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Variables aléatoires à densité
Loi à densité, fonction de répartition et espérance — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Variables aléatoires à densité » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Variable aléatoire continue : intuition et définition, Fonction densité de probabilité, Propriétés fondamentales de la densité, Fonction de répartition. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Variable aléatoire continue : intuition et définition
Dans le chapitre sur les probabilités discrètes, la variable aléatoire $X$ prenait un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs. On calculait alors $P(X = k)$ pour chaque entier $k$.
Une variable aléatoire continue modélise au contraire une grandeur pouvant prendre toute valeur dans un intervalle de $\mathbb{R}$ : durée d'attente, taille d'un individu, mesure physique…
Définition. On dit que $X$ est une variable aléatoire à densité s'il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (appelée densité de probabilité) telle que pour tous réels $a \leq b$ :
$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$$
$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$$
Attention ! Pour une variable continue, la probabilité d'obtenir exactement une valeur est nulle : $P(X = a) = 0$ pour tout réel $a$. On ne parle jamais de « $P(X=a)$ » mais toujours de probabilité sur un intervalle.
Conséquence immédiate : $P(a \leq X \leq b) = P(a \lt X \lt b) = P(a \leq X \lt b)$ etc. Les inégalités strictes ou larges sont équivalentes.
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Fonction densité de probabilité
Définition. Une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité si et seulement si :
- $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$
Astuce. En pratique, la densité est souvent nulle en dehors d'un intervalle $[a ; b]$ (ou $[0 ; +\infty[$). Il suffit alors de vérifier que $\int_a^b f(x)\,dx = 1$.
Exemple. Soit $f$ définie sur $[0 ; 2]$ par $f(x) = \tfrac{3}{8}x^2$ et $f(x)=0$ hors de $[0;2]$.
Vérification : $\int_0^2 \tfrac{3}{8}x^2\,dx = \tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \tfrac{3}{8} \times \tfrac{8}{3} = 1$ ✓
Calcul : $P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \tfrac{3}{8}x^2\,dx = \tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \tfrac{3}{8}\left(\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{3}{8}\times\tfrac{7}{3} = \tfrac{7}{8}$.
Vérification : $\int_0^2 \tfrac{3}{8}x^2\,dx = \tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \tfrac{3}{8} \times \tfrac{8}{3} = 1$ ✓
Calcul : $P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \tfrac{3}{8}x^2\,dx = \tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \tfrac{3}{8}\left(\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{3}{8}\times\tfrac{7}{3} = \tfrac{7}{8}$.
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Propriétés fondamentales de la densité
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Positivité | $f(x)\geq 0$ pour tout $x$ |
| Normalisation | $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$ |
| Probabilité sur $[a;b]$ | $P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Probabilité sur $]-\infty;t]$ | $P(X\leq t)=\int_{-\infty}^t f(x)\,dx$ |
| Complémentarité | $P(X\gt t)=1-P(X\leq t)$ |
Astuce. La valeur de $f(x)$ n'est pas une probabilité (elle peut dépasser 1). C'est la surface sous la courbe qui donne la probabilité.
La densité peut être définie par morceaux, comme dans l'exemple suivant.
Exemple. $f(x)=\begin{cases}2x &\text{si }0\leq x\leq 1\\0&\text{sinon}\end{cases}$. On vérifie : $\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$ ✓.
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Fonction de répartition
Définition. La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie pour tout réel $t$ par :
$$F(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx$$
$$F(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx$$
La fonction $F$ vérifie les propriétés suivantes :
- $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$
- $\displaystyle\lim_{t\to -\infty} F(t) = 0$ et $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} F(t) = 1$
- $F'(t) = f(t)$ (la densité est la dérivée de la fonction de répartition)
- $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$
Exemple. Avec $f(x)=2x$ sur $[0;1]$ :
Pour $0\leq t\leq 1$ : $F(t)=\int_0^t 2x\,dx=[x^2]_0^t=t^2$.
Donc $P(0{,}3\leq X\leq 0{,}7)=F(0{,}7)-F(0{,}3)=0{,}49-0{,}09=0{,}40$.
Pour $0\leq t\leq 1$ : $F(t)=\int_0^t 2x\,dx=[x^2]_0^t=t^2$.
Donc $P(0{,}3\leq X\leq 0{,}7)=F(0{,}7)-F(0{,}3)=0{,}49-0{,}09=0{,}40$.
