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Définition et opérations

Format et coefficients, matrices carrées, somme et produit par un réel, produit matriciel et ses propriétés (non-commutativité, matrice identité), puissances d’une matrice carrée, matrices des transformations du plan.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés : les coûts de production de deux ateliers, les matrices de rotation et leurs puissances, la programmation du produit et des puissances en Python avec l’exponentiation rapide, et des matrices 2 × 2 qui se multiplient comme les nombres complexes.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en matrices en précisant ce que représentent les lignes et les colonnes, et j’écris leurs formats.
Je vérifie que chaque opération existe avant de calculer, et je choisis l’ordre des facteurs qui a un sens (ligne contre colonne).
Je démontre les formules générales : égalité coefficient par coefficient, développement en gardant l’ordre, récurrence pour une puissance.
J’interprète chaque coefficient calculé dans la situation (coût, image d’un point, nombre de produits…).
Je contrôle un résultat sur un cas particulier ou par un second calcul.

Problème 1 · Coûts de production de deux ateliers★★★Moyen

Une entreprise de mobilier fabrique chaque jour des chaises, des tabourets et des étagères dans deux ateliers. Quantités produites par jour :

	Chaises	Tabourets	Étagères
Atelier 1	120	80	45
Atelier 2	60	150	95

Coûts unitaires, en euros :

	Matière	Main-d’œuvre
Chaise	12	7
Tabouret	9	5
Étagère	20	14

On note $P$ la matrice des productions et $C$ la matrice des coûts unitaires, dans l’ordre des tableaux.

1. Écrire $P$ et $C$ . Format de $P$ : × ; format de $C$ : ×
$P$ $= (\begin{matrix} 120 & 80 & 45 \\ 60 & 150 & 95 \end{matrix})$ est de format $2 \times 3$ (2 ateliers, 3 meubles) et $C$ $= (\begin{matrix} 12 & 7 \\ 9 & 5 \\ 20 & 14 \end{matrix})$ de format $3 \times 2$ (3 meubles, 2 postes de dépense).
2. Justifier que le produit $P C$ existe, puis le calculer. $P C$ : ligne 1 : et ; ligne 2 : et
Rédaction attendue. Le nombre de colonnes de $P$ (3) est égal au nombre de lignes de $C$ (3) : $P C$ existe et est de format $2 \times 2$ . Ligne 1, colonne 1 : $120 \times 12 + 80 \times 9 + 45 \times 20$ $= 3 060$ . Ligne 1, colonne 2 : $120 \times 7 + 80 \times 5 + 45 \times 14$ $= 1 870$ . Ligne 2, colonne 1 : $60 \times 12 + 150 \times 9 + 95 \times 20$ $= 3 970$ . Ligne 2, colonne 2 : $60 \times 7 + 150 \times 5 + 95 \times 14$ $= 2 500$ . Donc $P C$ $= (\begin{matrix} 3060 & 1870 \\ 3970 & 2500 \end{matrix})$ , en euros.
3. Le coût journalier de main-d’œuvre de l’atelier 1 est le coefficient de $P C$ situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ , avec $i =$ et $j =$
La ligne 1 de $P C$ provient de la ligne « atelier 1 » de $P$ , la colonne 2 de la colonne « main-d’œuvre » de $C$ : c’est le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $P C$ , soit $1 870$ €. Chaque produit « quantité × coût unitaire » porte sur le même meuble, ce qui donne son sens à la somme.
4. Coût total de production journalière de l’entreprise : €
On additionne les quatre coefficients de $P C$ : $3 060 + 1 870 + 3 970 + 2 500$ $= 11 400$ €, dont $3 060 + 3 970 = 7 030$ € de matière.
5. Le produit $C P$ existe aussi : il est de format × . Expliquer pourquoi ses coefficients n’ont pas de sens économique.
Rédaction attendue. $C$ est de format $3 \times 2$ et $P$ de format $2 \times 3$ : $C P$ existe, de format $3 \times 3$ . Mais son coefficient $(i, j)$ additionne des produits « coût unitaire du meuble $i$ » × « quantité du meuble $j$ produite par un atelier » : les deux facteurs ne portent pas sur le même meuble, la somme ne représente rien. L’ordre des facteurs est imposé par le sens.
6. Au 1^er janvier, tous les coûts unitaires augmentent de 4 %. Sans refaire les produits, nouveau coût total journalier : €
Les nouveaux coûts unitaires forment la matrice $1, 04 C$ , et $P (1, 04 C) = 1, 04 (P C)$ . Tous les coefficients de $P C$ sont multipliés par $1, 04$ , donc le total aussi : $1, 04 \times 11 400 = 11 856$ €, soit 456 € de plus par jour.

