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Arithmétique — nombres premiers et décomposition
Divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et applications (programme Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Arithmétique — nombres premiers et décomposition » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Divisibilité dans ℤ, Nombres premiers : définition et propriétés fondamentales, Infinité des nombres premiers, Crible d'Ératosthène. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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Divisibilité dans ℤ
Dans toute cette partie, on travaille avec des entiers relatifs ou naturels.
Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $b$ divise $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$), et on note $b \mid a$, s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \cdot b$.
Exemples.
- $3 \mid 12$ car $12 = 4 \times 3$.
- $7 \mid 0$ car $0 = 0 \times 7$.
- $5 \nmid 13$ car il n'existe pas d'entier $k$ tel que $13 = 5k$.
Propriétés fondamentales. Pour tous entiers $a$, $b$, $c$ :
- Si $b \mid a$ et $c \mid b$, alors $c \mid a$ (transitivité).
- Si $b \mid a$ et $b \mid c$, alors $b \mid (a+c)$ et $b \mid (a-c)$.
- Si $b \mid a$, alors $b \mid ka$ pour tout entier $k$.
- Tout entier $a$ est divisible par $1$ et par lui-même.
La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b \neq 0$) donne des entiers uniques $q$ et $r$ tels que $$a = bq + r, \quad 0 \leq r \lt |b|.$$ On a $b \mid a \iff r = 0$.
Attention ! La notation $b \mid a$ se lit « $b$ divise $a$ » et non « $a$ divise $b$ ». Faire attention au sens de la barre.
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Nombres premiers : définition et propriétés fondamentales
Définition. Un entier $p \geq 2$ est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : $1$ et $p$ lui-même.
Les premiers nombres premiers sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, \ldots$
Attention ! $1$ n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur positif). $2$ est le seul nombre premier pair.
Définition. Un entier $n \geq 2$ est dit composé s'il n'est pas premier, c'est-à-dire s'il admet un diviseur $d$ avec $1 \lt d \lt n$.
Critère de primalité. Pour tester si $n$ est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier $p \leq \sqrt{n}$. En effet, si $n = a \times b$ avec $a \leq b$, alors $a \leq \sqrt{n}$.
Exemple. Tester si $97$ est premier.
$\sqrt{97} \approx 9{,}85$. On teste les premiers $\leq 9$ : $2, 3, 5, 7$.
$97$ n'est divisible ni par $2$ (impair), ni par $3$ ($9+7=16$, non divisible par $3$), ni par $5$ (ne finit pas par $0$ ou $5$), ni par $7$ ($97 = 7 \times 13 + 6$). Donc $97$ est premier.
$\sqrt{97} \approx 9{,}85$. On teste les premiers $\leq 9$ : $2, 3, 5, 7$.
$97$ n'est divisible ni par $2$ (impair), ni par $3$ ($9+7=16$, non divisible par $3$), ni par $5$ (ne finit pas par $0$ ou $5$), ni par $7$ ($97 = 7 \times 13 + 6$). Donc $97$ est premier.
Lemme d'Euclide (rappel lié au pgcd). Si $p$ est un nombre premier et $p \mid ab$, alors $p \mid a$ ou $p \mid b$.
Ce lemme est fondamental : il justifie l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
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Infinité des nombres premiers
Théorème (Euclide, ~300 av. J.-C.). Il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve par l'absurde. Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1, p_2, \ldots, p_k$. Posons $N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k + 1$.
$N \geq 2$, donc $N$ admet un diviseur premier $p$. Or, pour tout $i$, $p_i \mid N - 1$ mais $p_i \nmid 1$, donc $p_i \nmid N$. Ainsi $p \neq p_i$ pour tout $i$ : contradiction. $\square$
$N \geq 2$, donc $N$ admet un diviseur premier $p$. Or, pour tout $i$, $p_i \mid N - 1$ mais $p_i \nmid 1$, donc $p_i \nmid N$. Ainsi $p \neq p_i$ pour tout $i$ : contradiction. $\square$
Cette démonstration par l'absurde est un classique de la rigueur mathématique à maîtriser en Maths expertes.
