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Lois à densité : uniforme et exponentielle

Rappels de 1re sur les variables aléatoires et les probabilités conditionnelles, densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme sur [a ; b] et simulation en Python, loi exponentielle, absence de mémoire.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sur le temps d’attente : un drive de restauration rapide, la batterie d’un vélo électrique et sa garantie, le départ et le trajet d’un train, l’ajustement d’une loi exponentielle aux attentes d’un guichet avec un programme Python, et le paradoxe de l’attente du bus.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je nomme la variable et son unité : instant, attente ou durée de vie, en secondes, minutes ou années, et l’intervalle de ses valeurs.
Je justifie la loi : uniforme pour un instant « au hasard » dans un intervalle borné, exponentielle pour une attente sans borne et sans vieillissement ; sinon, je travaille avec la densité ou la fonction de répartition donnée.
Je trouve les paramètres : bornes a et b, ou λ à partir d’une durée moyenne (λ = 1/moyenne) ou d’une probabilité (logarithme), dans la même unité que les durées de l’énoncé.
Je traduis chaque question : P(X ⩽ x) = F(x), P(X > x) = 1 − F(x), différence pour « entre », quotient pour « sachant » (absence de mémoire si la loi est exponentielle), logarithme pour un seuil.
Je conclus dans le contexte : une phrase, une valeur arrondie seulement à la fin, et un regard critique sur le modèle (usure, données observées).

Problème 1 · Un drive de restauration rapide★★★Facile

Un drive de restauration rapide étudie deux durées. Le temps d’attente

X

, en secondes, avant la prise de commande au micro est modélisé par la loi uniforme sur

[0; 210]

. La durée

Y

, en minutes, de préparation de la commande est modélisée par une loi exponentielle de durée moyenne

8

minutes.

1. Justifier que la densité de $X$ est constante, puis donner $P (X ⩽ 70)$ = (fraction irréductible)
Rédaction attendue. $X$ suit la loi uniforme sur $[0; 210]$ : sa densité est la constante $f (t) = \frac{1}{210 - 0} = \frac{1}{210}$ sur $[0; 210]$ , nulle ailleurs. Donc $P (X ⩽ 70) = \frac{70 - 0}{210} = \frac{1}{3}$ : environ un client sur trois attend au plus $70$ secondes.
2. $P (90 ⩽ X ⩽ 180) \approx$ (au millième)
$P (90 ⩽ X ⩽ 180) = \frac{180 - 90}{210} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \approx 0, 429$ .
3. Attente moyenne avant la prise de commande, en secondes :
$E (X) = \frac{0 + 210}{2} = 105$ secondes, soit 1 min 45 s.
4. Paramètre $λ$ de la loi de $Y$ , en min⁻¹ :
$E (Y) = \frac{1}{λ} = 8$ , donc $λ = \frac{1}{8} = 0, 125$ par minute.
5. $P (Y > 6) \approx$ (au millième)
$P (Y > 6) = e^{- 0, 125 \times 6} = e^{- 0, 75} \approx 0, 4724$ , soit environ $0, 472$ .
6. $P (3 ⩽ Y ⩽ 9) \approx$ (au millième)
$P (3 ⩽ Y ⩽ 9) = e^{- 0, 375} - e^{- 1, 125} \approx 0, 6873 - 0, 3247 = 0, 3626$ , soit environ $0, 363$ .
7. Une commande est en préparation depuis $5$ minutes. Justifier que la probabilité que sa préparation dure plus de $12$ minutes au total vaut, au millième,
Rédaction attendue. On cherche $P_{Y > 5} (Y > 12)$ . La loi de $Y$ est exponentielle, donc sans mémoire : $P_{Y > 5} (Y > 5 + 7) = P (Y > 7) = e^{- 0, 125 \times 7} = e^{- 0, 875} \approx 0, 417$ . Les $5$ minutes déjà écoulées ne changent rien à la prévision : c’est une limite du modèle, car une préparation entamée a des chances de se terminer bientôt.
8. Médiane de la durée de préparation, au dixième de minute :
$1 - e^{- 0, 125 m} = 0, 5 ⟺ m = \frac{\ln 2}{0, 125} = 8 \ln 2 \approx 5, 5$ min. Le drive peut donc annoncer que « moins d’une commande sur deux dépasse six minutes » : c’est compatible avec le modèle, puisque $P (Y > 6) \approx 0, 472 < 0, 5$ , mais tout juste.

Problème 2 · La batterie d’un vélo électrique★★★Moyen

Un constructeur modélise la durée de vie

T

, en années, de la batterie de ses vélos électriques par une loi exponentielle de paramètre

λ

. Une étude sur un grand nombre de batteries montre que

55 %

d’entre elles fonctionnent encore au bout de

4

ans.

