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Lois à densité : uniforme et exponentielle

Rappels de 1re sur les variables aléatoires et les probabilités conditionnelles, densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme sur [a ; b] et simulation en Python, loi exponentielle, absence de mémoire.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur les lois à densité suit six parties : rappels de 1re (loi discrète, espérance, variance, probabilité conditionnelle, exponentielle), densité et probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme avec sa simulation en Python, loi exponentielle avec le standard téléphonique, puis absence de mémoire et demi-vie de l’iode 131. L’espérance de la loi exponentielle et l’absence de mémoire y sont démontrées.

Rappels de 1re : variable aléatoire, espérance, conditionnement, exponentielle

Ce qu’il faut savoir

Variable aléatoire discrète. Elle prend un nombre fini de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ . Sa loi donne chaque valeur et sa probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ , avec $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ . Pour $P (X ⩽ a)$ , on additionne les $p_{i}$ des valeurs $x_{i} ⩽ a$ ; par le contraire, $P (X > a) = 1 - P (X ⩽ a)$ .

Espérance et variance. $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}$ est la moyenne « à long terme » des valeurs de $X$ . $V (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ $= E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ (formule de König-Huygens) mesure la dispersion, et $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ .

Probabilité conditionnelle. Si $P (A) \neq 0$ , $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ . Si $B$ est inclus dans $A$ , alors $A \cap B = B$ et $P_{A} (B) = \frac{P (B)}{P (A)}$ . $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Fonction exponentielle. $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ ; $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; $\frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$ ; la dérivée de $t \mapsto e^{k t}$ est $t \mapsto k e^{k t}$ . Pour $λ > 0$ , la fonction $t \mapsto e^{- λ t}$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , vaut $1$ en $0$ et tend vers $0$ en $+ \infty$ .

Ce qui change dans ce chapitre. Une durée (une attente, une durée de vie) peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle : on ne peut plus dresser le tableau de sa loi. Les sommes $\sum$ deviennent des intégrales $\int$ .

Exemples

Un délai de livraison. Le délai $X$ , en jours entiers, de livraison d’un colis a pour loi :

$x_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P (X = x_{i})$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$

$P (X ⩽ 2) = 0, 1 + 0, 3 = 0, 4$ , donc $P (X > 2) = 0, 6$ . $E (X) = 0, 1 + 0, 6 + 1, 2 + 0, 8 = 2, 7$ jours. $E (X^{2}) = 0, 1 + 1, 2 + 3, 6 + 3, 2 = 8, 1$ , donc $V (X) = 8, 1 - 2, 7^{2} = 8, 1 - 7, 29 = 0, 81$ et $σ (X) = 0, 9$ jour.

Sachant que le colis n’est pas arrivé au bout de 2 jours. L’événement ${X > 3}$ est inclus dans ${X > 2}$ , donc $P_{X > 2} (X > 3) = \frac{P (X > 3)}{P (X > 2)} = \frac{0, 2}{0, 6} = \frac{1}{3}$ .

Un quotient d’exponentielles. $\frac{e^{- 0, 3 \times 5}}{e^{- 0, 3 \times 2}} = e^{- 1, 5 + 0, 6} = e^{- 0, 9}$ : seul l’écart $5 - 2 = 3$ compte, puisque $- 0, 9 = - 0, 3 \times 3$ . Ce calcul sera la clé de l’absence de mémoire.

Une dérivée. La dérivée de $G (t) = - e^{- 0, 5 t}$ est $G' (t) = - (- 0, 5) e^{- 0, 5 t} = 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ .

Réflexe — Devant « sachant que $X > a$ », je cherche l’événement inclus dans l’autre : l’intersection se simplifie. Devant un quotient d’exponentielles, je soustrais les exposants.

Attention — $P_{A} (B)$ et $P (A \cap B)$ sont deux nombres différents (ici $\frac{1}{3}$ et $0, 2$ ). Et $e^{- λ t}$ n’est jamais nul : il tend vers $0$ sans l’atteindre.