Application. Avec $p_1=2, p_2=3, p_3=5$, on pose $N = 2 \times 3 \times 5 + 1 = 31$, qui est bien premier. Avec $p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7$, on obtient $N = 211$, qui est premier. En revanche, $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ : le nombre obtenu peut être composé, mais ses facteurs sont différents de $p_1,\ldots,p_k$.
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Crible d'Ératosthène
Le crible d'Ératosthène est un algorithme antique permettant de trouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier $N$ donné.
Algorithme.
- Écrire tous les entiers de $2$ à $N$.
- Prendre le plus petit entier non barré (initialement $2$) ; c'est un nombre premier.
- Barrer tous ses multiples stricts.
- Répéter l'étape 2–3 jusqu'à ce que le plus petit entier non barré soit $\gt \sqrt{N}$.
- Tous les entiers non barrés sont premiers.
Exemple : nombres premiers ≤ 30.
On barre les multiples de $2$ : $4, 6, 8, \ldots$
Puis de $3$ : $9, 15, 21, 27$ (les autres multiples de $3$ ont déjà été barrés).
Puis de $5$ : $25$ (les autres l'ont déjà été).
$\sqrt{30} \approx 5{,}48$, donc on s'arrête.
Nombres premiers ≤ 30 : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.
On barre les multiples de $2$ : $4, 6, 8, \ldots$
Puis de $3$ : $9, 15, 21, 27$ (les autres multiples de $3$ ont déjà été barrés).
Puis de $5$ : $25$ (les autres l'ont déjà été).
$\sqrt{30} \approx 5{,}48$, donc on s'arrête.
Nombres premiers ≤ 30 : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.
Remarque. La complexité du crible est $O(N \log \log N)$, ce qui le rend très efficace pour les petits $N$.
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Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout entier $n \geq 2$ s'écrit de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers : $$n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}$$ avec $p_1 \lt p_2 \lt \cdots \lt p_k$ premiers et $\alpha_i \geq 1$.
Méthode. Diviser successivement par les nombres premiers $2, 3, 5, 7, \ldots$ jusqu'à obtenir le quotient $1$.
Exemple 1. Décomposer $360$.
$360 \div 2 = 180$ ; $180 \div 2 = 90$ ; $90 \div 2 = 45$ ; $45 \div 3 = 15$ ; $15 \div 3 = 5$ ; $5 \div 5 = 1$.
Donc $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
$360 \div 2 = 180$ ; $180 \div 2 = 90$ ; $90 \div 2 = 45$ ; $45 \div 3 = 15$ ; $15 \div 3 = 5$ ; $5 \div 5 = 1$.
Donc $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
Exemple 2. Décomposer $2\ 310$.
$2310 = 2 \times 1155 = 2 \times 3 \times 385 = 2 \times 3 \times 5 \times 77 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$.
Donc $2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$ (produit des 5 premiers nombres premiers !).
$2310 = 2 \times 1155 = 2 \times 3 \times 385 = 2 \times 3 \times 5 \times 77 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$.
Donc $2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$ (produit des 5 premiers nombres premiers !).
Nombre de diviseurs. Si $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, alors le nombre de diviseurs positifs de $n$ est $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$
Ainsi $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$ diviseurs.
Ainsi $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$ diviseurs.
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PGCD et PPCM via la décomposition
La décomposition en facteurs premiers permet de calculer le PGCD et le PPCM de deux entiers.
| Opération | Règle |
|---|---|
| $\mathrm{PGCD}(a,b)$ | Pour chaque premier commun, prendre l'exposant minimum |
| $\mathrm{PPCM}(a,b)$ | Pour chaque premier présent, prendre l'exposant maximum |
Exemple. Calculer $\mathrm{PGCD}(360, 504)$ et $\mathrm{PPCM}(360, 504)$.
