Loi géométrique : temps d’attente discret

Un événement inclus. Dans une salle de sport, $40\%$ des abonnés viennent plus de deux fois par semaine (événement $A$) et $15\%$ plus de quatre fois par semaine (événement $B$). Venir plus de quatre fois, c’est aussi venir plus de deux fois : $B\subset A$, donc $A\cap B=B$. Parmi les abonnés qui viennent plus de deux fois, la proportion de ceux qui viennent plus de quatre fois est $P_A(B)={\displaystyle \frac{0,15}{0,40}}=0,375$.

Une suite géométrique. $v_k=0,4\times 0,6^{k-1}$ pour $k⩾1$ : on passe d’un terme au suivant en multipliant par $0,6$, donc $(v_k)$ est géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $v_1=0,4$. Ainsi $v_2=0,24$ et $v_3=0,4\times 0,36=0,144$.

La somme des quatre premiers termes. $v_1+v_2+v_3+v_4$ $=0,4(1+0,6+0,6^2+0,6^3)$ $=0,4\times {\displaystyle \frac{1-0,6^4}{1-0,6}}$ $=1-0,6^4=1-0,1296=0,8704$. Le facteur $0,4$ et le dénominateur $1-0,6=0,4$ se simplifient : c’est ce qui se passera pour la loi géométrique.

Sa limite. Plus généralement, $v_1+\cdots +v_n=1-0,6^n$, et $0,6^n$ tend vers $0$ : la somme tend vers $1$.

Un centre d’appels. Un téléconseiller appelle des clients les uns après les autres. Chaque appel aboutit à une vente avec la probabilité $0,2$, indépendamment des autres. $X$ est le rang du premier appel qui aboutit à une vente.

Première vente au $4^{\text{e}}$ appel : trois appels sans vente, puis une vente, soit $P(X=4)=0,8^3\times 0,2$ $=0,512\times 0,2=0,1024$.

Réponse rédigée. « Chaque appel est une épreuve de Bernoulli de succès “l’appel aboutit à une vente”, de probabilité $p=0,2$. Les appels sont identiques et indépendants, et $X$ est le rang du premier succès : $X$ suit la loi géométrique $𝒢(0,2)$, avec $P(X=k)=0,8^{k-1}\times 0,2$ pour tout entier $k⩾1$. »

Le diagramme en bâtons de $𝒢(0,2)$. $0,2$ ; $0,16$ ; $0,128$ ; $0,1024$… : chaque bâton vaut $0,8$ fois le précédent.

La somme des probabilités vaut 1. Avec la somme d’une suite géométrique de raison $0,8$ : $P(X=1)+\cdots +P(X=n)$ $=0,2\times {\displaystyle \frac{1-0,8^n}{1-0,8}}$ $=1-0,8^n$, qui tend vers $1$ quand $n$ devient grand. Le téléconseiller finit par vendre, même si aucun rang n’est garanti.

Ce n’est pas la même loi. Le nombre $Y$ de ventes sur une série de $10$ appels suit la loi binomiale $ℬ(10;0,2)$ : nombre d’appels fixé, on compte les succès.

Un photographe animalier. Chaque matin, un photographe a la probabilité $0,15$ de photographier un martin-pêcheur, indépendamment des autres matins. $X$ est le rang du premier matin réussi : $X$ suit $𝒢(0,15)$.

Démonstration de $P(X>k)=(1-p{)}^k$, rédigée ici. « $X>5$ signifie que les $5$ premiers matins sont des échecs. Les matins étant indépendants, $P(X>5)=0,{85}^5\approx 0,4437$. » Il a donc plus de $44\%$ de chances d’attendre plus de cinq matins.

Au plus trois matins. $P(X⩽3)=1-0,{85}^3$ $=1-0,614125=0,385875$.

Entre le 3e et le 6e matin. $P(3⩽X⩽6)=P(X>2)-P(X>6)$ $=0,{85}^2-0,{85}^6\approx 0,7225-0,3771$ $=0,3454$ (au dix-millième).

Combien de matins prévoir ? Le plus petit $n$ tel que $P(X⩽n)⩾0,9$ : $1-0,{85}^n⩾0,9$ $⟺0,{85}^n⩽0,1$ $⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,1}{\ln 0,85}}\approx 14,17$. Contrôle : $0,{85}^{14}\approx 0,1028$ (trop grand) et $0,{85}^{15}\approx 0,0874$. Il faut prévoir $15$ matins.

Une crue centennale. Sur une rivière, une crue d’une certaine hauteur a chaque année la probabilité $0,01$ de se produire, indépendamment des autres années. Le rang $X$ de la première année de crue suit $𝒢(0,01)$ et $E(X)={\displaystyle \frac{1}{0,01}}=100$ : la période de retour est de $100$ ans.

Pourtant, $P(X⩽30)=1-0,{99}^{30}\approx 0,2603$ : il y a environ $26\%$ de risque qu’elle se produise dans les $30$ prochaines années. Et l’année la plus probable pour la première crue reste la première, car $P(X=1)=0,01$ est la plus grande des valeurs $P(X=k)$.

Un coût moyen. Un joueur lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un $6$ et paie $0,50$ € par lancer. Le rang du premier $6$ suit $𝒢\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)$, d’espérance $6$, donc sa dépense moyenne est $E(0,5X)=0,5\times 6=3$ €.

En Python. geometrique(p) renvoie une réalisation de $X$ ; moyenne(p, N) renvoie la moyenne de $N$ réalisations :

from random import random

def geometrique(p):
    k = 1
    while random() >= p:
        k = k + 1
    return k

def moyenne(p, N):
    s = 0
    for i in range(N):
        s = s + geometrique(p)
    return s / N

Chaque passage dans la boucle while correspond à un échec (probabilité $1-p$) et ajoute une épreuve ; la fonction s’arrête au premier succès et renvoie son rang. L’appel moyenne(0.01, 100000) renvoie une valeur proche de $E(X)=100$.

Démonstration de l’absence de mémoire. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels et $q=1-p$. L’événement $\{X>m+n\}$ est inclus dans $\{X>m\}$, donc leur intersection est $\{X>m+n\}$ et $P_{X>m}(X>m+n)={\displaystyle \frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}}$ $={\displaystyle \frac{q^{m+n}}{q^m}}=q^n=P(X>n)$.

Démonstration de la caractérisation. On pose $u_n=P(X>n)$, avec $u_0=1$ et $u_1=1-p$. L’absence de mémoire avec $n=1$ donne, pour tout $m$ : ${\displaystyle \frac{u_{m+1}}{u_m}}=u_1$, soit $u_{m+1}=(1-p)u_m$. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $1-p$, donc $u_n=(1-p{)}^n$. Alors $P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)$ $=(1-p{)}^{k-1}-(1-p{)}^k$ $=(1-p{)}^{k-1}p$ : $X$ suit $𝒢(p)$.

Un composant électronique. Chaque jour, un composant tombe en panne avec la probabilité $0,02$, indépendamment des jours précédents ; le jour $X$ de la panne suit $𝒢(0,02)$. Le composant a fonctionné $30$ jours. La probabilité qu’il fonctionne encore au moins $10$ jours de plus est $P_{X>30}(X>40)=P(X>10)$ $=0,{98}^{10}\approx 0,8171$, comme pour un composant neuf.

Une attente qui a de la mémoire. Une personne essaie au hasard, sans remise, les $5$ clés d’un trousseau ; une seule ouvre la porte. Le rang $X$ de la bonne clé suit la loi uniforme sur $\{1,\dots ,5\}$. $P(X>1)={\displaystyle \frac{4}{5}}$, mais $P_{X>3}(X>4)={\displaystyle \frac{P(X>4)}{P(X>3)}}$ $={\displaystyle \frac{1/5}{2/5}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : les clés déjà essayées rapprochent de la bonne. $X$ n’est pas sans mémoire, donc ne suit pas une loi géométrique.