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Lois à densité : uniforme et exponentielle
Rappels de 1re sur les variables aléatoires et les probabilités conditionnelles, densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme sur [a ; b] et simulation en Python, loi exponentielle, absence de mémoire.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Si X est une variable aléatoire à densité f, alors P(X = 3) vaut :
- A. 0
- B. f(3)
- C. 1
- D. F(3)
Réponse
A. 0 — Pour une loi à densité, P(X = 3) est l’intégrale de f entre 3 et 3, donc 0. f(3) est une hauteur de courbe et F(3) = P(X ⩽ 3).
La densité de la loi uniforme sur [2 ; 10] est la fonction constante égale à :
- A. 1/10
- B. 1/8
- C. 1/12
- D. 8
Réponse
B. 1/8 — La densité vaut 1/(b − a) = 1/(10 − 2) = 1/8 sur l’intervalle, et 0 ailleurs.
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, alors P(X > t) vaut, pour t ⩾ 0 :
- A. 1 − e−λt
- B. λe−λt
- C. e−λt
- D. λte−λt
Réponse
C. e−λt — P(X > t) = 1 − F(t) = 1 − (1 − e−λt) = e−λt. L’expression λe−λt est la densité, pas une probabilité.
L’espérance d’une variable de loi exponentielle de paramètre λ vaut :
- A. λ
- B. λ²
- C. 1/λ²
- D. 1/λ
Réponse
D. 1/λ — E(X) = 1/λ : le paramètre est un taux, son inverse est une durée moyenne.
La fonction de répartition F d’une variable à densité X est définie par :
- A. F(x) = f(x)
- B. F(x) = P(X = x)
- C. F(x) = P(X > x)
- D. F(x) = P(X ⩽ x)
Réponse
D. F(x) = P(X ⩽ x) — Par définition, F(x) = P(X ⩽ x) : c’est l’aire sous la densité à gauche de x.
L’espérance d’une variable de loi uniforme sur [a ; b] vaut :
- A. b − a
- B. (b − a)/2
- C. (a + b)/2
- D. ab/2
Réponse
C. (a + b)/2 — C’est le milieu de l’intervalle : E(X) = (a + b)/2. La valeur (b − a)/2 ne convient que si a = 0.
Une densité f sur un intervalle I vérifie nécessairement :
- A. f(t) ⩽ 1 sur I
- B. son intégrale sur I vaut 1
- C. f est croissante sur I
- D. f(t) ⩾ 1 sur I
Réponse
B. son intégrale sur I vaut 1 — Une densité est continue, positive et d’intégrale 1 sur I. Ses valeurs peuvent dépasser 1 : seule l’aire est une probabilité.
Parmi les lois à densité, la propriété de durée de vie sans vieillissement caractérise :
- A. la loi exponentielle
- B. la loi uniforme
- C. toutes les lois
- D. aucune loi
Réponse
A. la loi exponentielle — La loi exponentielle est la seule loi à densité sur [0 ; +∞[ sans vieillissement : PX > t(X > t + h) = P(X > h).
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités 0,4 ; 0,5 et 0,1. E(X) vaut :
- A. 1
- B. 0,7
- C. 0,5
- D. 0,9
Réponse
B. 0,7 — E(X) = 0 × 0,4 + 1 × 0,5 + 2 × 0,1 = 0,5 + 0,2 = 0,7. C’est la moyenne pondérée par les probabilités, pas la valeur du milieu.
En Python, l’instruction random() simule la loi :
- A. uniforme sur [0 ; 1]
- B. exponentielle de paramètre 1
- C. binomiale de paramètres 1 et 0,5
- D. uniforme sur {0 ; 1}
Réponse
A. uniforme sur [0 ; 1] — random() renvoie un réel au hasard dans [0 ; 1[, sans zone privilégiée : elle simule la loi uniforme sur [0 ; 1].
La variance de la loi uniforme sur [0 ; 1] vaut :
- A. 1/2
- B. 1/12
- C. 1/3
- D. 1/4
Réponse
B. 1/12 — V(X) = (b − a)²/12 = 1/12. La valeur 1/2 est l’espérance, et 1/3 vaut ∫ t² dt sur [0 ; 1], avant de retirer E(X)² = 1/4.
