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Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)

Variables aléatoires à densité

Loi à densité, fonction de répartition et espérance — programme de Maths complémentaires Terminale

À propos de cette page
Ce QCM sur « Variables aléatoires à densité » en terminale teste tes connaissances en maths complémentaires (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Variable aléatoire continue : intuition et définition, Fonction densité de probabilité, Propriétés fondamentales de la densité, Fonction de répartition. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

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Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Pour une variable aléatoire continue $X$, que vaut $P(X=5)$ ?

    • A. $P(X=5)=f(5)$
    • B. $P(X=5)=0$
    • C. $P(X=5)=F(5)$
    • D. Impossible à déterminer
    Réponse

    B. $P(X=5)=0$ — La probabilité en un point est toujours nulle pour une v.a. continue.

  2. Laquelle de ces propriétés est nécessaire pour que $f$ soit une densité ?

    • A. $f(x)\geq 0$ et $\int f\,dx=1$
    • B. $f(x)\geq 1$ pour tout $x$
    • C. $\int f\,dx=0$
    • D. $f$ est croissante
    Réponse

    A. $f(x)\geq 0$ et $\int f\,dx=1$ — Positivité et normalisation (intégrale = 1) sont les deux conditions.

  3. Si $X\sim\mathcal{U}([0;1])$, que vaut $P(0{,}3\leq X\leq 0{,}7)$ ?

    • A. 0,3
    • B. 0,4
    • C. 0,7
    • D. 1
    Réponse

    B. 0,4 — $P=\frac{0{,}7-0{,}3}{1-0}=0{,}4$.

  4. La fonction de répartition $F$ de $X$ vérifie $\lim_{t\to-\infty}F(t)=$ ?

    • A. $-\infty$
    • B. $0$
    • C. $1$
    • D. $\frac{1}{2}$
    Réponse

    B. $0$ — La répartition tend vers 0 en $-\infty$.

  5. $X\sim\mathcal{U}([a;b])$. Quelle est l'espérance de $X$ ?

    • A. $\frac{b-a}{2}$
    • B. $\frac{a+b}{2}$
    • C. $\frac{(b-a)^2}{12}$
    • D. $a+b$
    Réponse

    B. $\frac{a+b}{2}$ — L'espérance de la loi uniforme est le milieu de l'intervalle.

  6. Soit $F(t)=t^2$ sur $[0;1]$. Quelle est la densité $f$ ?

    • A. $f(t)=2t$
    • B. $f(t)=t^2$
    • C. $f(t)=\frac{t^2}{2}$
    • D. $f(t)=2$
    Réponse

    A. $f(t)=2t$ — $f=F'$, donc $f(t)=(t^2)'=2t$.

  7. $P(a\leq X\leq b)$ avec la densité $f$ est égal à :

    • A. $f(b)-f(a)$
    • B. $F(b)-F(a)$
    • C. $f(a)+f(b)$
    • D. $b-a$
    Réponse

    B. $F(b)-F(a)$ — $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$.

  8. $X\sim\mathcal{U}([4;10])$. Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $4$
    • B. $10$
    • C. $7$
    • D. $6$
    Réponse

    C. $7$ — $E(X)=\frac{4+10}{2}=7$.

  9. Si $f(x)=c$ sur $[0;5]$, quelle valeur de $c$ fait de $f$ une densité ?

    • A. $c=5$
    • B. $c=\frac{1}{5}$
    • C. $c=0$
    • D. $c=\frac{1}{25}$
    Réponse

    B. $c=\frac{1}{5}$ — $\int_0^5 c\,dx=5c=1\Rightarrow c=\frac{1}{5}$.

  10. La densité $f$ est-elle toujours inférieure à 1 ?

    • A. Oui, toujours
    • B. Non, elle peut dépasser 1
    • C. Non, elle peut être négative
    • D. Oui, car c'est une probabilité
    Réponse

    B. Non, elle peut dépasser 1 — La densité peut dépasser 1 ; c'est l'intégrale qui vaut 1.

  11. Si $F(5)=0{,}6$ et $F(8)=0{,}9$, que vaut $P(5\lt X\leq 8)$ ?

    • A. $0{,}54$
    • B. $0{,}3$
    • C. $0{,}15$
    • D. $1{,}5$
    Réponse

    B. $0{,}3$ — $P=F(8)-F(5)=0{,}9-0{,}6=0{,}3$.

  12. $X\sim\mathcal{U}([0;4])$. Que vaut $V(X)$ ?

