Définition et opérations

Matrice. Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. Une matrice de format $n\times p$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $A=(a_{ij})$ : $a_{ij}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$. Le premier indice est toujours celui de la ligne. Une matrice peut aussi être définie par une formule qui donne $a_{ij}$ en fonction de $i$ et de $j$.

Matrices particulières.

• carrée d’ordre $n$ : $n$ lignes et $n$ colonnes ; ses coefficients $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ forment la diagonale principale ;
• matrice ligne (format $1\times p$), matrice colonne (format $n\times 1$) ;
• matrice nulle $O$ : tous ses coefficients sont nuls ;
• diagonale : carrée, et tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls ;
• triangulaire supérieure : carrée, et $a_{ij}=0$ dès que $i>j$ (tout est nul sous la diagonale) ;
• matrice identité $I_n$ : la matrice diagonale d’ordre $n$ dont tous les coefficients diagonaux valent $1$.

Égalité. Deux matrices sont égales si elles ont le même format et les mêmes coefficients aux mêmes places. Une égalité entre deux matrices $n\times p$ équivaut donc à $np$ égalités de nombres réels.

Modéliser par une matrice. Un tableau de nombres à double entrée devient une matrice : on choisit ce que représentent les lignes et les colonnes, et on garde le même ordre dans tout l’exercice.

Somme. Si $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ ont le même format $n\times p$, leur somme $A+B$ est la matrice de format $n\times p$ de coefficients $a_{ij}+b_{ij}$. Deux matrices de formats différents ne s’additionnent pas.

Produit par un réel. Pour tout réel $k$, $kA$ est la matrice de même format que $A$, de coefficients $k{a}_{ij}$. On note $-A=(-1)A$ et $A-B=A+(-B)$.

Propriétés. Pour des matrices de même format et des réels $k$ et $k\prime$ :

• $A+B=B+A$ et $(A+B)+C=A+(B+C)$ ;
• $A+O=A$ et $A+(-A)=O$ ;
• $k(A+B)=kA+kB$, $(k+k\prime )A=kA+k\prime A$ et $k(k\prime A)=(kk\prime )A$.

Ce sont les règles du calcul sur les réels : $A+X=B$ équivaut à $X=B-A$, et, pour $k\ne 0$, $kX=B$ équivaut à $X={\displaystyle \frac{1}{k}}B$.

Produit matriciel. Soient $A$ de format $n\times p$ et $B$ de format $p\times q$ : le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$. Le produit $AB$ est la matrice de format $n\times q$ dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ vaut

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ip}{b}_{pj}.$$

On parcourt la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$, on multiplie terme à terme et on additionne.

Contrôle des formats. $(n\times p)(p\times q)=(n\times q)$ : les deux nombres du milieu doivent être égaux, les deux nombres extrêmes donnent le format du résultat.

Ligne fois colonne. Une matrice ligne $1\times p$ fois une matrice colonne $p\times 1$ donne une matrice $1\times 1$, que l’on identifie à un nombre.

Transformations du plan. Dans un repère orthonormé, on associe au point $M(x;y)$ la colonne $X$ $=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Si $X\prime =AX$ avec $A$ carrée d’ordre 2, le point $M\prime$ de colonne $X\prime$ est l’image de $M$. Exemples de référence :

• homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $k{I}_2$ $=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)$ ;
• symétrie d’axe $(Ox)$ : $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ ;
• rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ : $R(\theta )$ $=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$.

La matrice de rotation vient des nombres complexes : la rotation s’écrit $z\prime =e^{i\theta }z$ (chapitre Nombres complexes et transformations) ; avec $z=x+iy$, on obtient $x\prime =x\cos \theta -y\sin \theta$ et $y\prime =x\sin \theta +y\cos \theta$, ce qui est exactement $X\prime =R(\theta )X$.

Ce qui reste vrai (dès que les formats rendent les produits possibles) :

• associativité : $(AB)C=A(BC)$ ;
• distributivité : $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ ;
• $(kA)B=A(kB)=k(AB)$ pour tout réel $k$, et $AO=O$, $OA=O$ ;
• matrice identité : pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$, $A{I}_n=I_{n}A=A$. $I_n$ joue pour le produit le rôle de $1$ pour les réels.

Ce qui ne l’est plus.

• Le produit n’est pas commutatif : en général $AB\ne BA$. Quand $AB=BA$, on dit que $A$ et $B$ commutent ; $I_n$ et les matrices $k{I}_n$ commutent avec toutes les matrices carrées d’ordre $n$, et ce sont les seules (résultat admis).
• Un produit peut être nul sans qu’aucun facteur le soit, et $AB=AC$ n’entraîne pas $B=C$.

Identités remarquables. On développe en respectant l’ordre : $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ et $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$. On n’écrit $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ que si $A$ et $B$ commutent.

Enchaîner deux transformations. Appliquer la transformation de matrice $A$, puis celle de matrice $B$ : $X\mapsto AX\mapsto B(AX)=(BA)X$. La matrice de la transformation obtenue est $BA$ : la dernière appliquée s’écrit à gauche.

Puissances. Elles ne sont définies que pour une matrice carrée (sinon $A\times A$ n’existe pas). Pour $A$ carrée d’ordre $n$ : $A^0=I_n$, $A^1=A$ et, pour tout entier $k⩾1$, $A^{k+1}=A^k\times A$. L’associativité donne $A^k{A}^m=A^{k+m}$ et $(A^k{)}^m=A^{km}$.

Matrice diagonale. Si $D$ est diagonale, $D^n$ est diagonale et l’on élève chaque coefficient diagonal à la puissance $n$. C’est le seul cas où l’on calcule $A^n$ coefficient par coefficient.

Cas général. On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture l’expression de $A^n$, puis on la démontre par récurrence en écrivant $A^{n+1}=A^n\times A$.

Puissance égale à $I_n$ ou à $O$. Si $A^p=I_n$, alors $A^{pq+r}=A^r$ : seul compte le reste de la division de l’exposant par $p$. Si $A^p=O$, alors $A^m=O$ pour tout $m⩾p$.

Matrices qui commutent. Si $AB=BA$, on développe $(A+B{)}^n$ comme avec des réels, par exemple $(A+B{)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$. C’est le cas de $I_n+N$, puisque $I_n$ commute avec $N$.