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Densité de probabilité : une probabilité est une aire

Ce qu’il faut savoir

Densité. Soit $I$ un intervalle. Une fonction $f$ est une densité de probabilité sur $I$ lorsque $f$ est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et positive sur $I$ et que l’aire totale sous sa courbe vaut $1$ : $\int_{I} f (t) d t = 1$ .

Intervalle non borné. Sur $I = [0; + \infty [$ , on pose $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = {lim}_{x \to + \infty} \int_{0}^{x} f (t) d t$ : on calcule l’intégrale jusqu’à $x$ , puis sa limite.

Variable aléatoire à densité. $X$ suit la loi de densité $f$ lorsque, pour tout intervalle $[c; d]$ inclus dans $I$ :

$P (c ⩽ X ⩽ d) = \int_{c}^{d} f (t) d t$

Une probabilité se lit donc comme une aire sous la courbe de $f$ .

Conséquence. Pour tout réel $a$ , $P (X = a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ . Les inégalités larges ou strictes donnent la même probabilité : $P (X < d) = P (X ⩽ d)$ et $P (c < X < d) = P (c ⩽ X ⩽ d)$ .

Déterminer si $f$ est une densité. On vérifie les trois points : continuité, positivité sur $I$ , intégrale égale à $1$ . Si $f$ contient une constante inconnue $k$ , l’équation $\int_{I} f (t) d t = 1$ la donne.

Exemples

Le passage d’un livreur. Un livreur passe entre 8 h et 10 h. L’instant $X$ de son passage, en heures après 8 h, a pour densité $f (t) = 0, 75 t (2 - t)$ sur $[0; 2]$ .

C’est bien une densité. $f$ est continue sur $[0; 2]$ (polynôme) et positive, car $t ⩾ 0$ et $2 - t ⩾ 0$ . Avec $f (t) = 1, 5 t - 0, 75 t^{2}$ : $\int_{0}^{2} f (t) d t = [0, 75 t^{2} - 0, 25 t^{3}]_{0}^{2}$ $= 3 - 2 = 1$ .

Passage entre 8 h 30 et 9 h 30. $P (0, 5 ⩽ X ⩽ 1, 5) = [0, 75 t^{2} - 0, 25 t^{3}]_{0, 5}^{1, 5}$ $= (1, 6875 - 0, 84375) - (0, 1875 - 0, 03125)$ $= 0, 84375 - 0, 15625 = 0, 6875$ .

Passage à 9 h pile. $P (X = 1) = 0$ , alors que $f (1) = 0, 75$ : la hauteur de la courbe n’est pas une probabilité.

Un piège. $g (t) = t - 0, 5$ sur $[0; 2]$ vérifie $\int_{0}^{2} g (t) d t = [\frac{t^{2}}{2} - 0, 5 t]_{0}^{2} = 2 - 1 = 1$ , mais $g (0) = - 0, 5 < 0$ : $g$ n’est pas une densité.

Réflexe — Pour une probabilité, j’écris l’intégrale de la densité entre les deux bornes, je calcule avec une primitive, et je contrôle que le résultat est entre $0$ et $1$ . Pour justifier une densité, je coche : continue, positive, intégrale égale à $1$ .

Attention — $f (t)$ n’est pas une probabilité : c’est une hauteur, qui peut dépasser $1$ . La fonction constante égale à $2, 5$ sur $[0; 0, 4]$ est une densité, car l’aire vaut $2, 5 \times 0, 4 = 1$ . Seule l’aire est une probabilité.

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Fonction de répartition, espérance et variance

Ce qu’il faut savoir

Fonction de répartition. C’est la fonction $F$ définie par $F (x) = P (X ⩽ x)$ . Pour une densité $f$ sur $[a; b]$ : $F (x) = 0$ si $x < a$ , $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ si $a ⩽ x ⩽ b$ , $F (x) = 1$ si $x > b$ . $F$ est croissante, à valeurs dans $[0; 1]$ , et elle donne toutes les probabilités :

$P (c ⩽ X ⩽ d) = F (d) - F (c)$ $P (X > c) = 1 - F (c)$

Lien avec la densité. Là où $f$ est continue, $F$ est dérivable et $F' = f$ : $F$ est la primitive de $f$ qui s’annule au début de l’intervalle. Inversement, on obtient la densité en dérivant $F$ .

Médiane. Un réel $m$ tel que $F (m) = 0, 5$ : une chance sur deux que $X$ soit inférieure à $m$ .

Espérance. $E (X) = \int_{I} t f (t) d t$ : la valeur moyenne de $X$ sur un très grand nombre de répétitions (durée moyenne, instant moyen). Sur $[0; + \infty [$ , c’est la limite de $\int_{0}^{x} t f (t) d t$ .

Variance et écart type. $V (X) = \int_{I} (t - E (X))^{2} f (t) d t$ et $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ , comme en 1re avec $\int$ à la place de $\sum$ . Formule pratique : $V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - (E (X))^{2}$ .

Exemples

Démonstration de la formule pratique. On note $m = E (X)$ et l’on développe $(t - m)^{2} = t^{2} - 2 m t + m^{2}$ . Par linéarité de l’intégrale, $V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t$ $- 2 m \int_{I} t f (t) d t$ $+ m^{2} \int_{I} f (t) d t$ . Or $\int_{I} t f (t) d t = m$ et $\int_{I} f (t) d t = 1$ , donc $V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - 2 m^{2} + m^{2}$ $= \int_{I} t^{2} f (t) d t - m^{2}$ .

Retour au livreur (densité $f (t) = 0, 75 t (2 - t)$ sur $[0; 2]$ ). Pour $x \in [0; 2]$ : $F (x) = [0, 75 t^{2} - 0, 25 t^{3}]_{0}^{x}$ $= 0, 75 x^{2} - 0, 25 x^{3}$ . Contrôle : $F (0) = 0$ et $F (2) = 3 - 2 = 1$ .

Probabilités. $P (X ⩽ 1, 5) = F (1, 5)$ $= 1, 6875 - 0, 84375 = 0, 84375$ et $P (X > 1, 5) = 1 - 0, 84375 = 0, 15625$ . Comme $F (1) = 0, 75 - 0, 25 = 0, 5$ , la médiane vaut $1$ : une chance sur deux que le livreur passe avant 9 h.

Espérance. $E (X) = \int_{0}^{2} t \times 0, 75 t (2 - t) d t$ $= \int_{0}^{2} (1, 5 t^{2} - 0, 75 t^{3}) d t$ $= [0, 5 t^{3} - 0, 1875 t^{4}]_{0}^{2} = 4 - 3 = 1$ : en moyenne, le livreur passe à 9 h.

Variance. $\int_{0}^{2} t^{2} f (t) d t = \int_{0}^{2} (1, 5 t^{3} - 0, 75 t^{4}) d t$ $= [0, 375 t^{4} - 0, 15 t^{5}]_{0}^{2}$ $= 6 - 4, 8 = 1, 2$ , donc $V (X) = 1, 2 - 1^{2} = 0, 2$ et $σ (X) = \sqrt{0, 2} \approx 0, 447$ h, soit environ $27$ minutes.

Réflexe — Je calcule $F$ une fois, je contrôle $F (début) = 0$ et $F (fin) = 1$ , puis toutes les probabilités viennent de $F$ . Pour l’espérance, je multiplie la densité par $t$ avant d’intégrer ; pour la variance, j’intègre $t^{2} f (t)$ et je retire $E (X)^{2}$ .

Attention — $E (X) = \int t f (t) d t$ , pas $\int f (t) d t$ (qui vaut toujours $1$ ). Et la variance se calcule avec $E (X)^{2}$ retiré après l’intégrale, jamais avec $\int (t^{2} - E (X)^{2}) d t$ .

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Loi uniforme sur [0 ; 1] puis sur [a ; b]

Ce qu’il faut savoir

Loi uniforme sur $[0; 1]$ . Sa densité est la constante $1$ sur $[0; 1]$ . Pour $0 ⩽ c ⩽ d ⩽ 1$ , $P (c ⩽ X ⩽ d) = d - c$ : la probabilité est la longueur de l’intervalle.

Loi uniforme sur $[a; b]$ (avec $a < b$ ). C’est la loi d’un instant ou d’une position tiré « au hasard » dans $[a; b]$ , sans zone privilégiée. Sa densité est la constante $f (t) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a; b]$ , nulle ailleurs. Pour $a ⩽ c ⩽ d ⩽ b$ :

$P (c ⩽ X ⩽ d) = \frac{d - c}{b - a}$

C’est un rapport de longueurs. Fonction de répartition : $F (x) = 0$ si $x < a$ , $F (x) = \frac{x - a}{b - a}$ si $a ⩽ x ⩽ b$ , $F (x) = 1$ si $x > b$ .

Espérance et variance. $E (X) = \frac{a + b}{2}$ (le milieu de l’intervalle) et $V (X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}$ .

Simuler en Python. random() renvoie un réel au hasard dans $[0; 1 [$ : elle simule la loi uniforme sur $[0; 1]$ . Alors a + (b - a)*random() simule la loi uniforme sur $[a; b]$ , le test random() < p est vrai avec la probabilité $p$ (une épreuve de Bernoulli), et int(6*random()) + 1 simule un dé équilibré.

Exemples

Démonstration de l’espérance. $E (X) = \int_{a}^{b} \frac{t}{b - a} d t = \frac{1}{b - a} [\frac{t^{2}}{2}]_{a}^{b}$ $= \frac{b^{2} - a^{2}}{2 (b - a)} = \frac{(b - a) (b + a)}{2 (b - a)} = \frac{a + b}{2}$ .

Démonstration de la variance. $\int_{a}^{b} \frac{t^{2}}{b - a} d t = \frac{b^{3} - a^{3}}{3 (b - a)} = \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}$ , car $b^{3} - a^{3} = (b - a) (a^{2} + a b + b^{2})$ . Donc $V (X) = \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3} - \frac{(a + b)^{2}}{4}$ $= \frac{4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 3 a^{2} - 6 a b - 3 b^{2}}{12}$ $= \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{12}$ $= \frac{(b - a)^{2}}{12}$ .

L’attente d’un ascenseur. Le temps d’attente $X$ d’un ascenseur, en secondes, suit la loi uniforme sur $[0; 45]$ : sa densité vaut $\frac{1}{45}$ sur $[0; 45]$ .

$P (X ⩾ 30) = \frac{45 - 30}{45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$ . L’attente moyenne est $E (X) = \frac{0 + 45}{2} = 22, 5$ s, et $V (X) = \frac{45^{2}}{12} = 168, 75$ , d’où $σ (X) = \sqrt{168, 75} \approx 13, 0$ s.

En Python. 45*random() renvoie une attente simulée ; la moyenne de $10 000$ attentes simulées est proche de $22, 5$ .

Pourquoi int(6*random()) + 1 simule un dé. Elle renvoie $6$ lorsque $5 ⩽ 6 U < 6$ , c’est-à-dire $\frac{5}{6} ⩽ U < 1$ , où $U$ est le nombre renvoyé par random() : probabilité $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ . De même pour chacune des valeurs $1$ à $5$ .

Réflexe — Loi uniforme : je calcule la longueur $b - a$ de l’intervalle, puis chaque probabilité est « longueur favorable sur longueur totale », en coupant ce qui dépasse de $[a; b]$ .