    • A. $2$
    • B. $\frac{4}{3}$
    • C. $\frac{16}{12}$
    • D. $4$
    Réponse

    C. $\frac{16}{12}$ — $V(X)=\frac{(4-0)^2}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$. Les options 2 et 3 sont identiques : $\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. $X$ a pour densité $f(x)=3x^2$ sur $[0;1]$. Que vaut $P(X\leq 0{,}5)$ ?

    • A. $0{,}125$
    • B. $0{,}25$
    • C. $0{,}5$
    • D. $0{,}375$
    Réponse

    A. $0{,}125$ — $F(0{,}5)=0{,}5^3=0{,}125$.

  2. $X$ a pour densité $f(x)=2x$ sur $[0;1]$. Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $\frac{1}{2}$
    • B. $\frac{2}{3}$
    • C. $\frac{1}{3}$
    • D. $1$
    Réponse

    B. $\frac{2}{3}$ — $E(X)=\int_0^1 2x^2\,dx=\frac{2}{3}$.

  3. $X$ a pour densité $f(x)=2x$ sur $[0;1]$. Que vaut $V(X)$ ?

    • A. $\frac{1}{18}$
    • B. $\frac{1}{6}$
    • C. $\frac{1}{4}$
    • D. $\frac{1}{12}$
    Réponse

    A. $\frac{1}{18}$ — $E(X^2)=\frac{1}{2}$, $V(X)=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$.

  4. Pour que $f(x)=kx^2$ sur $[0;3]$ soit une densité, $k$ vaut :

    • A. $\frac{1}{9}$
    • B. $\frac{1}{3}$
    • C. $3$
    • D. $\frac{1}{27}$
    Réponse

    A. $\frac{1}{9}$ — $\int_0^3 kx^2\,dx=9k=1\Rightarrow k=\frac{1}{9}$.

  5. $X$ de densité $f(x)=\frac{1}{2}x$ sur $[0;2]$. Quelle est la valeur de $F(1)$ ?

    • A. $\frac{1}{2}$
    • B. $\frac{1}{4}$
    • C. $\frac{3}{4}$
    • D. $1$
    Réponse

    B. $\frac{1}{4}$ — $F(1)=\int_0^1\frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{4}$.

  6. $X$ de densité $f(x)=\frac{3}{8}x^2$ sur $[0;2]$. Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $1$
    • B. $\frac{3}{2}$
    • C. $2$
    • D. $\frac{8}{3}$
    Réponse

    B. $\frac{3}{2}$ — $E(X)=\frac{3}{8}\times 4=\frac{3}{2}$.

  7. $Y=3X-1$ avec $E(X)=2$. Que vaut $E(Y)$ ?

    • A. $5$
    • B. $7$
    • C. $6$
    • D. $3$
    Réponse

    A. $5$ — $E(Y)=3E(X)-1=3\times 2-1=5$.

  8. $Y=3X-1$ avec $V(X)=4$. Que vaut $V(Y)$ ?

    • A. $11$
    • B. $36$
    • C. $12$
    • D. $37$
    Réponse

    B. $36$ — $V(Y)=9V(X)=9\times 4=36$.

  9. La fonction de répartition d'une v.a. continue est :

    • A. Décroissante
    • B. Croissante
    • C. Constante
    • D. Toujours linéaire
    Réponse

    B. Croissante — $F$ est toujours croissante (ou non décroissante).

  10. $F(t)=1-e^{-t}$ pour $t\geq 0$ (loi exponentielle). Que vaut $f(t)$ ?

    • A. $e^{-t}$
    • B. $-e^{-t}$
    • C. $1-e^{-t}$
    • D. $te^{-t}$
    Réponse

    A. $e^{-t}$ — $f=F'$, donc $f(t)=(1-e^{-t})'=e^{-t}$.

  11. $X\sim\mathcal{U}([0;10])$. Quelle est la probabilité que $X$ soit entre 4 et 7 ?

    • A. $0{,}4$
    • B. $0{,}3$
    • C. $0{,}7$
    • D. $0{,}04$
    Réponse

    B. $0{,}3$ — $P(4\leq X\leq 7)=\frac{3}{10}=0{,}3$.

  12. $X$ de densité $f(x)=\frac{2}{3}x$ sur $[1;2]$. Que vaut $P(X\leq 1{,}5)$ ?

    • A. $0{,}25$
    • B. $\frac{5}{12}$
    • C. $0{,}5$
    • D. $\frac{1}{3}$
    Réponse

    B. $\frac{5}{12}$ — $\int_1^{1.5}\frac{2}{3}x\,dx=\frac{1}{3}[x^2]_1^{1.5}=\frac{1}{3}(2{,}25-1)=\frac{5}{12}$.

Niveau difficile — 12 questions

  1. $X$ de densité $f(x)=k(1-x^2)$ sur $[-1;1]$. Que vaut $k$ ?

