★Difficile

Deux réservoirs reliés par des pompes échangent de l’eau. Chaque heure, 30 % de l’eau du réservoir R1 passe dans R2 et 10 % de l’eau de R2 passe dans R1 ; il n’y a ni apport ni perte. Au départ, R1 contient 800 L et R2 400 L. On note $x_{n}$ et $y_{n}$ les volumes, en litres, au bout de $n$ heures, et $X_{n}$ $= (\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix})$ .

Matrice $A$ telle que $X_{n + 1} = A X_{n}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
R1 garde $70 %$ de son eau et reçoit $10 %$ de celle de R2 : $x_{n + 1} = 0, 7 x_{n} + 0, 1 y_{n}$ . De même $y_{n + 1} = 0, 3 x_{n} + 0, 9 y_{n}$ . Donc $A$ $= (\begin{matrix} 0, 7 & 0, 1 \\ 0, 3 & 0, 9 \end{matrix})$ .
$X_{1}$ : $x_{1} =$ et $y_{1} =$
$x_{1} = 560 + 40 = 600$ et $y_{1} = 240 + 360 = 600$ .
Démontrer que $x_{n} + y_{n}$ ne dépend pas de $n$ . Valeur de cette somme :
Rédaction attendue. Pour tout $n$ , $x_{n + 1} + y_{n + 1}$ $= (0, 7 + 0, 3) x_{n} + (0, 1 + 0, 9) y_{n}$ $= x_{n} + y_{n}$ . La suite $(x_{n} + y_{n})$ est constante, égale à $x_{0} + y_{0} = 1 200$ : chaque colonne de $A$ a pour somme $1$ , rien ne se perd.
On admet que $(x_{n})$ converge vers $300$ . Justifier que $(X_{n})$ converge et donner la limite de $(y_{n})$ :
Rédaction attendue. Pour tout $n$ , $y_{n} = 1 200 - x_{n}$ . Comme $(x_{n})$ converge vers $300$ , $(y_{n})$ converge vers $1 200 - 300 = 900$ . Les deux suites coordonnées convergent, donc $(X_{n})$ converge vers $(\begin{matrix} 300 \\ 900 \end{matrix})$ : la convergence d’une suite de matrices se lit coefficient par coefficient.

Cas 3Suite homogène : Uₙ = AⁿU₀

Réflexe — Uₙ = AⁿU₀ et Uₙ₊ₚ = AᵖUₙ ; Aⁿ par une matrice diagonale ou par conjecture et récurrence ; contrôle avec n = 0 et n = 1. Revoir la méthode →

Exercice 9★★★Facile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ et, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n + 1} = A U_{n}$ .

$A^{2}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
Ligne 1 : $2 \times 2 + 1 \times 1 = 5$ et $2 \times 1 + 1 \times 1 = 3$ . Ligne 2 : $1 \times 2 + 1 \times 1 = 3$ et $1 \times 1 + 1 \times 1 = 2$ .
$U_{2}$ : $u_{2} =$ et $v_{2} =$
$U_{1}$ $= A U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 - 1 \\ 1 - 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ et $U_{2}$ $= A U_{1}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ . Avec le cours : $U_{2}$ $= A^{2} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 5 - 3 \\ 3 - 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ , le même résultat.
Justifier que $U_{4} = A^{2} U_{2}$ , puis calculer $U_{4}$ : $u_{4} =$ et $v_{4} =$
Rédaction attendue. D’après le cours, $U_{n} = A^{n} U_{0}$ , donc $U_{4} = A^{4} U_{0} = A^{2} (A^{2} U_{0}) = A^{2} U_{2}$ . Ainsi $U_{4}$ $= (\begin{matrix} 5 \times 2 + 3 \times 1 \\ 3 \times 2 + 2 \times 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 13 \\ 8 \end{matrix})$ .

Exercice 10★★★Facile

On pose $A$ $= (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix})$ et $M$ $= (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; s’il n’y a pas de limite, écris « pas de limite ».

