Qu'est-ce que la loi binomiale en terminale ?

C'est la loi du nombre X de succès dans un schéma de Bernoulli : n épreuves identiques et indépendantes, chacune réussie avec la probabilité p. On note X ∼ B(n ; p) et, pour k entier entre 0 et n, P(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1 − p)^(n − k), où « k parmi n » est un coefficient binomial.

Quelles sont les lois discrètes au programme de terminale en maths complémentaires ?

Trois lois : la loi uniforme sur 1, 2, …, n, la loi de Bernoulli de paramètre p et la loi binomiale B(n ; p), avec les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal. Les lois à densité, pour des variables continues, font l'objet du chapitre suivant.

Comment calculer une probabilité avec la loi binomiale à la calculatrice ?

P(X = k) s'obtient avec binomFdp(n, p, k) sur TI ou Binomial PD sur Casio, et P(X ⩽ k) avec binomFRép(n, p, k) ou Binomial CD. Pour P(X ⩾ k), on calcule 1 − P(X ⩽ k − 1) : c'est l'erreur de borne la plus fréquente.

Comment calculer l'espérance et la variance d'une loi binomiale ?

Si X suit la loi B(n ; p), son espérance vaut E(X) = np et sa variance V(X) = np(1 − p). L'écart type est la racine carrée de la variance : σ(X) = √(np(1 − p)).

Quelle différence entre loi de Bernoulli et loi binomiale ?

La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve à deux issues : la variable vaut 1 en cas de succès, 0 sinon. La loi binomiale compte les succès obtenus en répétant n fois cette épreuve de façon identique et indépendante.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Ressources · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)

Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale

Loi uniforme discrète, épreuve et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi binomiale, espérance et variance

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Loi uniforme discrète, Épreuve et loi de Bernoulli, Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

L'essentiel

Variable aléatoire discrète.

X

prend un nombre fini de valeurs

x_{1}, \dots, x_{r}

. Sa loi est la donnée des probabilités

P (X = x_{i})

, dont la somme vaut 1. Espérance :

E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})

; variance :

V (X) = \sum {(x_{i} - E (X))}^{2} P (X = x_{i})

; écart type :

σ (X) = \sqrt{V (X)}

Loi	Valeurs	$P (X = k)$	$E (X)$	$V (X)$
Uniforme sur ${1, \dots, n}$	$1, \dots, n$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n + 1}{2}$	—
Bernoulli de paramètre $p$	$0$ ou $1$	$P (X = 1) = p$	$p$	$p (1 - p)$
Binomiale $ℬ (n; p)$	$0, 1, \dots, n$	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$n p$	$n p (1 - p)$

Loi uniforme discrète

Définition.

X

suit la loi uniforme sur

{1, 2, \dots, n}

lorsque toutes les valeurs ont la même probabilité :

P (X = k) = \frac{1}{n}

pour tout

k \in {1, \dots, n}

Propriété.

E (X) = \frac{n + 1}{2}

. Justification :

E (X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + \dots + n) = \frac{1}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n + 1}{2}

Exemple. Un dé octaédrique équilibré porte les faces 1 à 8 ; le résultat

X

suit la loi uniforme sur

{1, \dots, 8}

P (X ⩾ 6) = \frac{3}{8}

(valeurs 6, 7, 8) et

E (X) = \frac{9}{2} = 4, 5

: sur un grand nombre de lancers, la moyenne des résultats est proche de 4,5.

En Python.

r a n d i n t (1, n)

(module

r a n d o m

) renvoie un entier de la loi uniforme sur

{1, \dots, n}

Épreuve et loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli. Expérience aléatoire à deux issues : le succès

S

, de probabilité

p

, et l'échec

\overset{―}{S}

, de probabilité

1 - p

. La variable

X

qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Propriété.

E (X) = p

V (X) = p (1 - p)

. Justification :

E (X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p

;

V (X) = (1 - p)^{2} p + (0 - p)^{2} (1 - p) = p (1 - p) [(1 - p) + p] = p (1 - p)

Exemple. Une caisse lit un code-barres du premier coup avec la probabilité 0,93.

X = 1

si la lecture réussit, 0 sinon : loi de Bernoulli de paramètre 0,93.