Attention ! La fonction de répartition est continue (contrairement au cas discret) et on a toujours $0 \leq F(t) \leq 1$.
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Espérance d'une variable aléatoire continue
Définition. L'espérance (ou moyenne) de $X$, notée $E(X)$, est définie par :
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx$$
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx$$
Si la densité est non nulle uniquement sur $[a;b]$, alors $E(X) = \int_a^b x\,f(x)\,dx$.
Astuce. L'espérance est le « centre de gravité » de la distribution. Elle indique la valeur typique prise par $X$.
Exemple. Avec $f(x)=\tfrac{3}{8}x^2$ sur $[0;2]$ :
$E(X)=\int_0^2 x\cdot\tfrac{3}{8}x^2\,dx=\tfrac{3}{8}\int_0^2 x^3\,dx=\tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^4}{4}\right]_0^2=\tfrac{3}{8}\times 4=\tfrac{3}{2}=1{,}5$.
$E(X)=\int_0^2 x\cdot\tfrac{3}{8}x^2\,dx=\tfrac{3}{8}\int_0^2 x^3\,dx=\tfrac{3}{8}\left[\tfrac{x^4}{4}\right]_0^2=\tfrac{3}{8}\times 4=\tfrac{3}{2}=1{,}5$.
Linéarité de l'espérance : pour tous réels $a, b$ et toute variable $X$ :
$E(aX+b)=aE(X)+b$.
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Variance et écart-type
Définition. La variance de $X$ est :
$$V(X) = E\bigl[(X-E(X))^2\bigr] = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2\,f(x)\,dx$$
Formule pratique : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ avec $E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\,dx$.
L'écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
$$V(X) = E\bigl[(X-E(X))^2\bigr] = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2\,f(x)\,dx$$
Formule pratique : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ avec $E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\,dx$.
L'écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
Astuce. La formule $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ est en général plus facile à calculer.
Exemple (suite). Avec $f(x)=\tfrac{3}{8}x^2$ sur $[0;2]$, $E(X)=\tfrac{3}{2}$ :
$E(X^2)=\int_0^2 x^2\cdot\tfrac{3}{8}x^2\,dx=\tfrac{3}{8}\int_0^2 x^4\,dx=\tfrac{3}{8}\times\tfrac{32}{5}=\tfrac{12}{5}$.
$V(X)=\tfrac{12}{5}-\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=\tfrac{12}{5}-\tfrac{9}{4}=\tfrac{48}{20}-\tfrac{45}{20}=\tfrac{3}{20}$.
$\sigma(X)=\sqrt{\tfrac{3}{20}}=\tfrac{\sqrt{15}}{10}\approx 0{,}387$.
$E(X^2)=\int_0^2 x^2\cdot\tfrac{3}{8}x^2\,dx=\tfrac{3}{8}\int_0^2 x^4\,dx=\tfrac{3}{8}\times\tfrac{32}{5}=\tfrac{12}{5}$.
$V(X)=\tfrac{12}{5}-\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=\tfrac{12}{5}-\tfrac{9}{4}=\tfrac{48}{20}-\tfrac{45}{20}=\tfrac{3}{20}$.
$\sigma(X)=\sqrt{\tfrac{3}{20}}=\tfrac{\sqrt{15}}{10}\approx 0{,}387$.
Propriétés : $V(aX+b)=a^2 V(X)$ ; $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$.
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Loi uniforme sur [a ; b]
Définition. $X$ suit la loi uniforme sur $[a;b]$ (notée $X\sim\mathcal{U}([a;b])$) si sa densité est :
$$f(x)=\frac{1}{b-a}\text{ pour }x\in[a;b],\quad f(x)=0\text{ sinon.}$$
$$f(x)=\frac{1}{b-a}\text{ pour }x\in[a;b],\quad f(x)=0\text{ sinon.}$$
Toutes les valeurs de l'intervalle sont équiprobables (au sens des longueurs).
| Paramètre | Formule | Valeur pour $[0;1]$ |
|---|---|---|
| Espérance | $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ |
| Variance | $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ | $\tfrac{1}{12}$ |
| Écart-type | $\sigma(X)=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}$ | $\tfrac{1}{2\sqrt{3}}$ |
| Répartition | $F(t)=\dfrac{t-a}{b-a}$ pour $t\in[a;b]$ | $F(t)=t$ |
Exemple. Un bus arrive à un arrêt à un moment aléatoire $X$ uniformément distribué sur $[0;10]$ (minutes). La probabilité d'attendre entre 3 et 7 minutes est $P(3\leq X\leq 7)=\frac{7-3}{10-0}=\frac{4}{10}=0{,}4$.
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Méthode de calcul — récapitulatif
Méthode générale.
- Identifier la densité $f$ et son domaine $[a;b]$.
- Vérifier que $f\geq 0$ et $\int_a^b f(x)\,dx=1$.
- Calculer la fonction de répartition : $F(t)=\int_a^t f(x)\,dx$ pour $t\in[a;b]$.
- Calculer des probabilités : $P(\alpha\leq X\leq\beta)=F(\beta)-F(\alpha)$.
- Calculer l'espérance : $E(X)=\int_a^b x\,f(x)\,dx$.
- Calculer la variance : $V(X)=\int_a^b x^2 f(x)\,dx-[E(X)]^2$.
Attention ! Si on demande de déterminer une densité (trouver une constante $k$), on pose $\int_{a}^b f(x)\,dx=1$ et on résout l'équation en $k$.
Exemple complet. $f(x)=k\cdot x(2-x)$ sur $[0;2]$, $0$ ailleurs. Trouver $k$, $F$, $E(X)$, $V(X)$.
1. $\int_0^2 k\,x(2-x)\,dx=k\int_0^2(2x-x^2)\,dx=k\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2=k\left(4-\tfrac{8}{3}\right)=k\cdot\tfrac{4}{3}=1\Rightarrow k=\tfrac{3}{4}$.
2. $F(t)=\int_0^t \tfrac{3}{4}x(2-x)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^t=\tfrac{3}{4}\left(t^2-\tfrac{t^3}{3}\right)$ pour $t\in[0;2]$.
3. $E(X)=\int_0^2 x\cdot\tfrac{3}{4}x(2-x)\,dx=\tfrac{3}{4}\int_0^2(2x^2-x^3)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[\tfrac{2x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}\right]_0^2=\tfrac{3}{4}\left(\tfrac{16}{3}-4\right)=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{3}=1$.
4. $E(X^2)=\tfrac{3}{4}\int_0^2(2x^3-x^4)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[\tfrac{x^4}{2}-\tfrac{x^5}{5}\right]_0^2=\tfrac{3}{4}\left(8-\tfrac{32}{5}\right)=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{8}{5}=\tfrac{6}{5}$. Donc $V(X)=\tfrac{6}{5}-1=\tfrac{1}{5}=0{,}2$.
1. $\int_0^2 k\,x(2-x)\,dx=k\int_0^2(2x-x^2)\,dx=k\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2=k\left(4-\tfrac{8}{3}\right)=k\cdot\tfrac{4}{3}=1\Rightarrow k=\tfrac{3}{4}$.
2. $F(t)=\int_0^t \tfrac{3}{4}x(2-x)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^t=\tfrac{3}{4}\left(t^2-\tfrac{t^3}{3}\right)$ pour $t\in[0;2]$.
3. $E(X)=\int_0^2 x\cdot\tfrac{3}{4}x(2-x)\,dx=\tfrac{3}{4}\int_0^2(2x^2-x^3)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[\tfrac{2x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}\right]_0^2=\tfrac{3}{4}\left(\tfrac{16}{3}-4\right)=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{3}=1$.
4. $E(X^2)=\tfrac{3}{4}\int_0^2(2x^3-x^4)\,dx=\tfrac{3}{4}\left[\tfrac{x^4}{2}-\tfrac{x^5}{5}\right]_0^2=\tfrac{3}{4}\left(8-\tfrac{32}{5}\right)=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{8}{5}=\tfrac{6}{5}$. Donc $V(X)=\tfrac{6}{5}-1=\tfrac{1}{5}=0{,}2$.
En bref
- Une variable aléatoire à densité prend ses valeurs dans un intervalle de $\mathbb{R}$. On a $P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx$.
- La densité $f$ vérifie : $f\geq 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$.
- La fonction de répartition : $F(t)=P(X\leq t)=\int_{-\infty}^t f(x)\,dx$, et $F'=f$.
- Espérance : $E(X)=\int x\,f(x)\,dx$ ; Variance : $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
- Loi uniforme sur $[a;b]$ : $f=\tfrac{1}{b-a}$, $E(X)=\tfrac{a+b}{2}$, $V(X)=\tfrac{(b-a)^2}{12}$.
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