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Suites de matrices

Q: Quel est le lien entre les suites arithmético-géométriques et les suites de matrices ?

Pour uₙ₊₁ = auₙ + b, on cherche le point fixe ℓ = aℓ + b, on montre que uₙ − ℓ est géométrique de raison a, et uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ. Les suites Uₙ₊₁ = AUₙ + B s’étudient exactement de la même façon : le point fixe devient l’état stable C, et la suite géométrique devient Vₙ = Uₙ − C = Aⁿ(U₀ − C).

Q: Comment écrire un système de suites sous la forme Uₙ₊₁ = AUₙ + B ?

On écrit une équation par suite, dans l’ordre uₙ puis vₙ. La ligne i de A contient les coefficients de la i-ième équation, avec un 0 pour une suite absente, et B contient les constantes. On contrôle en calculant U₁ avec le système puis avec AU₀ + B.

Q: Pourquoi Uₙ = AⁿU₀ quand Uₙ₊₁ = AUₙ ?

Par récurrence : U₀ = IU₀ = A⁰U₀, et si Uₙ = AⁿU₀, alors Uₙ₊₁ = AUₙ = A(AⁿU₀) = Aⁿ⁺¹U₀ par associativité. La formule est fausse dès que B n’est pas nulle : il faut alors passer par l’état stable.

Q: Comment calculer Aⁿ avec une matrice P donnée ?

On vérifie AP = PD, où D est diagonale, on calcule P⁻¹, puis A = PDP⁻¹ et Aⁿ = PDⁿP⁻¹ par récurrence, car les facteurs P⁻¹P se simplifient. Dⁿ s’obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n. La limite de Aⁿ se lit alors sur les puissances λⁿ et μⁿ des coefficients de D.

Q: Qu’est-ce qu’un état stable et quand la suite converge-t-elle ?

C’est une matrice colonne C telle que C = AC + B, c’est-à-dire (I − A)C = B ; il est unique si I − A est inversible. Alors Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C. Si Aⁿ tend vers la matrice nulle, Uₙ tend vers C quel que soit U₀. Sans état stable, la suite ne peut pas converger.

Suites de matrices colonnes Uₙ₊₁ = AUₙ + B : rappels sur les suites arithmético-géométriques, écriture matricielle d’évolutions couplées, cas homogène Uₙ = AⁿU₀, calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale, état stable, expression de Uₙ et convergence.

À propos de cette page

Ce cours de maths expertes sur les suites de matrices commence par des rappels sur les suites géométriques et arithmético-géométriques, puis montre comment écrire des suites couplées sous la forme Uₙ₊₁ = AUₙ + B, démontre Uₙ = AⁿU₀ pour une suite homogène, calcule Aⁿ avec une matrice diagonale (A = PDP⁻¹) et étudie le cas affine : état stable, suite Vₙ = Uₙ − C, convergence.

Rappels : suites géométriques et arithmético-géométriques

Ce qu’il faut savoir

Rappels de 1re et de Terminale (spécialité). Ce chapitre généralise aux matrices une méthode déjà connue pour les suites numériques.

Suite géométrique. Si $v_{n + 1} = q v_{n}$ pour tout $n$ , alors $v_{n} = v_{0} q^{n}$ . Limite de $q^{n}$ : si $q > 1$ , $q^{n}$ tend vers $+ \infty$ ; si $q = 1$ , $q^{n} = 1$ ; si $- 1 < q < 1$ , $q^{n}$ tend vers $0$ ; si $q ⩽ - 1$ , $(q^{n})$ n’a pas de limite. Pour $q \neq 1$ : $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1}$ $= \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ .

Suite arithmético-géométrique. Si $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ , on l’étudie en quatre étapes :

on cherche le réel $ℓ$ tel que $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ ;
on pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ : $v_{n + 1}$ $= (a u_{n} + b) - (a ℓ + b)$ $= a (u_{n} - ℓ)$ $= a v_{n}$ , donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ ;
$v_{n} = v_{0} a^{n}$ , d’où $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ ;
on conclut avec la limite de $a^{n}$ : si $- 1 < a < 1$ , $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ , quel que soit $u_{0}$ .

Le lien avec ce chapitre. Tout le chapitre reprend ce schéma avec des matrices : le réel $a$ devient une matrice carrée $A$ , la constante $b$ une matrice colonne $B$ , le point fixe $ℓ$ un état stable $C$ , et la suite géométrique $(v_{n})$ une suite $V_{n} = A^{n} V_{0}$ .

