Définition et opérations

On considère la matrice $A$ $=\left(\begin{array}{cccc}7& -2& 0& 1\\ 3& 5& -6& 4\\ 0& 8& 2& -9\end{array}\right)$.

1. Format de $A$ : lignes et colonnes.
   $A$ a 3 lignes et 4 colonnes : elle est de format $3\times 4$. Elle n’est pas carrée.
2. $a_{23}=$
   Ligne 2, colonne 3 : $a_{23}=-6$.
3. $a_{32}=$
   Ligne 3, colonne 2 : $a_{32}=8$. Ce n’est pas $a_{23}$ : l’ordre des indices compte.
4. $a_{14}=$
   Ligne 1, colonne 4 : $a_{14}=1$.
5. Troisième colonne de $A$, de haut en bas : , et
   On lit la colonne 3 de haut en bas : $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 2\end{array}\right)$, matrice colonne de format $3\times 1$.

Soit $B=(b_{ij})$ la matrice carrée d’ordre 3 définie par $b_{ij}=2i-j$.

1. $b_{13}=$
   $i=1$, $j=3$ : $b_{13}=2\times 1-3=-1$.
2. $b_{31}=$
   $i=3$, $j=1$ : $b_{31}=2\times 3-1=5$.
3. Somme des coefficients de la diagonale principale :
   Sur la diagonale, $i=j$ et $b_{ii}=2i-i=i$ : les coefficients diagonaux valent $1$, $2$ et $3$, de somme $6$.
4. Nombre de coefficients nuls de $B$ :
   $b_{ij}=0$ équivaut à $j=2i$ ; avec $i$ et $j$ entre 1 et 3, seul $(i;j)=(1;2)$ convient : un seul coefficient nul, $b_{12}$. En entier : $B$ $=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right)$.

On cherche les réels $x$, $y$ et $z$ tels que $\left(\begin{array}{cc}2x-1& 5\\ y+3& x+y\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ -1& z\end{array}\right)$.

1. Justifier que cette égalité équivaut à un système de quatre équations, puis le résoudre : $x=$ , $y=$ et $z=$
   Rédaction attendue. Les deux matrices ont le même format $2\times 2$ ; elles sont égales si et seulement si leurs coefficients de mêmes indices sont égaux : $2x-1=7$, $5=5$, $y+3=-1$ et $x+y=z$. La première donne $x=4$, la troisième $y=-4$, et la dernière $z=4+(-4)=0$. L’unique solution est $x=4$, $y=-4$, $z=0$.
2. On veut maintenant $\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ a^2& 3\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$. Valeur de $a$ :
   Ligne 1, colonne 1 : $a=-2$. Ligne 2, colonne 1 : $a^2=4$, vérifiée par $a=-2$. La seule valeur est $a=-2$ : $a=2$ vérifie $a^2=4$ mais pas la première égalité.

Un club propose trois activités. Le samedi : 18 inscrits en escalade, 25 en natation et 12 en tennis ; le dimanche : 22, 15 et 20. On range les jours en lignes (samedi, dimanche) et les activités en colonnes (escalade, natation, tennis) dans une matrice $E$.

1. $E$ est de format ×
   $E$ $=\left(\begin{array}{ccc}18& 25& 12\\ 22& 15& 20\end{array}\right)$ : 2 jours en lignes, 3 activités en colonnes.
2. Le coefficient $e_{23}$ vaut
   Ligne 2 (dimanche), colonne 3 (tennis) : $e_{23}=20$.
3. Le nombre d’inscrits en natation le samedi est le coefficient $e_{ij}$ avec $i=$ et $j=$
   Samedi = ligne 1, natation = colonne 2 : c’est $e_{12}=25$.
4. Nombre total d’inscrits le dimanche :
   On additionne la ligne 2 : $22+15+20=57$.
5. Si l’on range au contraire les activités en lignes et les jours en colonnes, on obtient une matrice $F$ de format × . Justifier que $E\ne F$.
   Rédaction attendue. $F$ $=\left(\begin{array}{cc}18& 22\\ 25& 15\\ 12& 20\end{array}\right)$ a 3 lignes et 2 colonnes : elle est de format $3\times 2$, alors que $E$ est de format $2\times 3$. Deux matrices de formats différents ne sont pas égales, donc $E\ne F$, bien qu’elles contiennent les mêmes nombres.

On pose $A$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 8& 2\end{array}\right)$ et $B$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 6& -7\end{array}\right)$.

1. $A+B$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Même format $2\times 2$ : $3+(-1)=2$, $-5+4=-1$, $8+6=14$, $2+(-7)=-5$. Donc $A+B$ $=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 14& -5\end{array}\right)$.
2. $2A-3B$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   $2A$ $=\left(\begin{array}{cc}6& -10\\ 16& 4\end{array}\right)$ et $3B$ $=\left(\begin{array}{cc}-3& 12\\ 18& -21\end{array}\right)$. Puis $6-(-3)=9$, $-10-12=-22$, $16-18=-2$, $4-(-21)=25$ : $2A-3B$ $=\left(\begin{array}{cc}9& -22\\ -2& 25\end{array}\right)$.

On reprend $A$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 8& 2\end{array}\right)$ et $B$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 6& -7\end{array}\right)$.

1. La matrice $X$ telle que $A+X=B$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   $A+X=B$ équivaut à $X=B-A$ : $-1-3=-4$, $4-(-5)=9$, $6-8=-2$, $-7-2=-9$. Donc $X$ $=\left(\begin{array}{cc}-4& 9\\ -2& -9\end{array}\right)$. Vérification : $A+X$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 6& -7\end{array}\right)$ $=B$.
2. Le réel $k$ tel que le coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 de $kA$ soit égal à $-20$ : $k=$
   Ce coefficient vaut $8k$. $8k=-20$ donne $k=-{\displaystyle \frac{20}{8}}=-2,5$, et $-2,5A$ $=\left(\begin{array}{cc}-7,5& 12,5\\ -20& -5\end{array}\right)$.

On pose $I_2$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $K$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

1. Démontrer qu’il existe un unique couple de réels $(a;b)$ tel que $a{I}_2+bK$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 3\end{array}\right)$ : $a=$ et $b=$
   Rédaction attendue. Pour tous réels $a$ et $b$, $a{I}_2+bK$ $=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& 0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$. Deux matrices $2\times 2$ sont égales si et seulement si leurs coefficients de mêmes indices sont égaux : $a=3$, $b=-2$, $b=-2$ et $a=3$. Ces quatre égalités sont compatibles : il existe un unique couple, $(a;b)=(3;-2)$.
2. Pour la matrice $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$, le nombre de couples $(a;b)$ tels que $a{I}_2+bK$ lui soit égale est
   Il faudrait $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$, donc $b=1$ (ligne 1, colonne 2) et $b=2$ (ligne 2, colonne 1) : c’est impossible. Aucun couple ne convient : une matrice $a{I}_2+bK$ a toujours ses deux coefficients hors diagonale égaux.

On pose $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 0\end{array}\right)$ et $B$ $=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 4& 10\end{array}\right)$. On cherche la matrice $X$ telle que $3X-2A=X+B$.

1. Démontrer que $X=A+\lambda B$ pour un réel $\lambda$, en justifiant chaque étape par une règle de calcul. Valeur de $\lambda$ :
   Rédaction attendue. Toutes les matrices sont de format $2\times 2$ et les règles de calcul des réels s’appliquent. On ajoute $2A-X$ aux deux membres : $3X-2A=X+B$ équivaut à $3X-X=B+2A$, soit $2X=2A+B$. On multiplie par le réel ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (distributivité) : $X=A+{\displaystyle \frac{1}{2}}B$. Donc $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. $X$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   ${\displaystyle \frac{1}{2}}B$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$, donc $X$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$. Vérification : $3X-2A$ $=\left(\begin{array}{cc}12& 9\\ 0& 15\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ -4& 0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}10& 1\\ 4& 15\end{array}\right)$ et $X+B$ $=\left(\begin{array}{cc}10& 1\\ 4& 15\end{array}\right)$.

On pose $C$ $=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 5\end{array}\right)$, $D$ $=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$ et $E$ $=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& 6\end{array}\right)$.

1. Parmi les produits $CD$, $EC$, $CE$ et $ED$, le nombre de produits qui existent est
   $C$ et $D$ sont $2\times 2$, $E$ est $2\times 3$. $CD$ : $(2\times 2)(2\times 2)$, existe. $EC$ : $(2\times 3)(2\times 2)$, n’existe pas. $CE$ : $(2\times 2)(2\times 3)$, existe. $ED$ : $(2\times 3)(2\times 2)$, n’existe pas. Deux produits existent.
2. $CE$ est de format ×
   $(2\times 2)(2\times 3)=(2\times 3)$ : les nombres extrêmes donnent le format.
3. $CD$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $1\times 4+(-3)\times (-1)=7$ et $1\times 0+(-3)\times 2=-6$. Ligne 2 : $2\times 4+5\times (-1)=3$ et $2\times 0+5\times 2=10$. Donc $CD$ $=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& 10\end{array}\right)$.
4. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 3 de $CE$ :
   Ligne 2 de $C$, $(2;5)$, contre colonne 3 de $E$, $(-2;6)$ : $2\times (-2)+5\times 6=26$.
5. Une matrice $F$ est de format $3\times 4$. Pour que $FG$ existe et soit une matrice colonne, $G$ doit être de format ×
   $FG$ existe si $G$ a 4 lignes ; le résultat a alors 3 lignes et autant de colonnes que $G$. Pour une matrice colonne, il faut une seule colonne : $G$ est de format $4\times 1$, et $FG$ de format $3\times 1$.

Produits par une matrice colonne.

1. $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ est la matrice $1\times 1$ de coefficient
   $(1\times 3)(3\times 1)=(1\times 1)$ : $2\times 4+(-1)\times 0+3\times (-2)$ $=2$.
2. La matrice $H$ $=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$ est celle de l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Image du point $(3;-1)$ : ( ; )
   $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\end{array}\right)$ : l’image est $(-6;2)$, ce qui revient à multiplier les deux coordonnées par $-2$.
3. Image du point $(-2;5)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, de matrice $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ : ( ; )
   Ligne 1 : $0\times (-2)+(-1)\times 5=-5$. Ligne 2 : $1\times (-2)+0\times 5=-2$. L’image est $(-5;-2)$.

On pose $M$ $=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$ et $N$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 4\\ 3& 1\end{array}\right)$.

1. Justifier que $MN$ et $NM$ existent tous les deux, puis expliquer pourquoi l’égalité $MN=NM$ est impossible. Formats : $MN$ est × et $NM$ est ×
   Rédaction attendue. $M$ est de format $2\times 3$ et $N$ de format $3\times 2$. Pour $MN$ : $(2\times 3)(3\times 2)$, les nombres du milieu sont égaux, donc $MN$ existe, de format $2\times 2$. Pour $NM$ : $(3\times 2)(2\times 3)$, $NM$ existe, de format $3\times 3$. Deux matrices égales ont le même format : $MN=NM$ est impossible, sans même calculer les coefficients.
2. $MN$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $2\times 1+1\times (-2)+(-1)\times 3$ $=-3$ et $2\times 0+1\times 4+(-1)\times 1$ $=3$. Ligne 2 : $0\times 1+3\times (-2)+2\times 3$ $=0$ et $0\times 0+3\times 4+2\times 1$ $=14$. Donc $MN$ $=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ 0& 14\end{array}\right)$.
3. Deuxième ligne de $NM$ : , et
   Ligne 2 de $N$, $(-2;4)$, contre les trois colonnes de $M$ : $(-2)\times 2+4\times 0=-4$, $(-2)\times 1+4\times 3=10$ et $(-2)\times (-1)+4\times 2=10$. En entier : $NM$ $=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 10& 10\\ 6& 6& -1\end{array}\right)$.

Trois élèves ont passé un écrit, un oral et un TP. Inès a obtenu 12, 15 et 9 ; Hugo 8, 11 et 16 ; Lina 14, 10 et 12. Les coefficients sont 3 pour l’écrit, 2 pour l’oral et 1 pour le TP. On note $N$ la matrice des notes (élèves en lignes, dans l’ordre Inès, Hugo, Lina ; épreuves en colonnes) et $C$ $=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

1. Justifier que le produit $NC$ existe et interpréter ses coefficients. Format de $NC$ : ×
   Rédaction attendue. $N$ $=\left(\begin{array}{ccc}12& 15& 9\\ 8& 11& 16\\ 14& 10& 12\end{array}\right)$ est de format $3\times 3$ et $C$ de format $3\times 1$ : $(3\times 3)(3\times 1)$, donc $NC$ existe et est de format $3\times 1$. Son coefficient de la ligne $i$ est « note d’écrit × 3 + note d’oral × 2 + note de TP × 1 » pour l’élève $i$ : c’est son total pondéré.
2. Total pondéré de Hugo :
   Ligne 2 de $N$ contre $C$ : $8\times 3+11\times 2+16\times 1$ $=62$.
3. Moyenne de Lina sur 20 (total pondéré divisé par la somme des coefficients), arrondie au centième :
   Total de Lina : $14\times 3+10\times 2+12\times 1$ $=74$. Somme des coefficients : $3+2+1=6$. Moyenne : $74÷6\approx 12,33$.
4. Avec $U$ $=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)$, le produit $UNC$ est la matrice $1\times 1$ de coefficient
   Total d’Inès : $12\times 3+15\times 2+9\times 1$ $=75$. $UNC=U(NC)$ (associativité) additionne les trois totaux : $75+62+74=211$.

On pose $F$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $G$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 0\end{array}\right)$.

1. $FG$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $2\times 1+1\times 4=6$ et $2\times 3+1\times 0=6$. Ligne 2 : $0\times 1+(-1)\times 4=-4$ et $0\times 3+(-1)\times 0=0$. $FG$ $=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -4& 0\end{array}\right)$.
2. $GF$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $1\times 2+3\times 0=2$ et $1\times 1+3\times (-1)=-2$. Ligne 2 : $4\times 2+0\times 0=8$ et $4\times 1+0\times (-1)=4$. $GF$ $=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 8& 4\end{array}\right)\ne FG$ : le produit n’est pas commutatif.
3. On applique au point $(1;1)$ la transformation de matrice $F$, puis celle de matrice $G$. Point obtenu : ( ; )
   La transformation de matrice $F$ envoie $(1;1)$ sur $(2+1;0-1)$, soit $(3;-1)$ ; celle de matrice $G$ envoie $(3;-1)$ sur $(3-3;12+0)$, soit $(0;12)$. C’est la colonne $GF\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ : la matrice de l’enchaînement « $F$ puis $G$ » est $GF$, et non $FG$, qui donnerait $(12;-4)$.
4. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 2 de $I_{2}F+F{I}_2$ :
   $I_{2}F=F{I}_2=F$ ($I_2$ est neutre), donc $I_{2}F+F{I}_2=2F$, dont le coefficient vaut $2\times (-1)=-2$.

On pose $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ et $B$ $=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -1& 2\end{array}\right)$.

1. $AB$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $1\times 2+2\times (-1)=0$ et $1\times (-4)+2\times 2=0$. Ligne 2 : $2\times 2+4\times (-1)=0$ et $2\times (-4)+4\times 2=0$. $AB=O$ alors que ni $A$ ni $B$ n’est nulle.
2. $BA$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $2\times 1+(-4)\times 2=-6$ et $2\times 2+(-4)\times 4=-12$. Ligne 2 : $(-1)\times 1+2\times 2=3$ et $(-1)\times 2+2\times 4=6$. $BA\ne O$ : même un produit nul dépend de l’ordre.

On pose $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ et $M$ $=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.

1. Le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 vaut $b$ dans $AM$ et $kb$ dans $MA$, avec $k=$
   $AM$ $=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 4c& 4d\end{array}\right)$ (multiplier à gauche par $A$ multiplie la ligne 2 par 4) et $MA$ $=\left(\begin{array}{cc}a& 4b\\ c& 4d\end{array}\right)$ (multiplier à droite multiplie la colonne 2 par 4). Donc $k=4$.
2. Démontrer que $M$ commute avec $A$ si et seulement si $M$ est diagonale. Contrôle : pour $M$ $=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 5\end{array}\right)$, le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $MA-AM$ vaut
   Rédaction attendue. $AM=MA$ équivaut à l’égalité des quatre coefficients : $a=a$, $b=4b$, $4c=c$ et $4d=4d$. La première et la dernière sont toujours vraies ; $b=4b$ équivaut à $3b=0$, soit $b=0$, et $4c=c$ à $c=0$. Donc $M$ commute avec $A$ si et seulement si $M$ $=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)$, c’est-à-dire si $M$ est diagonale. Contrôle : $4b-b=3b=3\times 2=6$.
3. Un élève affirme : « une matrice diagonale commute avec toutes les matrices ». Pour $M\prime$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $M\prime A-AM\prime$ vaut
   $AM\prime$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $M\prime A$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$ : la différence vaut $4-1=3\ne 0$. $A$ est diagonale mais ne commute pas avec $M\prime$ : l’affirmation est fausse. $I_2$ commute avec tout parce que ses deux coefficients diagonaux sont égaux ; ce n’est pas le cas de $A$.

On pose $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ et $B$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$.

1. $AB$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $1\times 0+(-1)\times 1=-1$ et $1\times 3+(-1)\times 1=2$. Ligne 2 : $2\times 0+0\times 1=0$ et $2\times 3+0\times 1=6$. $AB$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 6\end{array}\right)$.
2. $(A+B{)}^2$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   $A+B$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$. Ligne 1 : $1\times 1+2\times 3=7$ et $1\times 2+2\times 1=4$. Ligne 2 : $3\times 1+1\times 3=6$ et $3\times 2+1\times 1=7$. $(A+B{)}^2$ $=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 6& 7\end{array}\right)$.
3. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 2 de $A^2+2AB+B^2$ :
   $A^2$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -2\end{array}\right)$, $2AB$ $=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 0& 12\end{array}\right)$ et $B^2$ $=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$ : la somme vaut $\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 3& 14\end{array}\right)\ne (A+B{)}^2$. L’identité remarquable des réels est fausse ici.
4. Démontrer que, pour deux matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ si et seulement si $AB=BA$. Contrôle : coefficient de la ligne 1 et de la colonne 1 de $BA-AB$ pour les matrices de l’énoncé :
   Rédaction attendue. Par distributivité, en gardant l’ordre des facteurs : $(A+B{)}^2$ $=(A+B)(A+B)$ $=A^2+AB+BA+B^2$. Donc $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ équivaut à $A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2$, c’est-à-dire, en retranchant $A^2+AB+B^2$ aux deux membres, à $BA=AB$. Ici $BA$ $=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$ et $AB$ $=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 6\end{array}\right)$ : le coefficient vaut $6-(-1)=7\ne 0$, ce qui explique l’écart trouvé.

Soit $D$ $=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$.

1. Coefficients diagonaux de $D^5$ : , et
   $D$ est diagonale : on élève chaque coefficient diagonal à la puissance 5. $3^5=243$, $(-1{)}^5=-1$, $2^5=32$.
2. Somme de tous les coefficients de $D^0$ :
   $D^0=I_3$, qui a trois coefficients égaux à 1 et six nuls : la somme vaut 3.
3. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 2 de $D^{2026}$ :
   $(-1{)}^{2026}=1$ car $2026$ est pair.
4. Plus petit entier $n⩾1$ tel que le coefficient de la ligne 3 et de la colonne 3 de $D^n$ dépasse $1000$ :
   Ce coefficient vaut $2^n$. $2^9=512$ et $2^{10}=1024$ : le plus petit $n$ est $10$.

On considère $A$ $=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 6& -5\end{array}\right)$.

1. $A^2$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   Ligne 1 : $5\times 5+(-4)\times 6=1$ et $5\times (-4)+(-4)\times (-5)=0$. Ligne 2 : $6\times 5+(-5)\times 6=0$ et $6\times (-4)+(-5)\times (-5)=1$. Donc $A^2=I_2$.
2. Démontrer par récurrence que $A^{2k}=I_2$ pour tout entier naturel $k$, puis en déduire $A^{47}$. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 de $A^{47}$ :
   Rédaction attendue. Notons $𝒫(k)$ : « $A^{2k}=I_2$ ». Initialisation : $A^0=I_2$ par définition, donc $𝒫(0)$ est vraie. Hérédité : soit $k$ un entier naturel tel que $A^{2k}=I_2$. Alors $A^{2(k+1)}$ $=A^{2k}\times A^2$ $=I_2\times I_2$ $=I_2$ (hypothèse de récurrence, puis $A^2=I_2$) : $𝒫(k+1)$ est vraie. Conclusion : pour tout entier naturel $k$, $A^{2k}=I_2$. Comme $47=2\times 23+1$, $A^{47}$ $=A^{46}\times A$ $=I_2\times A$ $=A$, dont le coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 vaut $6$.
3. Coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $A^{2026}$ :
   $2026=2\times 1013$ est pair, donc $A^{2026}=I_2$ : ce coefficient vaut $0$.
4. Un élève affirme : « puisque $A^2=I_2$, on a $A=I_2$ ou $A=-I_2$ ». On a $(A-I_2)(A+I_2)=A^2-I_2=O$. Coefficient de la ligne 1 et de la colonne 1 de $A-I_2$ :
   La factorisation est permise car $A$ commute avec $I_2$. $A-I_2$ $=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ 6& -6\end{array}\right)$ et $A+I_2$ $=\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 6& -4\end{array}\right)$ ne sont pas nulles, et pourtant leur produit est nul. Pour les réels, $x^2=1$ impose $x=1$ ou $x=-1$ ; pour les matrices, un produit nul n’impose pas un facteur nul : $A$ n’est ni $I_2$ ni $-I_2$.

On considère la matrice $A$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

1. $A^3$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
   $A^2$ $=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right)$ (par exemple $2\times 1+1\times 2=4$), puis $A^3$ $=A^2\times A$ $=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 0& 8\end{array}\right)$ (ligne 1, colonne 2 : $4\times 1+4\times 2=12$).
2. On conjecture $A^n$ $=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\times 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ pour tout entier $n⩾1$. Établir cette conjecture par une récurrence. Contrôle : coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $A^6$ :
   Rédaction attendue. Notons $𝒫(n)$ la propriété. Initialisation : pour $n=1$, $\left(\begin{array}{cc}{2}^1& 1\times 2^0\\ 0& 2^1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ $=A$ : $𝒫(1)$ est vraie. Hérédité : soit $n⩾1$ tel que $𝒫(n)$ est vraie. $A^{n+1}$ $=A^n\times A$ $=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\times 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$. Ligne 1, colonne 1 : $2^n\times 2=2^{n+1}$. Ligne 1, colonne 2 : $2^n\times 1+n\times 2^{n-1}\times 2$, soit $2^n+n\times 2^n=(n+1)\times 2^n$. Ligne 2 : $0$ et $2^n\times 2=2^{n+1}$. On obtient l’expression au rang $n+1$ : $𝒫(n+1)$ est vraie. Conclusion : pour tout $n⩾1$, $A^n$ $=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\times 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$. Pour $n=6$ : $6\times 2^5=6\times 32=192$.
3. Plus petit entier $n$ tel que le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $A^n$ dépasse $10000$ :
   Ce coefficient, $n\times 2^{n-1}$, augmente avec $n$. Pour $n=10$ : $10\times 512=5120$ ; pour $n=11$ : $11\times 1024=11264$. Le plus petit entier est $11$.

On pose $N$ $=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $S=I_3+N$.

1. Coefficient de la ligne 1 et de la colonne 3 de $N^2$ :
   Ligne 1 de $N$, $(0;2;1)$, contre colonne 3 de $N$, $(1;3;0)$ : $0\times 1+2\times 3+1\times 0$ $=6$. Les autres coefficients de $N^2$ sont nuls : $N^2$ $=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.
2. Somme de tous les coefficients de $N^3$ :
   $N^3=N^2\times N$ : la seule ligne non nulle de $N^2$, $(0;0;6)$, rencontre des colonnes de $N$ dont le troisième coefficient est nul. Donc $N^3=O$, alors que $N\ne O$.
3. Justifier que $S^2=I_3+2N+N^2$. Coefficient de la ligne 1 et de la colonne 3 de $S^2$ :
   Rédaction attendue. $I_3$ commute avec $N$ ($I_{3}N=N{I}_3=N$), donc $(I_3+N{)}^2=I_3^2+I_{3}N+N{I}_3+N^2$ se regroupe en $I_3+2N+N^2$. Ligne 1, colonne 3 : $0+2\times 1+6=8$. $S^2$ $=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 8\\ 0& 1& 6\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.
4. Comme $N^3=O$, $S^3=I_3+3N+3N^2$. Première ligne de $S^3$ : , et
   $S^3=I_3+3N+3N^2+N^3$ (développement permis car $I_3$ et $N$ commutent) et $N^3=O$. Ligne 1 : $1$, puis $3\times 2=6$, puis $3\times 1+3\times 6=21$.
5. Avec la formule du binôme, pour tout $n⩾2$, $S^n=I_3+nN+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{N}^2$. Coefficient de la ligne 1 et de la colonne 3 de $S^{10}$ :
   Comme $I_3$ et $N$ commutent, $(I_3+N{)}^n$ $={\displaystyle {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)N^k}$, et tous les termes à partir de $N^3$ sont nuls. Le coefficient vaut $n\times 1+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\times 6$ ; pour $n=10$ : $10+45\times 6=280$. Contrôle avec $n=3$ : $3+3\times 6=21$.