Attention — Hors de $[a; b]$ , la probabilité est nulle : si $X$ suit la loi uniforme sur $[0; 45]$ , $P (X ⩽ 60) = 1$ et $P (X ⩾ 50) = 0$ . Et $E (X) = \frac{a + b}{2}$ , pas $\frac{b - a}{2}$ (les deux ne coïncident que si $a = 0$ ).

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Loi exponentielle

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $λ > 0$ . $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ lorsque sa densité est $f (t) = λ e^{- λ t}$ sur $[0; + \infty [$ (et $0$ pour $t < 0$ ). Elle modélise une attente sans borne : temps avant le prochain appel, avant une panne accidentelle, avant la désintégration d’un noyau radioactif.

Fonction de répartition. Pour $x ⩾ 0$ : $F (x) = P (X ⩽ x) = \int_{0}^{x} λ e^{- λ t} d t$ $= [- e^{- λ t}]_{0}^{x} = 1 - e^{- λ x}$ . Comme $e^{- λ x}$ tend vers $0$ , l’aire totale vaut bien $1$ : $f$ est une densité. On en tire, pour $0 ⩽ a ⩽ b$ :

$P (X > t) = e^{- λ t}$ $P (a ⩽ X ⩽ b) = e^{- λ a} - e^{- λ b}$

Espérance. $E (X) = \frac{1}{λ}$ . $λ$ est un taux (nombre moyen d’événements par unité de temps) et $\frac{1}{λ}$ une durée moyenne. La médiane vaut $\frac{\ln 2}{λ}$ , plus petite que l’espérance.

Trouver $λ$ . Si l’énoncé donne la durée moyenne $μ$ : $λ = \frac{1}{μ}$ . S’il donne $P (X > t) = p$ : $e^{- λ t} = p$ , donc $- λ t = \ln p$ et $λ = \frac{- \ln p}{t}$ .

Simuler en Python. Avec from math import log (log est le logarithme népérien $\ln$ ), -log(1 - random())/lam simule la loi exponentielle de paramètre lam.

Exemples

Démonstration de $E (X) = \frac{1}{λ}$ . La fonction $G (t) = - (t + \frac{1}{λ}) e^{- λ t}$ a pour dérivée $G' (t) = - e^{- λ t} + λ (t + \frac{1}{λ}) e^{- λ t}$ $= λ t e^{- λ t}$ : c’est une primitive de $t \mapsto t f (t)$ . Donc $\int_{0}^{x} t λ e^{- λ t} d t = G (x) - G (0)$ $= \frac{1}{λ} - (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x}$ . Or $x e^{- λ x}$ et $e^{- λ x}$ tendent vers $0$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ (croissances comparées), donc l’intégrale tend vers $\frac{1}{λ}$ .

Un standard téléphonique. La durée $X$ , en minutes, entre deux appels reçus par le standard d’une mairie suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 04$ . La durée moyenne entre deux appels est $\frac{1}{0, 04} = 25$ min, et $P (X > 30) = e^{- 0, 04 \times 30} = e^{- 1, 2} \approx 0, 301$ : environ $30 %$ des intervalles dépassent une demi-heure.

Entre $10$ et $30$ minutes : $P (10 ⩽ X ⩽ 30) = e^{- 0, 4} - e^{- 1, 2} \approx 0, 369$ . Médiane : $\frac{\ln 2}{0, 04} \approx 17, 3$ min, bien moins que la moyenne de $25$ min.

Pourquoi la simulation est juste. Si $U$ est le nombre renvoyé par random(), $1 - U$ est dans $] 0; 1]$ et, pour $t ⩾ 0$ , $\frac{- \ln (1 - U)}{λ} > t$ $⟺ \ln (1 - U) < - λ t$ $⟺ U > 1 - e^{- λ t}$ , qui a pour probabilité $1 - (1 - e^{- λ t}) = e^{- λ t}$ : c’est bien $P (X > t)$ .

Réflexe — Loi exponentielle : aucune intégrale à refaire. J’écris $P (X > t) = e^{- λ t}$ , puis le contraire pour « au plus », la différence pour « entre », et le logarithme pour retrouver $λ$ ou une durée.

Attention — $E (X) = \frac{1}{λ}$ , pas $λ$ : un taux de $0, 05$ panne par heure donne une durée moyenne de $20$ h. Et $λ$ et $t$ doivent être dans la même unité : $λ = 0, 5$ par heure devient $\frac{0, 5}{60} \approx 0, 0083$ par minute, car $λ t$ est un nombre sans unité.

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Absence de mémoire : durée de vie sans vieillissement

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , alors pour tous réels $t ⩾ 0$ et $h ⩾ 0$ :

$P_{X > t} (X > t + h) = P (X > h)$

Un appareil qui a déjà fonctionné pendant une durée $t$ a la même probabilité de tenir encore une durée $h$ qu’un appareil neuf : il ne vieillit pas. C’est le modèle des pannes accidentelles et de la désintégration radioactive, pas celui d’un matériel qui s’use.

Caractérisation (admise). La loi exponentielle est la seule loi à densité sur $[0; + \infty [$ qui a cette propriété. En temps discret, c’est la loi géométrique qui joue ce rôle.

Demi-vie. Si la durée de vie d’un noyau radioactif suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , sa médiane $T = \frac{\ln 2}{λ}$ s’appelle la demi-vie : dans un très grand échantillon, la moitié des noyaux est désintégrée au bout de $T$ .

Exemples

Démonstration. Soit $t ⩾ 0$ et $h ⩾ 0$ . Comme $t + h ⩾ t$ , l’événement ${X > t + h}$ est inclus dans ${X > t}$ , donc leur intersection est ${X > t + h}$ . Par définition d’une probabilité conditionnelle, avec $P (X > t) = e^{- λ t} \neq 0$ :

$P_{X > t} (X > t + h) = \frac{P (X > t + h)}{P (X > t)}$ $= \frac{e^{- λ (t + h)}}{e^{- λ t}}$ $= e^{- λ t - λ h + λ t} = e^{- λ h} = P (X > h)$ .

Le standard, encore. Avec $λ = 0, 04$ , sachant qu’aucun appel n’est arrivé depuis $20$ min, la probabilité d’attendre encore plus de $30$ min est $P_{X > 20} (X > 50) = P (X > 30) \approx 0, 301$ : l’attente déjà écoulée ne change rien.

Iode 131. On prend $8$ jours pour la demi-vie de l’iode 131 (valeur arrondie de $8, 02$ jours). Alors $λ = \frac{\ln 2}{8} \approx 0, 0866$ par jour, et un noyau non désintégré au bout de $8$ jours a encore une chance sur deux de ne pas l’être $8$ jours plus tard : $P_{X > 8} (X > 16) = P (X > 8) = 0, 5$ . Dans un grand échantillon, il reste la moitié des noyaux au bout de $8$ jours, le quart au bout de $16$ jours, le huitième au bout de $24$ jours.

Une attente qui a de la mémoire. Si $X$ suit la loi uniforme sur $[0; 45]$ (l’ascenseur), $P (X > 15) = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$ , mais $P_{X > 30} (X > 45) = 0$ : après $30$ s d’attente, l’ascenseur arrivera à coup sûr dans les $15$ s. La loi uniforme n’est pas sans mémoire.

Réflexe — Devant « sachant que $X > t$ » avec une loi exponentielle, je retire la durée déjà écoulée : $P_{X > t} (X > t + h) = e^{- λ h}$ . Avec une autre loi, je reviens au quotient $\frac{P (X > t + h)}{P (X > t)}$ .

Attention — L’absence de mémoire caractérise la loi exponentielle : ne l’applique jamais à une loi uniforme ou à une durée de vie avec usure. Et $P_{X > t} (X > t + h)$ est un quotient, jamais la différence $P (X > t + h) - P (X > t)$ .

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Pour aller plus loin

Les outils de l’intégrale. Intégrale et aire, relation de Chasles, primitives et théorème « $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ a pour dérivée $f$ » : chapitres Calcul intégral et Primitives. Résoudre $e^{- λ t} = p$ avec le logarithme : chapitre Fonction logarithme népérien ; limites de $e^{- λ x}$ et de $x e^{- λ x}$ : chapitre Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Le temps discret. Quand l’attente se compte en épreuves (rang du premier succès), la loi exponentielle est remplacée par la loi géométrique, elle aussi sans mémoire : chapitre Loi géométrique : temps d’attente discret. Lois uniforme discrète, de Bernoulli et binomiale : chapitre Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale.

À retenir

Densité sur $I$ : $f$ continue, positive, $\int_{I} f (t) d t = 1$ ; $P (c ⩽ X ⩽ d) = \int_{c}^{d} f (t) d t$ et $P (X = a) = 0$ .
$F (x) = P (X ⩽ x)$ , $F' = f$ ; $P (c ⩽ X ⩽ d) = F (d) - F (c)$ ; $E (X) = \int_{I} t f (t) d t$ ; $V (X) = \int_{I} t^{2} f (t) d t - E (X)^{2}$ .
Loi uniforme sur $[a; b]$ : $f = \frac{1}{b - a}$ , $P (c ⩽ X ⩽ d) = \frac{d - c}{b - a}$ , $E (X) = \frac{a + b}{2}$ , $V (X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}$ .
Loi exponentielle de paramètre $λ$ : $f (t) = λ e^{- λ t}$ , $P (X > t) = e^{- λ t}$ , $P (X ⩽ t) = 1 - e^{- λ t}$ , $E (X) = \frac{1}{λ}$ .
Absence de mémoire : $P_{X > t} (X > t + h) = P (X > h)$ ; elle caractérise la loi exponentielle, pas la loi uniforme.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une densité de probabilité ?

Une fonction f continue et positive sur un intervalle I, dont l’intégrale sur I vaut 1. Si X a pour densité f, P(c ⩽ X ⩽ d) est l’aire sous la courbe de f entre c et d. Conséquence : P(X = a) = 0 pour tout réel a, et f(t) n’est pas une probabilité (elle peut dépasser 1).

À quoi sert la fonction de répartition ?

F(x) = P(X ⩽ x) donne toutes les probabilités : P(c ⩽ X ⩽ d) = F(d) − F(c) et P(X > c) = 1 − F(c). C’est la primitive de la densité qui s’annule au début de l’intervalle. L’espérance vaut ∫ t f(t) dt et la variance ∫ t² f(t) dt − E(X)².

Comment calculer une probabilité avec la loi uniforme ?

Si X suit la loi uniforme sur [a ; b], la densité vaut 1/(b − a) et P(c ⩽ X ⩽ d) = (d − c)/(b − a) : un rapport de longueurs. L’espérance est le milieu (a + b)/2 et la variance (b − a)²/12. En Python, random() simule la loi uniforme sur [0 ; 1].

Quelles formules retenir pour la loi exponentielle ?

Densité λe^(−λt) sur [0 ; +∞[, P(X ⩽ t) = 1 − e^(−λt), P(X > t) = e^(−λt), P(a ⩽ X ⩽ b) = e^(−λa) − e^(−λb), espérance 1/λ et médiane ln(2)/λ. Si l’on connaît la durée moyenne, λ est son inverse ; si l’on connaît P(X > t) = p, λ = −ln(p)/t.

Que signifie « absence de mémoire » ?

Pour une loi exponentielle, P(X > t + h sachant X > t) = P(X > h) : une durée déjà écoulée ne change pas la loi de la durée restante. C’est le modèle des pannes accidentelles et de la radioactivité. La loi uniforme n’a pas cette propriété, ni une durée de vie avec usure.

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