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120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Définition et opérations » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale.

Maths expertes (option Tle) Terminale

Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Définition et opérations

Format et coefficients, matrices carrées, somme et produit par un réel, produit matriciel et ses propriétés (non-commutativité, matrice identité), puissances d’une matrice carrée, matrices des transformations du plan.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé : équation matricielle, produits de formats différents, puissances démontrées par récurrence, matrices qui commutent avec une matrice donnée, et ventes de deux magasins traduites par un produit de matrices.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Définition et opérations

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Opérations et équation matricielle ★★

(4 pts)

On pose $A$ $= (\begin{matrix} 6 & - 3 \\ 1 & 5 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 4 & - 1 \end{matrix})$ .

a)Calculer $A + 2 B$ .
b)Calculer $3 A - B$ .
c)Déterminer la matrice $X$ telle que $2 X + A = B$ .
d)Déterminer le réel $k$ tel que le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $k A + B$ soit égal à $9$ , puis écrire la matrice $k A + B$ .

Exercice 2 – Produits et formats ★★

(4 pts)

On pose $U$ $= (\begin{matrix} 3 & - 1 & 2 \\ 0 & 4 & - 5 \end{matrix})$ et $V$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & 0 \\ 2 & - 4 \end{matrix})$ .

a)Donner les formats de $U$ et de $V$ , puis justifier que $U V$ et $V U$ existent et donner leurs formats.
b)Calculer $U V$ .
c)Calculer la deuxième ligne de $V U$ .
d)Un élève affirme : « les deux produits existent, donc $U V = V U$ ». Expliquer son erreur.

Exercice 3 – Puissances d’une matrice ★★★

(4 pts)

On pose $B$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix})$ .

a)Calculer $B^{2}$ et $B^{3}$ .
b)Conjecturer l’expression de $B^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)Démontrer cette conjecture par récurrence.
d)Déterminer l’entier $n$ pour lequel le coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 de $B^{n}$ vaut $- 2 028$ .

Exercice 4 – Commuter ou pas ★★★

(4 pts)

On pose $A$ $= (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ et, pour des réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $M$ $= (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ .

a)Calculer $A M$ et $M A$ .
b)En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$ .
c)Vérifier que $U$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ commute avec $A$ , puis calculer $(A + U)^{2}$ à l’aide d’une identité remarquable, en justifiant qu’elle s’applique.
d)Calculer $(A - I_{2}) (A + I_{2})$ . Que montre ce résultat ?

Exercice 5 – Ventes de deux magasins ★★

(4 pts)

Une enseigne vend trois articles A, B et C dans deux magasins. Ventes de la semaine :

	A	B	C
Magasin 1	40	25	60
Magasin 2	55	30	15

Prix de vente et marge par article, en euros :

	Prix	Marge
A	18	6
B	45	21
C	9	3

On range les magasins et les articles dans l’ordre des tableaux.

a)Écrire la matrice $Q$ des ventes et la matrice $P$ des prix et marges, en précisant leurs formats.
b)Calculer $Q P$ .
c)Interpréter le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $Q P$ .
d)Le magasin 1 veut porter sa marge hebdomadaire à 1 200 € en augmentant uniquement ses ventes de l’article C. Combien d’articles C supplémentaires doit-il vendre ?

Bon courage !

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Corrigé et barème – Définition et opérations

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Opérations et équation matricielle ★★

(4 pts)

a) $A$ et $B$ ont le même format $2 \times 2$ . $2 B$ $= (\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 8 & - 2 \end{matrix})$ , puis, coefficient par coefficient : $A + 2 B$ $= (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 9 & 3 \end{matrix})$ . (1)
b) $3 A$ $= (\begin{matrix} 18 & - 9 \\ 3 & 15 \end{matrix})$ , donc $3 A - B$ $= (\begin{matrix} 18 - (- 2) & - 9 - 0 \\ 3 - 4 & 15 - (- 1) \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 20 & - 9 \\ - 1 & 16 \end{matrix})$ . (1)
c)Avec les règles de calcul des réels : $2 X + A = B$ équivaut à $2 X$ $= B - A$ $= (\begin{matrix} - 8 & 3 \\ 3 & - 6 \end{matrix})$ , puis, en multipliant par le réel $\frac{1}{2}$ , $X$ $= \frac{1}{2} (B - A)$ $= (\begin{matrix} - 4 & 1, 5 \\ 1, 5 & - 3 \end{matrix})$ . Vérification : $2 X + A$ $= (\begin{matrix} - 8 & 3 \\ 3 & - 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 & - 3 \\ 1 & 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 4 & - 1 \end{matrix})$ $= B$ . (1)
d)Ce coefficient vaut $k \times (- 3) + 0 = - 3 k$ . L’équation $- 3 k = 9$ donne $k = - 3$ . Alors $- 3 A + B$ $= (\begin{matrix} - 18 & 9 \\ - 3 & - 15 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 4 & - 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 20 & 9 \\ 1 & - 16 \end{matrix})$ . (1)

Repère — Une équation matricielle avec des sommes et des réels se résout comme une équation du premier degré, coefficient par coefficient.