    • A. $\frac{3}{4}$
    • B. $\frac{1}{2}$
    • C. $3$
    • D. $\frac{3}{2}$
    Réponse

    A. $\frac{3}{4}$ — $\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac{4}{3}$. Donc $k=\frac{3}{4}$.

  2. $f(x)=\frac{1}{2}\sin(x)$ sur $[0;\pi]$. Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $\pi$
    • B. $\frac{\pi}{2}$
    • C. $1$
    • D. $2$
    Réponse

    B. $\frac{\pi}{2}$ — Par symétrie de $\sin$ autour de $\frac{\pi}{2}$, $E(X)=\frac{\pi}{2}$.

  3. $X$ de densité $f$ sur $[0;1]$, $F(t)=t^3$. Que vaut $P(X\gt 0{,}7)$ ?

    • A. $0{,}657$
    • B. $0{,}343$
    • C. $0{,}3$
    • D. $0{,}7$
    Réponse

    B. $0{,}343$ — $P(X\gt 0{,}7)=1-F(0{,}7)=1-0{,}7^3=1-0{,}343=0{,}657$.

  4. $X$ a pour densité $f(x)=cx^{n-1}$ sur $[0;1]$ ($n\geq 1$). Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $\frac{1}{n+1}$
    • B. $\frac{n}{n+1}$
    • C. $\frac{1}{n}$
    • D. $n$
    Réponse

    B. $\frac{n}{n+1}$ — $c=n$, $E(X)=n\int_0^1 x^n\,dx=n\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

  5. Si $V(X)=\sigma^2$, que vaut $V(5-X)$ ?

    • A. $5-\sigma^2$
    • B. $\sigma^2$
    • C. $25\sigma^2$
    • D. $-\sigma^2$
    Réponse

    B. $\sigma^2$ — $V(aX+b)=a^2V(X)$. Ici $a=-1$, donc $V(5-X)=(-1)^2V(X)=V(X)=\sigma^2$.

  6. La médiane $m$ de $X$ est définie par $P(X\leq m)=$ ?

    • A. $0$
    • B. $E(X)$
    • C. $0{,}5$
    • D. $1$
    Réponse

    C. $0{,}5$ — Par définition, la médiane vérifie $F(m)=0{,}5$.

  7. $X$ de densité $f(x)=3x^2$ sur $[0;1]$. Quelle est la médiane $m$ de $X$ ?

    • A. $\frac{1}{2}$
    • B. $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/3}$
    • C. $\frac{3}{4}$
    • D. $\frac{2}{3}$
    Réponse

    B. $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/3}$ — $F(m)=m^3=\frac{1}{2}\Rightarrow m=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/3}\approx 0{,}794$.

  8. $X$ continu sur $[0;1]$ de densité $f$. Que vaut $P(X\leq 0{,}5)+P(X\gt 0{,}5)$ ?

    • A. $0{,}5$
    • B. $1$
    • C. $0$
    • D. Dépend de $f$
    Réponse

    B. $1$ — La somme des probabilités complémentaires vaut toujours 1.

  9. $X$ de densité $f(x)=2(1-x)$ sur $[0;1]$. Que vaut $V(X)$ ?

    • A. $\frac{1}{18}$
    • B. $\frac{1}{6}$
    • C. $\frac{1}{12}$
    • D. $\frac{1}{4}$
    Réponse

    A. $\frac{1}{18}$ — $E(X)=\frac{1}{3}$, $E(X^2)=\frac{1}{6}$, $V(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$.

  10. Si $F'(x)=f(x)$ et $f(x_0)$ est maximal, $x_0$ est le mode de la loi. Pour $f(x)=6x(1-x)$ sur $[0;1]$, le mode est :

    • A. $0$
    • B. $1$
    • C. $\frac{1}{2}$
    • D. $\frac{2}{3}$
    Réponse

    C. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=6(1-2x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

  11. $X$ de densité $f(x)=\frac{2}{x^3}$ sur $[1;+\infty[$. Que vaut $E(X)$ ?

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $+\infty$
    • D. $\frac{1}{2}$
    Réponse

    B. $2$ — $E(X)=\int_1^\infty\frac{2}{x^2}\,dx=[-\frac{2}{x}]_1^\infty=2$.

  12. $X\sim\mathcal{U}([0;1])$, $Y=X^2$. L'espérance $E(Y)$ vaut :

    • A. $\frac{1}{4}$
    • B. $\frac{1}{3}$
    • C. $\frac{1}{2}$
    • D. $1$
    Réponse

    B. $\frac{1}{3}$ — $E(Y)=E(X^2)=\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}$.

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