Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Q: Comment calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire ?

On écrit la loi dans un tableau. L’espérance est la somme des produits « valeur × probabilité ». Pour la variance, on calcule E(X²) avec les carrés des valeurs, puis V(X) = E(X²) − E(X)² ; l’écart type est la racine carrée de la variance.

Q: Quelle est l’espérance d’une loi uniforme et d’une loi de Bernoulli ?

Pour la loi uniforme sur {1, 2, …, n}, E(X) = (n + 1)/2. Pour la loi de Bernoulli de paramètre p, E(X) = p, V(X) = p(1 − p) et l’écart type vaut √(p(1 − p)).

Q: Comment justifier qu’on a un schéma de Bernoulli ?

On vérifie trois points : chaque épreuve a deux issues (on nomme le succès et sa probabilité p), la même épreuve est répétée n fois à l’identique, et les répétitions sont indépendantes (tirages avec remise, très grande population ou hypothèse de l’énoncé).

Q: À quoi sert le triangle de Pascal ?

Il donne les coefficients binomiaux : le terme de rang k de la ligne n est le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement k succès parmi n épreuves. Chaque terme est la somme des deux termes voisins de la ligne du dessus (relation de Pascal).

Q: Comment calculer P(X = k) et P(X ≥ k) pour une loi binomiale ?

P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, ou binomFdp à la calculatrice. Pour P(X ≥ k), on passe par le contraire : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1), avec la fonction cumulée binomFRép.

Rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son espérance et son écart type, seuils et intervalles de probabilité.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur les lois discrètes suit six parties : rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre pondéré, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son diagramme en bâtons, puis seuils, intervalles de probabilité et simulation en Python. Les démonstrations possibles du programme (espérance de la loi uniforme, de la loi de Bernoulli, de la loi binomiale pour n = 3) y sont rédigées.

Rappels de 1re : variable aléatoire, espérance, variance

Ce qu’il faut savoir

Variable aléatoire. Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire (gain, nombre de succès, durée…). Elle prend un nombre fini de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ : on dit qu’elle est discrète.

Loi de probabilité. C’est le tableau des valeurs $x_{i}$ et des probabilités $p_{i} = P (X = x_{i})$ . Les événements ${X = x_{i}}$ partagent l’univers, donc $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{r} = 1$ . Pour $P (X ⩽ a)$ , on additionne les $p_{i}$ des valeurs $x_{i} ⩽ a$ ; « au moins $a$ » se note ${X ⩾ a}$ , « au plus $a$ » se note ${X ⩽ a}$ .

Espérance. $E (X) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{r} x_{r}$ : c’est la valeur moyenne de $X$ quand on répète l’expérience un grand nombre de fois.

Variance et écart type. $V (X) = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ , que l’on calcule souvent par la formule de König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ , avec $E (X^{2}) = \sum p_{i} x_{i}^{2}$ . L’écart type $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ mesure la dispersion des valeurs autour de $E (X)$ , dans l’unité de $X$ .

Linéarité. Pour des réels $a$ et $b$ : $E (a X + b) = a E (X) + b$ . Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain net (gain reçu moins la mise) est nulle, favorable au joueur si elle est positive, défavorable si elle est négative.

Exemples

Une loi et son espérance. Dans un food-truck, le nombre $X$ de cafés commandés par un client suit la loi :

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0, 1$	$0, 5$	$0, 3$	$0, 1$
$x_{i}^{2}$	$0$	$1$	$4$	$9$

Contrôle : $0, 1 + 0, 5 + 0, 3 + 0, 1 = 1$ . « Au moins deux cafés » : $P (X ⩾ 2) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4$ .

$E (X) = 0 \times 0, 1 + 1 \times 0, 5$ $+ 2 \times 0, 3 + 3 \times 0, 1 = 1, 4$ : sur un grand nombre de clients, on vend en moyenne $1, 4$ café par client.

Variance avec König-Huygens. $E (X^{2}) = 0 + 0, 5 + 1, 2 + 0, 9 = 2, 6$ , donc $V (X) = 2, 6 - 1, 4^{2}$ $= 2, 6 - 1, 96 = 0, 64$ et $σ (X) = \sqrt{0, 64} = 0, 8$ café.

Linéarité. Chaque café rapporte $1, 20$ € de bénéfice et chaque client coûte $0, 30$ € (gobelet, serviette) : le bénéfice par client est $B = 1, 2 X - 0, 3$ . Sans écrire la loi de $B$ : $E (B) = 1, 2 \times 1, 4 - 0, 3 = 1, 38$ €.

Réflexe — J’écris la loi dans un tableau et je vérifie que la somme vaut $1$ . J’ajoute une ligne $x_{i}^{2}$ pour la variance, j’applique König-Huygens, puis je donne l’écart type avec son unité. Pour une variable de la forme $a X + b$ , j’utilise la linéarité sans recalculer de loi.

Attention — $E (X^{2})$ et $(E (X))^{2}$ sont deux nombres différents ( $2, 6$ et $1, 96$ ici). Et l’espérance n’est pas forcément une valeur prise par $X$ : aucun client ne commande $1, 4$ café.

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Loi uniforme discrète et loi de Bernoulli

Ce qu’il faut savoir

Loi uniforme sur ${1, 2, \dots, n}$ . $X$ suit cette loi lorsque ses $n$ valeurs ont la même probabilité : $P (X = k) = \frac{1}{n}$ pour tout $k \in {1, \dots, n}$ . Son espérance vaut $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ .

Épreuve de Bernoulli. C’est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overset{―}{S}$ , de probabilité $1 - p$ . Le succès est l’issue que l’on choisit d’étudier.

Loi de Bernoulli de paramètre $p$ . La variable $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec vérifie $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ . Alors $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ et $σ (X) = \sqrt{p (1 - p)}$ .

Simuler en Python. randint(1, n) renvoie un entier de la loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ . random() renvoie un réel au hasard dans $[0; 1 [$ : le test random() < p est vrai avec la probabilité $p$ , il simule une épreuve de Bernoulli.

Exemples

Démonstration : espérance de la loi uniforme. Chaque valeur $k$ de $1$ à $n$ est multipliée par la même probabilité $\frac{1}{n}$ , donc $E (X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + \dots + n)$ . Or $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ (somme des termes d’une suite arithmétique), donc $E (X) = \frac{1}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2}$ $= \frac{n + 1}{2}$ .

Un dé à huit faces. Un dé octaédrique équilibré porte les nombres $1$ à $8$ ; le résultat $X$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 8}$ . $P (X ⩾ 6) = \frac{3}{8}$ (valeurs $6$ , $7$ , $8$ ) et $E (X) = \frac{9}{2} = 4, 5$ : sur un grand nombre de lancers, la moyenne des résultats est proche de $4, 5$ .

Démonstration : espérance et écart type de la loi de Bernoulli. $E (X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$ . Puis $V (X) = (1 - p)^{2} \times p$ $+ (0 - p)^{2} \times (1 - p)$ $= p (1 - p) [(1 - p) + p] = p (1 - p)$ , d’où $σ (X) = \sqrt{p (1 - p)}$ .

Un code-barres. Une caisse lit un code-barres du premier coup avec la probabilité $0, 93$ . $X = 1$ si la lecture réussit, $0$ sinon : $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0, 93$ . $E (X) = 0, 93$ , $V (X) = 0, 93 \times 0, 07 = 0, 0651$ et $σ (X) = \sqrt{0, 0651} \approx 0, 255$ .

En Python. La fonction de8() simule le dé à huit faces, bernoulli(0.93) simule la lecture du code-barres :

from random import random
from random import randint

def de8():
    return randint(1, 8)

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

Réflexe — Pour une loi de Bernoulli, je nomme d’abord le succès (ce que je compte), puis je donne $p$ ; l’espérance et la variance s’écrivent alors sans calcul. Pour une loi uniforme, je vérifie que les valeurs sont bien $1, 2, \dots, n$ et qu’elles sont équiprobables.

Attention — L’espérance de la loi uniforme est $\frac{n + 1}{2}$ , pas $\frac{n}{2}$ : pour le dé à huit faces, $4, 5$ et non $4$ . Et cette formule ne vaut que pour les valeurs $1, \dots, n$ .

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Schéma de Bernoulli et arbre pondéré

Ce qu’il faut savoir

Schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . C’est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité $p$ de succès) et indépendantes. On le représente par un arbre pondéré à $n$ niveaux, qui compte $2^{n}$ chemins.

Probabilité d’un chemin. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Un chemin qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , quel que soit l’ordre des succès.

Au moins un succès. Son contraire est « aucun succès », c’est-à-dire le seul chemin $\overset{―}{S} \overset{―}{S} \dots \overset{―}{S}$ , de probabilité $(1 - p)^{n}$ . Donc $P (au moins un succès)$ $= 1 - (1 - p)^{n}$ .

Tirages. Avec remise, les tirages sont identiques et indépendants. Sans remise dans une petite urne, la composition change à chaque tirage : ce n’est pas un schéma de Bernoulli. Dans une très grande population, on assimile un prélèvement sans remise à des tirages avec remise.

Exemples

Trois impressions. Une imprimante 3D réussit une pièce avec la probabilité $0, 7$ , indépendamment d’une pièce à l’autre. On lance $3$ impressions ; $S$ : « la pièce est réussie ».

Les chemins à exactement $2$ succès sont $S S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S$ et $\overset{―}{S} S S$ , chacun de probabilité $0, 7^{2} \times 0, 3 = 0, 147$ . La probabilité d’obtenir exactement $2$ pièces réussies est donc $3 \times 0, 147 = 0, 441$ .

Au moins une pièce réussie : $1 - 0, 3^{3} = 1 - 0, 027 = 0, 973$ .

Réponse rédigée. « Chaque impression est une épreuve à deux issues : succès “la pièce est réussie”, de probabilité $p = 0, 7$ . Les $3$ impressions sont identiques et indépendantes. Il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = 0, 7$ . »

Sans remise : pas de schéma de Bernoulli. Un lot de $6$ piles contient $2$ piles usagées ; on en prend $2$ sans remise. La première est usagée avec la probabilité $\frac{2}{6}$ ; si elle l’est, la seconde l’est avec la probabilité $\frac{1}{5}$ : les deux épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes.

Réflexe — Pour justifier un schéma de Bernoulli, je coche trois points : deux issues (je nomme le succès et je donne $p$ ), une épreuve répétée $n$ fois à l’identique, des répétitions indépendantes (énoncé, tirage avec remise ou très grande population). Pour « au moins un », je passe par le contraire.

Attention — Sur l’arbre, on multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins qui réalisent l’événement. Et « au moins un succès » n’est pas $n \times p$ : avec $3 \times 0, 7 = 2, 1$ , on dépasserait $1$ .

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Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Ce qu’il faut savoir

Définition. Pour des entiers $0 ⩽ k ⩽ n$ , le coefficient binomial $(\binom{n}{k})$ , lu « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins de l’arbre d’un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves qui réalisent exactement $k$ succès.

Valeurs à connaître. $(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ (un seul chemin sans succès, un seul chemin sans échec) et $(\binom{n}{1}) = n$ (le succès est à l’une des $n$ places).

Symétrie. $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ : un chemin à $k$ succès a $n - k$ échecs ; en échangeant succès et échecs, on passe des uns aux autres.

Relation de Pascal. Pour $0 ⩽ k ⩽ n - 1$ : $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ . Elle permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne : chaque ligne commence et finit par $1$ , et chaque autre terme est la somme des deux termes voisins de la ligne du dessus.

$n \ k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$

À la calculatrice. TI : math › PRB › Combinaison ; Casio : OPTN › PROB › nCr ; NumWorks : boîte à outils › Dénombrement › binomial(n, k).

Exemples

Lire le triangle. Ligne $n = 5$ : $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . On lit le terme de rang $k$ en comptant à partir de $k = 0$ : $(\binom{5}{2}) = 10$ . Dans un arbre à $5$ épreuves, $10$ chemins comportent exactement $2$ succès. Par symétrie, $(\binom{5}{3}) = (\binom{5}{2}) = 10$ .

Relation de Pascal. $(\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3}) = 10 + 10$ $= 20 = (\binom{6}{3})$ .

Pourquoi la relation de Pascal ? Un chemin à $k + 1$ succès dans un arbre à $n + 1$ épreuves se termine soit par un succès (il reste alors $k$ succès à placer parmi les $n$ premières épreuves : $(\binom{n}{k})$ chemins), soit par un échec (il reste $k + 1$ succès parmi les $n$ premières : $(\binom{n}{k + 1})$ chemins). On additionne ces deux cas, qui ne se chevauchent pas.

Somme d’une ligne. Ligne $7$ : $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1$ $= 128 = 2^{7}$ : la ligne $n$ compte tous les chemins de l’arbre, et chaque niveau double le nombre de branches.