Exercice 2 – Produits et formats ★★

(4 pts)

a) $U$ est de format $2 \times 3$ et $V$ de format $3 \times 2$ . $(2 \times 3) (3 \times 2)$ : les nombres du milieu sont égaux, $U V$ existe et est de format $2 \times 2$ . $(3 \times 2) (2 \times 3)$ : $V U$ existe et est de format $3 \times 3$ . (1)
b)Ligne 1 de $U$ contre les colonnes de $V$ : $3 \times 1 + (- 1) \times (- 3) + 2 \times 2$ $= 10$ et $3 \times 2 + (- 1) \times 0 + 2 \times (- 4)$ $= - 2$ . Ligne 2 : $0 \times 1 + 4 \times (- 3) + (- 5) \times 2$ $= - 22$ et $0 \times 2 + 4 \times 0 + (- 5) \times (- 4)$ $= 20$ . Donc $U V$ $= (\begin{matrix} 10 & - 2 \\ - 22 & 20 \end{matrix})$ . (1)
c)La deuxième ligne de $V$ est $(- 3; 0)$ . Contre les trois colonnes de $U$ : $(- 3) \times 3 + 0 \times 0 = - 9$ , $(- 3) \times (- 1) + 0 \times 4 = 3$ et $(- 3) \times 2 + 0 \times (- 5) = - 6$ . La deuxième ligne de $V U$ est $(- 9; 3; - 6)$ . (1)
d) $U V$ est de format $2 \times 2$ et $V U$ de format $3 \times 3$ . Deux matrices de formats différents ne sont jamais égales : $U V \neq V U$ . Plus généralement, l’existence des deux produits n’entraîne jamais leur égalité : le produit matriciel n’est pas commutatif. (1)

Repère — Avant de calculer un produit, on écrit (n × p)(p × q) : existence et format se lisent sans calcul.

Exercice 3 – Puissances d’une matrice ★★★

(4 pts)

a) $B^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix})$ . Ligne 2, colonne 1 : $(- 4) \times 1 + 1 \times (- 4) = - 8$ ; les autres coefficients valent $1$ , $0$ , $1$ . Donc $B^{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 8 & 1 \end{matrix})$ . Puis $B^{3} = B^{2} \times B$ , de coefficient ligne 2, colonne 1 : $(- 8) \times 1 + 1 \times (- 4) = - 12$ , d’où $B^{3}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 12 & 1 \end{matrix})$ . (1)
b)Le coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 vaut $- 4$ , $- 8$ , $- 12$ pour $n = 1$ , $2$ , $3$ : on conjecture, pour tout entier naturel $n$ , $B^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 n & 1 \end{matrix})$ . (1)
c)Pour tout entier naturel $n$ , notons $𝒫 (n)$ : « $B^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 n & 1 \end{matrix})$ ».
Initialisation. $B^{0}$ $= I_{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , qui est l’expression annoncée pour $n = 0$ ( $- 4 \times 0 = 0$ ) : $𝒫 (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $𝒫 (n)$ est vraie. Alors $B^{n + 1}$ $= B^{n} \times B$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 n & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix})$ . Ligne 1 : $1 \times 1 + 0 \times (- 4) = 1$ et $1 \times 0 + 0 \times 1 = 0$ . Ligne 2 : $- 4 n \times 1 + 1 \times (- 4)$ $= - 4 (n + 1)$ et $- 4 n \times 0 + 1 \times 1 = 1$ . Donc $B^{n + 1}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 (n + 1) & 1 \end{matrix})$ : $𝒫 (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $B^{n}$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 4 n & 1 \end{matrix})$ . (1)
d)On résout $- 4 n = - 2 028$ : $n = 2 028 \div 4 = 507$ . C’est un entier naturel, donc $B^{507}$ est la puissance cherchée. (1)

Repère — Pour Aⁿ, on calcule deux ou trois puissances, on conjecture, puis on démontre par récurrence avec Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A.

