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Maths expertes (option Tle) Terminale

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Définition et opérations

Format et coefficients, matrices carrées, somme et produit par un réel, produit matriciel et ses propriétés (non-commutativité, matrice identité), puissances d’une matrice carrée, matrices des transformations du plan.

À propos de cette page
Un QCM sur les matrices en trois niveaux de douze questions : formats et coefficients, conditions d’existence, sommes et produits, puissances, image d’un point, puis non-commutativité, produit nul et développements. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Quel est le format de la matrice [1 −4 5 ; 0 2 −7] ?

    • A. 2 × 3
    • B. 3 × 2
    • C. 2 × 2
    • D. 3 × 3
    Réponse

    A. 2 × 3 — Le format se lit lignes × colonnes : 2 lignes et 3 colonnes.

  2. Dans une matrice A = (aᵢⱼ), que désigne le coefficient a₃₁ ?

    • A. celui de la ligne 1 et de la colonne 3
    • B. celui de la ligne 3 et de la colonne 1
    • C. la somme des coefficients de la ligne 3
    • D. le produit des coefficients a₃ et a₁
    Réponse

    B. celui de la ligne 3 et de la colonne 1 — Le premier indice est celui de la ligne, le second celui de la colonne.

  3. À quelle condition la somme A + B de deux matrices est-elle définie ?

    • A. elles sont toutes deux carrées
    • B. A a autant de colonnes que B de lignes
    • C. elles ont exactement le même format
    • D. leurs coefficients sont tous positifs
    Réponse

    C. elles ont exactement le même format — On additionne coefficient par coefficient : il faut le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

  4. Comment se présente la matrice identité I₃ ?

    • A. tous ses coefficients valent 1
    • B. des 1 sur la première ligne, des 0 ailleurs
    • C. des 0 sur la diagonale, des 1 ailleurs
    • D. des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs
    Réponse

    D. des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs — I₃ a ses trois coefficients diagonaux égaux à 1 et tous les autres nuls.

  5. À quelle condition le produit AB existe-t-il ?

    • A. A et B ont le même nombre de lignes
    • B. A a autant de colonnes que B de lignes
    • C. A et B ont exactement le même format
    • D. A a autant de lignes que B de colonnes
    Réponse

    B. A a autant de colonnes que B de lignes — On écrit (n × p)(p × q) : les deux nombres du milieu doivent être égaux.

  6. A est de format 4 × 2 et B de format 2 × 5. Quel est le format de AB ?

    • A. 4 × 5
    • B. 2 × 2
    • C. 5 × 4
    • D. le produit n’existe pas
    Réponse

    A. 4 × 5 — (4 × 2)(2 × 5) : le produit existe et son format est donné par les nombres extrêmes, 4 × 5.

  7. Pour une matrice carrée A d’ordre 2, que vaut A⁰ ?

    • A. la matrice nulle
    • B. la matrice A
    • C. la matrice identité I₂
    • D. le nombre réel 0
    Réponse

    C. la matrice identité I₂ — Par définition A⁰ = I₂, comme x⁰ = 1 pour un réel x non nul.

  8. Une matrice colonne de format 3 × 1 contient :

    • A. 3 coefficients rangés en colonne
    • B. 3 lignes et 3 colonnes
    • C. 1 ligne de 3 coefficients
    • D. 4 coefficients au total
    Réponse

    A. 3 coefficients rangés en colonne — Format 3 × 1 : 3 lignes et 1 colonne, donc 3 coefficients les uns sous les autres.

  9. Pour une matrice carrée A d’ordre n, que vaut A × Iₙ ?

    • A. Iₙ
    • B. n × A
    • C. la matrice nulle
    • D. A
    Réponse

    D. A — Iₙ est l’élément neutre du produit : AIₙ = IₙA = A.

  10. Une matrice carrée est triangulaire supérieure lorsque :

    • A. ses coefficients sous la diagonale sont nuls
    • B. ses coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls
    • C. ses coefficients diagonaux sont tous nuls
    • D. elle a plus de colonnes que de lignes
    Réponse

    A. ses coefficients sous la diagonale sont nuls — Triangulaire supérieure : aᵢⱼ = 0 dès que i > j, c’est-à-dire sous la diagonale.

  11. A = [1 −3 ; 0 4]. Quel est le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de 2A ?

    • A. −5
    • B. −6
    • C. 6
    • D. −1
    Réponse

    B. −6 — Chaque coefficient est multiplié par 2 : 2 × (−3) = −6.

  12. Quelle matrice est celle de la rotation de centre O et d’angle θ ?

    • A. [sin θ −cos θ ; cos θ sin θ]
    • B. [cos θ sin θ ; sin θ cos θ]
    • C. [cos θ −sin θ ; sin θ cos θ]
    • D. [cos θ 0 ; 0 sin θ]
    Réponse

    C. [cos θ −sin θ ; sin θ cos θ] — R(θ) = [cos θ −sin θ ; sin θ cos θ] : elle traduit x′ = x cos θ − y sin θ et y′ = x sin θ + y cos θ.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. A = [4 −1 ; 2 3] et B = [0 5 ; −3 1]. Que vaut A + B ?