E (X) = 0, 93

V (X) = 0, 93 \times 0, 07 = 0, 0651

σ (X) \approx 0, 255

Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

est la répétition de

n

épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité

p

de succès) et indépendantes. On le représente par un arbre pondéré à

n

niveaux.

Propriété. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une issue (un chemin de l'arbre) est le produit des probabilités de ses branches. Un chemin comportant

k

succès et

n - k

échecs a pour probabilité

p^{k} (1 - p)^{n - k}

Exemple. Un serveur répond en moins d'une seconde avec la probabilité 0,42, indépendamment d'une requête à l'autre. Sur 3 requêtes, les chemins à exactement 2 succès sont

S S \overset{―}{S}

S \overset{―}{S} S

\overset{―}{S} S S

, chacun de probabilité

0, 42^{2} \times 0, 58 = 0, 102312

. Probabilité d'exactement 2 succès :

3 \times 0, 102312 = 0, 306936

Attention. Des tirages sans remise dans une petite urne ne sont pas indépendants : ce n'est pas un schéma de Bernoulli.

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Définition. Pour

0 ⩽ k ⩽ n

, le coefficient binomial

(\binom{n}{k})

(lu «

k

parmi

n

») est le nombre de chemins de l'arbre d'un schéma de Bernoulli à

n

épreuves qui réalisent exactement

k

succès.

Propriétés.

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1

;

(\binom{n}{1}) = n

; symétrie

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(échanger succès et échec) ; relation de Pascal :

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

pour

0 ⩽ k ⩽ n - 1

$n \ k$	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1

Exemple.

(\binom{5}{2}) = 10

: dans un arbre à 5 épreuves, 10 chemins comportent exactement 2 succès. Relation de Pascal :

(\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3}) = 10 + 10 = 20 = (\binom{6}{3})

Calculatrice. TI :

m a t h

› PRB ›

C o m b i n a i s o n

(5 Combinaison 2) ; Casio :

O P T N

› PROB ›

n C r

; NumWorks : boîte à outils › Dénombrement ›

b i n o m i a l (5, 2)

Loi binomiale : probabilités, espérance, variance

Définition. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

, la variable

X

égale au nombre de succès suit la loi binomiale

ℬ (n; p)

. Pour tout entier

k

de 0 à

n

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

Pourquoi cette formule ? Chaque chemin à

k

succès a pour probabilité

p^{k} (1 - p)^{n - k}

; il y a

(\binom{n}{k})

tels chemins, deux à deux incompatibles : on additionne.

Propriété. Si

X ~ ℬ (n; p)

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}

Exemple.

X ~ ℬ (12; 0, 25)

P (X = 3) = (\binom{12}{3}) \times 0, 25^{3} \times 0, 75^{9} = 220 \times 0, 25^{3} \times 0, 75^{9} \approx 0, 2581

E (X) = 3

V (X) = 12 \times 0, 25 \times 0, 75 = 2, 25

σ (X) = 1, 5

Calculatrice	$P (X = k)$	$P (X ⩽ k)$
TI	$b i n o m F d p (n, p, k)$	$b i n o m F R é p (n, p, k)$
Casio	Binomial PD	Binomial CD
NumWorks	Probabilités › Binomiale, $P (X = k)$	Probabilités › Binomiale, $P (X ⩽ k)$

Méthodes

Méthode 1 — Justifier qu'une variable suit une loi binomiale

Décrire l'épreuve répétée, ses deux issues, et nommer le succès.
Donner la probabilité $p$ du succès.
Justifier que les $n$ épreuves sont identiques et indépendantes (tirage avec remise, très grande population, hypothèse de l'énoncé).
Conclure : $X$ , nombre de succès, suit $ℬ (n; p)$ .

Exemple rédigé. Un standard reçoit 15 appels ; chacun est une réclamation avec la probabilité 0,2, indépendamment des autres. L'épreuve « l'appel est une réclamation » (succès,

p = 0, 2

) est répétée 15 fois de façon identique et indépendante : le nombre

X

de réclamations suit

ℬ (15; 0, 2)

. Par exemple

P (X = 0) = 0, 8^{15} \approx 0, 0352

Méthode 2 — Calculer une probabilité cumulée à la calculatrice

Se ramener à des événements « $X ⩽ \dots$ » : $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b) = P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1)$ .
Utiliser la fonction cumulée (binomFRép, Binomial CD) en entrant, dans l'ordre, $n$ , $p$ , $k$ .
N'arrondir qu'à la fin, à la précision demandée.