Exemples

Une suite qui converge. $u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 6$ . Point fixe : $ℓ = 0, 8 ℓ + 6$ donne $0, 2 ℓ = 6$ , soit $ℓ = 30$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 30$ : $v_{n + 1}$ $= 0, 8 u_{n} + 6 - 30$ $= 0, 8 (u_{n} - 30)$ $= 0, 8 v_{n}$ . La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme $v_{0} = - 20$ , donc $u_{n} = 30 - 20 \times 0, 8^{n}$ .

Comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , $0, 8^{n}$ tend vers $0$ et $(u_{n})$ converge vers $30$ .

Une suite qui diverge. $w_{0} = 5$ et $w_{n + 1} = 3 w_{n} - 4$ . Le point fixe vérifie $ℓ = 3 ℓ - 4$ , soit $ℓ = 2$ , et $w_{n} = 2 + 3 \times 3^{n}$ , car $w_{0} - ℓ = 3$ . Comme $3 > 1$ , $3^{n}$ tend vers $+ \infty$ , et le coefficient $w_{0} - ℓ$ est positif : $(w_{n})$ tend vers $+ \infty$ .

Réflexe — Devant $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , je calcule le point fixe $ℓ$ , je démontre que $(u_{n} - ℓ)$ est géométrique, j’écris $u_{n}$ en fonction de $n$ et je lis la limite sur $a^{n}$ .

Attention — La suite $(u_{n})$ elle-même n’est pas géométrique : $u_{n} \neq u_{0} a^{n}$ . Et le point fixe n’est la limite que si $- 1 < a < 1$ : pour $w$ , le point fixe vaut $2$ mais la suite tend vers $+ \infty$ .

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Écrire une suite de matrices colonnes

Ce qu’il faut savoir

Suite de matrices colonnes. Une suite $(U_{n})$ de matrices colonnes de taille $p \times 1$ associe à chaque entier naturel $n$ une matrice colonne, par exemple $U_{n}$ $= (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ pour $p = 2$ . Les suites numériques $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont ses suites coordonnées : plusieurs suites qui dépendent les unes des autres deviennent une seule suite de matrices.

Relation de récurrence. Soient $A$ une matrice carrée d’ordre $p$ et $B$ une matrice colonne de taille $p \times 1$ . La suite définie par $U_{0}$ et, pour tout $n$ , $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ est dite homogène si $B$ est la matrice nulle, et affine sinon. Le programme officiel note $C$ la colonne constante ; ici, $C$ désignera l’état stable (partie 5).

Lire $A$ sur le système. La ligne $i$ de $A$ donne les coefficients de la $i$ -ième équation : le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ multiplie la $j$ -ième suite dans l’expression de la $i$ -ième. Une suite absente d’une équation a pour coefficient $0$ .

Modéliser des transferts. Quand des quantités passent d’un compartiment à l’autre, la colonne $j$ de $A$ décrit ce que devient le contenu du compartiment $j$ : la part qui reste (sur la diagonale) et la part qui part vers chacun des autres. Si chaque colonne a pour somme $1$ , rien ne se perd et la somme $u_{n} + v_{n}$ reste constante ; si elle est inférieure à $1$ , une partie sort du système.

Convergence. La suite $(U_{n})$ converge vers la matrice colonne $L$ lorsque chaque suite coordonnée converge vers le coefficient correspondant de $L$ : la convergence se lit coefficient par coefficient. De même, une suite de matrices carrées $(A^{n})$ converge lorsque chacun de ses coefficients converge.

Exemples

Du système à la matrice. Le système ${\begin{matrix} u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 0, 1 v_{n} + 45 \\ v_{n + 1} = 0, 2 u_{n} + 0, 6 v_{n} + 20 \end{matrix}$ s’écrit $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ avec $A$ $= (\begin{matrix} 0, 7 & 0, 1 \\ 0, 2 & 0, 6 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 45 \\ 20 \end{matrix})$ (première ligne de $A$ lue sur la première équation).

Avec $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 500 \\ 300 \end{matrix})$ : $U_{1}$ $= A U_{0} + B$ $= (\begin{matrix} 350 + 30 + 45 \\ 100 + 180 + 20 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 425 \\ 300 \end{matrix})$ , puis $U_{2}$ $= (\begin{matrix} 297, 5 + 30 + 45 \\ 85 + 180 + 20 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 372, 5 \\ 285 \end{matrix})$ .

