Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — définition et opérations
Définir, lire et calculer avec des matrices carrées et rectangulaires (Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une matrice de taille $3\times 4$ possède combien de coefficients ?
- A. 7
- B. 12
- C. 9
- D. 16
Réponse
B. 12 — $3\times4=12$ coefficients.
Le coefficient $a_{23}$ se situe à la ligne ___ colonne ___.
- A. ligne 2, colonne 3
- B. ligne 3, colonne 2
- C. ligne 2, colonne 2
- D. ligne 3, colonne 3
Réponse
A. ligne 2, colonne 3 — L'indice de ligne est toujours en premier.
La matrice identité $I_2$ est :
- A. $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Réponse
B. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ — $I_2$ a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Peut-on additionner une matrice $2\times3$ avec une matrice $3\times2$ ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Oui, si leurs sommes des coefficients sont égales
- D. Oui, après transposition
Réponse
B. Non — On ne peut additionner que des matrices de même taille.
Si $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, alors $2A$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&4\\9&16\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$ — On multiplie chaque coefficient par 2.
La matrice nulle $0_{2,3}$ a pour taille :
- A. $2\times2$
- B. $3\times3$
- C. $2\times3$
- D. $3\times2$
Réponse
C. $2\times3$ — La notation $0_{n,p}$ indique $n$ lignes et $p$ colonnes.
Une matrice carrée d'ordre $n$ possède :
- A. $2n$ coefficients
- B. $n$ coefficients
- C. $n^2$ coefficients
- D. $n+1$ coefficients
Réponse
C. $n^2$ coefficients — $n$ lignes fois $n$ colonnes = $n^2$ coefficients.
$A^0$ pour une matrice carrée $A$ vaut :
- A. La matrice nulle
- B. La matrice identité $I_n$
- C. $A$ elle-même
- D. $-A$
Réponse
B. La matrice identité $I_n$ — Par convention, $A^0 = I_n$.
Si $A$ est de taille $n\times p$, alors ${}^tA$ est de taille :
- A. $n\times p$
- B. $p\times n$
- C. $n\times n$
- D. $p\times p$
Réponse
B. $p\times n$ — La transposée échange lignes et colonnes.
Une matrice diagonale est une matrice :
- A. Avec que des 1
- B. Carrée avec des 0 hors de la diagonale
- C. Rectangulaire quelconque
- D. Avec une seule ligne
Réponse
B. Carrée avec des 0 hors de la diagonale — Les coefficients hors diagonale principale sont tous nuls.
$\begin{pmatrix}1&3\\-2&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&-3\\2&0\end{pmatrix}$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}2&6\\-4&0\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ — Chaque paire de coefficients s'annule : la matrice résultat est la matrice nulle.
Combien de lignes a la matrice $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
C. 3 — C'est une matrice colonne de taille $3\times1$ : 3 lignes et 1 colonne.
Niveau moyen — 12 questions
Soient $A$ de taille $2\times3$ et $B$ de taille $3\times5$. La taille de $AB$ est :
- A. $3\times3$
- B. $2\times5$
- C. $2\times3$
- D. $3\times2$
Réponse
B. $2\times5$ — Le produit d'une $n\times p$ par une $p\times q$ donne une $n\times q$.
Avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, le coefficient $(1,2)$ de $AB$ est :
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 2 — $1\times0+2\times1=2$.
Si $A$ est de taille $4\times2$ et $B$ de taille $2\times4$, $BA$ est de taille :
- A. $4\times4$
- B. $2\times2$
- C. $4\times2$
- D. $2\times4$
Réponse
B. $2\times2$ — $B$ ($2\times4$) fois $A$ ($4\times2$) donne une matrice $2\times2$.
Pour $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}$, le coefficient $(2,1)$ de ${}^tA$ est :
- A. $2$
- B. $-1$
- C. $3$
- D. $1$
Réponse
B. $-1$ — $({}^tA)_{21}=a_{12}=-1$.
Quelle propriété est TOUJOURS vraie pour les matrices ?
- A. $AB=BA$
- B. $(AB)C=A(BC)$
- C. $AB=0\Rightarrow A=0$
- D. $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
Réponse
B. $(AB)C=A(BC)$ — L'associativité du produit est toujours vérifiée (quand les produits sont définis).
${}^t(AB)$ est égal à :
- A. ${}^tA\,{}^tB$
- B. ${}^tB\,{}^tA$
- C. $AB$
- D. ${}^tA+{}^tB$
Réponse
B. ${}^tB\,{}^tA$ — La transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse.
Si $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, alors $A^2$ vaut :
- A. $A$
- B. $I_2$
- C. $0_{2,2}$
- D. $-I_2$
Réponse
B. $I_2$ — $A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$.
Laquelle de ces matrices est symétrique ?
