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Fiche de révision : lois à densité

Rappels de 1re sur les variables aléatoires et les probabilités conditionnelles, densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme sur [a ; b] et simulation en Python, loi exponentielle, absence de mémoire.

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Lois à densité : uniforme et exponentielle

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Probabilités · Lois à densité)

La démarche pour une question sur une loi à densité

1. Je nomme la loi et ses paramètres avec leur unité : densité donnée, loi uniforme sur $[a; b]$ , ou loi exponentielle de paramètre $λ$ .

2. Je traduis l’événement en $P (X ⩽ x)$ , $P (X > x)$ , $P (c ⩽ X ⩽ d)$ ou « sachant $X > t$ ».

3. Je calcule avec $F$ (ou une intégrale), sans arrondir avant la fin.

4. Je conclus par une phrase dans le contexte, avec l’unité.

Le réflexe — Une probabilité est une aire :

P (X = a) = 0

, et la hauteur

f (t)

n’est jamais une probabilité.

Cas 1 · Rappels : loi discrète et conditionnement

Réflexe — E(X) = Σ pᵢxᵢ ; V(X) = E(X²) − E(X)² ; événement inclus : P_A(B) = P(B)/P(A).

Exemple. Questions types : « Calculer $E (X)$ , $V (X)$ », « Calculer $P_{A} (B)$ ». Exemple : $X$ vaut $2$ , $4$ , $6$ avec les probabilités $0, 35$ ; $0, 4$ ; $0, 25$ .

$E (X) = 0, 7 + 1, 6 + 1, 5 = 3, 8$ ; $E (X^{2}) = 1, 4 + 6, 4 + 9 = 16, 8$ , donc $V (X) = 16, 8 - 3, 8^{2} = 2, 36$ .

${X > 4} \subset {X > 2}$ : $P_{X > 2} (X > 4) = \frac{0, 25}{0, 65} = \frac{5}{13} \approx 0, 385$ .

Attention — P_A(B) n’est pas P(A ∩ B) ; on retire E(X)² après avoir calculé E(X²).

Cas 2 · Densité : vérifier et calculer une aire

Réflexe — continue, positive, intégrale égale à 1 ; probabilité = intégrale entre les bornes.

Exemple. Questions types : « Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité », « Calculer $P (c ⩽ X ⩽ d)$ ». Exemple : $f (t) = k (t + 1)$ sur $[0; 2]$ .

$\int_{0}^{2} k (t + 1) d t = k [\frac{t^{2}}{2} + t]_{0}^{2} = 4 k = 1$ , donc $k = 0, 25$ ( $f$ est alors positive).

$P (X ⩾ 1) = 0, 25 [\frac{t^{2}}{2} + t]_{1}^{2} = 0, 25 \times (4 - 1, 5) = 0, 625$ .

Attention — f(t) peut dépasser 1 ; une intégrale égale à 1 ne suffit pas si f est négative quelque part.

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Cas 3 · Fonction de répartition, espérance, variance

Réflexe — F primitive de f nulle au début ; E = ∫ t f(t) dt ; V = ∫ t² f(t) dt − E².

Exemple. Questions types : « Déterminer $F$ », « Calculer la médiane, $E (X)$ , $V (X)$ ». Exemple : $f (t) = 0, 375 t^{2}$ sur $[0; 2]$ .

$F (x) = \frac{x^{3}}{8}$ sur $[0; 2]$ ; médiane : $\frac{m^{3}}{8} = 0, 5$ , $m = \sqrt[3]{4} \approx 1, 587$ .

$E (X) = \int_{0}^{2} 0, 375 t^{3} d t = [\frac{0, 375 t^{4}}{4}]_{0}^{2} = 1, 5$ .

Attention — E(X) = ∫ t f(t) dt, pas ∫ f(t) dt, qui vaut toujours 1.

Cas 4 · Loi uniforme sur [a ; b]

Réflexe — probabilité = longueur favorable / (b − a) ; E = (a + b)/2 ; V = (b − a)²/12.

Exemple. Questions types : « Calculer $P (c ⩽ X ⩽ d)$ , $E (X)$ , $V (X)$ ». Exemple : $X$ uniforme sur $[5; 20]$ .

$P (8 ⩽ X ⩽ 14) = \frac{14 - 8}{20 - 5} = \frac{6}{15} = 0, 4$ .

$E (X) = 12, 5$ et $V (X) = \frac{15^{2}}{12} = 18, 75$ .

Attention — hors de [a ; b], la probabilité est nulle ; on coupe ce qui dépasse.

Cas 5 · Loi exponentielle : probabilités et paramètre

Réflexe — P(X > t) = e^(−λt) ; λ = 1/moyenne, ou λ = −ln(p)/t si P(X > t) = p.

Exemple. Questions types : « Déterminer $λ$ », « Calculer $P (X ⩽ t)$ , la durée moyenne, la médiane ». Exemple : $P (T > 4) = 0, 7$ , en années.

$e^{- 4 λ} = 0, 7$ , donc $λ = \frac{- \ln (0, 7)}{4} \approx 0, 0892$ par an.

Durée moyenne : $\frac{1}{λ} \approx 11, 2$ ans.

Attention — E(X) = 1/λ, pas λ ; λ et t dans la même unité.

Cas 6 · Absence de mémoire

Réflexe — sachant X > t, loi exponentielle : je retire t ; démonstration par le quotient grâce à l’inclusion.

Exemple. Questions types : « Calculer $P_{X > t} (X > t + h)$ », « Démontrer la propriété », « Montrer qu’une loi n’est pas sans mémoire ». Exemple : $λ = 0, 2$ , $P_{X > 3} (X > 7)$ .

${X > 7} \subset {X > 3}$ , donc le quotient vaut $\frac{e^{- 1, 4}}{e^{- 0, 6}} = e^{- 0, 8}$ .

$P_{X > 3} (X > 7) = P (X > 4) = e^{- 0, 8} \approx 0, 449$ .

Attention — quotient, jamais différence ; pas d’absence de mémoire pour une loi uniforme.

Les pièges

f(t) est une hauteur, pas une probabilité : seule l’aire sous la courbe en est une.
P(X = a) = 0 : inégalités strictes ou larges donnent la même probabilité.
e^(−λt) = P(X > t) (attendre encore) ; 1 − e^(−λt) = P(X ⩽ t) (déjà arrivé).
E(X) = 1/λ pour la loi exponentielle, et (a + b)/2 (pas (b − a)/2) pour la loi uniforme.
Le paramètre λ et la durée t doivent être dans la même unité : λt est sans unité.
L’absence de mémoire ne vaut que pour la loi exponentielle ; ailleurs, on revient au quotient.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour une question sur une loi à densité, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : espérance et variance d’une loi discrète, constante d’une densité, médiane avec la fonction de répartition, loi uniforme sur [5 ; 20], paramètre λ à partir de P(T > 4) = 0,7, calcul sachant X > 3.

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