Lois à densité : uniforme et exponentielle

1. a)$E(X)=1\times 0,5+2\times 0,3+3\times 0,2=0,5+0,6+0,6=1,7$ : sur un grand nombre de locations, la durée moyenne est de $1,7$ jour. (1)
2. b)$E(X^2)=1\times 0,5+4\times 0,3+9\times 0,2=0,5+1,2+1,8=3,5$, donc, par la formule de König-Huygens, $V(X)=3,5-1,7^2=3,5-2,89=0,61$. (1)
3. c)On cherche $P_{X>1}(X>2)$. L’événement $\{X>2\}$ est inclus dans $\{X>1\}$, donc $P_{X>1}(X>2)={\displaystyle \frac{P(X>2)}{P(X>1)}}={\displaystyle \frac{0,2}{0,5}}=0,4$. (1)

Repère — Les outils de 1re restent valables : E(X) = Σ pᵢxᵢ, V(X) = E(X²) − E(X)², et un événement inclus simplifie la probabilité conditionnelle.

1. a)$X$ suit la loi uniforme sur $[5;35]$ : sa densité est la constante $f(t)={\displaystyle \frac{1}{35-5}}={\displaystyle \frac{1}{30}}$ sur $[5;35]$, nulle ailleurs. $P(X⩽20)={\displaystyle \frac{20-5}{30}}={\displaystyle \frac{15}{30}}=0,5$. (1)
2. b)$P(10⩽X⩽22)={\displaystyle \frac{22-10}{30}}={\displaystyle \frac{12}{30}}=0,4$. (1)
3. c)$E(X)={\displaystyle \frac{5+35}{2}}=20$ : le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. $V(X)={\displaystyle \frac{(35-5{)}^2}{12}}={\displaystyle \frac{900}{12}}=75$. (1)
4. d)$\{X⩾30\}\subset \{X⩾15\}$, donc $P_{X⩾15}(X⩾30)={\displaystyle \frac{P(X⩾30)}{P(X⩾15)}}={\displaystyle \frac{5/30}{20/30}}={\displaystyle \frac{5}{20}}=0,25$. (1)

Repère — Loi uniforme : longueur favorable sur longueur totale ; E(X) = (a + b)/2 et V(X) = (b − a)²/12.

1. a)$P(X⩽10)=1-e^{-0,06\times 10}=1-e^{-0,6}\approx 1-0,549=0,451$. (0,5)
2. b)$P(X>35)=e^{-0,06\times 35}=e^{-2,1}\approx 0,122$. (0,5)
3. c)$P(10⩽X⩽35)=e^{-0,6}-e^{-2,1}\approx 0,426$ (on peut aussi calculer $1-P(X<10)-P(X>35)$). (0,5)
4. d)$E(X)={\displaystyle \frac{1}{0,06}}\approx 16,7$ minutes. (0,5)

Repère — Loi exponentielle : tout se ramène à P(X > t) = e^(−λt), sans intégrale à refaire.

1. a)$P(T>10)=0,75$ s’écrit $e^{-10\lambda }=0,75$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, $-10\lambda =\ln (0,75)$, donc $\lambda ={\displaystyle \frac{-\ln (0,75)}{10}}\approx 0,0288$ par semaine. (1)
2. b)$E(T)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{-10}{\ln (0,75)}}\approx 34,8$ semaines. (1)
3. c)$P(T⩽5)=1-e^{-5\lambda }=1-\sqrt{0,75}\approx 1-0,866=0,134$, car $e^{-5\lambda }=(e^{-10\lambda }{)}^{\frac{1}{2}}$. (1)
4. d)On résout $1-e^{-\lambda t}=0,5$, soit $e^{-\lambda t}=0,5$ et $t={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}\approx 24,1$ semaines. La médiane est nettement inférieure à la moyenne ($34,8$ semaines) : quelques filtres durent très longtemps et tirent la moyenne vers le haut. (1)

Repère — Une probabilité P(T > t) = p donne λ = −ln(p)/t ; la médiane ln(2)/λ est toujours plus petite que la moyenne 1/λ.

1. a)$P(X>2)=e^{-0,55\times 2}=e^{-1,1}\approx 0,333$. (1)
2. b)La loi est exponentielle, donc sans mémoire : $P_{X>3}(X>3+3)=P(X>3)=e^{-1,65}\approx 0,192$. (1)
3. c)Comme $6>3$, $\{X>6\}\subset \{X>3\}$, donc $\{X>3\}\cap \{X>6\}=\{X>6\}$ et $P_{X>3}(X>6)={\displaystyle \frac{P(X>6)}{P(X>3)}}={\displaystyle \frac{e^{-3,3}}{e^{-1,65}}}=e^{-3,3+1,65}=e^{-1,65}=P(X>3)$. (1)
4. d)La formule donnerait $e^{-3,3}-e^{-1,65}\approx 0,037-0,192=-0,155$, un nombre négatif : c’est impossible pour une probabilité. L’élève a soustrait au lieu de diviser ; la définition est $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$. (1)

Repère — Une probabilité conditionnelle est un quotient ; pour la loi exponentielle, ce quotient efface la durée déjà écoulée.

1. a)$f$ est continue sur $[0;3]$ et ${\displaystyle {\int }_0^{3}c{t}^{2}dt=c[{\displaystyle \frac{t^3}{3}}{]}_0^3=9c}$. Cette intégrale doit valoir $1$, donc $c={\displaystyle \frac{1}{9}}$, et $f$ est alors positive sur $[0;3]$. (0,5)
2. b)Pour $x\in [0;3]$, $F(x)={\displaystyle {\int }_0^x{\displaystyle \frac{t^2}{9}}dt={\displaystyle \frac{x^3}{27}}}$ ; contrôle : $F(0)=0$ et $F(3)=1$. (0,5)
3. c)$P(1⩽X⩽2)=F(2)-F(1)={\displaystyle \frac{8}{27}}-{\displaystyle \frac{1}{27}}={\displaystyle \frac{7}{27}}\approx 0,259$. (0,5)
4. d)$F(m)=0,5⟺m^3=13,5⟺m=\sqrt[3]{13,5}\approx 2,381$. (0,5)
5. e)$E(X)={\displaystyle {\int }_0^{3}t\times {\displaystyle \frac{t^2}{9}}dt={\displaystyle \frac{1}{9}}[{\displaystyle \frac{t^4}{4}}{]}_0^3={\displaystyle \frac{81}{36}}=2,25}$. (0,5)
6. f)${\displaystyle {\int }_0^3{t}^2\times {\displaystyle \frac{t^2}{9}}dt={\displaystyle \frac{1}{9}}[{\displaystyle \frac{t^5}{5}}{]}_0^3={\displaystyle \frac{243}{45}}=5,4}$, donc $V(X)=5,4-2,{25}^2=5,4-5,0625=0,3375$. (0,5)

Repère — Pour une densité donnée : la constante par l’intégrale égale à 1, puis F, puis les probabilités, la médiane, l’espérance et la variance.