1. Démontrer que $λ = \frac{- \ln (0, 55)}{4}$ , puis en donner une valeur approchée au dix-millième :
Rédaction attendue. L’énoncé traduit $P (T > 4) = 0, 55$ . Pour une loi exponentielle, $P (T > 4) = e^{- 4 λ}$ , d’où $e^{- 4 λ} = 0, 55$ . La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , on obtient $- 4 λ = \ln (0, 55)$ , soit $λ = \frac{- \ln (0, 55)}{4} \approx 0, 1495$ par an.
2. Durée de vie moyenne d’une batterie, au dixième d’année :
$E (T) = \frac{1}{λ} = \frac{- 4}{\ln (0, 55)} \approx 6, 7$ ans.
3. Probabilité qu’une batterie tombe en panne au cours des deux premières années, au millième :
$P (T ⩽ 2) = 1 - e^{- 2 λ} = 1 - \sqrt{0, 55} \approx 0, 258$ : environ $25, 8 %$ des batteries.
4. Une batterie fonctionne encore après $4$ ans. Justifier que la probabilité qu’elle fonctionne encore après $9$ ans vaut, au millième,
Rédaction attendue. On cherche $P_{T > 4} (T > 9)$ . La loi est exponentielle, donc sans mémoire : $P_{T > 4} (T > 4 + 5) = P (T > 5) = e^{- 5 λ} \approx 0, 474$ .
5. Le constructeur veut une garantie, en mois entiers, telle qu’au plus $10 %$ des batteries tombent en panne pendant la période garantie. Durée maximale de la garantie, en mois :
Rédaction attendue. Pour une durée $t$ en années, $P (T ⩽ t) ⩽ 0, 1 ⟺ 1 - e^{- λ t} ⩽ 0, 1 ⟺ e^{- λ t} ⩾ 0, 9 ⟺ - λ t ⩾ \ln (0, 9) ⟺ t ⩽ \frac{- \ln (0, 9)}{λ} \approx 0, 705$ an. Or $0, 705 \times 12 \approx 8, 46$ mois. Contrôle : sur $8$ mois, $P (T ⩽ \frac{8}{12}) \approx 0, 095$ ; sur $9$ mois, $\approx 0, 106 > 0, 1$ . La garantie peut porter sur $8$ mois au maximum.
6. Un client affirme : « Ma batterie a déjà quatre ans, elle a donc moins de chances de tenir cinq ans de plus qu’une batterie neuve. » Selon le modèle, sa probabilité de tenir cinq ans de plus, comparée à celle d’une batterie neuve, est : (plus petite, égale ou plus grande)
D’après la question 4, $P_{T > 4} (T > 9) = P (T > 5)$ : les deux probabilités sont égales. Le client raisonne comme si la batterie s’usait, alors que le modèle exponentiel est sans vieillissement. C’est une limite du modèle : une vraie batterie s’use, et une loi tenant compte de l’usure serait plus fidèle.

Problème 3 · Un départ et un trajet★★★Moyen

Camille prend chaque matin un train sur une ligne peu régulière. Le train part à un instant

X

, exprimé en minutes après 8 h, modélisé par la loi uniforme sur

[0; 20]

. Une fois le train parti, la durée

Y

du trajet, en minutes, est modélisée par une loi exponentielle de paramètre

λ

; on sait que

60 %

des trajets durent au plus

30

minutes.

1. Camille arrive sur le quai à 8 h 06. Probabilité qu’elle ait son train :
Elle a son train s’il part après son arrivée : $P (X ⩾ 6) = \frac{20 - 6}{20} = \frac{14}{20} = 0, 7$ . Elle le rate environ trois matins sur dix.
2. $P (8 ⩽ X ⩽ 17)$ =
$P (8 ⩽ X ⩽ 17) = \frac{17 - 8}{20} = \frac{9}{20} = 0, 45$ .
3. En moyenne, le train part à 8 h min
$E (X) = \frac{0 + 20}{2} = 10$ : le train part en moyenne à 8 h 10.
4. Démontrer que $λ = \frac{\ln (2, 5)}{30}$ , puis en donner une valeur approchée au cent-millième :
Rédaction attendue. L’énoncé donne $P (Y ⩽ 30) = 0, 6$ , donc $P (Y > 30) = 0, 4$ , c’est-à-dire $e^{- 30 λ} = 0, 4$ . En composant par $\ln$ : $- 30 λ = \ln (0, 4) = - \ln (2, 5)$ , d’où $λ = \frac{\ln (2, 5)}{30} \approx 0, 03054$ par minute.
5. Probabilité qu’un trajet dure plus de $50$ minutes, au millième :
$P (Y > 50) = e^{- 50 λ} = 0, 4^{\frac{5}{3}} \approx 0, 217$ , car $e^{- 30 λ} = 0, 4$ .
6. Le trajet dure déjà depuis $30$ minutes. Justifier que la probabilité qu’il dure au total plus de $75$ minutes vaut, au millième,
Rédaction attendue. On cherche $P_{Y > 30} (Y > 75)$ . La loi de $Y$ est exponentielle, donc sans mémoire : $P_{Y > 30} (Y > 30 + 45) = P (Y > 45) = e^{- 45 λ} = 0, 4^{1, 5} \approx 0, 253$ . Un voyageur qui affirme « cela fait une demi-heure que nous roulons, nous arriverons forcément bientôt » se trompe selon ce modèle : la durée déjà écoulée ne change pas la loi de la durée restante, car $\frac{e^{- λ (t + h)}}{e^{- λ t}} = e^{- λ h}$ ne dépend pas de $t$ . Son intuition serait juste avec une durée bornée, par exemple uniforme : c’est ce qui distingue les deux lois du chapitre.

