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Matrices — suites récurrentes et itération
Application des matrices à la représentation et au calcul de suites définies par récurrence linéaire (programme officiel option Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Matrices — suites récurrentes et itération » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Suite récurrente linéaire d'ordre 1, Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle, Système de suites récurrentes et matrice de transition, Itération matricielle et puissances de matrices. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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Suite récurrente linéaire d'ordre 1
Une suite arithmétique ou géométrique est un cas particulier de suite récurrente linéaire. Plus généralement :
Définition. Une suite $(u_n)$ est dite récurrente linéaire d'ordre 1 si elle vérifie une relation de la forme $$u_{n+1} = a\,u_n + b$$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
Exemples immédiats :
- Si $b=0$ : suite géométrique de raison $a$.
- Si $a=1$ : suite arithmétique de raison $b$.
Exemple. Soit $u_{n+1} = 3u_n - 4$ avec $u_0 = 2$.
On cherche un point fixe $\ell$ tel que $\ell = 3\ell - 4$, soit $\ell = 2$. En posant $v_n = u_n - 2$, on obtient $v_{n+1} = 3v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$. Ainsi $v_n = 3^n\,v_0 = 0$ et $u_n = 2$ pour tout $n$.
On cherche un point fixe $\ell$ tel que $\ell = 3\ell - 4$, soit $\ell = 2$. En posant $v_n = u_n - 2$, on obtient $v_{n+1} = 3v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$. Ainsi $v_n = 3^n\,v_0 = 0$ et $u_n = 2$ pour tout $n$.
Astuce. Pour résoudre $u_{n+1} = a\,u_n + b$ ($a\neq 1$), on pose le point fixe $\ell = \frac{b}{1-a}$, puis $v_n = u_n - \ell$ donne une suite géométrique.
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Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : représentation matricielle
Une suite récurrente d'ordre 2 est définie par une relation faisant intervenir deux termes consécutifs :
Définition. Une suite $(u_n)$ est récurrente linéaire d'ordre 2 si $$u_{n+2} = p\,u_{n+1} + q\,u_n$$ où $p, q$ sont des réels. Les termes initiaux $u_0$ et $u_1$ sont donnés.
Représentation matricielle : on introduit le vecteur d'état $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$. Alors :
$$U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix} = A\,U_n$$où $A = \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est la matrice compagnon de la récurrence.
Exemple (suite de Fibonacci). La suite de Fibonacci vérifie $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, $F_0=0$, $F_1=1$. La matrice compagnon est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On a $U_n = A^n U_0$ avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Schéma : mise sous forme matricielle d'une récurrence d'ordre 2
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Système de suites récurrentes et matrice de transition
On peut également modéliser un système couplé de plusieurs suites récurrentes à l'aide d'une matrice.
Définition. Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites vérifiant $$\begin{cases} x_{n+1} = a\,x_n + b\,y_n \\ y_{n+1} = c\,x_n + d\,y_n \end{cases}$$ On pose $V_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Le système s'écrit alors $V_{n+1} = A\,V_n$.
La matrice $A$ est appelée matrice de transition du système. Elle encode les « taux de transfert » d'une grandeur vers l'autre.
Exemple. Une ville et sa banlieue ont des populations $x_n$ et $y_n$ (en milliers d'hab.) à l'année $n$. Chaque année, 10 % des citadins partent en banlieue et 5 % des banlieusards reviennent en ville :
$$\begin{cases} x_{n+1} = 0{,}9\,x_n + 0{,}05\,y_n \\ y_{n+1} = 0{,}1\,x_n + 0{,}95\,y_n \end{cases}$$
La matrice de transition est $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}05 \\ 0{,}1 & 0{,}95 \end{pmatrix}$.
$$\begin{cases} x_{n+1} = 0{,}9\,x_n + 0{,}05\,y_n \\ y_{n+1} = 0{,}1\,x_n + 0{,}95\,y_n \end{cases}$$
La matrice de transition est $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}05 \\ 0{,}1 & 0{,}95 \end{pmatrix}$.
Astuce. Dans un modèle de transfert de population ou de probabilités de transition, la somme de chaque colonne (ou ligne selon la convention) est souvent égale à 1. Vérifier cette propriété est un bon moyen de contrôler son modèle.
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Itération matricielle et puissances de matrices
L'idée centrale est la suivante : si $U_{n+1} = A\,U_n$ et $U_0$ est le vecteur initial, alors par itération :
$$U_1 = A\,U_0,\quad U_2 = A\,U_1 = A^2\,U_0,\quad \ldots\quad U_n = A^n\,U_0$$Théorème (formule fondamentale). Si $U_{n+1} = A\,U_n$ et $U_0$ est le vecteur initial, alors pour tout entier $n \geq 0$ : $$\boxed{U_n = A^n\,U_0}$$
Pour calculer $A^n$, on peut :
- Calculer successivement $A^2, A^3, \ldots$ (utile pour de petites valeurs de $n$).
- Chercher une forme close de $A^n$ (diagonalisation, si au programme).
- Utiliser des propriétés spéciales de $A$ (ex. $A^2 = \lambda A + \mu I$).
Exemple numérique. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
On conjecture $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2^n-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (vérifiable par récurrence).
Donc $U_n = \begin{pmatrix} 2^n + 2^n - 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
On conjecture $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2^n-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (vérifiable par récurrence).
Donc $U_n = \begin{pmatrix} 2^n + 2^n - 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Évolution de la première composante du vecteur $U_n = A^n U_0$ pour $A = \begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$
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Calcul du terme général via $A^n$
Pour obtenir une expression explicite de $u_n$ à partir de la représentation matricielle, on cherche une formule close pour $A^n$.
Méthode par relation de récurrence sur les coefficients de $A^n$ :
- On pose $A^n = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n \\ \gamma_n & \delta_n \end{pmatrix}$.
- La relation $A^{n+1} = A \cdot A^n$ donne des systèmes de récurrences sur $\alpha_n, \beta_n$, etc.
- On résout ces récurrences (souvent d'ordre 1) pour obtenir les expressions explicites.
Exemple. Reprenons $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ (Fibonacci) avec $u_0 = 0$, $u_1 = 1$.
Le vecteur $U_n = A^n U_0 = A^n \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. La deuxième composante de $A^n \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ est le coefficient $(2,1)$ de $A^n$, qui correspond à $F_n$.
Pour $n=4$ : $A^4 = \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$, donc $F_4 = 3$ (deuxième composante de $A^4\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$).
Le vecteur $U_n = A^n U_0 = A^n \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. La deuxième composante de $A^n \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ est le coefficient $(2,1)$ de $A^n$, qui correspond à $F_n$.
Pour $n=4$ : $A^4 = \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$, donc $F_4 = 3$ (deuxième composante de $A^4\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$).
Attention ! Il faut bien repérer quelle composante du vecteur $U_n = A^n U_0$ correspond à $u_n$. Selon la définition de $U_n$, $u_n$ peut être la première ou la deuxième composante. Toujours vérifier avec les termes initiaux.
| Relation de récurrence | Matrice compagnon $A$ | Vecteur $U_n$ |
|---|---|---|
| $u_{n+2} = p\,u_{n+1} + q\,u_n$ | $\begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ |
| $x_{n+1}=ax_n+by_n,\;y_{n+1}=cx_n+dy_n$ | $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$ |
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Modélisation : suites, états et transferts
Les matrices de transition apparaissent naturellement dans de nombreux modèles discrets :
- Modèles de populations : migrations entre régions, croissance par classes d'âge (matrices de Leslie).
- Chaînes de Markov : probabilités de passage d'un état à un autre.
- Systèmes de files d'attente, d'échanges économiques, etc.
Exemple complet — modèle de migration.
Deux régions A et B ont des populations $a_n$ et $b_n$ (millions) à l'année $n$.