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$.
$\mathrm{PGCD} = 2^3 \times 3^2 = 72$.
$\mathrm{PPCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
Vérification : $\mathrm{PGCD} \times \mathrm{PPCM} = 72 \times 2520 = 181\ 440 = 360 \times 504$. ✓
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$.
$\mathrm{PGCD} = 2^3 \times 3^2 = 72$.
$\mathrm{PPCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
Vérification : $\mathrm{PGCD} \times \mathrm{PPCM} = 72 \times 2520 = 181\ 440 = 360 \times 504$. ✓
Propriété fondamentale. Pour tous entiers $a, b \gt 0$ : $$\mathrm{PGCD}(a,b) \times \mathrm{PPCM}(a,b) = a \times b.$$
Lien avec Bézout. $a$ et $b$ sont premiers entre eux ($\mathrm{PGCD}(a,b)=1$) si et seulement s'ils n'ont aucun facteur premier commun, c'est-à-dire si leurs décompositions ne partagent aucun premier.
Attention ! La méthode par décomposition est pratique mais l'algorithme d'Euclide est souvent plus rapide pour les grands nombres.
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Applications : diviseurs, racines et problèmes
La décomposition en facteurs premiers s'applique à de nombreux problèmes.
Racine carrée d'un entier. $\sqrt{n}$ est un entier si et seulement si dans la décomposition $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, tous les exposants $\alpha_i$ sont pairs.
Exemple 1. $\sqrt{1764}$. On a $1764 = 4 \times 441 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2 = (2 \times 3 \times 7)^2 = 42^2$. Donc $\sqrt{1764} = 42$.
Exemple 2. Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$, fraction irréductible ($\mathrm{PGCD}(p,q)=1$). Alors $p^2 = 2q^2$, donc $2 \mid p^2$. Par le lemme d'Euclide, $2 \mid p$, donc $p = 2k$. Alors $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$, donc $2 \mid q$. Contradiction avec $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$. $\square$
Supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$, fraction irréductible ($\mathrm{PGCD}(p,q)=1$). Alors $p^2 = 2q^2$, donc $2 \mid p^2$. Par le lemme d'Euclide, $2 \mid p$, donc $p = 2k$. Alors $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$, donc $2 \mid q$. Contradiction avec $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$. $\square$
Entiers $k$-ièmes puissances parfaites. $n$ est un carré parfait ⟺ tous ses exposants sont pairs. $n$ est un cube parfait ⟺ tous ses exposants sont multiples de $3$.
Exemple 3 — Problème de partage. Un professeur dispose de $360$ feuilles et $504$ crayons. Il veut répartir équitablement en groupes identiques, sans reste, en maximisant le nombre de groupes. Le nombre maximal de groupes est $\mathrm{PGCD}(360, 504) = 72$ ; chaque groupe reçoit $360/72 = 5$ feuilles et $504/72 = 7$ crayons.
Ordre d'un entier modulo $n$. La décomposition en facteurs premiers intervient dans le calcul des indicateurs de Euler et dans les tests de primalité, qui seront approfondis en congruences.
À retenir
- Un entier $p \geq 2$ est premier s'il n'est divisible que par $1$ et $p$. Il en existe une infinité (théorème d'Euclide).
- Théorème fondamental : tout $n \geq 2$ s'écrit de façon unique comme $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$.
- Le PGCD prend les exposants minimums ; le PPCM prend les exposants maximums.
- $\mathrm{PGCD}(a,b) \times \mathrm{PPCM}(a,b) = a \times b$.
- Pour tester si $n$ est premier, vérifier qu'il n'a aucun diviseur premier $\leq \sqrt{n}$.
- $\sqrt{n}$ est entier si et seulement si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
- Le lemme d'Euclide : si $p \mid ab$ et $p$ premier, alors $p \mid a$ ou $p \mid b$.
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