Coefficients diagonaux de $A^{3}$ : et
$A$ est diagonale : on élève chaque coefficient diagonal au cube, $3^{3} = 27$ et $(- 2)^{3} = - 8$ . Pour tout $n$ , $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 3^{n} & 0 \\ 0 & (- 2)^{n} \end{matrix})$ .
Limite du coefficient en haut à gauche de $A^{n}$ :
$3 > 1$ , donc $3^{n}$ tend vers $+ \infty$ : la suite $(A^{n})$ ne converge pas. Le coefficient $(- 2)^{n}$ n’a pas de limite non plus, car $- 2 ⩽ - 1$ .
Coefficient en haut à droite de $M^{3}$ :
$M^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ et $M^{3}$ $= M^{2} \times M$ $= (\begin{matrix} 1 & 12 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ : le coefficient vaut $4$ , $8$ , $12$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $M^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & k n \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , où $k =$
Rédaction attendue. On note $𝒫 (n)$ : « $M^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 4 n \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ». Initialisation : $M^{0}$ $= I$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , donc $𝒫 (0)$ est vraie. Hérédité : si $𝒫 (n)$ est vraie, $M^{n + 1}$ $= M^{n} \times M$ $= (\begin{matrix} 1 & 4 n \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 4 + 4 n \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 4 (n + 1) \\ 0 & 1 \end{matrix})$ : $𝒫 (n + 1)$ est vraie. Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n$ .
Si $U_{n + 1} = M U_{n}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ , alors $u_{n} = a n + b$ avec $a =$ et $b =$
$U_{n}$ $= M^{n} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 + 4 n \times 2 \\ 2 \end{matrix})$ , donc $u_{n} = 8 n + 1$ et $v_{n} = 2$ : $(u_{n})$ est arithmétique de raison $8$ .

Exercice 11★★★Moyen

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ et la suite $(U_{n})$ définie par $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n}$ .

$A^{3}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$A^{2}$ $= (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 6 + 3 & 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 9 & 1 \end{matrix})$ et $A^{3}$ $= A^{2} \times A$ $= (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 18 + 3 & 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 21 & 1 \end{matrix})$ .
Conjecturer, puis démontrer par récurrence, que $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 2^{n} & 0 \\ c (2^{n} - 1) & 1 \end{matrix})$ pour tout entier naturel $n$ , avec $c =$
Rédaction attendue. Le coefficient en bas à gauche vaut $3$ , $9$ , $21$ , soit $3 (2^{n} - 1)$ pour $n = 1, 2, 3$ . Initialisation : pour $n = 0$ , la formule donne $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $= I$ $= A^{0}$ . Hérédité : si elle est vraie au rang $n$ , $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= (\begin{matrix} 2^{n + 1} & 0 \\ 6 (2^{n} - 1) + 3 & 1 \end{matrix})$ , et $6 (2^{n} - 1) + 3$ $= 3 \times 2^{n + 1} - 3$ $= 3 (2^{n + 1} - 1)$ : elle est vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : elle est vraie pour tout $n$ .
On a $u_{n} = 2^{n}$ et $v_{n} = a \times 2^{n} + b$ avec $a =$ et $b =$
La suite est homogène, donc $U_{n}$ $= A^{n} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2^{n} \\ 3 (2^{n} - 1) + 2 \end{matrix})$ : $u_{n} = 2^{n}$ et $v_{n} = 3 \times 2^{n} - 1$ . Contrôle : $v_{0} = 3 - 1 = 2$ .
Limite de $\frac{v_{n}}{u_{n}}$ :
$\frac{v_{n}}{u_{n}}$ $= \frac{3 \times 2^{n} - 1}{2^{n}}$ $= 3 - \frac{1}{2^{n}}$ , et $\frac{1}{2^{n}} = 0, 5^{n}$ tend vers $0$ : le quotient tend vers $3$ . Les deux suites tendent vers $+ \infty$ , mais leur rapport se stabilise.

Exercice 12★★★Difficile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ et la suite définie par $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .

$A^{3}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$A^{2}$ $= (\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ , puis $A^{3}$ $= A^{2} \times A$ $= (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ $= - I$ .
Démontrer que $U_{n + 6} = U_{n}$ pour tout entier naturel $n$ . Contrôle : coefficients de la première ligne de $A^{6}$ : et
Rédaction attendue. $A^{6} = (A^{3})^{2} = (- I)^{2} = I$ . D’après le cours, $U_{n} = A^{n} U_{0}$ , donc $U_{n + 6}$ $= A^{n + 6} U_{0}$ $= A^{6} (A^{n} U_{0})$ $= I U_{n}$ $= U_{n}$ . La suite est périodique de période $6$ .
$U_{2026}$ : $u_{2026} =$ et $v_{2026} =$
$2 026 = 6 \times 337 + 4$ , donc $U_{2026} = U_{4} = A^{3} (A U_{0}) = - A U_{0}$ . Or $A U_{0}$ $= (\begin{matrix} 0 - 5 \\ 2 + 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 5 \\ 7 \end{matrix})$ , d’où $U_{2026}$ $= (\begin{matrix} 5 \\ - 7 \end{matrix})$ .
Nombre de valeurs distinctes prises par la suite $(u_{n})$ :
$U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ , $U_{1}$ $= (\begin{matrix} - 5 \\ 7 \end{matrix})$ , $U_{2}$ $= (\begin{matrix} - 7 \\ 2 \end{matrix})$ , $U_{3}$ $= (\begin{matrix} - 2 \\ - 5 \end{matrix})$ , $U_{4}$ $= (\begin{matrix} 5 \\ - 7 \end{matrix})$ , $U_{5}$ $= (\begin{matrix} 7 \\ - 2 \end{matrix})$ , puis tout recommence. $(u_{n})$ prend les six valeurs $2$ , $- 5$ , $- 7$ , $- 2$ , $5$ , $7$ : elle n’a donc pas de limite.

Cas 4Calculer Aⁿ avec une matrice diagonale

Réflexe — AP = PD vérifié, P⁻¹ calculé, Aⁿ = PDⁿP⁻¹ ; la limite de Aⁿ se lit sur λⁿ et μⁿ ; pour Uₙ, je calcule d’abord P⁻¹U₀. Revoir la méthode →

Exercice 13★★★Facile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ , $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{matrix})$ et $D$ $= (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})$ .

$A P$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$A P$ $= (\begin{matrix} 4 - 2 & 4 + 1 \\ 2 - 6 & 2 + 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 4 & 5 \end{matrix})$ et $P D$ $= (\begin{matrix} 1 \times 2 & 1 \times 5 \\ - 2 \times 2 & 1 \times 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 4 & 5 \end{matrix})$ : $A P = P D$ .
$P^{- 1} = \frac{1}{3} N$ . Coefficients de $N$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$det (P)$ $= 1 \times 1 - 1 \times (- 2)$ $= 3 \neq 0$ , donc $P^{- 1}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ . En multipliant $A P = P D$ à droite par $P^{- 1}$ : $A = P D P^{- 1}$ .
Démontrer que $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour tout entier naturel $n$ . Le coefficient en haut à gauche de $A^{n}$ vaut $\frac{a \times 2^{n} + b \times 5^{n}}{3}$ avec $a =$ et $b =$
Rédaction attendue. Initialisation : $P D^{0} P^{- 1} = P I P^{- 1} = I = A^{0}$ . Hérédité : si $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , alors $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= P D^{n} P^{- 1} P D P^{- 1}$ $= P D^{n} I D P^{- 1}$ $= P D^{n + 1} P^{- 1}$ . Conclusion : vraie pour tout $n$ . Puis $P D^{n}$ $= (\begin{matrix} 2^{n} & 5^{n} \\ - 2^{n + 1} & 5^{n} \end{matrix})$ et $A^{n}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2^{n} + 2 \times 5^{n} & - 2^{n} + 5^{n} \\ - 2^{n + 1} + 2 \times 5^{n} & 2^{n + 1} + 5^{n} \end{matrix})$ .
Coefficient en bas à droite de $A^{2}$ , calculé avec la formule :
$\frac{2^{3} + 5^{2}}{3}$ $= \frac{8 + 25}{3}$ $= 11$ . Contrôle direct : $A^{2}$ $= (\begin{matrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{matrix})$ .

Exercice 14★★★Facile

Pour trois matrices carrées d’ordre 2, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : $M_{1}^{n}$ $= (\begin{matrix} 0, 5^{n} & 1 - 0, 5^{n} \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $M_{2}^{n}$ $= (\begin{matrix} 2^{n} & 2^{n} - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ et $M_{3}^{n}$ $= (\begin{matrix} (- 0, 8)^{n} & 0 \\ 0 & 0, 3^{n} \end{matrix})$ . Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; s’il n’y a pas de limite, écris « pas de limite ».