D’un énoncé à la matrice. Chaque année, $10 %$ des habitants d’une ville partent s’installer en périphérie et $5 %$ des habitants de la périphérie viennent en ville ; les autres ne bougent pas. Avec $x_{n}$ et $y_{n}$ les populations de la ville et de la périphérie : $x_{n + 1} = 0, 9 x_{n} + 0, 05 y_{n}$ et $y_{n + 1} = 0, 1 x_{n} + 0, 95 y_{n}$ , donc $X_{n + 1} = M X_{n}$ avec $M$ $= (\begin{matrix} 0, 9 & 0, 05 \\ 0, 1 & 0, 95 \end{matrix})$ . La première colonne, $(0, 9; 0, 1)$ , dit ce que deviennent les habitants de la ville. Pour $X_{0}$ $= (\begin{matrix} 60 000 \\ 40 000 \end{matrix})$ , on obtient $X_{1}$ $= (\begin{matrix} 56 000 \\ 44 000 \end{matrix})$ .

Réflexe — J’écris une équation par suite, dans l’ordre $u$ puis $v$ , je recopie les coefficients ligne par ligne dans $A$ et les constantes dans $B$ . Contrôle : je calcule $U_{1}$ avec le système, puis avec $A U_{0} + B$ , et je compare.

Attention — Lire $A$ colonne par colonne sur le système donne la mauvaise matrice (ses lignes et ses colonnes échangées), et l’évolution calculée n’a plus rien à voir. Le produit $A U_{n}$ s’écrit dans cet ordre : $U_{n} A$ n’existe pas.

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Suite homogène : Uₙ = AⁿU₀

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Si $U_{n + 1} = A U_{n}$ pour tout entier naturel $n$ , alors $U_{n} = A^{n} U_{0}$ pour tout $n$ . Plus généralement, $U_{n + p} = A^{p} U_{n}$ .

Démonstration (à savoir refaire). On note $𝒫 (n)$ : « $U_{n} = A^{n} U_{0}$ ». Initialisation : $A^{0} U_{0} = I U_{0} = U_{0}$ , donc $𝒫 (0)$ est vraie. Hérédité : si $U_{n} = A^{n} U_{0}$ pour un entier $n$ , alors $U_{n + 1}$ $= A U_{n}$ $= A (A^{n} U_{0})$ $= (A \times A^{n}) U_{0}$ $= A^{n + 1} U_{0}$ par associativité. Conclusion : par récurrence, $U_{n} = A^{n} U_{0}$ pour tout $n$ .

Calculer $A^{n}$ (rappel du chapitre Définition et opérations). $A^{0} = I$ ; si $A$ est diagonale, on élève chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ ; sinon, on calcule $A^{2}$ et $A^{3}$ , on conjecture $A^{n}$ et on démontre la conjecture par récurrence avec $A^{n + 1} = A^{n} \times A$ . La partie 4 donne une autre méthode.

Ce que cela change. Sans matrice, obtenir $u_{10}$ demande dix étapes. Avec l’expression de $A^{n}$ , on obtient d’un coup $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ , donc leurs limites.

Exemples

Conjecturer puis démontrer. Soit $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ . On calcule $A^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{matrix})$ et $A^{3}$ $= (\begin{matrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{matrix})$ . Les coefficients $1$ , $3$ , $7$ valent $2^{1} - 1$ , $2^{2} - 1$ et $2^{3} - 1$ : on conjecture $A^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 2^{n} - 1 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix})$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , la formule donne $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $= I$ $= A^{0}$ . Hérédité : si la formule est vraie au rang $n$ , $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 + 2 (2^{n} - 1) \\ 0 & 2^{n + 1} \end{matrix})$ , et $1 + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 1} - 1$ : la formule est vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Le terme général. Si $U_{n + 1} = A U_{n}$ et $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ , alors $U_{n}$ $= A^{n} U_{0}$ $= (\begin{matrix} 4 + 3 (2^{n} - 1) \\ 3 \times 2^{n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 3 \times 2^{n} + 1 \\ 3 \times 2^{n} \end{matrix})$ . Les deux suites tendent vers $+ \infty$ , mais leur différence $u_{n} - v_{n}$ vaut toujours $1$ .

Réflexe — Suite homogène : j’écris « $U_{n} = A^{n} U_{0}$ d’après le cours », je calcule $A^{n}$ , puis le produit par $U_{0}$ . Je contrôle avec $n = 0$ (je dois retrouver $U_{0}$ ) et $n = 1$ .