    • A. [4 4 ; −1 −4]
    • B. [4 −6 ; 5 4]
    • C. [4 4 ; −1 4]
    • D. [−4 4 ; 1 4]
    Réponse

    C. [4 4 ; −1 4] — Coefficient par coefficient : 4 + 0 = 4, −1 + 5 = 4, 2 − 3 = −1, 3 + 1 = 4.

  2. C = [2 −6 ; 0 5]. Que vaut −2C ?

    • A. [−4 12 ; 0 −10]
    • B. [−4 −12 ; 0 −10]
    • C. [4 12 ; 0 10]
    • D. [−4 12 ; 0 10]
    Réponse

    A. [−4 12 ; 0 −10] — Chaque coefficient est multiplié par −2, signes compris : −2 × (−6) = 12 et −2 × 5 = −10.

  3. Que vaut le produit [1 3] × [−2 ; 4] ?

    • A. [−2 12]
    • B. [2 ; 12]
    • C. [−10]
    • D. [10]
    Réponse

    D. [10] — (1 × 2)(2 × 1) donne une matrice 1 × 1 : 1 × (−2) + 3 × 4 = 10.

  4. Que vaut [1 2 ; 3 4] × [0 1 ; 1 0] ?

    • A. [1 2 ; 3 4]
    • B. [2 1 ; 4 3]
    • C. [3 4 ; 1 2]
    • D. [0 2 ; 3 0]
    Réponse

    B. [2 1 ; 4 3] — Multiplier à droite par cette matrice échange les deux colonnes ; à gauche, elle échangerait les lignes.

  5. D = [−1 0 ; 0 5]. Que vaut D³ ?

    • A. [−1 0 ; 0 125]
    • B. [1 0 ; 0 125]
    • C. [−3 0 ; 0 15]
    • D. [−1 0 ; 0 15]
    Réponse

    A. [−1 0 ; 0 125] — D est diagonale : on élève chaque coefficient diagonal au cube, (−1)³ = −1 et 5³ = 125.

  6. N = [0 7 ; 0 0]. Que vaut N² ?

    • A. [0 49 ; 0 0]
    • B. [49 0 ; 0 0]
    • C. [0 7 ; 0 0]
    • D. [0 0 ; 0 0]
    Réponse

    D. [0 0 ; 0 0] — Ligne 1 contre colonne 2 : 0 × 7 + 7 × 0 = 0 ; tous les coefficients sont nuls, bien que N ≠ O.

  7. M = [2 1 ; −1 3]. Quel est le coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 de M² ?

    • A. 1
    • B. −5
    • C. −2
    • D. 5
    Réponse

    B. −5 — Ligne 2, (−1 ; 3), contre colonne 1, (2 ; −1) : (−1) × 2 + 3 × (−1) = −5.

  8. A est de format 3 × 2 et B de format 2 × 3. Quels sont les formats de AB et de BA ?

    • A. 2 × 2 et 3 × 3
    • B. 3 × 3 et 2 × 2
    • C. 3 × 3 tous les deux
    • D. AB existe mais pas BA
    Réponse

    B. 3 × 3 et 2 × 2 — (3 × 2)(2 × 3) = (3 × 3) et (2 × 3)(3 × 2) = (2 × 2).

  9. Image du point (2 ; −5) par la symétrie de matrice [1 0 ; 0 −1] :

    • A. (−2 ; −5)
    • B. (−2 ; 5)
    • C. (2 ; 5)
    • D. (5 ; 2)
    Réponse

    C. (2 ; 5) — [1 0 ; 0 −1] × [2 ; −5] = [2 ; 5] : la symétrie d’axe (Ox) change le signe de l’ordonnée.

  10. Les matrices [2x 3 ; y 1] et [6 3 ; −2 1] sont égales lorsque :

    • A. x = 6 et y = −2
    • B. x = 3 et y = 2
    • C. elles ne peuvent pas être égales
    • D. x = 3 et y = −2
    Réponse

    D. x = 3 et y = −2 — Même format 2 × 2 ; on égale les coefficients : 2x = 6 et y = −2.

  11. A est une matrice carrée telle que A³ = I₃. Que vaut A¹⁰⁰ ?

    • A. A²
    • B. I₃
    • C. A
    • D. la matrice nulle
    Réponse

    C. A — 100 = 3 × 33 + 1, donc A¹⁰⁰ = (A³)³³ × A = A.

  12. X vérifie 3X + A = O. Alors X est égale à :

    • A. −3A
    • B. (−1/3)A
    • C. (1/3)A
    • D. 3A
    Réponse

    B. (−1/3)A — 3X = −A, puis on multiplie par le réel 1/3 : X = (−1/3)A.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour trois matrices carrées A, B, C de même ordre, quelle égalité est toujours vraie ?