Exemple rédigé.

X ~ ℬ (12; 0, 25)

P (X ⩾ 4) = 1 - P (X ⩽ 3) \approx 1 - 0, 6488 = 0, 3512

P (2 ⩽ X ⩽ 5) = P (X ⩽ 5) - P (X ⩽ 1) \approx 0, 9456 - 0, 1584 = 0, 7872

Méthode 3 — Nombre minimal d'épreuves pour obtenir au moins un succès

Écrire $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
Traduire la condition : $1 - (1 - p)^{n} ⩾ s \Leftrightarrow (1 - p)^{n} ⩽ 1 - s$ .
Appliquer $\ln$ (croissante), puis diviser par $\ln (1 - p)$ , négatif : le sens de l'inégalité change.
Conclure par le plus petit entier qui convient (ou le lire dans un tableau de valeurs de la calculatrice).

Exemple rédigé.

p = 0, 12

; on veut

P (X ⩾ 1) ⩾ 0, 99

0, 88^{n} ⩽ 0, 01 \Leftrightarrow n \ln 0, 88 ⩽ \ln 0, 01 \Leftrightarrow n ⩾ \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 88} \approx 36, 02

. Contrôle :

0, 88^{36} \approx 0, 01003

(trop grand),

0, 88^{37} \approx 0, 00883

. Il faut au moins 37 épreuves.

Méthode 4 — Simuler une loi binomiale en Python

$r a n d o m ()$ renvoie un réel au hasard dans [0 ; 1[ : le test $r a n d o m () < p$ est vrai avec la probabilité $p$ .
Répéter $n$ fois ce test en comptant les succès : on obtient une réalisation de $X$ .
Répéter la simulation $N$ fois et calculer une fréquence : pour $N$ grand, elle approche la probabilité cherchée.

Exemple rédigé.

from random import random

def binomiale(n, p):
    X = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            X = X + 1
    return X

def frequence(n, p, k, N):
    c = 0
    for j in range(N):
        if binomiale(n, p) <= k:
            c = c + 1
    return c / N

L'appel

f r e q u e n c e (12, 0.25, 3, 10000)

renvoie une valeur proche de

P (X ⩽ 3) \approx 0, 649

, avec un écart de l'ordre de

\frac{1}{\sqrt{10 000}} = 0, 01

Pièges et erreurs classiques

Oublier le coefficient binomial.

p^{k} (1 - p)^{n - k}

est la probabilité d'un chemin ;

P (X = k)

s'obtient en multipliant par le nombre de chemins

(\binom{n}{k})

Se tromper de borne.

P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)

, et non

1 - P (X ⩽ k)

. « Strictement moins de

k

succès » se calcule par

P (X ⩽ k - 1)

Conclure « binomiale » sans indépendance. Tirages sans remise dans une petite population : les épreuves ne sont pas indépendantes. On justifie toujours « identiques et indépendantes ».

Confondre $p$ et $1 - p$ . Définir le succès d'abord : si l'on compte les pièces défectueuses, le succès est « défectueuse », même si c'est un événement fâcheux.

Confondre variance et écart type.

V (X) = n p (1 - p)

; l'écart type est sa racine carrée. De même,

n p = 1

est un nombre moyen de succès, pas une probabilité égale à 1.

Loi uniforme.

E (X) = \frac{n + 1}{2}

et non

\frac{n}{2}

; la formule ne vaut que pour les valeurs

1, \dots, n

En bref

Loi uniforme sur ${1, \dots, n}$ : $P (X = k) = \frac{1}{n}$ et $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ .
Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ .
Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes ; un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
$(\binom{n}{k})$ = nombre de chemins à $k$ succès ; triangle de Pascal, symétrie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ .
$X ~ ℬ (n; p)$ : $P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ .
Calculatrice : $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ ; au moins un succès : $1 - (1 - p)^{n}$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs