Formulaire : lois discrètes

Rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son espérance et son écart type, seuils et intervalles de probabilité.

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Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Variable aléatoire : les formules de 1re

Notion	Formule
Loi	$P (X = x_{1}) + \dots + P (X = x_{r}) = 1$
Espérance	$E (X) = \sum p_{i} x_{i}$
Variance	$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$
Écart type	$σ (X) = \sqrt{V (X)}$
Linéarité	$E (a X + b) = a E (X) + b$
Jeu équitable	$E (gain net) = 0$

Exemple : $X$ vaut $0$ , $5$ ou $10$ avec les probabilités $0, 6$ ; $0, 3$ ; $0, 1$ : $E (X) = 2, 5$ , $E (X^{2}) = 17, 5$ , $V (X) = 17, 5 - 6, 25 = 11, 25$ .

Les trois lois usuelles

Loi	Valeurs	$P (X = k)$	$E (X)$	$V (X)$
Uniforme sur ${1, \dots, n}$	$1, \dots, n$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n + 1}{2}$	—
Bernoulli de paramètre $p$	$0$ ou $1$	$P (X = 1) = p$	$p$	$p (1 - p)$
Binomiale $ℬ (n; p)$	$0, 1, \dots, n$	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$n p$	$n p (1 - p)$

Exemple : $X$ suit $ℬ (40; 0, 25)$ : $E (X) = 10$ , $V (X) = 7, 5$ , $σ (X) = \sqrt{7, 5} \approx 2, 74$ .

Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

$n \ k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$
$7$	$1$	$7$	$21$	$35$	$35$	$21$	$7$	$1$
$8$	$1$	$8$	$28$	$56$	$70$	$56$	$28$	$8$	$1$

$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , $(\binom{n}{1}) = n$ , $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ . Exemple : $(\binom{8}{6}) = (\binom{8}{2}) = 28$ .

Traduire un événement

Phrase	Événement	Calcul avec la fonction cumulée
au plus $k$	$X ⩽ k$	$P (X ⩽ k)$
moins de $k$	$X ⩽ k - 1$	$P (X ⩽ k - 1)$
au moins $k$	$X ⩾ k$	$1 - P (X ⩽ k - 1)$
plus de $k$	$X ⩾ k + 1$	$1 - P (X ⩽ k)$
entre $a$ et $b$	$a ⩽ X ⩽ b$	$P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$
au moins un succès	$X ⩾ 1$	$1 - (1 - p)^{n}$

Exemple : « au moins $3$ » pour $X$ de loi $ℬ (10; 0, 1)$ : $1 - P (X ⩽ 2)$ .

Calculatrice

Calculatrice	$P (X = k)$ , puis $P (X ⩽ k)$
TI	binomFdp(n, p, k) ; binomFRép(n, p, k)
Casio	Binomial PD ; Binomial CD
NumWorks	Probabilités › Binomiale, puis le calcul de $P (X = k)$ ou de $P (X ⩽ k)$

Coefficient $(\binom{n}{k})$ : n Combinaison k (TI), n nCr k (Casio), binomial(n, k) (NumWorks). Pour une probabilité, on entre, dans l’ordre, $n$ , $p$ , puis $k$ . Exemple : binomFRép(10, 0.1, 2) donne $P (X ⩽ 2) \approx 0, 930$ .

Seuils et intervalles

On cherche…	Méthode
le plus petit $n$ tel que $P (X ⩾ 1) ⩾ s$	$n ⩾ \frac{\ln (1 - s)}{\ln (1 - p)}$ , puis l’entier au-dessus
le plus petit $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 1 - α$	tableau des $P (X ⩽ k)$ , deux valeurs qui encadrent
un intervalle $[a; b]$ de probabilité $⩾ 1 - α$	$a$ : plus petit avec $P (X ⩽ a) > \frac{α}{2}$ ; $b$ : plus petit avec $P (X ⩽ b) ⩾ 1 - \frac{α}{2}$

Exemple : $p = 0, 3$ et $s = 0, 95$ : $n ⩾ \frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 7} \approx 8, 4$ , donc $n = 9$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des lois discrètes en tableaux : formules de 1re (espérance, variance, linéarité), les trois lois usuelles avec leur espérance et leur variance, le triangle de Pascal jusqu’à la ligne 8, la traduction de « au moins », « au plus », « entre » avec la fonction cumulée, les touches de la calculatrice, et les méthodes de seuil et d’intervalle. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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