Limite de $M_{1}^{n}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$- 1 < 0, 5 < 1$ , donc $0, 5^{n}$ tend vers $0$ et $1 - 0, 5^{n}$ vers $1$ : $M_{1}^{n}$ tend vers $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , une limite qui n’est pas nulle.
Limite du coefficient en haut à gauche de $M_{2}^{n}$ :
$2 > 1$ : $2^{n}$ tend vers $+ \infty$ , la suite $(M_{2}^{n})$ ne converge pas.
On prend $U_{n + 1} = M_{1} U_{n}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix})$ . Alors $u_{n} = a \times 0, 5^{n} + b$ avec $a =$ et $b =$
$U_{n}$ $= M_{1}^{n} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 6 \times 0, 5^{n} - 2 (1 - 0, 5^{n}) \\ - 2 \end{matrix})$ , soit $u_{n} = 8 \times 0, 5^{n} - 2$ et $v_{n} = - 2$ . Donc $(U_{n})$ tend vers $(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix})$ . Contrôle : $u_{0} = 8 - 2 = 6$ .
Justifier que, pour $M_{1}$ , la limite de $(U_{n})$ dépend de $U_{0}$ , alors que pour $M_{3}$ elle n’en dépend pas. Limite de $(U_{n})$ pour $M_{3}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix})$ : et
Rédaction attendue. $U_{n} = M^{n} U_{0}$ , donc $(U_{n})$ tend vers $L U_{0}$ , où $L$ est la limite de $M^{n}$ . Pour $M_{1}$ , $L$ $= (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ et $L U_{0}$ $= (\begin{matrix} v_{0} \\ v_{0} \end{matrix})$ : la limite dépend de $U_{0}$ . Pour $M_{3}$ , $- 1 < - 0, 8 < 1$ et $- 1 < 0, 3 < 1$ , donc $L$ est la matrice nulle, et $L U_{0}$ est la colonne nulle quel que soit $U_{0}$ .
Pour $M_{2}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ , la suite $U_{n} = M_{2}^{n} U_{0}$ converge si et seulement si $a + b =$
$U_{n}$ $= (\begin{matrix} 2^{n} a + (2^{n} - 1) b \\ b \end{matrix})$ , soit $u_{n} = 2^{n} (a + b) - b$ et $v_{n} = b$ . Si $a + b \neq 0$ , $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ ; si $a + b = 0$ , $u_{n} = - b$ est constante. La suite converge donc exactement quand $a + b = 0$ .

Exercice 15★★★Moyen

Deux récipients d’eau en contact échangent de la chaleur. On relève leurs températures toutes les dix minutes et l’on modélise : $t_{n + 1} = 0, 6 t_{n} + 0, 4 s_{n}$ et $s_{n + 1} = 0, 2 t_{n} + 0, 8 s_{n}$ , avec $t_{0} = 90$ et $s_{0} = 30$ (en °C). On pose $T_{n}$ $= (\begin{matrix} t_{n} \\ s_{n} \end{matrix})$ , on note $A$ la matrice telle que $T_{n + 1} = A T_{n}$ pour tout $n$ , et on donne $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ et $D$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0, 4 \end{matrix})$ .

$T_{1}$ : $t_{1} =$ et $s_{1} =$
$T_{n + 1} = A T_{n}$ avec $A$ $= (\begin{matrix} 0, 6 & 0, 4 \\ 0, 2 & 0, 8 \end{matrix})$ . $t_{1} = 54 + 12 = 66$ et $s_{1} = 18 + 24 = 42$ .
Vérifier que $A P = P D$ . $P^{- 1} = \frac{1}{3} N$ , coefficients de $N$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$A P$ $= (\begin{matrix} 0, 6 + 0, 4 & 1, 2 - 0, 4 \\ 0, 2 + 0, 8 & 0, 4 - 0, 8 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 0, 8 \\ 1 & - 0, 4 \end{matrix})$ et $P D$ $= (\begin{matrix} 1 & 0, 8 \\ 1 & - 0, 4 \end{matrix})$ . $det (P) = - 1 - 2 = - 3$ , donc $P^{- 1}$ $= - \frac{1}{3} (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ .
Démontrer que $(A^{n})$ converge vers une matrice $L$ et donner $L$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
Rédaction attendue. Comme $A = P D P^{- 1}$ , $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ avec $D^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0, 4^{n} \end{matrix})$ . Or $- 1 < 0, 4 < 1$ , donc $0, 4^{n}$ tend vers $0$ et $D^{n}$ tend vers $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ . Chaque coefficient de $A^{n}$ étant une somme de produits de coefficients de $P$ , $D^{n}$ et $P^{- 1}$ , $A^{n}$ tend vers $L$ $= P (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \times \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ .
Température limite commune des deux récipients : °C
$T_{n} = A^{n} T_{0}$ tend vers $L T_{0}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 90 + 60 \\ 90 + 60 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 50 \\ 50 \end{matrix})$ . Les deux températures se rejoignent à $50$ °C.
Avec $t_{0} = 20$ et $s_{0} = 80$ , la température limite commune vaut °C
$L T_{0}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 20 + 160 \\ 20 + 160 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 60 \\ 60 \end{matrix})$ . La limite dépend de l’état initial, parce que $L$ n’est pas la matrice nulle : c’est la moyenne pondérée $\frac{t_{0} + 2 s_{0}}{3}$ , où $s_{0}$ compte double.