    • A. AB = BA
    • B. (AB)² = A²B²
    • C. (A + B)C = AC + BC
    • D. (A + B)² = A² + 2AB + B²
    Réponse

    C. (A + B)C = AC + BC — La distributivité reste vraie ; les trois autres égalités supposent que A et B commutent.

  2. A et B sont carrées de même ordre et AB = O. Que peut-on affirmer ?

    • A. A = O ou B = O, comme pour les nombres réels
    • B. A et B sont toutes les deux nulles
    • C. A et B commutent forcément
    • D. rien : deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul
    Réponse

    D. rien : deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul — Contre-exemple : [0 1 ; 0 0] au carré donne la matrice nulle.

  3. Quelles sont les matrices qui commutent avec toutes les matrices carrées d’ordre 2 ?

    • A. les matrices kI₂, avec k réel
    • B. toutes les matrices diagonales
    • C. toutes les matrices triangulaires
    • D. toutes les matrices dont un coefficient est nul
    Réponse

    A. les matrices kI₂, avec k réel — Les matrices kI₂ commutent avec toutes les autres, et ce sont les seules (cours). Une matrice diagonale dont les deux coefficients diagonaux diffèrent ne commute pas avec [0 1 ; 0 0].

  4. A est une matrice carrée telle que A³ = O. Que peut-on affirmer ?

    • A. A = O
    • B. A² = O
    • C. A⁴ = O
    • D. A est diagonale
    Réponse

    C. A⁴ = O — A⁴ = A³ × A = O × A = O ; en revanche A et A² peuvent être non nulles.

  5. AB = AC avec A ≠ O. Que peut-on en déduire ?

    • A. B = C dans tous les cas
    • B. rien : on ne peut pas simplifier par A
    • C. B = C dès que A est carrée
    • D. B et C ont des formats différents
    Réponse

    B. rien : on ne peut pas simplifier par A — On ne simplifie par A que si A est inversible, ce que A ≠ O ne garantit pas.

  6. A et B sont deux matrices carrées qui commutent. Pour tout entier n ≥ 1 :

    • A. (AB)ⁿ = Aⁿ + Bⁿ
    • B. (A + B)ⁿ = Aⁿ + Bⁿ
    • C. (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
    • D. AⁿB = BAⁿ seulement si n est pair
    Réponse

    C. (AB)ⁿ = AⁿBⁿ — La commutation permet de réordonner ABAB…AB pour regrouper les A puis les B.

  7. Pour deux matrices carrées A et B de même ordre, (A + B)(A − B) est égal à :

    • A. A² − AB + BA − B²
    • B. A² − B²
    • C. A² − 2AB − B²
    • D. A² + AB − BA − B²
    Réponse

    A. A² − AB + BA − B² — On développe en gardant l’ordre : A × A − A × B + B × A − B × B.

  8. On applique la transformation de matrice S, puis celle de matrice R. Quelle est la matrice de la transformation obtenue ?

    • A. SR
    • B. R + S
    • C. S − R
    • D. RS
    Réponse

    D. RS — X ↦ SX ↦ R(SX) = (RS)X : la dernière transformation appliquée s’écrit à gauche.

  9. Une matrice 1 × 3 et une matrice 3 × 1 sont multipliées dans un ordre, puis dans l’autre. Les formats obtenus sont :

    • A. 1 × 1 puis 3 × 3
    • B. 1 × 1 les deux fois
    • C. 1 × 3 puis 3 × 1
    • D. 3 × 3 les deux fois
    Réponse

    A. 1 × 1 puis 3 × 3 — (1 × 3)(3 × 1) = (1 × 1) et (3 × 1)(1 × 3) = (3 × 3).

  10. R est la matrice de la rotation de centre O et d’angle π/3. Quel est le plus petit entier n ≥ 1 tel que Rⁿ = I₂ ?

    • A. 3
    • B. 12
    • C. 6
    • D. 2
    Réponse

    C. 6 — Rⁿ est la rotation d’angle nπ/3 ; elle vaut I₂ quand nπ/3 est un multiple de 2π, soit n multiple de 6.

  11. Combien de multiplications de réels faut-il pour calculer le produit d’une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 4 ?

    • A. 9
    • B. 8
    • C. 36
    • D. 24
    Réponse

    D. 24 — Le produit a 2 × 4 = 8 coefficients, chacun somme de 3 produits : 2 × 3 × 4 = 24.

  12. A est une matrice carrée telle que A² = A. Pour tout entier n ≥ 1, Aⁿ est égale à :

    • A. A
    • B. nA
    • C. 2ⁿ⁻¹A
    • D. Aⁿ⁻¹ + A
    Réponse

    A. A — Récurrence : si Aⁿ = A, alors Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A = A × A = A² = A.

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