Attention — $U_{n} = A^{n} U_{0}$ et non $U_{0} A^{n}$ , qui n’existe pas. $A^{n}$ ne s’obtient pas en élevant chaque coefficient à la puissance $n$ , sauf si $A$ est diagonale. Une conjecture tirée de $A^{2}$ et $A^{3}$ doit être démontrée par récurrence.

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Calculer Aⁿ avec une matrice diagonale

Ce qu’il faut savoir

Méthode. L’énoncé fournit une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ $= (\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix})$ (les trouver n’est pas au programme).

On vérifie $A P = P D$ : c’est plus rapide que $P^{- 1} A P = D$ , car aucun inverse n’intervient.
En multipliant à droite par $P^{- 1}$ : $A = P D P^{- 1}$ .
Pour tout entier naturel $n$ , $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , avec $D^{n}$ $= (\begin{matrix} λ^{n} & 0 \\ 0 & μ^{n} \end{matrix})$ .

Démonstration par récurrence. $P D^{0} P^{- 1} = P P^{- 1} = I = A^{0}$ . Si $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , alors $A^{n + 1}$ $= A^{n} \times A$ $= P D^{n} (P^{- 1} P) D P^{- 1}$ $= P D^{n + 1} P^{- 1}$ : les facteurs $P^{- 1} P = I$ se simplifient.

Limite de $A^{n}$ . Chaque coefficient de $A^{n}$ s’écrit $α λ^{n} + β μ^{n}$ , avec $α$ et $β$ fixes. Si $- 1 < λ < 1$ et $- 1 < μ < 1$ , tous les coefficients de $A^{n}$ tendent vers $0$ : $A^{n}$ tend vers la matrice nulle. Si $λ = 1$ et $- 1 < μ < 1$ , $A^{n}$ tend vers $P (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1}$ , qui n’est pas nulle. Si $λ > 1$ ou $λ ⩽ - 1$ (ou de même pour $μ$ ), la suite $(A^{n})$ ne converge pas (résultat admis).

Suite homogène. Si $A^{n}$ tend vers une matrice $L$ , alors $U_{n} = A^{n} U_{0}$ tend vers $L U_{0}$ : la limite dépend de $U_{0}$ , sauf si $L$ est la matrice nulle.

Exemples

Puissances de $A$ $= (\begin{matrix} 0, 7 & 0, 1 \\ 0, 2 & 0, 6 \end{matrix})$ (la matrice de la partie 2), avec $P$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ et $D$ $= (\begin{matrix} 0, 8 & 0 \\ 0 & 0, 5 \end{matrix})$ . On calcule $A P$ $= (\begin{matrix} 0, 7 + 0, 1 & 0, 7 - 0, 2 \\ 0, 2 + 0, 6 & 0, 2 - 1, 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 0, 8 & 0, 5 \\ 0, 8 & - 1 \end{matrix})$ et $P D$ $= (\begin{matrix} 0, 8 & 0, 5 \\ 0, 8 & - 1 \end{matrix})$ : $A P = P D$ .

$det (P) = - 2 - 1 = - 3$ , donc $P^{- 1}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ et $A = P D P^{- 1}$ . Alors $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , et en développant :

$A^{n} = \frac{0, 8^{n}}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) + \frac{0, 5^{n}}{3} (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) .$

Contrôle pour $n = 1$ : $\frac{1, 6 + 0, 5}{3} = 0, 7$ , on retrouve bien le premier coefficient de $A$ . Comme $0, 8$ et $0, 5$ sont strictement compris entre $- 1$ et $1$ , $0, 8^{n}$ et $0, 5^{n}$ tendent vers $0$ : $A^{n}$ tend vers la matrice nulle.

Réflexe — $A P = P D$ vérifié, $P^{- 1}$ calculé, j’écris $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ (récurrence). Pour $U_{n} = A^{n} U_{0}$ , je calcule d’abord la colonne $P^{- 1} U_{0}$ , puis $D^{n}$ fois cette colonne, puis $P$ fois le résultat : que des produits par une colonne.

Attention — L’ordre des facteurs est imposé : $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , et non $P^{- 1} D^{n} P$ ni $D^{n}$ . Une suite géométrique de raison négative peut tendre vers $0$ : $(- 0, 85)^{n}$ tend vers $0$ , car $- 1 < - 0, 85 < 1$ .

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Suite affine : état stable et convergence

Ce qu’il faut savoir

État stable. Une matrice colonne $C$ est un état stable (ou état d’équilibre) de la relation $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ lorsque $C = A C + B$ . Si $U_{0} = C$ , la suite est constante.

