Formulaire : lois à densité

Rappels de 1re sur les variables aléatoires et les probabilités conditionnelles, densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme sur [a ; b] et simulation en Python, loi exponentielle, absence de mémoire.

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Lois à densité : uniforme et exponentielle

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Du discret au continu

	Variable discrète	Variable à densité $f$
Loi	tableau des $P (X = x_{i})$	densité $f$ , continue et positive
Total	$\sum p_{i} = 1$	$\int_{I} f (t) d t = 1$
$P (X = a)$	peut être non nulle	$0$
$P (c ⩽ X ⩽ d)$	somme des $p_{i}$	$\int_{c}^{d} f (t) d t$
$E (X)$	$\sum p_{i} x_{i}$	$\int_{I} t f (t) d t$
$V (X)$	$\sum p_{i} x_{i}^{2} - E (X)^{2}$	$\int_{I} t^{2} f (t) d t - E (X)^{2}$

Exemple : $f (t) = 0, 5 t$ sur $[0; 2]$ a pour intégrale $[\frac{t^{2}}{4}]_{0}^{2} = 1$ : c’est une densité.

Fonction de répartition F

On cherche…	Avec $F$
$P (X ⩽ x)$	$F (x)$
$P (X > x)$	$1 - F (x)$
$P (c ⩽ X ⩽ d)$	$F (d) - F (c)$
la densité	$f = F^{'}$
la médiane $m$	$F (m) = 0, 5$

Exemple : $F (x) = \frac{x}{10}$ sur $[0; 10]$ : $P (2 ⩽ X ⩽ 7) = 0, 7 - 0, 2 = 0, 5$ .

Les deux lois du chapitre

	Uniforme sur $[a; b]$	Exponentielle de paramètre $λ$
Densité	$\frac{1}{b - a}$ sur $[a; b]$	$λ e^{- λ t}$ sur $[0; + \infty [$
$P (X ⩽ x)$	$\frac{x - a}{b - a}$	$1 - e^{- λ x}$
$P (X > x)$	$\frac{b - x}{b - a}$	$e^{- λ x}$
$P (c ⩽ X ⩽ d)$	$\frac{d - c}{b - a}$	$e^{- λ c} - e^{- λ d}$
Espérance	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{1}{λ}$
Variance	$\frac{(b - a)^{2}}{12}$	pas au programme
Médiane	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{\ln 2}{λ}$

Exemple : loi exponentielle de moyenne $30$ : $λ = \frac{1}{30}$ et la médiane vaut $30 \ln 2 \approx 20, 8$ .

Trouver le paramètre λ

L’énoncé donne…	On écrit	On obtient
la durée moyenne $μ$	$\frac{1}{λ} = μ$	$λ = \frac{1}{μ}$
$P (X > t) = p$	$e^{- λ t} = p$	$λ = \frac{- \ln p}{t}$
$P (X ⩽ t) = p$	$e^{- λ t} = 1 - p$	$λ = \frac{- \ln (1 - p)}{t}$
la demi-vie (médiane) $T$	$e^{- λ T} = 0, 5$	$λ = \frac{\ln 2}{T}$

Exemple : $P (X ⩽ 10) = 0, 4$ donne $λ = \frac{- \ln 0, 6}{10} \approx 0, 0511$ .

Absence de mémoire et simulation

Notion	À retenir
Absence de mémoire	$P_{X > t} (X > t + h) = P (X > h) = e^{- λ h}$
Démonstration	inclusion, puis $\frac{e^{- λ (t + h)}}{e^{- λ t}} = e^{- λ h}$
Loi uniforme	pas sans mémoire : quotient $\frac{P (X > t + h)}{P (X > t)}$
`random()`	loi uniforme sur $[0; 1]$
`a + (b - a)*random()`	loi uniforme sur $[a; b]$
`-log(1 - random())/lam`	loi exponentielle de paramètre `lam`

Exemple : $λ = 0, 1$ : $P_{X > 12} (X > 17) = e^{- 0, 5} \approx 0, 607$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des lois à densité en tableaux : comparaison entre variable discrète et variable à densité, usage de la fonction de répartition, formules des lois uniforme et exponentielle côte à côte, façons de trouver le paramètre λ, absence de mémoire et instructions Python de simulation. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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