- A. $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}0&2\\2&5\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$
Réponse
C. $\begin{pmatrix}0&2\\2&5\end{pmatrix}$ — ${}^tA=A$ car $a_{12}=a_{21}=2$.
Le produit $AI_n$ pour $A$ carrée d'ordre $n$ vaut :
- A. $I_n$
- B. $0_n$
- C. $A$
- D. ${}^tA$
Réponse
C. $A$ — $I_n$ est l'élément neutre pour la multiplication matricielle.
Avec $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, $A^2$ est :
- A. $\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}4&0\\0&6\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}$ — Pour une matrice diagonale, $A^2$ a pour coefficients les carrés des termes diagonaux.
La matrice $\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ est-elle symétrique ?
- A. Oui
- B. Non
Réponse
A. Oui — $a_{12}=a_{21}=1$, donc ${}^tA=A$.
Pour $A$ de taille $2\times3$ et $B$ de taille $2\times3$, $A-B$ est :
- A. De taille $2\times3$
- B. Indéfini
- C. De taille $3\times2$
- D. De taille $4\times6$
Réponse
A. De taille $2\times3$ — $A-B=A+(-B)$ est bien défini et de même taille que $A$ et $B$.
Niveau difficile — 12 questions
$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. Alors $A^2$ est égale à :
- A. $A$
- B. $2A$
- C. $4A$
- D. $I_2$
Réponse
B. $2A$ — $A^2=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=2A$.
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{100}$ ?
- A. $A$
- B. $I_2$
- C. La matrice nulle
- D. $100A$
Réponse
C. La matrice nulle — $A^2=0$ donc $A^n=0$ pour $n\ge2$.
Si $AB = AC$ et $A$ est inversible, alors :
- A. $B=C$ forcément
- B. $B=C$ seulement si $A\neq 0$
- C. $B=C$ toujours
- D. $B-C=0$ n'est pas garanti en général
Réponse
C. $B=C$ toujours — Si $A$ est inversible, on peut multiplier à gauche par $A^{-1}$, d'où $B=C$.
Pour des matrices carrées d'ordre 2 quelconques $A$ et $B$, $(A+B)^2$ est égal à :
- A. $A^2+2AB+B^2$
- B. $A^2+AB+BA+B^2$
- C. $A^2+B^2$
- D. $A^2+2BA+B^2$
Réponse
B. $A^2+AB+BA+B^2$ — $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ car $AB$ et $BA$ ne sont pas forcément égaux.
Deux matrices $A$ et $B$ vérifient $AB=0$. Que peut-on conclure ?
- A. $A=0$ ou $B=0$
- B. $A=0$ et $B=0$
- C. On ne peut conclure ni $A=0$ ni $B=0$ en général
- D. $A=B$
Réponse
C. On ne peut conclure ni $A=0$ ni $B=0$ en général — Il existe des matrices non nulles dont le produit est la matrice nulle.
Soit $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$. Alors $A^n$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}n&a\\0&n\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}1&a^n\\0&1\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}n&na\\0&n\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$ — Par récurrence, $A^n=\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$.
Si $A$ est antisymétrique (${}^tA=-A$), que vaut $a_{ii}$ ?
- A. $1$
- B. $-1$
- C. $0$
- D. Quelconque
Réponse
C. $0$ — ${}^tA=-A$ implique $a_{ii}=-a_{ii}$, donc $a_{ii}=0$.
Soient $A$ ($n\times p$) et $B$ ($p\times n$). Quelle est la taille de $BA$ ?
- A. $n\times n$
- B. $p\times p$
- C. $n\times p$
- D. $p\times n$
Réponse
B. $p\times p$ — $B$ ($p\times n$) fois $A$ ($n\times p$) donne une matrice $p\times p$.
$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&0\\-2&1\end{pmatrix}$. Le coefficient $(1,1)$ de $AB$ est :
- A. $0$
- B. $-2$
- C. $4$
- D. $1$
Réponse
B. $-2$ — $2\times0+1\times(-2)=-2$.
Pour quelles valeurs de $n$ et $p$ le produit $A_{n\times p} \cdot B_{p\times n}$ et le produit $B_{p\times n} \cdot A_{n\times p}$ sont-ils tous deux définis ?
- A. Pour tous $n,p$
- B. Seulement si $n=p$
- C. Pour tous $n,p$ avec $n\neq p$
- D. Jamais
Réponse
A. Pour tous $n,p$ — $AB$ est de taille $n\times n$ et $BA$ de taille $p\times p$ : les deux produits sont toujours définis.
Quelle matrice carrée $A$ vérifie $A^2=A$ (idempotente) parmi les suivantes ?
- A. $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ — $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=A$.
La relation $A^{m+n}=A^m \cdot A^n$ est valide :
- A. Toujours, pour $A$ carrée et $m,n\in\mathbb{N}$
- B. Seulement si $m=n$
- C. Seulement si $A$ est diagonale
- D. Jamais
Réponse
A. Toujours, pour $A$ carrée et $m,n\in\mathbb{N}$ — Pour toute matrice carrée $A$ et tout $m,n\in\mathbb{N}$, $A^{m+n}=A^m A^n$.
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