Exercice 4 – Commuter ou pas ★★★

(4 pts)

a) $A M$ $= (\begin{matrix} 0 \times a + 1 \times c & 0 \times b + 1 \times d \\ 1 \times a + 0 \times c & 1 \times b + 0 \times d \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix})$ : multiplier à gauche par $A$ échange les lignes. $M A$ $= (\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix})$ : multiplier à droite échange les colonnes. (1)
b) $A M = M A$ équivaut à l’égalité des quatre coefficients : $c = b$ , $d = a$ , $a = d$ et $b = c$ , c’est-à-dire $d = a$ et $c = b$ . Les matrices qui commutent avec $A$ sont exactement les $M$ $= (\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ , avec $a$ et $b$ réels. (1)
c) $U$ est de la forme trouvée ( $a = 1$ , $b = 2$ ), donc $A U = U A$ ; directement : $A U$ $= (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ $= U A$ . Comme $A$ et $U$ commutent, $(A + U)^{2}$ $= A^{2} + A U + U A + U^{2}$ $= A^{2} + 2 A U + U^{2}$ . Or $A^{2} = I_{2}$ , $2 A U$ $= (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ et $U^{2}$ $= (\begin{matrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix})$ , donc $(A + U)^{2}$ $= (\begin{matrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{matrix})$ . Contrôle : $A + U$ $= (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ et $(^{\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}) 2}$ $= (\begin{matrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{matrix})$ . (1)
d) $A - I_{2}$ $= (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ et $A + I_{2}$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ . Leur produit vaut $(\begin{matrix} - 1 + 1 & - 1 + 1 \\ 1 - 1 & 1 - 1 \end{matrix})$ $= O$ (c’est $A^{2} - I_{2}$ , car $A$ commute avec $I_{2}$ ). Les deux facteurs sont non nuls et leur produit est nul : pour les matrices, un produit nul n’impose pas qu’un facteur soit nul. Ainsi $A^{2} = I_{2}$ n’entraîne pas $A = I_{2}$ ou $A = - I_{2}$ . (1)

Repère — On ne développe comme avec les réels qu’après avoir prouvé que les matrices commutent.

Exercice 5 – Ventes de deux magasins ★★

(4 pts)

a) $Q$ $= (\begin{matrix} 40 & 25 & 60 \\ 55 & 30 & 15 \end{matrix})$ , de format $2 \times 3$ (magasins en lignes, articles en colonnes), et $P$ $= (\begin{matrix} 18 & 6 \\ 45 & 21 \\ 9 & 3 \end{matrix})$ , de format $3 \times 2$ (articles en lignes, prix et marge en colonnes). (1)
b) $(2 \times 3) (3 \times 2)$ : $Q P$ existe, de format $2 \times 2$ . Ligne 1 : $40 \times 18 + 25 \times 45 + 60 \times 9$ $= 2 385$ et $40 \times 6 + 25 \times 21 + 60 \times 3$ $= 945$ . Ligne 2 : $55 \times 18 + 30 \times 45 + 15 \times 9$ $= 2 475$ et $55 \times 6 + 30 \times 21 + 15 \times 3$ $= 1 005$ . Donc $Q P$ $= (\begin{matrix} 2385 & 945 \\ 2475 & 1005 \end{matrix})$ , en euros. (1)
c)Il combine la ligne « magasin 1 » de $Q$ et la colonne « marge » de $P$ : $40 \times 6 + 25 \times 21 + 60 \times 3$ $= 945$ . C’est la marge totale de la semaine du magasin 1, soit 945 €. (1)
d)Il manque $1 200 - 945 = 255$ € de marge, et chaque article C rapporte 3 € de marge : $255 \div 3 = 85$ . Le magasin 1 doit vendre 85 articles C de plus, soit 145 dans la semaine. (1)

Repère — Dans un produit de tableaux, chaque coefficient croise une ligne du premier et une colonne du second : on l’interprète avec leurs deux étiquettes.

Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Définition et opérations » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Opérations et équation matricielle ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Produits et formats ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Puissances d’une matrice ★★★/ 4 pts
Exercice 4 — Commuter ou pas ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Ventes de deux magasins ★★/ 4 pts

Notions évaluées

Format, coefficients, matrice carrée, ligne, colonne, diagonale, triangulaire, matrice identité, égalité de matrices, somme, produit par un réel, équation matricielle, produit matriciel, non-commutativité, produit nul, identités remarquables, matrices qui commutent, puissances, récurrence, matrice de rotation.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Définition et opérations » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Définition et opérations » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit : notion de matrice (tableau de nombres réels) ; matrice carrée, matrice ligne, matrice colonne ; opérations : somme, produit par un réel, produit de deux matrices ; propriétés des opérations ; puissances d’une matrice carrée (exemples d’ordre 2 ou 3) ; exemples de représentations matricielles : tableaux de données, transformations du plan.

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