Problème 2 · Matrices de rotation★★★Moyen

Dans un repère orthonormé, on associe à tout réel

θ

la matrice

R (θ)

= (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

de la rotation de centre

O

et d’angle

θ

: si un point a pour colonne

X

, son image a pour colonne

R (θ) X

. On rappelle les formules d’addition :

\cos (a + b)

= \cos a \cos b - \sin a \sin b

\sin (a + b)

= \sin a \cos b + \cos a \sin b

1. Coefficient de la ligne 2 et de la colonne 1 de $R (\frac{π}{6})$ :
$\cos \frac{π}{6}$ $= \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , donc $R (\frac{π}{6})$ $= (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})$ . Le coefficient vaut $\frac{1}{2}$ . Avec $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$ , $R (0) = I_{2}$ .
2. Démontrer que $R (a) R (b) = R (a + b)$ pour tous réels $a$ et $b$ , puis que $R (a)$ et $R (b)$ commutent. Contrôle : coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de $R (\frac{π}{3}) R (\frac{π}{6})$ :
Rédaction attendue. Ligne 1, colonne 1 de $R (a) R (b)$ : $\cos a \cos b - \sin a \sin b$ $= \cos (a + b)$ . Ligne 1, colonne 2 : $- \cos a \sin b - \sin a \cos b$ $= - \sin (a + b)$ . Ligne 2, colonne 1 : $\sin a \cos b + \cos a \sin b$ $= \sin (a + b)$ . Ligne 2, colonne 2 : $- \sin a \sin b + \cos a \cos b$ $= \cos (a + b)$ . Donc $R (a) R (b) = R (a + b)$ . En échangeant $a$ et $b$ : $R (b) R (a)$ $= R (b + a)$ $= R (a + b)$ $= R (a) R (b)$ , les deux matrices commutent (enchaîner deux rotations de centre $O$ ne dépend pas de l’ordre). Contrôle : $R (\frac{π}{3}) R (\frac{π}{6})$ $= R (\frac{π}{2})$ $= (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ , coefficient $- 1$ .
3. On applique trois fois de suite la rotation d’angle $\frac{π}{6}$ au point $(4; - 2)$ . Image obtenue : ( ; )
D’après la question 2, $R {(\frac{π}{6})}^{3}$ $= R (\frac{π}{2})$ $= (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ (trois sixièmes de demi-tour font un quart de tour). $(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ : l’image est $(2; 4)$ .
4. $R {(\frac{π}{6})}^{6} = k I_{2}$ avec $k =$
$R {(\frac{π}{6})}^{6}$ $= R (π)$ $= (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ $= - I_{2}$ : six rotations d’angle $\frac{π}{6}$ font un demi-tour, qui envoie $(x; y)$ sur $(- x; - y)$ .
5. Démontrer que $R {(\frac{π}{6})}^{n}$ $= R (\frac{n π}{6})$ pour tout entier naturel $n$ , puis donner le plus petit entier $n ⩾ 1$ tel que $R {(\frac{π}{6})}^{n} = I_{2}$ :
Rédaction attendue. Récurrence : pour $n = 0$ , $R (0)$ $= I_{2}$ $= R {(\frac{π}{6})}^{0}$ . Si $R {(\frac{π}{6})}^{n}$ $= R (\frac{n π}{6})$ , alors $R {(\frac{π}{6})}^{n + 1}$ $= R (\frac{n π}{6}) R (\frac{π}{6})$ $= R (\frac{(n + 1) π}{6})$ (question 2). Ensuite, $R (\frac{n π}{6}) = I_{2}$ équivaut à $\cos \frac{n π}{6} = 1$ et $\sin \frac{n π}{6} = 0$ , c’est-à-dire à $\frac{n π}{6}$ multiple de $2 π$ , soit $n$ multiple de $12$ . Le plus petit entier $n ⩾ 1$ est $12$ : douze rotations d’angle $\frac{π}{6}$ font un tour complet.

Problème 3 · Programmer le produit et les puissances en Python★★★Difficile

On représente en Python une matrice carrée d’ordre 3 par la liste de ses lignes :

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & - 2 \end{matrix})

est codée par A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [0, 4, -2]]. On pose aussi B = [[2, -1, 0], [1, 1, 3], [0, 2, -1]].

1. Le calcul du produit d’une matrice $n \times p$ par une matrice $p \times q$ demande $n p q$ multiplications de réels. Pour deux matrices carrées d’ordre 3, cela fait multiplications.
Le produit a $n \times q$ coefficients, et chacun est une somme de $p$ produits : $n \times p \times q$ multiplications. Pour deux matrices d’ordre 3 : $3 \times 3 \times 3 = 27$ .
2. Écrire une fonction produit(A, B) qui renvoie le produit de deux matrices carrées d’ordre 3. Deuxième ligne de produit(A, B) : , et
On applique cij =ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j ; la fonction coef calcule un coefficient, produit range les neuf coefficients ligne par ligne :
```
def coef(A, B, i, j):
    s = 0
    for k in range(3):
        a = A[i][k]
        s = s + a * B[k][j]
    return s

def produit(A, B):
    C = []
    for i in range(3):
        L = []
        for j in range(3):
            c = coef(A,B,i,j)
            L.append(c)
        C.append(L)
    return C
```
Ligne 2 de A, (−1 ;3 ;1), contre les colonnes de B : −2+3+0=1, 1+3+2=6, 0+9−1=8. La fonction renvoie [[2, 3, -2], [1, 6, 8], [4, 0, 14]].
3. La fonction suivante renvoie An. Nombre d’appels à produit pour n=20 :
```
def puissance(A, n):
    R = [[1, 0, 0],
         [0, 1, 0],
         [0, 0, 1]]
    for i in range(n):
        R = produit(R, A)
    return R
```
La boucle tourne $n$ fois et appelle produit à chaque tour : 20 appels. Partir de $I_{3}$ traite correctement le cas $n = 0$ ( $A^{0} = I_{3}$ ) ; le premier produit, par $I_{3}$ , ne sert à rien : 19 produits seraient utiles.
4. En utilisant $A^{k} A^{m} = A^{k + m}$ , démontrer que le plus petit nombre de produits de matrices permettant d’obtenir $A^{20}$ à partir de $A$ est
Rédaction attendue. Cinq produits suffisent : $A^{2} = A \times A$ , $A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ , $A^{5} = A^{4} \times A$ , $A^{10} = A^{5} \times A^{5}$ , $A^{20} = A^{10} \times A^{10}$ . Quatre ne suffisent pas : un produit $A^{k} A^{m}$ donne un exposant $k + m$ au plus égal au double du plus grand exposant déjà obtenu ; en partant de $A^{1}$ , après 4 produits l’exposant est au plus $2^{4} = 16 < 20$ . Le minimum est donc 5 (principe de l’exponentiation rapide).
5. Un élève initialise C = [[0] * 3] * 3, puis exécute C[0][0] = 5. Valeur de C[2][0] :
[[0] * 3] * 3 crée une seule liste de trois zéros et en répète trois fois la référence : les trois « lignes » sont le même objet. Modifier C[0][0] modifie donc aussi C[1][0] et C[2][0], qui valent 5. Il faut des lignes distinctes : C = [[0] * 3 for i in range(3)].

Problème 4 · Des matrices qui calculent comme les nombres complexes★★★Difficile

Pour tous réels

a

b

, on pose

M (a, b)

= (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})

, et

J

= (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

, de sorte que

M (a, b) = a I_{2} + b J

1. $J^{2} = k I_{2}$ avec $k =$
$J^{2}$ $= (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ $= - I_{2}$ : $J$ joue le rôle du nombre $i$ , qui vérifie $i^{2} = - 1$ .
2. Démontrer que $M (a, b) M (c, d) = M (a c - b d, a d + b c)$ pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Contrôle : $M (2, 1) M (3, - 1) = M (x, y)$ avec $x =$ et $y =$
Rédaction attendue. Par distributivité, et comme $I_{2}$ commute avec $J$ : $(a I_{2} + b J) (c I_{2} + d J)$ $= a c I_{2} + a d J + b c J + b d J^{2}$ . Avec $J^{2} = - I_{2}$ : $= (a c - b d) I_{2} + (a d + b c) J$ $= M (a c - b d, a d + b c)$ . Contrôle : $x = 2 \times 3 - 1 \times (- 1) = 7$ et $y = 2 \times (- 1) + 1 \times 3 = 1$ .
3. Justifier que deux matrices de la forme $M (a, b)$ commutent. On pose $M = M (1, 1)$ : $M^{2} = k J$ avec $k =$
Rédaction attendue. D’après la question 2, $M (c, d) M (a, b) = M (c a - d b, c b + d a)$ , qui est égal à $M (a c - b d, a d + b c)$ : les deux produits sont égaux. Pour $M = M (1, 1)$ : $M^{2} = M (1 - 1, 1 + 1) = M (0, 2) = 2 J$ .
4. $M^{4} = k I_{2}$ avec $k =$
$M^{4} = (M^{2})^{2} = (2 J)^{2} = 4 J^{2} = - 4 I_{2}$ .
5. $M^{8} = k I_{2}$ avec $k =$
$M^{8} = (M^{4})^{2} = (- 4 I_{2})^{2} = 16 I_{2}$ .
6. $M^{2026} = 2^{m} J$ avec $m =$
$2 026 = 8 \times 253 + 2$ , donc $M^{2026}$ $= (M^{8})^{253} \times M^{2}$ $= 16^{253} I_{2} \times 2 J$ . Comme $16^{253} = 2^{1012}$ , $M^{2026}$ $= 2^{1012} \times 2 J$ $= 2^{1013} J$ .
7. On associe à $M (a, b)$ le nombre complexe $a + i b$ ; la question 2 traduit le produit $(a + i b) (c + i d)$ . Avec $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ , $M^{5} = M (x, y)$ avec $x =$ et $y =$
$(1 + i)^{5}$ $= (\sqrt{2})^{5} e^{5 i π / 4}$ $= 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2})$ $= - 4 - 4 i$ , donc $M^{5}$ $= M (- 4, - 4)$ $= (\begin{matrix} - 4 & 4 \\ - 4 & - 4 \end{matrix})$ . Vérification par les matrices : $M^{5} = M^{4} \times M = - 4 M$ . Plus généralement, si $a + i b = r e^{i θ}$ , alors $M (a, b) = r R (θ)$ : une rotation suivie d’une homothétie.

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