Existence. $C = A C + B$ équivaut à $(I - A) C = B$ . Si $I - A$ est inversible, l’état stable existe et il est unique : $C = (I - A)^{- 1} B$ . Sinon, il n’y en a aucun ou une infinité.

Changement de suite. On pose $V_{n} = U_{n} - C$ . Alors $V_{n + 1} = A V_{n}$ , donc $V_{n} = A^{n} V_{0}$ et $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C .$

Démonstration. $V_{n + 1}$ $= U_{n + 1} - C$ $= (A U_{n} + B) - (A C + B)$ $= A (U_{n} - C)$ $= A V_{n}$ : la suite $(V_{n})$ est homogène, et la partie 3 donne $V_{n} = A^{n} V_{0}$ .

Convergence. Si l’état stable $C$ existe et si $A^{n}$ tend vers la matrice nulle, alors $(U_{n})$ converge vers $C$ , quel que soit $U_{0}$ : chaque coefficient de $A^{n} (U_{0} - C)$ est une somme de coefficients de $A^{n}$ multipliés par des constantes, il tend vers $0$ . Enfin, si $(U_{n})$ converge vers une matrice colonne $L$ , en passant à la limite dans $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ on obtient $L = A L + B$ : la limite est un état stable. Sans état stable, la suite ne peut donc pas converger.

Formule générale. Pour tout $n ⩾ 1$ , $U_{n}$ $= A^{n} U_{0} + (I + A + \dots + A^{n - 1}) B$ (démonstration par récurrence en exercice) : chaque apport $B$ est ensuite multiplié par $A$ à chaque étape. C’est l’analogue de la somme géométrique de la partie 1 ; elle sert surtout quand il n’y a pas d’état stable, où l’on peut aussi revenir aux suites coordonnées.

Exemples

L’état stable. On reprend $A$ $= (\begin{matrix} 0, 7 & 0, 1 \\ 0, 2 & 0, 6 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 45 \\ 20 \end{matrix})$ . $C$ $= (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ vérifie $C = A C + B$ , soit ${\begin{matrix} 0, 3 x - 0, 1 y = 45 \\ - 0, 2 x + 0, 4 y = 20 \end{matrix}$ c’est-à-dire $3 x - y = 450$ et $- x + 2 y = 100$ . La seconde donne $x = 2 y - 100$ ; en reportant : $3 (2 y - 100) - y = 450$ , donc $5 y = 750$ , $y = 150$ et $x = 200$ . Le déterminant de $I - A$ vaut $0, 3 \times 0, 4 - 0, 1 \times 0, 2$ $= 0, 1 \neq 0$ : $C$ $= (\begin{matrix} 200 \\ 150 \end{matrix})$ est l’unique état stable.

Le terme général. Avec $U_{0}$ $= (\begin{matrix} 500 \\ 300 \end{matrix})$ : $V_{0}$ $= U_{0} - C$ $= (\begin{matrix} 300 \\ 150 \end{matrix})$ . Avec $P$ et $D$ de la partie 4, $P^{- 1} V_{0}$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 600 + 150 \\ 300 - 150 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 250 \\ 50 \end{matrix})$ , puis $V_{n}$ $= P D^{n} (\begin{matrix} 250 \\ 50 \end{matrix})$ $= P (\begin{matrix} 250 \times 0, 8^{n} \\ 50 \times 0, 5^{n} \end{matrix})$ . Donc $u_{n}$ $= 200 + 250 \times 0, 8^{n} + 50 \times 0, 5^{n}$ et $v_{n}$ $= 150 + 250 \times 0, 8^{n} - 100 \times 0, 5^{n}$ .

Contrôle pour $n = 1$ : $u_{1} = 200 + 200 + 25 = 425$ et $v_{1} = 150 + 200 - 50 = 300$ , comme dans la partie 2. Comme $A^{n}$ tend vers la matrice nulle, $(U_{n})$ converge vers $C$ $= (\begin{matrix} 200 \\ 150 \end{matrix})$ : les deux suites se stabilisent à $200$ et $150$ , quelles que soient leurs valeurs de départ. C’est $0, 8^{n}$ , la plus lente des deux puissances à disparaître, qui fixe la vitesse de convergence.

Réflexe — Suite affine : je résous $(I - A) C = B$ , je démontre $V_{n + 1} = A V_{n}$ en une ligne, j’écris $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C$ , puis je conclus sur la limite avec $A^{n}$ .