Exercice 16★★★Difficile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} - 2, 5 & 1, 5 \\ - 3 & 2 \end{matrix})$ , $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ , $D$ $= (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 0, 5 \end{matrix})$ et la suite définie par $U_{n + 1} = A U_{n}$ .

Vérifier que $A P = P D$ . $P^{- 1}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
$A P$ $= (\begin{matrix} - 2, 5 + 1, 5 & - 2, 5 + 3 \\ - 3 + 2 & - 3 + 4 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 1 & 0, 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ $= P D$ . $det (P) = 2 - 1 = 1$ , donc $P^{- 1}$ $= (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ .
Le coefficient en haut à gauche de $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ s’écrit $a (- 1)^{n} + b \times 0, 5^{n}$ , avec $a =$ et $b =$
$P D^{n}$ $= (\begin{matrix} (- 1)^{n} & 0, 5^{n} \\ (- 1)^{n} & 2 \times 0, 5^{n} \end{matrix})$ , puis, en développant le produit par $P^{- 1}$ : $A^{n}$ $= (- 1)^{n} (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{matrix}) + 0, 5^{n} (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix})$ . Le coefficient en haut à gauche vaut $2 (- 1)^{n} - 0, 5^{n}$ . Contrôle pour $n = 1$ : $- 2 - 0, 5 = - 2, 5$ .
Justifier que $(A^{n})$ ne converge pas. Limite de $A^{2 n}$ : ligne du haut : et ; ligne du bas : et
Rédaction attendue. Le coefficient en haut à gauche vaut $2 - 0, 5^{n}$ si $n$ est pair et $- 2 - 0, 5^{n}$ si $n$ est impair : il se rapproche de $2$ pour les rangs pairs et de $- 2$ pour les rangs impairs, il n’a donc pas de limite, et $(A^{n})$ ne converge pas. Pour les rangs pairs, $(- 1)^{2 n} = 1$ et $0, 5^{2 n}$ tend vers $0$ : $A^{2 n}$ tend vers $(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{matrix})$ .
Pour $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$ : limite de $U_{2 n}$ : et
$U_{2 n} = A^{2 n} U_{0}$ tend vers $(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ , tandis que $U_{2 n + 1}$ tend vers $(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix})$ : la suite $(U_{n})$ ne converge pas.
Démontrer que $(U_{n})$ converge si et seulement si $v_{0} = k u_{0}$ , avec $k =$
Rédaction attendue. $P^{- 1} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 2 u_{0} - v_{0} \\ - u_{0} + v_{0} \end{matrix})$ , donc $U_{n} = P D^{n} P^{- 1} U_{0}$ est la somme de $(2 u_{0} - v_{0}) (- 1)^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ et de $(v_{0} - u_{0}) \times 0, 5^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ . Le second terme tend vers la colonne nulle. Si $2 u_{0} - v_{0} \neq 0$ , le premier terme alterne entre deux colonnes opposées non nulles et $(U_{n})$ ne converge pas. Si $v_{0} = 2 u_{0}$ , $U_{n}$ $= u_{0} \times 0, 5^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ tend vers la colonne nulle.

