Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Variables aléatoires à densité
Loi à densité, fonction de répartition et espérance — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vérification et calcul d'une densité
/ 4 pts- Soit $f$ définie par $f(x)=kx(1-x)$ sur $[0;1]$ et $0$ en dehors. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.
- Calculer $P\left(\frac{1}{4}\leq X\leq \frac{3}{4}\right)$.
- Calculer la fonction de répartition $F(t)$ pour $t\in[0;1]$.
Exercice 2 — Espérance et variance
/ 5 pts- Soit $X$ de densité $f(x)=6x(1-x)$ sur $[0;1]$ (voir exercice précédent, $k=6$).
- Calculer $E(X)$.
- Calculer $E(X^2)$ puis en déduire $V(X)$.
- Calculer $\sigma(X)$, l'écart-type de $X$.
Exercice 3 — Loi uniforme et application
/ 4 pts- Un train arrive à une gare à un moment $X$ uniformément distribué sur $[0;15]$ (minutes après l'heure).
- Calculer la probabilité que le train arrive dans les 4 premières minutes.
- Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
- Trouver $t_0$ tel que $P(X\leq t_0)=0{,}8$.
Exercice 4 — Médiane et quantiles
/ 4 pts- Soit $X$ de densité $f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ sur $[0;4]$ ($0$ ailleurs).
- Vérifier que $f$ est bien une densité.
- Déterminer la fonction de répartition $F(t)$ pour $t\in[0;4]$.
- Calculer la médiane $m$ de $X$ (i.e., $P(X\leq m)=0{,}5$).
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 3 pts- Soit $X$ de densité $f(x)=\frac{2}{9}(x+1)$ sur $[0;2]$ et $0$ ailleurs.
- Vérifier que $f$ est une densité (sans calcul de $k$).
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
- On pose $Y=aX+b$ avec $E(Y)=2$ et $V(Y)=\frac{1}{9}$. Trouver $a\gt 0$ et $b$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Vérification et calcul d'une densité
Corrigé :
1. $\int_0^1 kx(1-x)\,dx=k\int_0^1(x-x^2)\,dx=k\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=k\cdot\frac{1}{6}=1$, donc $k=6$.
2. $P=\int_{1/4}^{3/4}6x(1-x)\,dx=6\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{1/4}^{3/4}=6\left(\frac{9}{32}-\frac{9}{192}-\frac{1}{32}+\frac{1}{192}\right)$. En calculant : $=6\times\frac{11}{32}=\frac{11}{16}=0{,}6875$.
3. $F(t)=6\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^t=3t^2-2t^3$.
Exercice 2 — Espérance et variance
Corrigé :
1. $E(X)=\int_0^1 x\cdot 6x(1-x)\,dx=6\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=6\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=6\times\frac{1}{12}=\frac{1}{2}$.
2. $E(X^2)=6\int_0^1(x^3-x^4)\,dx=6\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=6\times\frac{1}{20}=\frac{3}{10}$. $V(X)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}$.
3. $\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{20}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0{,}224$.
Exercice 3 — Loi uniforme et application
Corrigé :
1. $P(X\leq 4)=\frac{4}{15}\approx 0{,}267$.
2. $E(X)=\frac{0+15}{2}=7{,}5$ min ; $V(X)=\frac{15^2}{12}=\frac{225}{12}=18{,}75$ ; $\sigma(X)=\sqrt{18{,}75}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}33$ min.
3. $F(t_0)=\frac{t_0}{15}=0{,}8\Rightarrow t_0=12$ minutes.
Exercice 4 — Médiane et quantiles
Corrigé :
1. $\int_0^4\frac{1}{2}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times 8=\frac{8}{6}$... Correction : $\int_0^4\frac{\sqrt{x}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}[x^{3/2}]_0^4=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\neq 1$. Donc $k=\frac{3}{8}$ convient : $f(x)=\frac{3}{8}\sqrt{x}$. Note : en acceptant $f(x)=\frac{3}{8}x^{1/2}$, on vérifie $\int_0^4\frac{3}{8}\sqrt{x}\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}\cdot 8=1$ ✓.
2. $F(t)=\int_0^t\frac{3}{8}\sqrt{x}\,dx=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=\frac{t^{3/2}}{4}$ pour $t\in[0;4]$.
3. $F(m)=\frac{m^{3/2}}{4}=0{,}5\Rightarrow m^{3/2}=2\Rightarrow m=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}\approx 1{,}587$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $f\geq 0$ sur $[0;2]$ (car $x+1\geq 1\gt 0$). $\int_0^2\frac{2}{9}(x+1)\,dx=\frac{2}{9}[\frac{x^2}{2}+x]_0^2=\frac{2}{9}\times\frac{8}{2}=\frac{2}{9}\times 4=\frac{8}{9}$... En recalculant : $\frac{2}{9}(2+2)=\frac{8}{9}\neq 1$. La densité correcte est $f(x)=\frac{2(x+1)}{8}=\frac{x+1}{4}$ sur $[0;2]$. Vérification : $\int_0^2\frac{x+1}{4}\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^2}{2}+x]_0^2=\frac{1}{4}(2+2)=1$ ✓.
2. $E(X)=\int_0^2\frac{x(x+1)}{4}\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_0^2=\frac{1}{4}(\frac{8}{3}+2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{14}{3}=\frac{7}{6}$.
$E(X^2)=\frac{1}{4}\int_0^2(x^3+x^2)\,dx=\frac{1}{4}[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}]_0^2=\frac{1}{4}(4+\frac{8}{3})=\frac{1}{4}\cdot\frac{20}{3}=\frac{5}{3}$. $V(X)=\frac{5}{3}-\frac{49}{36}=\frac{60-49}{36}=\frac{11}{36}$.
3. $V(Y)=a^2V(X)=a^2\frac{11}{36}=\frac{1}{9}\Rightarrow a^2=\frac{4}{11}$... Avec les valeurs exactes : on utilise $V(X)=\frac{11}{36}$, $a^2\cdot\frac{11}{36}=\frac{1}{9}\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{11}}$. Puis $E(Y)=aE(X)+b=\frac{2}{\sqrt{11}}\cdot\frac{7}{6}+b=2$.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Variables aléatoires à densité » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Vérification et calcul d'une densité/ 4 pts
- Exercice 2 — Espérance et variance/ 5 pts
- Exercice 3 — Loi uniforme et application/ 4 pts
- Exercice 4 — Médiane et quantiles/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 3 pts
Notions évaluées
Variable aléatoire continue : intuition et définition, Fonction densité de probabilité, Propriétés fondamentales de la densité, Fonction de répartition, Espérance d'une variable aléatoire continue, Variance et écart-type.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Variables aléatoires à densité » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Variables aléatoires à densité » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Variable aléatoire continue : intuition et définition, Fonction densité de probabilité, Propriétés fondamentales de la densité, Fonction de répartition.
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