Réflexe — Pour un petit $n$ , j’écris le triangle de Pascal jusqu’à la ligne voulue ; pour un grand $n$ , j’utilise la calculatrice. Je pense à la symétrie : $(\binom{12}{10}) = (\binom{12}{2})$ , plus rapide à obtenir.

Attention — La numérotation commence à $k = 0$ : le troisième terme de la ligne $5$ est $(\binom{5}{2})$ , pas $(\binom{5}{3})$ . Et la relation de Pascal additionne deux termes voisins de la même ligne : $(\binom{5}{2}) + (\binom{5}{2})$ ne donne pas $(\binom{6}{2})$ .

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Loi binomiale : probabilités, diagramme, espérance

Ce qu’il faut savoir

Loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale $ℬ (n; p)$ . Elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$ et, pour tout entier $k$ de $0$ à $n$ :

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Probabilités cumulées. La calculatrice donne $P (X = k)$ et $P (X ⩽ k)$ . Les autres se ramènent à des « $⩽$ » : $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b)$ $= P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$ .

Calculatrice	$P (X = k)$ , puis $P (X ⩽ k)$
TI	binomFdp(n, p, k) ; binomFRép(n, p, k)
Casio	Binomial PD ; Binomial CD
NumWorks	Probabilités › Binomiale, puis le calcul de $P (X = k)$ ou de $P (X ⩽ k)$

Espérance et écart type (admis). $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ et $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Représentation graphique. On représente la loi par un diagramme en bâtons : un bâton de hauteur $P (X = k)$ au-dessus de chaque valeur $k$ . Les plus hauts bâtons sont proches de l’espérance $n p$ .

Exemples

Pourquoi cette formule ? Chaque chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; il y a $(\binom{n}{k})$ tels chemins, et deux chemins différents sont incompatibles : on additionne, ce qui revient à multiplier par $(\binom{n}{k})$ .

Réponse rédigée. Dans une grande pépinière, $20 %$ des rosiers donnent des fleurs blanches. On choisit $15$ rosiers ; la pépinière est assez grande pour assimiler ce choix à des tirages avec remise. $X$ est le nombre de rosiers à fleurs blanches. « Pour chaque rosier, l’épreuve “le rosier donne des fleurs blanches” (succès) a pour probabilité $p = 0, 2$ . Les $15$ épreuves sont identiques et indépendantes. $X$ compte les succès : $X$ suit la loi $ℬ (15; 0, 2)$ . »

Alors $P (X = 0) = 0, 8^{15} \approx 0, 0352$ et $P (X = 3) = (\binom{15}{3}) \times 0, 2^{3} \times 0, 8^{12}$ $= 455 \times 0, 2^{3} \times 0, 8^{12}$ $\approx 0, 2501$ .

À la calculatrice. $P (X ⩽ 3) \approx 0, 6482$ , donc $P (X ⩾ 4) = 1 - P (X ⩽ 3) \approx 0, 3518$ . Et $P (2 ⩽ X ⩽ 5)$ $= P (X ⩽ 5) - P (X ⩽ 1)$ $\approx 0, 9389 - 0, 1671$ $= 0, 7718$ .

Espérance et écart type. $E (X) = 15 \times 0, 2 = 3$ : sur un grand nombre de choix de $15$ rosiers, on trouve en moyenne $3$ rosiers à fleurs blanches. $V (X) = 15 \times 0, 2 \times 0, 8 = 2, 4$ et $σ (X) = \sqrt{2, 4} \approx 1, 55$ .

Le diagramme en bâtons de $ℬ (15; 0, 2)$ . Le plus haut bâton est en $k = 3$ , à l’espérance ; au-delà de $k = 9$ , les bâtons sont presque invisibles.

Démonstration de $E (X) = n p$ pour $n = 3$ . Avec la formule : $P (X = 1) = 3 p (1 - p)^{2}$ , $P (X = 2) = 3 p^{2} (1 - p)$ et $P (X = 3) = p^{3}$ . Donc $E (X) = 3 p (1 - p)^{2}$ $+ 2 \times 3 p^{2} (1 - p) + 3 p^{3}$ $= 3 p [(1 - p)^{2} + 2 p (1 - p) + p^{2}]$ $= 3 p [(1 - p) + p]^{2} = 3 p$ .