Cas 5Suite affine : état stable et convergence

Réflexe — (I − A)C = B ; Vₙ = Uₙ − C vérifie Vₙ₊₁ = AVₙ ; Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C ; si Aⁿ tend vers O, Uₙ tend vers C ; sans état stable, pas de convergence. Revoir la méthode →

Exercice 17★★★Facile

Soit la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ , avec $A$ $= (\begin{matrix} 0, 4 & 0, 3 \\ 0, 5 & 0, 2 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 12 \\ 34 \end{matrix})$ .

Un état stable $C$ $= (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ vérifie $0, 6 x - 0, 3 y =$ et $- 0, 5 x + 0, 8 y =$
$C = A C + B$ s’écrit $x = 0, 4 x + 0, 3 y + 12$ et $y = 0, 5 x + 0, 2 y + 34$ , soit $(I - A) C = B$ : $0, 6 x - 0, 3 y = 12$ et $- 0, 5 x + 0, 8 y = 34$ .
Justifier que l’état stable existe et qu’il est unique. $det (I - A) =$
Rédaction attendue. $I - A$ $= (\begin{matrix} 0, 6 & - 0, 3 \\ - 0, 5 & 0, 8 \end{matrix})$ a pour déterminant $0, 6 \times 0, 8 - (- 0, 3) \times (- 0, 5)$ $= 0, 48 - 0, 15$ $= 0, 33 \neq 0$ . La matrice $I - A$ est inversible, donc l’équation $(I - A) C = B$ a une unique solution : l’état stable existe et il est unique.
$C$ : $x =$ et $y =$
En multipliant la première équation par $\frac{10}{3}$ et la seconde par $10$ : $2 x - y = 40$ et $- 5 x + 8 y = 340$ . La première donne $y = 2 x - 40$ ; en reportant : $- 5 x + 16 x - 320 = 340$ , soit $11 x = 660$ , $x = 60$ et $y = 80$ .
Vérification : premier coefficient de $A C$ :
$A C$ $= (\begin{matrix} 0, 4 \times 60 + 0, 3 \times 80 \\ 0, 5 \times 60 + 0, 2 \times 80 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 48 \\ 46 \end{matrix})$ , donc $A C + B$ $= (\begin{matrix} 60 \\ 80 \end{matrix})$ $= C$ .

Exercice 18★★★Moyen

On définit $(U_{n})$ par $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 80 \\ 60 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ , avec $A$ $= (\begin{matrix} 0, 6 & 0, 2 \\ 0, 1 & 0, 5 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 14 \\ 10 \end{matrix})$ .

Unique état stable $C$ : et
$(I - A) C = B$ donne $0, 4 x - 0, 2 y = 14$ et $- 0, 1 x + 0, 5 y = 10$ , soit $2 x - y = 70$ et $- x + 5 y = 100$ . Alors $y = 2 x - 70$ , $- x + 10 x - 350 = 100$ , $9 x = 450$ , $x = 50$ et $y = 30$ . Le déterminant de $I - A$ vaut $0, 4 \times 0, 5 - 0, 2 \times 0, 1$ $= 0, 18 \neq 0$ : l’état stable est unique.
Démontrer que l’écart à l’équilibre $V_{n} = U_{n} - C$ vérifie $V_{n + 1} = A V_{n}$ , puis calculer $V_{1}$ : et
Rédaction attendue. $C$ est un état stable, donc $C = A C + B$ . Alors $V_{n + 1}$ $= U_{n + 1} - C$ $= (A U_{n} + B) - (A C + B)$ $= A U_{n} - A C$ $= A (U_{n} - C)$ $= A V_{n}$ . Ici $V_{0}$ $= U_{0} - C$ $= (\begin{matrix} 30 \\ 30 \end{matrix})$ et $V_{1}$ $= A V_{0}$ $= (\begin{matrix} 18 + 6 \\ 3 + 15 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 24 \\ 18 \end{matrix})$ .
En déduire $U_{1}$ : et
$U_{1}$ $= V_{1} + C$ $= (\begin{matrix} 74 \\ 48 \end{matrix})$ . Directement : $A U_{0} + B$ $= (\begin{matrix} 48 + 12 \\ 8 + 30 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 14 \\ 10 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 74 \\ 48 \end{matrix})$ , les deux méthodes concordent. Et pour tout $n$ : $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C$ .
On admet que $A^{n}$ tend vers la matrice nulle. Limite de $(U_{n})$ : et
Chaque coefficient de $V_{n} = A^{n} V_{0}$ est une somme de coefficients de $A^{n}$ multipliés par des constantes : $V_{n}$ tend vers la colonne nulle, donc $U_{n} = V_{n} + C$ tend vers $C$ $= (\begin{matrix} 50 \\ 30 \end{matrix})$ . Cette limite ne dépend pas de $U_{0}$ .

