Statistique à deux variables quantitatives

Ces outils viennent de la 2^de (statistiques) et de la 1^re (variance d’une variable aléatoire, second degré) : ils servent à chaque étape du chapitre.

Moyenne. Pour une série de $n$ valeurs $x_1,x_2,\dots ,x_n$ : $\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$ $={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$. La somme des valeurs vaut donc $n\bar{x}$, et la somme des écarts à la moyenne est nulle : ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=n\bar{x}-n\bar{x}=0}$.

Variance et écart type. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $V(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$. L’écart type est ${\sigma }_x=\sqrt{V(x)}$ ; il s’exprime dans l’unité des données et mesure la dispersion autour de $\bar{x}$. Formule équivalente (König-Huygens, vue en 1^re pour une variable aléatoire) : $V(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2}$.

Avec des effectifs. Si la valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois, avec $N$ valeurs en tout : $\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum n_i{x}_i}$ et $V(x)={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2}$.

Changement d’unité. Si $y_i=a{x}_i+b$ pour tout $i$, alors $\bar{y}=a\bar{x}+b$, $V(y)=a^{2}V(x)$ et ${\sigma }_y=|a|{\sigma }_x$ : ajouter $b$ ne change pas la dispersion, multiplier par $a$ la multiplie par $|a|$.

Minimum d’un trinôme (1^re). Si $\alpha >0$, la fonction $t\mapsto \alpha t^2+\beta t+\gamma$ atteint son minimum en $t=-{\displaystyle \frac{\beta }{2\alpha }}$. C’est l’outil de la démonstration des moindres carrés (partie 3).

Série statistique double. Sur une même population, on relève deux caractères quantitatifs $x$ et $y$. La série est la liste des $n$ couples $(x_i;y_i)$, pour $i$ allant de $1$ à $n$ : on parle aussi de série statistique à deux variables.

Nuage de points. Dans un repère, c’est l’ensemble des points $M_i(x_i;y_i)$. En abscisse, on place la variable explicative (celle que l’on choisit ou que l’on subit : le temps, une dose, un budget) ; en ordonnée, la variable expliquée.

Lire le nuage avant tout calcul : sa forme (points presque alignés, nuage courbé, nuage sans forme), son sens (croissant ou décroissant) et les points isolés qui ne suivent pas la tendance.

Point moyen. C’est le point $G(\bar{x};\bar{y})$ : son abscisse est la moyenne des $x_i$, son ordonnée la moyenne des $y_i$.

Ajuster, c’est remplacer le nuage par une droite $𝒟:y=ax+b$. Pour chaque point, le résidu est l’écart vertical $e_i=y_i-(a{x}_i+b)$ entre la valeur observée et la valeur prédite : $e_i>0$ si le point est au-dessus de la droite, $e_i<0$ s’il est au-dessous.

Covariance. $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}$. Elle est positive quand $x$ et $y$ ont tendance à augmenter ensemble, négative quand l’un augmente pendant que l’autre diminue.

Droite des moindres carrés. Parmi toutes les droites, une seule rend minimale la somme des carrés des résidus $S={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(y_i-(a{x}_i+b){)}^2}$ : c’est la droite de régression de $y$ en $x$, de coefficients $$a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}\text{et}b=\bar{y}-a\bar{x}.$$ Elle passe toujours par le point moyen $G$, car $a\bar{x}+b=a\bar{x}+\bar{y}-a\bar{x}=\bar{y}$. Conséquence : pour cette droite, la somme des résidus est nulle, car $\sum e_i=\sum (y_i-\bar{y})-a\sum (x_i-\bar{x})=0$.

Interprétation de $a$. Selon le modèle, quand $x$ augmente de $1$ unité, $y$ varie de $a$ unités (augmente si $a>0$, diminue si $a<0$).

À la calculatrice. On saisit les $x_i$ et les $y_i$ dans deux listes, dans le même ordre, puis on demande la régression linéaire : LinReg(ax+b) sur TI (activer DiagnosticOn pour voir $r$, partie 4), menu de statistiques à deux variables puis régression linéaire sur Casio, application Régressions avec un modèle affine sur NumWorks. Sauf mention contraire, on arrondit $a$ et $b$ au millième.