Réflexe — J’écris d’abord « $X$ suit $ℬ (n; p)$ » avec ses deux paramètres, puis la formule complète : le coefficient, $p$ à la puissance $k$ (nombre de succès), $1 - p$ à la puissance $n - k$ (nombre d’échecs). Pour une probabilité cumulée, je traduis l’événement avec « $⩽$ » avant de prendre la calculatrice, et je n’arrondis qu’à la fin.

Attention — $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ est la probabilité d’un seul chemin : sans $(\binom{n}{k})$ , on oublie tous les autres. Et $P (X ⩾ 4) = 1 - P (X ⩽ 3)$ , pas $1 - P (X ⩽ 4)$ . Enfin $n p (1 - p)$ est la variance : l’écart type est sa racine carrée.

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Seuils, intervalles de probabilité et simulation

Ce qu’il faut savoir

Nombre minimal d’épreuves. Pour obtenir au moins un succès avec une probabilité au moins égale à $s$ : $1 - (1 - p)^{n} ⩾ s$ $⟺ (1 - p)^{n} ⩽ 1 - s$ $⟺ n \ln (1 - p) ⩽ \ln (1 - s)$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln (1 - s)}{\ln (1 - p)}$ , car on divise par $\ln (1 - p) < 0$ , ce qui change le sens. On conclut par le plus petit entier qui convient.

Intervalle $[0; k]$ . La suite des $P (X ⩽ k)$ est croissante en $k$ . Pour un risque $α$ donné (par exemple $0, 05$ ), on cherche le plus petit entier $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 1 - α$ : alors $P (X > k) ⩽ α$ . On le lit dans le tableau des $P (X ⩽ k)$ de la calculatrice, en citant les deux valeurs qui encadrent $1 - α$ .

Intervalle $[a; b]$ de probabilité au moins $1 - α$ . $a$ est le plus petit entier tel que $P (X ⩽ a) > \frac{α}{2}$ et $b$ le plus petit entier tel que $P (X ⩽ b) ⩾ 1 - \frac{α}{2}$ . Alors $P (a ⩽ X ⩽ b) ⩾ 1 - α$ .

Prise de décision. On suppose que $X$ suit $ℬ (n; p)$ (hypothèse). Si la valeur observée tombe hors de $[a; b]$ , on rejette l’hypothèse, avec un risque d’au plus $α$ de se tromper ; sinon, on ne la rejette pas.

Simuler. Une boucle qui répète $n$ fois le test random() < p en comptant les succès donne une réalisation de $X$ ; en répétant $N$ fois, la fréquence d’un événement approche sa probabilité.

Exemples

Combien d’essais ? Une épreuve réussit avec la probabilité $p = 0, 12$ ; on veut au moins un succès avec une probabilité d’au moins $0, 99$ . $1 - 0, 88^{n} ⩾ 0, 99$ $⟺ 0, 88^{n} ⩽ 0, 01$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 88} \approx 36, 02$ . Contrôle : $0, 88^{36} \approx 0, 01003$ (trop grand) et $0, 88^{37} \approx 0, 00883$ . Il faut au moins $37$ épreuves.

Prévoir un stock : intervalle $[0; k]$ . Une boutique en ligne expédie $60$ commandes par jour ; chacune est retournée avec la probabilité $0, 08$ , indépendamment des autres, et $X$ suit $ℬ (60; 0, 08)$ . Combien de retours prévoir pour que cela suffise avec une probabilité d’au moins $0, 95$ ? La calculatrice donne $P (X ⩽ 7) \approx 0, 8956 < 0, 95$ et $P (X ⩽ 8) \approx 0, 9518 ⩾ 0, 95$ : il faut prévoir $8$ retours.

Un générateur aléatoire est-il équilibré ? Un générateur doit produire des $0$ et des $1$ au hasard. Sur $50$ chiffres, si le générateur est équilibré, le nombre $X$ de « $1$ » suit $ℬ (50; 0, 5)$ . Avec $α = 0, 05$ : $P (X ⩽ 17) \approx 0, 0164$ et $P (X ⩽ 18) \approx 0, 0325$ , donc $a = 18$ ; $P (X ⩽ 31) \approx 0, 9675$ et $P (X ⩽ 32) \approx 0, 9836$ , donc $b = 32$ . Ainsi $P (18 ⩽ X ⩽ 32)$ $\approx 0, 9836 - 0, 0164$ $= 0, 9672 ⩾ 0, 95$ . Un essai donne $35$ « $1$ » : $35$ est hors de $[18; 32]$ , on rejette l’hypothèse « générateur équilibré », avec un risque d’au plus $5 %$ de se tromper.

Simuler en Python. binomiale(n, p) renvoie une réalisation de $X$ ; frequence(n, p, k, N) renvoie la fréquence, sur $N$ simulations, de l’événement ${X ⩽ k}$ :

from random import random

def binomiale(n, p):
    X = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            X = X + 1
    return X

def frequence(n, p, k, N):
    c = 0
    for j in range(N):
        if binomiale(n, p) <= k:
            c = c + 1
    return c / N

L’appel frequence(15, 0.2, 3, 10000) renvoie une valeur proche de $P (X ⩽ 3) \approx 0, 648$ pour la loi $ℬ (15; 0, 2)$ des rosiers, avec un écart de l’ordre de $\frac{1}{\sqrt{10 000}} = 0, 01$ .

Réflexe — Seuil sur $n$ : je passe par « aucun succès », je prends le logarithme et je retourne l’inégalité en divisant par un logarithme négatif, puis je contrôle les deux entiers voisins. Seuil sur $k$ : je lis le tableau des $P (X ⩽ k)$ et je cite les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Attention — On compare des valeurs non arrondies : $0, 949$ est en dessous de $0, 95$ . Un nombre d’épreuves est un entier : $36, 02$ donne $37$ , pas $36$ . Et rejeter une hypothèse n’est jamais une certitude : il reste un risque, d’au plus $α$ .

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Pour aller plus loin

Attendre le premier succès. Dans un schéma de Bernoulli, le rang du premier succès suit une loi géométrique, qui a la propriété d’absence de mémoire : chapitre Loi géométrique : temps d’attente discret.

Lois continues. Quand la variable prend toutes les valeurs d’un intervalle (une durée, une distance), on remplace le tableau de la loi par une densité et les probabilités par des aires : chapitre Lois à densité : uniforme et exponentielle.

En spécialité. La formule $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ se démontre par le dénombrement (chapitre Combinatoire et dénombrement de spécialité), et la loi binomiale y est approfondie (chapitre Loi binomiale de spécialité).

À retenir

Loi d’une variable aléatoire : somme des probabilités égale à $1$ ; $E (X) = \sum p_{i} x_{i}$ , $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ , $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ , $E (a X + b) = a E (X) + b$ .
Loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ : $P (X = k) = \frac{1}{n}$ et $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ . Loi de Bernoulli : $E (X) = p$ et $σ (X) = \sqrt{p (1 - p)}$ .
Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; au moins un succès : $1 - (1 - p)^{n}$ .
$(\binom{n}{k})$ = nombre de chemins à $k$ succès ; symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ ; relation de Pascal $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ .
$X$ suit $ℬ (n; p)$ : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , $E (X) = n p$ , $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ ; $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ .
Seuils : $n ⩾ \frac{\ln (1 - s)}{\ln (1 - p)}$ (sens changé) ; intervalle : plus petit $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 1 - α$ , en citant les deux valeurs qui encadrent.

Questions fréquentes

Comment calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire ?

On écrit la loi dans un tableau. L’espérance est la somme des produits « valeur × probabilité ». Pour la variance, on calcule E(X²) avec les carrés des valeurs, puis V(X) = E(X²) − E(X)² ; l’écart type est la racine carrée de la variance.

Quelle est l’espérance d’une loi uniforme et d’une loi de Bernoulli ?

Pour la loi uniforme sur {1, 2, …, n}, E(X) = (n + 1)/2. Pour la loi de Bernoulli de paramètre p, E(X) = p, V(X) = p(1 − p) et l’écart type vaut √(p(1 − p)).

Comment justifier qu’on a un schéma de Bernoulli ?

On vérifie trois points : chaque épreuve a deux issues (on nomme le succès et sa probabilité p), la même épreuve est répétée n fois à l’identique, et les répétitions sont indépendantes (tirages avec remise, très grande population ou hypothèse de l’énoncé).

À quoi sert le triangle de Pascal ?

Il donne les coefficients binomiaux : le terme de rang k de la ligne n est le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement k succès parmi n épreuves. Chaque terme est la somme des deux termes voisins de la ligne du dessus (relation de Pascal).

Comment calculer P(X = k) et P(X ≥ k) pour une loi binomiale ?

P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, ou binomFdp à la calculatrice. Pour P(X ≥ k), on passe par le contraire : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1), avec la fonction cumulée binomFRép.

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