Chaque année : 8 % de A migrent vers B, 3 % de B migrent vers A. La population totale reste constante.
$$A_{\text{trans}} = \begin{pmatrix} 0{,}92 & 0{,}03 \\ 0{,}08 & 0{,}97 \end{pmatrix}$$
Si $a_0 = 4$ et $b_0 = 2$ (millions), calculons $a_1$ et $b_1$ :
$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}92 & 0{,}03 \\ 0{,}08 & 0{,}97 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}74\\2{,}26\end{pmatrix}$.
À long terme, l'état stable vérifie $A\,V^* = V^*$, c'est-à-dire $V^*$ est vecteur propre de valeur propre 1.
Deux régions A et B ont des populations $a_n$ et $b_n$ (millions) à l'année $n$.
Chaque année : 8 % de A migrent vers B, 3 % de B migrent vers A. La population totale reste constante.
$$A_{\text{trans}} = \begin{pmatrix} 0{,}92 & 0{,}03 \\ 0{,}08 & 0{,}97 \end{pmatrix}$$
Si $a_0 = 4$ et $b_0 = 2$ (millions), calculons $a_1$ et $b_1$ :
$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}92 & 0{,}03 \\ 0{,}08 & 0{,}97 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}74\\2{,}26\end{pmatrix}$.
À long terme, l'état stable vérifie $A\,V^* = V^*$, c'est-à-dire $V^*$ est vecteur propre de valeur propre 1.
Convergence vers l'état stable : les populations s'équilibrent progressivement (modèle de migration)
Astuce. L'état stable $V^* = \begin{pmatrix}x^*\\y^*\end{pmatrix}$ vérifie $A\,V^* = V^*$, soit $(A - I)V^* = 0$. Si la population totale est conservée, on a aussi $x^* + y^* = x_0 + y_0$, ce qui permet de résoudre le système.
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Méthodes et pièges à éviter
Voici les erreurs les plus fréquentes et les méthodes pour les éviter :
Attention ! Ordre des composantes. Quand on définit $U_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$, la composante $u_n$ est la deuxième. Lire le vecteur résultat $A^n U_0$ avec soin pour extraire la bonne valeur.
Attention ! Non-commutativité. En général $A\,B \neq B\,A$. Dans $U_n = A^n U_0$, la matrice s'applique à gauche du vecteur. L'écriture $U_0 A^n$ est incorrecte.
Méthode — vérification par le calcul direct. Après avoir trouvé une formule close pour $u_n$, toujours vérifier :
1. Elle donne bien $u_0$ et $u_1$ (ou $u_0$, $u_1$ selon l'ordre).
2. Elle satisfait la relation de récurrence $u_{n+2} = p\,u_{n+1} + q\,u_n$.
1. Elle donne bien $u_0$ et $u_1$ (ou $u_0$, $u_1$ selon l'ordre).
2. Elle satisfait la relation de récurrence $u_{n+2} = p\,u_{n+1} + q\,u_n$.
Méthode — calcul de $A^2$ avant $A^n$. Pour conjecturer la forme de $A^n$, calculer $A^2$ et $A^3$ manuellement, repérer un schéma, puis prouver par récurrence.
Récapitulatif de la démarche complète :
- 1. Écrire la récurrence sous forme $U_{n+1} = A\,U_n$.
- 2. Identifier la matrice $A$ et le vecteur initial $U_0$.
- 3. Calculer ou connaître $A^n$ (formule close ou calcul numérique).
- 4. En déduire $U_n = A^n U_0$ et extraire la composante voulue.
- 5. Vérifier avec les valeurs initiales et la relation de récurrence.
En bref
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 2 $u_{n+2} = p\,u_{n+1} + q\,u_n$ se représente par $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}$.
- Un système couplé $\begin{cases}x_{n+1}=ax_n+by_n\\y_{n+1}=cx_n+dy_n\end{cases}$ s'écrit $V_{n+1} = A\,V_n$, $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$.
- La formule fondamentale est $U_n = A^n\,U_0$.
- L'état stable d'un modèle de transfert vérifie $A\,V^* = V^*$ (vecteur propre de valeur propre 1).
- Toujours vérifier les composantes du vecteur résultat et la non-commutativité des matrices.
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