Attention — Dans le cas affine, $U_{n} = A^{n} U_{0}$ est faux, et $U_{n} = A^{n} U_{0} + n B$ aussi. Si $A^{n}$ tend vers la matrice nulle, $(U_{n})$ tend vers $C$ , pas vers la matrice nulle : seul l’écart à l’équilibre disparaît.

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Pour aller plus loin

Opérations et inverse. Le produit, les puissances et la matrice identité sont dans le chapitre Définition et opérations ; le déterminant, l’inverse d’une matrice 2 × 2 et la résolution d’un système $(I - A) C = B$ dans Matrice inverse et systèmes.

Chaînes de Markov. Une distribution de probabilité évolue selon $π_{n + 1} = π_{n} P$ : c’est une suite de matrices lignes, et le produit se fait à droite. Sa distribution invariante joue le rôle de l’état stable : chapitre Graphes probabilistes et chaînes de Markov.

Suites numériques. Les suites géométriques et arithmético-géométriques et les limites de $q^{n}$ sont traitées dans le chapitre Limites de suites de spécialité ; le raisonnement par récurrence dans Raisonnement par récurrence.

Pour aller plus loin (hors programme, on le voit dans le supérieur). Les nombres $λ$ et $μ$ de la matrice $D$ s’appellent les valeurs propres de $A$ , et trouver $P$ s’appelle diagonaliser $A$ . En Terminale, $P$ et $D$ sont toujours donnés par l’énoncé.

À retenir

Suite arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ : point fixe $ℓ = a ℓ + b$ , $(u_{n} - ℓ)$ géométrique, $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ .
Système → $U_{n + 1} = A U_{n} + B$ : la ligne $i$ de $A$ porte les coefficients de la $i$ -ième équation ; la convergence se lit coefficient par coefficient.
Cas homogène : $U_{n} = A^{n} U_{0}$ (récurrence) ; $A^{n}$ par conjecture et récurrence, ou par $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ si $A P = P D$ avec $D$ diagonale.
État stable : $C = A C + B$ , soit $(I - A) C = B$ ; avec $V_{n} = U_{n} - C$ : $V_{n + 1} = A V_{n}$ et $U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C$ .
Si $A^{n}$ tend vers la matrice nulle, $(U_{n})$ converge vers $C$ quel que soit $U_{0}$ ; sans état stable, $(U_{n})$ ne converge pas.

Questions fréquentes

Quel est le lien entre les suites arithmético-géométriques et les suites de matrices ?

Pour uₙ₊₁ = auₙ + b, on cherche le point fixe ℓ = aℓ + b, on montre que uₙ − ℓ est géométrique de raison a, et uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ. Les suites Uₙ₊₁ = AUₙ + B s’étudient exactement de la même façon : le point fixe devient l’état stable C, et la suite géométrique devient Vₙ = Uₙ − C = Aⁿ(U₀ − C).

Comment écrire un système de suites sous la forme Uₙ₊₁ = AUₙ + B ?

On écrit une équation par suite, dans l’ordre uₙ puis vₙ. La ligne i de A contient les coefficients de la i-ième équation, avec un 0 pour une suite absente, et B contient les constantes. On contrôle en calculant U₁ avec le système puis avec AU₀ + B.

Pourquoi Uₙ = AⁿU₀ quand Uₙ₊₁ = AUₙ ?

Par récurrence : U₀ = IU₀ = A⁰U₀, et si Uₙ = AⁿU₀, alors Uₙ₊₁ = AUₙ = A(AⁿU₀) = Aⁿ⁺¹U₀ par associativité. La formule est fausse dès que B n’est pas nulle : il faut alors passer par l’état stable.

Comment calculer Aⁿ avec une matrice P donnée ?

On vérifie AP = PD, où D est diagonale, on calcule P⁻¹, puis A = PDP⁻¹ et Aⁿ = PDⁿP⁻¹ par récurrence, car les facteurs P⁻¹P se simplifient. Dⁿ s’obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n. La limite de Aⁿ se lit alors sur les puissances λⁿ et μⁿ des coefficients de D.

Qu’est-ce qu’un état stable et quand la suite converge-t-elle ?

C’est une matrice colonne C telle que C = AC + B, c’est-à-dire (I − A)C = B ; il est unique si I − A est inversible. Alors Uₙ = Aⁿ(U₀ − C) + C. Si Aⁿ tend vers la matrice nulle, Uₙ tend vers C quel que soit U₀. Sans état stable, la suite ne peut pas converger.

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