X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. P(0,2 ⩽ X ⩽ 0,7) vaut :
- A. 0,7
- B. 0,2
- C. 0,5
- D. 0,9
Réponse
C. 0,5 — Sur [0 ; 1], la probabilité est la longueur de l’intervalle : 0,7 − 0,2 = 0,5.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
X suit la loi uniforme sur [3 ; 15]. P(X ⩽ 6) vaut :
- A. 0,20
- B. 0,25
- C. 0,40
- D. 0,50
Réponse
B. 0,25 — P(X ⩽ 6) = (6 − 3)/(15 − 3) = 3/12 = 0,25.
X suit la loi exponentielle de paramètre 0,5. P(X ⩽ 2) vaut environ :
- A. 0,63
- B. 0,37
- C. 0,50
- D. 0,74
Réponse
A. 0,63 — P(X ⩽ 2) = 1 − e−0,5 × 2 = 1 − e−1 ≈ 1 − 0,368 = 0,632. La valeur 0,37 est P(X > 2).
Une durée suit une loi exponentielle de moyenne 250 secondes. Son paramètre vaut, en s⁻¹ :
- A. 250
- B. 0,25
- C. 2,5
- D. 0,004
Réponse
D. 0,004 — λ = 1/E(X) = 1/250 = 0,004 par seconde.
X suit la loi exponentielle de paramètre 0,35. P(X > 5) vaut environ :
- A. 0,35
- B. 0,83
- C. 0,17
- D. 0,65
Réponse
C. 0,17 — P(X > 5) = e−0,35 × 5 = e−1,75 ≈ 0,174. La valeur 0,83 est P(X ⩽ 5).
X suit la loi uniforme sur [0 ; 25]. P(X ⩾ 10) vaut :
- A. 0,25
- B. 0,40
- C. 0,60
- D. 0,75
Réponse
C. 0,60 — P(X ⩾ 10) = (25 − 10)/25 = 15/25 = 0,6. La valeur 0,40 est P(X ⩽ 10).
X suit une loi exponentielle et P(X > 3) = 0,8. Le paramètre λ vaut environ :
- A. 0,27
- B. 0,20
- C. 0,80
- D. 0,074
Réponse
D. 0,074 — e−3λ = 0,8 donne λ = −ln(0,8)/3 ≈ 0,223/3 ≈ 0,074.
X suit la loi exponentielle de paramètre 0,09. PX > 4(X > 14) vaut environ :
- A. 0,41
- B. 0,59
- C. 0,33
- D. 0,25
Réponse
A. 0,41 — Absence de mémoire : la probabilité vaut P(X > 10) = e−0,9 ≈ 0,407.
Une variable a pour fonction de répartition F(x) = 1 − e−0,02x sur [0 ; +∞[. Sa médiane vaut environ :
- A. 50
- B. 35
- C. 20
- D. 69
Réponse
B. 35 — On résout 1 − e−0,02m = 0,5, soit m = ln 2 / 0,02 ≈ 34,7. La moyenne, elle, vaut 1/0,02 = 50.
X suit la loi uniforme sur [2 ; 8]. V(X) vaut :
- A. 3
- B. 6
- C. 9
- D. 36
Réponse
A. 3 — V(X) = (b − a)²/12 = 6²/12 = 36/12 = 3. La valeur 6 est la longueur de l’intervalle, 36 son carré.
Une durée de loi exponentielle a pour médiane 10 minutes. Son paramètre λ vaut :
- A. 10 ln 2
- B. ln(2)/10
- C. 1/10
- D. 0,5
Réponse
B. ln(2)/10 — La médiane vaut ln(2)/λ = 10, donc λ = ln(2)/10 ≈ 0,069. La valeur 1/10 correspondrait à une moyenne de 10 minutes.
Pour une variable X, P(X > 2) = 0,6 et P(X > 5) = 0,3. La probabilité que X > 5 sachant que X > 2 est :
- A. 0,18
- B. 0,3
- C. 0,5
- D. 0,9
Réponse
C. 0,5 — {X > 5} est inclus dans {X > 2}, donc PX > 2(X > 5) = 0,3/0,6 = 0,5. La valeur 0,18 = 0,6 × 0,3 supposerait l’indépendance.
X a pour densité f(t) = 4t³ sur [0 ; 1]. E(X) vaut :
- A. 4/5
- B. 1/2
- C. 3/4
- D. 1
Réponse
A. 4/5 — E(X) = ∫ t × 4t³ dt de 0 à 1 = [4t⁵/5] de 0 à 1 = 4/5. La valeur 1 est l’intégrale de f, toujours égale à 1.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Pour une variable à densité X, les probabilités P(X < 4) et P(X ⩽ 4) :
- A. diffèrent de f(4)
- B. diffèrent toujours
- C. sont égales
- D. sont égales seulement si f croît
Réponse
C. sont égales — Elles diffèrent de P(X = 4), qui est nulle pour toute loi à densité, quelle que soit la forme de f.
Une densité de probabilité peut-elle prendre des valeurs strictement supérieures à 1 ?
- A. Non, c’est une probabilité
- B. Non, sauf pour la loi uniforme
- C. Non, car son intégrale vaut 1
- D. Oui, seule l’aire vaut 1
Réponse
D. Oui, seule l’aire vaut 1 — La loi uniforme sur [0 ; 0,5] a pour densité la constante 2. Seule l’aire sous la courbe est une probabilité.
X suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. PX > 2(X > 6) vaut :
- A. 0,5, différent de P(X > 4)
- B. 0,6, égal à P(X > 4)
- C. 0,4, égal à P(X > 6)
- D. 0,8, égal à P(X > 2)
Réponse
A. 0,5, différent de P(X > 4) — P(X > 6)/P(X > 2) = 0,4/0,8 = 0,5, alors que P(X > 4) = 0,6 : la loi uniforme n’est pas sans vieillissement.
Si l’on multiplie par 3 le paramètre λ d’une loi exponentielle, la durée moyenne est :
- A. multipliée par 3
- B. divisée par 3
- C. inchangée
- D. multipliée par 9
Réponse
B. divisée par 3 — E(X) = 1/λ : si λ triple, l’espérance est divisée par 3. Un taux de panne plus élevé raccourcit la durée de vie.
La démonstration de l’absence de mémoire repose essentiellement sur :
- A. la dérivée de la fonction F
- B. ea+b = ea × eb
- C. la croissance de la fonction F
- D. une intégration par parties
Réponse
B. ea+b = ea × eb — Comme e−λ(t+h) = e−λt × e−λh, le quotient e−λ(t+h)/e−λt se simplifie en e−λh : c’est cette propriété algébrique de l’exponentielle qui efface t.
Une durée est mesurée en heures avec λ = 0,6 h⁻¹. Exprimé en min⁻¹, le paramètre devient :
- A. exactement 0,01
- B. exactement 36
- C. toujours 0,6
- D. exactement 100
Réponse
A. exactement 0,01 — La durée moyenne vaut 1/0,6 h = 100 min, donc λ = 1/100 = 0,01 min⁻¹ : on divise par 60, on ne multiplie pas. La valeur 100 est la durée moyenne, pas le paramètre.
Pour une variable de loi exponentielle, la médiane est :
- A. égale à l’espérance
- B. supérieure à l’espérance
- C. égale à λ ln 2
- D. inférieure à l’espérance
Réponse
D. inférieure à l’espérance — La médiane vaut (ln 2)/λ ≈ 0,69/λ, inférieure à l’espérance 1/λ : les valeurs élevées, rares, tirent la moyenne vers le haut.
La fonction f définie par f(t) = kt sur [0 ; 6] et nulle ailleurs est une densité si k vaut :
- A. 1/6
- B. 1/12
- C. 1/18
- D. 1/36
Réponse
C. 1/18 — L’intégrale vaut k × 6²/2 = 18k, qui doit être égale à 1 : k = 1/18.
Sur un grand nombre d’appels, la moyenne des valeurs renvoyées par -log(1 - random())/2 est proche de :
- A. 2
- B. 0,5
- C. ln 2
- D. 1
Réponse
B. 0,5 — Cette instruction simule la loi exponentielle de paramètre 2, d’espérance 1/2 = 0,5.
X suit la loi exponentielle de paramètre λ et N = k lorsque k − 1 ⩽ X < k (k entier, k ⩾ 1). N suit la loi :
- A. géométrique de paramètre λ
- B. exponentielle de paramètre λ
- C. binomiale de paramètres k et λ
- D. géométrique de paramètre 1 − e−λ
Réponse
D. géométrique de paramètre 1 − e−λ — P(N > k) = P(X ⩾ k) = (e−λ)k : N suit la loi géométrique de paramètre 1 − e−λ. Le temps discret remplace la loi exponentielle par la loi géométrique.
Une durée de loi exponentielle vérifie P(X ⩽ 15) = 0,5. Son espérance vaut environ :
- A. 7,5
- B. 21,6
- C. 15
- D. 10,4
Réponse
B. 21,6 — λ = ln(2)/15, donc E(X) = 15/ln 2 ≈ 21,6 : la moyenne dépasse la médiane 15. La valeur 10,4 vaut 15 × ln 2.
Une variable X à densité vérifie E(X) = 2 et ∫ t² f(t) dt = 5 sur son intervalle. V(X) vaut :
- A. 3
- B. 1
- C. 5
- D. √3
Réponse
B. 1 — V(X) = ∫ t² f(t) dt − E(X)² = 5 − 4 = 1. La valeur 3 = 5 − 2 oublie le carré de l’espérance.
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