Problème 4 · Modéliser l’attente à un guichet★★★Difficile

Un service administratif relève le temps d’attente, en minutes, de

200

usagers au cours d’une matinée.

Attente (min)	$[0; 5 [$	$[5; 10 [$	$[10; 20 [$	$[20; 40 [$	$[40; 60 [$
Usagers	$66$	$46$	$50$	$30$	$8$

On souhaite modéliser le temps d’attente

X

, en minutes, par une loi exponentielle de paramètre

λ

. On considère aussi la fonction Python ci-dessous.

from math import exp

def seuil(p, lam):
    n = 0
    while 1 - exp(-lam*n) < p:
        n = n + 1
    return n

1. Temps d’attente moyen de l’échantillon, en prenant les centres de classes : min
Centres : $2, 5$ ; $7, 5$ ; $15$ ; $30$ ; $50$ . $\overset{―}{x} = \frac{2, 5 \times 66 + 7, 5 \times 46 + 15 \times 50 + 30 \times 30 + 50 \times 8}{200} = \frac{165 + 345 + 750 + 900 + 400}{200} = \frac{2 560}{200} = 12, 8$ minutes.
2. En choisissant $E (X)$ égale à cette moyenne, $λ \approx$ (au millième)
$E (X) = \frac{1}{λ}$ , donc $λ = \frac{1}{12, 8} = 0, 078125 \approx 0, 078$ par minute. On garde $λ = 0, 078$ dans la suite.
3. $P (X < 5) \approx$ (au millième), à comparer à la fréquence observée $0, 33$
$P (X < 5) = 1 - e^{- 0, 078 \times 5} = 1 - e^{- 0, 39} \approx 0, 323$ , proche de $\frac{66}{200} = 0, 33$ : le modèle rend bien compte de cette classe.
4. $P (10 ⩽ X < 20) \approx$ (au millième), à comparer à la fréquence observée $0, 25$
$P (10 ⩽ X < 20) = e^{- 0, 78} - e^{- 1, 56} \approx 0, 4584 - 0, 2101 = 0, 2483$ , soit $0, 248$ : l’accord avec $\frac{50}{200} = 0, 25$ est excellent.
5. Justifier ce que renvoie seuil(p, lam) quand lam est le paramètre $λ$ du modèle, puis donner la valeur renvoyée avec p égal à $0, 95$ et le paramètre de la question 2 :
Rédaction attendue. La boucle part de $n = 0$ et augmente $n$ de $1$ tant que $1 - e^{- λ n} < p$ , c’est-à-dire tant que $P (X ⩽ n) < p$ . Elle renvoie donc le plus petit entier $n$ tel que $P (X ⩽ n) ⩾ p$ . Pour $p = 0, 95$ : $1 - e^{- 0, 078 n} ⩾ 0, 95 ⟺ e^{- 0, 078 n} ⩽ 0, 05 ⟺ n ⩾ \frac{- \ln (0, 05)}{0, 078} \approx 38, 4$ . Contrôle : $P (X ⩽ 38) \approx 0, 9484$ et $P (X ⩽ 39) \approx 0, 9523$ . Donc seuil(0.95, 0.078) renvoie $39$ : selon le modèle, $95 %$ des usagers sont pris en charge en moins de $39$ minutes.
6. $P (40 ⩽ X < 60) \approx$ (au millième), à comparer à la fréquence observée $0, 04$
$P (40 ⩽ X < 60) = e^{- 3, 12} - e^{- 4, 68} \approx 0, 0442 - 0, 0093 = 0, 0349$ , soit $0, 035$ , contre $\frac{8}{200} = 0, 04$ observé. Le responsable qui affirme que le modèle est « parfaitement adapté » exagère : l’accord est bon sur les classes étudiées, mais le modèle prévoit environ $0, 9 %$ d’attentes de plus d’une heure, jamais observées ; il suppose aussi qu’un usager qui attend depuis $30$ minutes a la même attente restante qu’un arrivant, ce qui est discutable quand les dossiers sont traités dans l’ordre ; enfin, l’échantillon couvre une seule matinée. Le modèle est plausible et commode, sans plus.