Exercice 19★★★Moyen

Soit la suite $(U_{n})$ définie par $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ , où $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ . Pour l’infini, écris +infini ou −infini ; s’il n’y a pas de limite, écris « pas de limite ».

Justifier qu’il n’existe aucun état stable. Avec $C$ $= (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ , la seconde équation de $(I - A) C = B$ s’écrit $0 =$
Rédaction attendue. $I - A$ $= (\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ , donc $(I - A) C = B$ s’écrit $- 2 y = 3$ et $0 = 1$ . La seconde égalité est impossible : aucune colonne $C$ ne vérifie $C = A C + B$ , il n’y a pas d’état stable. C’est cohérent avec $det (I - A) = 0$ .
Expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ : $v_{n} =$
La seconde ligne donne $v_{n + 1} = v_{n} + 1$ : $(v_{n})$ est arithmétique de raison $1$ , de premier terme $0$ , donc $v_{n} = n$ .
Démontrer par récurrence que $u_{n} = n^{2} + a n$ pour tout entier naturel $n$ , avec $a =$
Rédaction attendue. La première ligne donne $u_{n + 1} = u_{n} + 2 v_{n} + 3 = u_{n} + 2 n + 3$ . Initialisation : $0^{2} + 2 \times 0 = 0 = u_{0}$ . Hérédité : si $u_{n} = n^{2} + 2 n$ , alors $u_{n + 1} = n^{2} + 4 n + 3$ , et $(n + 1)^{2} + 2 (n + 1) = n^{2} + 4 n + 3$ : la formule est vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : $u_{n} = n^{2} + 2 n$ pour tout $n$ .
Limite de $(u_{n})$ :
$n^{2} + 2 n$ tend vers $+ \infty$ , comme $v_{n} = n$ . C’était prévisible : si $(U_{n})$ convergeait vers $L$ , on aurait $L = A L + B$ , et $L$ serait un état stable. Sans état stable, aucune convergence n’est possible, quel que soit $U_{0}$ .

Exercice 20★★★Difficile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 0, 5 & 0, 1 \\ 0, 2 & 0, 4 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 13 \\ 6 \end{matrix})$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 90 \\ 20 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ . On donne $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ et $D$ $= (\begin{matrix} 0, 6 & 0 \\ 0 & 0, 3 \end{matrix})$ , qui vérifient $A P = P D$ .