Un peu d’histoire. Legendre publie la méthode des moindres carrés en 1805 ; Gauss, qui s’en était servi pour prédire la position de l’astéroïde Cérès, retrouvé grâce à ses calculs fin 1801, la publie en 1809.

Coefficient de corrélation linéaire. Si ${\sigma }_x\ne 0$ et ${\sigma }_y\ne 0$ : $r={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}}$.

Propriétés (admises) : $-1⩽r⩽1$ ; $r$ a toujours le signe du coefficient directeur $a$, car $a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{{\sigma }_x^2}}=r{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}$ ; $|r|=1$ si et seulement si tous les points sont alignés ; plus $|r|$ est proche de $1$, plus les points sont proches de la droite de régression. Enfin $r$ ne change pas si l’on échange $x$ et $y$, ni si l’on change d’unité (multiplier par un nombre positif, ajouter une constante).

Repères usuels (ce ne sont pas des règles du programme) : $|r|⩾0,95$, alignement très net, ajustement affine justifié ; entre $0,8$ et $0,95$, tendance affine nette mais dispersion visible ; en dessous, l’ajustement affine est discutable.

$r$ ne mesure que l’alignement. Un lien très net mais courbé peut donner $r$ proche de $0$, et un seul point isolé peut faire chuter $|r|$.

Corrélation n’est pas causalité. Un $|r|$ proche de $1$ établit que les deux variables varient ensemble, pas que l’une provoque l’autre. D’autres explications sont toujours possibles : une variable cachée agit sur les deux ; le lien de cause à effet est inversé ; la coïncidence est due au hasard, surtout si $n$ est petit. Seule une expérience contrôlée ou un mécanisme connu permet de conclure à une causalité.

Soit $[x_{min};x_{max}]$ la plage des abscisses observées et $y=ax+b$ un ajustement.

Interpolation : estimer $y$ pour une valeur de $x$ dans la plage. On reste dans le domaine où le modèle a été construit : l’estimation est raisonnable.

Extrapolation : estimer $y$ pour une valeur de $x$ hors de la plage. On suppose en plus que la tendance se poursuit, ce qu’aucune donnée ne garantit : plus on s’éloigne, plus l’estimation est fragile, jusqu’à devenir absurde (effectif négatif, pourcentage supérieur à $100$).

Question réciproque. Pour savoir quand $y$ atteint ou dépasse une valeur $y_0$, on résout $ax+b=y_0$ ou l’inéquation $ax+b>y_0$ (le sens change si l’on divise par $a<0$). Si $x$ compte des années, on donne le premier entier qui convient.

Quand le nuage est nettement courbé (ou que $|r|$ est médiocre alors que le lien est net), on transforme une des variables pour se ramener à un nuage presque aligné, on ajuste par la droite des moindres carrés, puis on revient à $y$.

Modèle exponentiel ($y$ est multiplié par un nombre à peu près constant quand $x$ augmente d’un même pas) : on pose $z=\ln y$, on ajuste $z=\alpha x+\beta$, puis $y=e^{\beta }{e}^{\alpha x}$.

Modèle en ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ($y$ semble varier comme l’inverse de $x$) : on pose $z={\displaystyle \frac{1}{x}}$, on ajuste $y=\alpha z+\beta$, puis $y={\displaystyle \frac{\alpha }{x}}+\beta$.

Modèle puissance $y=k{x}^p$ : on pose $u=\ln x$ et $v=\ln y$, on ajuste $v=pu+\ln k$, puis on revient à $y=k{x}^p$.

Pourquoi ça marche. Si $y=k{e}^{\alpha x}$ avec $k>0$, alors $\ln y=\ln k+\alpha x$ : $\ln y$ est une fonction affine de $x$. De même, si $y=k{x}^p$ ($x>0$), alors $\ln y=\ln k+p\ln x$. Le changement de variable $z=\ln y$ demande $y>0$.

Méthode. On calcule la nouvelle série, on vérifie que son coefficient de corrélation est proche de $\pm 1$, on obtient la droite de régression à la calculatrice, puis on revient à la variable d’origine.