Problème 5 · Le paradoxe de l’attente du bus★★★Difficile

Sur une ligne, les bus ne passent pas à intervalles réguliers : à chaque cycle de

20

minutes, un bus passe à l’instant

0

, un autre à l’instant

4

, et le suivant à l’instant

20

, début du cycle suivant. Les intervalles entre deux bus durent donc alternativement

4

16

minutes : en moyenne, un bus toutes les

10

minutes. Un voyageur arrive à l’arrêt à un instant

T

, en minutes, qui suit la loi uniforme sur

[0; 20]

, et prend le premier bus qui passe ; on note

W

son temps d’attente, entre

0

16

minutes.

1. Probabilité que le voyageur arrive pendant un intervalle de $16$ minutes :
Il arrive pendant le long intervalle lorsque $T \in] 4; 20]$ : $P (4 < T ⩽ 20) = \frac{16}{20} = 0, 8$ . Il tombe quatre fois sur cinq dans un long intervalle, alors que la moitié seulement des intervalles sont longs.
2. Démontrer que, pour $w \in [0; 4]$ , $P (W ⩽ w) = \frac{w}{10}$ . Valeur de $P (W ⩽ 2)$ :
Rédaction attendue. Soit $w \in [0; 4]$ . Le voyageur attend au plus $w$ minutes s’il arrive au plus $w$ minutes avant un passage de bus, c’est-à-dire si $T \in [4 - w; 4]$ (bus de l’instant $4$ ) ou $T \in [20 - w; 20]$ (bus de l’instant $20$ ). Ces deux intervalles sont disjoints et de longueur $w$ , donc $P (W ⩽ w) = \frac{w + w}{20} = \frac{w}{10}$ . Ainsi $P (W ⩽ 2) = 0, 2$ .
3. On admet que, pour $w \in [4; 16]$ , $P (W ⩽ w) = \frac{4 + w}{20}$ . Alors $P (W > 10)$ =
Pour $w \in [4; 16]$ , $W ⩽ w$ équivaut à $T \in [0; 4]$ ou $T \in [20 - w; 20]$ , de longueurs $4$ et $w$ . Donc $P (W > 10) = 1 - \frac{4 + 10}{20} = 1 - 0, 7 = 0, 3$ .
4. La densité de $W$ vaut $0, 1$ sur $[0; 4]$ . Sa valeur sur $] 4; 16]$ est
La densité est la dérivée de la fonction de répartition : sur $] 4; 16]$ , la dérivée de $\frac{4 + w}{20}$ est $\frac{1}{20} = 0, 05$ . Cette densité n’est pas continue en $4$ , ce que la définition permet (un nombre fini de points). Contrôle : aire totale $0, 1 \times 4 + 0, 05 \times 12 = 0, 4 + 0, 6 = 1$ .
5. Démontrer que $E (W)$ = min
Rédaction attendue. $E (W) = \int_{0}^{16} t f (t) d t = \int_{0}^{4} 0, 1 t d t + \int_{4}^{16} 0, 05 t d t$ (relation de Chasles) $= [0, 05 t^{2}]_{0}^{4} + [0, 025 t^{2}]_{4}^{16} = 0, 8 + (6, 4 - 0, 4) = 6, 8$ minutes. Si les bus passaient régulièrement toutes les $10$ minutes, $W$ suivrait la loi uniforme sur $[0; 10]$ et l’attente moyenne serait de $5$ minutes seulement.
6. On note $L$ la durée de l’intervalle entre deux bus dans lequel tombe le voyageur : $L = 4$ ou $L = 16$ . $E (L)$ = min
D’après la question 1, $P (L = 16) = 0, 8$ et $P (L = 4) = 0, 2$ , donc $E (L) = 4 \times 0, 2 + 16 \times 0, 8 = 0, 8 + 12, 8 = 13, 6$ minutes, bien plus que l’intervalle moyen de $10$ minutes. C’est le paradoxe de l’inspection : en arrivant au hasard, on tombe plus souvent dans les longs intervalles, si bien que l’attente moyenne ( $6, 8$ min) dépasse la moitié de l’intervalle moyen ( $5$ min).

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