État stable $C$ : et
$0, 5 x - 0, 1 y = 13$ et $- 0, 2 x + 0, 6 y = 6$ , soit $5 x - y = 130$ et $- x + 3 y = 30$ . Alors $y = 5 x - 130$ , $- x + 15 x - 390 = 30$ , $14 x = 420$ , $x = 30$ et $y = 20$ . $det (I - A)$ $= 0, 5 \times 0, 6 - 0, 1 \times 0, 2$ $= 0, 28 \neq 0$ : il est unique.
Avec $V_{0} = U_{0} - C$ , la colonne $P^{- 1} V_{0}$ vaut : et
$det (P) = - 2 - 1 = - 3$ , donc $P^{- 1}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ . $V_{0}$ $= (\begin{matrix} 60 \\ 0 \end{matrix})$ et $P^{- 1} V_{0}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 120 \\ 60 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 20 \end{matrix})$ .
$v_{n}$ $= 20 + c \times 0, 6^{n} + d \times 0, 3^{n}$ avec $c =$ et $d =$
$V_{n} = A^{n} V_{0} = P D^{n} P^{- 1} V_{0}$ , avec $D^{n} P^{- 1} V_{0}$ $= (\begin{matrix} 40 \times 0, 6^{n} \\ 20 \times 0, 3^{n} \end{matrix})$ . En multipliant par $P$ : $V_{n}$ $= 40 \times 0, 6^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + 20 \times 0, 3^{n} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ , puis $U_{n} = V_{n} + C$ : $u_{n}$ $= 30 + 40 \times 0, 6^{n} + 20 \times 0, 3^{n}$ et $v_{n}$ $= 20 + 40 \times 0, 6^{n} - 40 \times 0, 3^{n}$ . Au rang $1$ : $v_{1} = 20 + 24 - 12 = 32$ , et directement $0, 2 \times 90 + 0, 4 \times 20 + 6$ $= 32$ .
À l’aide de l’expression de $u_{n}$ , calculer la valeur exacte de $u_{3}$ :
La première ligne de $V_{n}$ donne $u_{n}$ $= 30 + 40 \times 0, 6^{n} + 20 \times 0, 3^{n}$ , donc $u_{3}$ $= 30 + 40 \times 0, 216 + 20 \times 0, 027$ $= 30 + 8, 64 + 0, 54$ $= 39, 18$ . Contrôle par la relation : $U_{1}$ $= (\begin{matrix} 60 \\ 32 \end{matrix})$ , $U_{2}$ $= (\begin{matrix} 46, 2 \\ 30, 8 \end{matrix})$ , puis $u_{3}$ $= 23, 1 + 3, 08 + 13$ $= 39, 18$ .
Justifier que $(U_{n})$ converge vers $C$ , puis donner le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 31$ :
Rédaction attendue. $- 1 < 0, 6 < 1$ et $- 1 < 0, 3 < 1$ , donc $0, 6^{n}$ et $0, 3^{n}$ tendent vers $0$ : $(U_{n})$ converge vers $C$ $= (\begin{matrix} 30 \\ 20 \end{matrix})$ . Ensuite, $u_{n} < 31 ⟺ 40 \times 0, 6^{n} + 20 \times 0, 3^{n} < 1$ , et ce membre de gauche décroît. À la calculatrice, il vaut environ $1, 12$ pour $n = 7$ et $0, 67$ pour $n = 8$ : $n = 8$ . Le terme en $0, 3^{n}$ est alors négligeable ( $\frac{0, 3^{n}}{0, 6^{n}} = 0, 5^{n}$ ) : c’est $0, 6^{n}$ qui fixe la vitesse de convergence.

Exercice 21★★★Difficile

Soit $A$ $= (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ et $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ . Un élève affirme que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n} = A^{n} U_{0} + n B$ .

$U_{3}$ : $u_{3} =$ et $v_{3} =$
$U_{1}$ $= B$ $= (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $U_{2}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ et $U_{3}$ $= (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ .
Valeur de $U_{2}$ donnée par la formule de l’élève : et
$A^{2} U_{0} + 2 B$ $= (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ , alors que $U_{2}$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ : ce contre-exemple prouve que la formule est fausse. L’apport $B$ d’une étape est ensuite multiplié par $A$ à chacune des étapes suivantes : ce sont $B$ , $A B$ , $A^{2} B$ … qui s’accumulent, pas $n$ fois $B$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout $n ⩾ 1$ , $U_{n}$ $= A^{n} U_{0} + (I + A + \dots + A^{n - 1}) B$ . Coefficient en haut à gauche de $I + A + A^{2} + A^{3}$ :
Rédaction attendue. Initialisation : pour $n = 1$ , la formule donne $A U_{0} + I B = A U_{0} + B = U_{1}$ . Hérédité : si elle est vraie au rang $n$ , alors $U_{n + 1}$ $= A U_{n} + B$ $= A^{n + 1} U_{0} + (A + A^{2} + \dots + A^{n}) B + B$ $= A^{n + 1} U_{0} + (I + A + \dots + A^{n}) B$ : elle est vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : vraie pour tout $n ⩾ 1$ . Comme $A^{k}$ $= (\begin{matrix} 2^{k} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , le coefficient demandé vaut $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ .
On a $v_{n} = n$ et $u_{n} = 2^{n} - k$ , avec $k =$
$I + A + \dots + A^{n - 1}$ $= (\begin{matrix} 1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} & 0 \\ 0 & n \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2^{n} - 1 & 0 \\ 0 & n \end{matrix})$ (somme géométrique de raison $2$ ). Comme $U_{0}$ est nulle, $u_{n} = 2^{n} - 1$ et $v_{n} = n$ ; pour $n = 3$ , on retrouve $7$ et $3$ . La formule de l’élève est juste sur la seconde coordonnée, où $A$ agit comme le nombre $1$ : son erreur revient à supposer $A = I$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs