Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Fiche de révision : définition et opérations

Format et coefficients, matrices carrées, somme et produit par un réel, produit matriciel et ses propriétés (non-commutativité, matrice identité), puissances d’une matrice carrée, matrices des transformations du plan.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMaths expertes (option Tle) · Terminale

Matrices : définition et opérations

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Graphes et matrices)

La démarche pour tout calcul matriciel

1. J’écris le format de chaque matrice (lignes × colonnes).

2. Je vérifie que l’opération existe : même format pour une somme, $(n \times p) (p \times q)$ pour un produit, matrice carrée pour une puissance.

3. Je calcule à la bonne place : coefficient par coefficient pour une somme, ligne du premier facteur × colonne du second pour un produit.

4. Je contrôle un coefficient au hasard, et je ne change jamais l’ordre des facteurs sans avoir prouvé que les matrices commutent.

Le réflexe — au moindre doute sur l’ordre, je garde l’ordre écrit :

A B

B A

sont deux calculs différents.

Cas 1 · Lire, écrire, modéliser une matrice

Réflexe — format = lignes × colonnes ; aᵢⱼ = ligne i, colonne j ; un tableau à double entrée devient une matrice en gardant l’ordre.

Exemple. Questions types : « Donner le format et les coefficients », « Écrire la matrice définie par $a_{i j} = \dots$ », « Traduire le tableau par une matrice ». Exemple : écrire la matrice $A$ de format $2 \times 3$ telle que $a_{i j} = 3 i - j$ .

2 lignes ( $i = 1$ ou $2$ ), 3 colonnes ( $j = 1$ , $2$ ou $3$ ).

Ligne 1 : $3 - 1 = 2$ , $3 - 2 = 1$ , $3 - 3 = 0$ . Ligne 2 : $6 - 1 = 5$ , $6 - 2 = 4$ , $6 - 3 = 3$ .

$A$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 \end{matrix})$ .

Attention — aᵢⱼ et aⱼᵢ ne sont pas le même coefficient ; deux formats différents ne donnent jamais deux matrices égales.

Cas 2 · Combiner des matrices, résoudre une équation

Réflexe — même format, coefficient par coefficient ; pour une équation, j’isole X comme avec des réels puis je vérifie.

Exemple. Questions types : « Calculer $2 A - 3 B$ », « Déterminer $X$ telle que… ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 0 & - 3 \end{matrix})$ , résoudre $3 X - A = 2 B$ .

$3 X - A = 2 B$ équivaut à $3 X = A + 2 B$ .

$A + 2 B$ $= (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 & 4 \\ 0 & - 6 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 6 & 3 \\ 3 & - 6 \end{matrix})$ .

Donc $X$ $= \frac{1}{3} (A + 2 B)$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ . Vérification sur un coefficient : $3 \times 1 - 3 = 0 = 2 \times 0$ .

Attention — 0 − (−3) = 3 : les signes des coefficients soustraits changent tous.

1 / 2

benprofparticulier.frMaths expertes (option Tle) · Terminale

Cas 3 · Calculer un produit

Réflexe — (n × p)(p × q) : milieu égal, sinon le produit n’existe pas ; coefficient (i, j) = ligne i du premier × colonne j du second.

Exemple. Questions types : « Le produit existe-t-il ? Donner son format, puis le calculer », « Image d’un point par une transformation ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 0 & - 1 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 3 & 0 \\ 5 & - 2 \end{matrix})$ .

$(2 \times 3) (3 \times 2)$ : $A B$ existe, de format $2 \times 2$ .

Ligne 1 : $1 \times 2 + (- 2) \times (- 3) + 3 \times 5$ $= 23$ et $1 \times 1 + (- 2) \times 0 + 3 \times (- 2)$ $= - 5$ .

Ligne 2 : $4 \times 2 + 0 \times (- 3) + (- 1) \times 5$ $= 3$ et $4 \times 1 + 0 \times 0 + (- 1) \times (- 2)$ $= 6$ .

$A B$ $= (\begin{matrix} 23 & - 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})$ .

Attention — on ne multiplie pas coefficient par coefficient ; (2 × 3)(2 × 3) n’existe pas.

Cas 4 · Commuter, développer

Réflexe — je calcule AB et BA ; s’ils sont égaux, je peux développer comme avec des réels, sinon je garde AB + BA.

Exemple. Questions types : « Montrer que $A$ et $B$ commutent ; en déduire $(A + B)^{2}$ », « Déterminer les matrices qui commutent avec $A$ ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix})$ .

$A B$ $= (\begin{matrix} 2 & 10 \\ 0 & 12 \end{matrix})$ et $B A$ $= (\begin{matrix} 2 & 10 \\ 0 & 12 \end{matrix})$ : $A$ et $B$ commutent (normal : $B = A + I_{2}$ ).

Donc $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 & 20 \\ 0 & 24 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 & 12 \\ 0 & 16 \end{matrix})$ .

$(A + B)^{2}$ $= (\begin{matrix} 9 & 40 \\ 0 & 49 \end{matrix})$ , ce que confirme le calcul direct avec $A + B$ $= (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 0 & 7 \end{matrix})$ .

Attention — AB = O n’impose ni A = O ni B = O ; on ne simplifie pas AB = AC par A.

Cas 5 · Calculer Aⁿ

Réflexe — diagonale : chaque coefficient diagonal à la puissance n ; sinon A², A³, conjecture, récurrence avec Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A.

Exemple. Questions types : « Calculer $A^{2}$ , conjecturer $A^{n}$ , démontrer par récurrence ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ .

$A^{2}$ $= (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ $= 2 A$ . On conjecture $𝒫 (n)$ : « $A^{n} = 2^{n - 1} A$ » pour $n ⩾ 1$ .

Initialisation : $2^{0} A = A$ , donc $𝒫 (1)$ est vraie. Hérédité : si $A^{n} = 2^{n - 1} A$ , alors $A^{n + 1} = A^{n} \times A = 2^{n - 1} A^{2}$ $= 2^{n - 1} \times 2 A = 2^{n} A$ .

Conclusion : pour tout $n ⩾ 1$ , $A^{n} = 2^{n - 1} A$ .

Attention — A⁰ = Iₙ, pas O ; et (AB)² = ABAB, pas A²B² en général.

Les pièges

Format : toujours lignes × colonnes, comme les indices aᵢⱼ.
Un produit impossible ne se « calcule » pas : vérifier les formats d’abord.
Coefficient (i, j) de AB : ligne i de A, colonne j de B, jamais l’inverse.
(A + B)² = A² + AB + BA + B² ; le 2AB n’apparaît que si A et B commutent.
Une puissance ne se calcule terme à terme que pour une matrice diagonale.
A puis B : la matrice de l’enchaînement est BA (la dernière transformation à gauche).

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche de tout calcul matriciel, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : écrire une matrice définie par une formule, résoudre une équation matricielle, calculer un produit rectangulaire, développer quand deux matrices commutent, démontrer l’expression de Aⁿ par récurrence.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Soutien scolaire à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs