Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — définition et opérations
Définir, lire et calculer avec des matrices carrées et rectangulaires (Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Lecture et opérations de base
/ 4 pts- Soit $A = \begin{pmatrix}3&-1&2\\0&4&-5\\1&2&0\end{pmatrix}$. Préciser la taille de $A$ et donner les coefficients $a_{13}$, $a_{31}$ et $a_{23}$.
- Soient $B = \begin{pmatrix}1&2\\-1&0\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}$. Calculer $B + C$ et $3B - 2C$.
Exercice 2 — Produit de matrices
/ 5 pts- Soient $A = \begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&4\\-1&2\end{pmatrix}$. Calculer $AB$ et $BA$.
- Conclure sur la commutativité du produit matriciel en vous appuyant sur le calcul précédent.
Exercice 3 — Transposée — propriétés
/ 4 pts- Soient $A = \begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&4\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&0\\-1&2\\3&1\end{pmatrix}$. Calculer ${}^tA$, ${}^tB$ et vérifier que ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$.
- Montrer que pour toute matrice carrée $A$, la matrice $A + {}^tA$ est symétrique.
Exercice 4 — Puissances d'une matrice
/ 4 pts- Soit $A = \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et $A^3$.
- Conjecturer la valeur de $A^n$ pour tout $n\ge 1$ et démontrer la conjecture par récurrence.
Exercice 5 — Contre-exemple et raisonnement
/ 3 pts- Soit $A = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. Calculer $AB$.
- Déduire qu'on ne peut pas simplifier par $B$ dans une égalité du type $XB = 0$ pour conclure $X=0$. Justifier.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Lecture et opérations de base
Corrigé :
• $A$ est de taille $3\times3$ ; $a_{13}=2$, $a_{31}=1$, $a_{23}=-5$.
• $B+C=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}$.
• $3B=\begin{pmatrix}3&6\\-3&0\end{pmatrix}$, $2C=\begin{pmatrix}6&-4\\2&8\end{pmatrix}$, donc $3B-2C=\begin{pmatrix}-3&10\\-5&-8\end{pmatrix}$.
Exercice 2 — Produit de matrices
Corrigé :
$AB=\begin{pmatrix}2\times1+(-1)\times(-1)&2\times4+(-1)\times2\\0\times1+3\times(-1)&0\times4+3\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\-3&6\end{pmatrix}$.
$BA=\begin{pmatrix}1\times2+4\times0&1\times(-1)+4\times3\\(-1)\times2+2\times0&(-1)\times(-1)+2\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&11\\-2&7\end{pmatrix}$.
$AB\neq BA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif en général.
Exercice 3 — Transposée — propriétés
Corrigé :
${}^tA=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\\-1&4\end{pmatrix}$, ${}^tB=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\end{pmatrix}$.
$AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot(-1)+(-1)\cdot3&1\cdot0+2\cdot2+(-1)\cdot1\\0\cdot1+3\cdot(-1)+4\cdot3&0\cdot0+3\cdot2+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&3\\9&10\end{pmatrix}$.
${}^t(AB)=\begin{pmatrix}-4&9\\3&10\end{pmatrix}$. D'autre part ${}^tB\,{}^tA=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&3\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2-3&0-3+12\\0+4-1&0+6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&9\\3&10\end{pmatrix}$ ✓.
Symétrie de $A+{}^tA$ : ${}^t(A+{}^tA)={}^tA+{}^t({}^tA)={}^tA+A=A+{}^tA$ ✓.
Exercice 4 — Puissances d'une matrice
Corrigé :
$A^2=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}$.
Conjecture : $A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}$.
Récurrence : Initialisation : $A^1=A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\times1\\0&1\end{pmatrix}$ ✓.
Hérédité : supposons $A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}$, alors $A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3+3n\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3(n+1)\\0&1\end{pmatrix}$ ✓.
Exercice 5 — Contre-exemple et raisonnement
Corrigé :
$AB=\begin{pmatrix}1-1&1-1\\-1+1&-1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$.
On a $AB=0$ avec $A\neq 0$ et $B\neq 0$. Cela montre que le produit de deux matrices non nulles peut être la matrice nulle. En particulier, $XB=0$ ne permet pas de conclure $X=0$ (l'anneau des matrices n'est pas intègre).
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Matrices — définition et opérations » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Lecture et opérations de base/ 4 pts
- Exercice 2 — Produit de matrices/ 5 pts
- Exercice 3 — Transposée — propriétés/ 4 pts
- Exercice 4 — Puissances d'une matrice/ 4 pts
- Exercice 5 — Contre-exemple et raisonnement/ 3 pts
Notions évaluées
Notion de matrice, Types particuliers de matrices, Addition de matrices et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices, Propriétés de la multiplication matricielle, Transposée d'une matrice.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Matrices — définition et opérations » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Matrices — définition et opérations » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Notion de matrice, Types particuliers de matrices, Addition de matrices et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices.
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