À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Matrices — définition et opérations » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de matrice, Types particuliers de matrices, Addition de matrices et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
Au programme
1 · Notion de matrice
2 · Types particuliers de matrices
3 · Addition de matrices et multiplication par un scalaire
4 · Produit de deux matrices
5 · Propriétés de la multiplication matricielle
6 · Transposée d'une matrice
7 · Puissances d'une matrice carrée
8 · Visualisation et récapitulatif
1Notion de matrice
Une matrice de taille $n \times p$ (lire « $n$ lignes, $p$ colonnes ») est un tableau rectangulaire de nombres réels :
Définition. Soient $n, p \in \mathbb{N}^*$. Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de $n \cdot p$ réels organisé en $n$ lignes et $p$ colonnes. On la note $A = (a_{ij})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le p}}$ où $a_{ij}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et la colonne $j$.
L'ensemble des matrices de taille $n \times p$ à coefficients réels est noté $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, ou $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ lorsque $n = p$ (matrices carrées).
Exemple. La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix}$ est de taille $2 \times 3$. On a $a_{11} = 1$, $a_{12} = -2$, $a_{23} = -1$.
Attention ! L'indice de ligne vient toujours en premier : $a_{ij}$ = ligne $i$, colonne $j$. Ne pas confondre taille $n \times p$ (lignes × colonnes).
2Types particuliers de matrices
| Nom | Définition | Exemple |
|---|
| Matrice carrée d'ordre $n$ | $n$ lignes et $n$ colonnes | $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ (ordre 2) |
| Matrice ligne | 1 seule ligne ($1\times p$) | $(3, -1, 2)$ |
| Matrice colonne | 1 seule colonne ($n\times 1$) | $\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}$ |
| Matrice nulle $0_{n,p}$ | tous les coefficients sont 0 | $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ |
| Matrice identité $I_n$ | carrée, $a_{ii}=1$, $a_{ij}=0$ si $i\neq j$ | $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ |
| Matrice diagonale | carrée, $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$ | $\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$ |
Astuce. La matrice identité $I_n$ joue le rôle de « 1 » pour la multiplication : $AI_n = I_mA = A$ pour toute matrice $A$ de taille $m\times n$.
3Addition de matrices et multiplication par un scalaire
Addition. Deux matrices de même taille $n\times p$ peuvent être additionnées : $(A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij}$. On additionne terme à terme.
Multiplication scalaire. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ : $(\lambda A)_{ij} = \lambda\, a_{ij}$.
Exemple. Avec $A = \begin{pmatrix}1&3\\-2&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}-1&2\\4&-3\end{pmatrix}$ :
$A + B = \begin{pmatrix}0&5\\2&-3\end{pmatrix}$ ; $\quad 2A = \begin{pmatrix}2&6\\-4&0\end{pmatrix}$.
Propriétés. L'addition est commutative ($A+B=B+A$) et associative. On note $-A = (-1)A$ et $A - B = A + (-B)$. $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ muni de $+$ et du produit scalaire est un espace vectoriel (pour les élèves ayant vu ce concept).
4Produit de deux matrices
Définition du produit. Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$. Le produit $C = AB$ est la matrice de taille $n \times q$ dont le coefficient $(i,j)$ est :
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}.$$
Condition : le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$.
Attention ! Si les tailles ne sont pas compatibles ($A$ de taille $n\times p$ et $B$ de taille $q\times r$ avec $p\neq q$), le produit $AB$ n'est pas défini.
Exemple. $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}4&-1\\2&5\end{pmatrix}$ (taille $2\times 2$).
$AB = \begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot2 & 1\cdot(-1)+2\cdot5\\3\cdot4+0\cdot2 & 3\cdot(-1)+0\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8&9\\12&-3\end{pmatrix}$.
5Propriétés de la multiplication matricielle
| Propriété | Énoncé | Remarque |
|---|
| Non-commutativité | En général $AB \neq BA$ | Même pour des matrices carrées |
| Associativité | $(AB)C = A(BC)$ | Valide dès que les produits sont définis |
| Distributivité | $A(B+C)=AB+AC$ | Et $(B+C)A=BA+CA$ |
| Élément neutre | $I_n A = A I_n = A$ | $A$ carrée d'ordre $n$ |
| Matrice nulle | $A\cdot 0 = 0\cdot A = 0$ | Mais $AB=0\not\Rightarrow A=0$ ou $B=0$ |
Pièges classiques.
• $AB=0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$ (diviseurs de zéro).
• $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2+2AB+B^2$ en général.
• On ne peut pas toujours « simplifier » : $AB=AC$ et $A\neq 0$ ne donne pas forcément $B=C$.
Contre-exemple à la commutativité. $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}$.
$AB=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}$. Clairement $AB\neq BA$.
6Transposée d'une matrice
Définition. La transposée de $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, notée ${}^tA$ (ou $A^T$), est la matrice de taille $p\times n$ définie par $({}^tA)_{ij} = a_{ji}$. On intervertit lignes et colonnes.
Exemple. Si $A = \begin{pmatrix}1&-2&0\\3&5&-1\end{pmatrix}$ (taille $2\times 3$), alors ${}^tA = \begin{pmatrix}1&3\\-2&5\\0&-1\end{pmatrix}$ (taille $3\times 2$).
Propriétés.
• ${}^t({}^tA) = A$
• ${}^t(A+B) = {}^tA + {}^tB$
• ${}^t(\lambda A) = \lambda\,{}^tA$
• ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$ (attention à l'ordre !)
Une matrice carrée $A$ est dite symétrique si ${}^tA = A$, antisymétrique si ${}^tA = -A$.
7Puissances d'une matrice carrée
Définition. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $k \in \mathbb{N}$ :
• $A^0 = I_n$
• $A^k = \underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{k\text{ fois}}$ pour $k\ge 1$.
Propriétés. $A^m \cdot A^n = A^{m+n}$ et $(A^m)^n = A^{mn}$ pour $m, n \in \mathbb{N}$. (Mais en général $A^k B^k \neq (AB)^k$ si $AB\neq BA$.)
Exemple. $A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.
$A^2 = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$. Par récurrence, $A^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$.
Méthode : calculer $A^n$ par récurrence.
1. Calculer $A^2, A^3$ pour deviner un motif.
2. Conjecturer la formule générale $A^n = \ldots$
3. Démontrer par récurrence (initialisation + hérédité).
8Visualisation et récapitulatif
Les opérations sur les matrices se résument ainsi :
Résumé des tailles :
| Opération | Taille de A | Taille de B | Taille résultat |
|---|
| $A+B$ | $n\times p$ | $n\times p$ | $n\times p$ |
| $\lambda A$ | $n\times p$ | — | $n\times p$ |
| $AB$ | $n\times p$ | $p\times q$ | $n\times q$ |
| ${}^tA$ | $n\times p$ | — | $p\times n$ |
| $A^k$ ($k\ge 0$) | $n\times n$ | — | $n\times n$ |
★À retenir
À retenir :
• Une matrice $n\times p$ a $n$ lignes et $p$ colonnes ; le coefficient $a_{ij}$ est ligne $i$, colonne $j$.
• Addition : terme à terme, même taille obligatoire.
• Produit $AB$ : nb colonnes de $A$ = nb lignes de $B$ ; $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ ; taille résultat $n\times q$.
• La multiplication n'est pas commutative ; $AB=0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$.
• Transposée ${}^tA$ : on intervertit lignes et colonnes ; ${}^t(AB)={}^tB\,{}^tA$.
• Puissances : $A^0=I_n$, $A^m A^n = A^{m+n}$.