Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale

Loi uniforme discrète, épreuve et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi binomiale, espérance et variance

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Ces problèmes corrigés sur « Lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Loi uniforme discrète, Épreuve et loi de Bernoulli, Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Surréservation d'un vol

Moyen

Un avion compte 50 places. La compagnie sait que chaque passager ayant acheté un billet ne se présente pas à l'embarquement avec la probabilité 0,05, indépendamment des autres. Elle vend 52 billets. On note $X$ le nombre de passagers absents. Les probabilités sont arrondies à $10^{- 4}$ .

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer $E (X)$ et interpréter.
3. a) Calculer $P (X = 0)$ et $P (X = 1)$ .
3. b) Montrer que la probabilité qu'au moins un passager présent soit refusé à l'embarquement vaut environ 0,2595.
4. La compagnie ne vend plus que 51 billets. Calculer la probabilité qu'au moins un passager soit refusé.
5. a) On revient à 52 billets. Soit $R$ le nombre de passagers refusés. Donner la loi de $R$ et calculer $E (R)$ .
5. b) Les billets, non remboursables, sont vendus 180 € ; chaque passager refusé reçoit une indemnité de 400 €. Comparer la recette moyenne nette pour 50, 51 et 52 billets vendus.

1. Pour chaque passager, on considère l'épreuve « il ne se présente pas » (succès), de probabilité $p = 0, 05$ . Les 52 passagers se comportent indépendamment, avec la même probabilité : l'épreuve est répétée 52 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X ~ ℬ (52; 0, 05)$ .

2. $E (X) = n p = 52 \times 0, 05 =$ $2, 6$ : sur un grand nombre de vols, il y a en moyenne 2,6 absents par vol, ce qui explique que la compagnie vende plus de billets que de places.

3. a) $P (X = 0) = 0, 95^{52} \approx$ $0, 0694$ . $P (X = 1) = (\binom{52}{1}) \times 0, 05 \times 0, 95^{51} = 2, 6 \times 0, 95^{51} \approx$ $0, 1901$ .

3. b) Le nombre de passagers présents est $52 - X$ . Au moins un passager est refusé lorsque $52 - X ⩾ 51$ , c'est-à-dire $X ⩽ 1$ . Donc la probabilité cherchée est $P (X ⩽ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) \approx 0, 06944 + 0, 19005$ , soit environ 0,2595 : plus d'un vol sur quatre connaît au moins un refus.

4. Avec 51 billets, le nombre d'absents $Y$ suit $ℬ (51; 0, 05)$ . Un passager est refusé seulement si les 51 se présentent, soit $Y = 0$ : $P (Y = 0) = 0, 95^{51} \approx$ $0, 0731$ .

5. a) Avec 52 billets : $R = 2$ si $X = 0$ , $R = 1$ si $X = 1$ , $R = 0$ si $X ⩾ 2$ .

$r$	0	1	2
$P (R = r)$	0,7405	0,1901	0,0694

$E (R) = 0 \times 0, 7405 + 1 \times 0, 1901 + 2 \times 0, 0694 \approx$ $0, 329$ passager refusé en moyenne par vol.

5. b) Les billets n'étant pas remboursés, la recette des ventes est acquise. 52 billets : $52 \times 180 - 400 \times E (R) \approx 9 360 - 131, 58 =$ 9 228,42 €. 51 billets : un seul refus possible, avec la probabilité 0,0731, d'où $9 180 - 400 \times 0, 0731 \approx$ 9 150,76 €. 50 billets : aucun refus, 9 000 €. En moyenne, vendre 52 billets est le plus rentable, au prix d'au moins un refus sur environ 26 % des vols : c'est un compromis entre recette et qualité de service.

Problème 2 — Germination d'un lot de graines (simulation Python)

Moyen

Un semencier vend des lots de 20 graines ; chaque graine germe avec la probabilité 0,9, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de graines qui germent dans un lot. On considère le programme Python suivant :

from random import random

def lot(n, p):
    g = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            g = g + 1
    return g

def taux(N):
    c = 0
    for j in range(N):
        if lot(20, 0.9) >= 18:
            c = c + 1
    return c / N

1. Expliquer ce que renvoie l'appel $l o t (20, 0.9)$ .
2. Justifier que $X$ suit une loi binomiale ; calculer $E (X)$ et $σ (X)$ .
3. a) Calculer $P (X = 20)$ , arrondie à $10^{- 4}$ .
3. b) Montrer que $P (X ⩾ 18) \approx 0, 677$ .
4. L'appel $t a u x (10000)$ a renvoyé 0.6812. Ce résultat est-il cohérent avec la question 3. b) ? Justifier.
5. Le semencier envisage de garantir « au moins 17 graines germées sur 20 ». Calculer $P (X ⩾ 17)$ et commenter.

1. La boucle s'exécute 20 fois. À chaque passage, $r a n d o m ()$ renvoie un réel au hasard dans [0 ; 1[, et le test $r a n d o m () < 0.9$ est vrai avec la probabilité 0,9 : il simule la germination d'une graine. La variable $g$ compte les graines qui germent. $l o t (20, 0.9)$ renvoie le nombre de graines germées dans un lot simulé de 20 graines, c'est-à-dire une réalisation de $X$ .

2. Chaque graine est une épreuve de Bernoulli (succès « elle germe », $p = 0, 9$ ) ; les 20 épreuves sont identiques et indépendantes, donc $X ~ ℬ (20; 0, 9)$ . $E (X) = 20 \times 0, 9 =$ $18$ ; $V (X) = 20 \times 0, 9 \times 0, 1 = 1, 8$ et $σ (X) = \sqrt{1, 8} \approx$ $1, 342$ .

3. a) $P (X = 20) = 0, 9^{20} \approx$ $0, 1216$ .

3. b) $P (X ⩾ 18) = P (X = 18) + P (X = 19) + P (X = 20)$ avec $P (X = 18) = (\binom{20}{18}) \times 0, 9^{18} \times 0, 1^{2} = 190 \times 0, 01 \times 0, 9^{18} \approx 0, 2852$ et $P (X = 19) = 20 \times 0, 9^{19} \times 0, 1 \approx 0, 2702$ . Donc $P (X ⩾ 18) \approx 0, 2852 + 0, 2702 + 0, 1216 = 0, 6770$ , soit environ 0,677 (calculatrice : $1 -$ binomFRép(20, 0.9, 17) $\approx 0, 6769$ ).

4. $t a u x (10000)$ simule 10 000 lots et renvoie la fréquence des lots où au moins 18 graines germent : c'est une estimation de $P (X ⩾ 18)$ . L'écart $0, 6812 - 0, 6769 \approx 0, 004$ est inférieur à $\frac{1}{\sqrt{10 000}} = 0, 01$ , ordre de grandeur de la fluctuation d'échantillonnage : le résultat est cohérent.

5. $P (X = 17) = (\binom{20}{17}) \times 0, 9^{17} \times 0, 1^{3} = 1 140 \times 0, 001 \times 0, 9^{17} \approx 0, 1901$ , donc $P (X ⩾ 17) \approx 0, 6769 + 0, 1901 =$ $0, 8670$ . Avec cette garantie, environ 87 % des lots la respectent, contre 68 % pour « au moins 18 » ; il reste cependant environ 13 % de lots non conformes, que le semencier doit prévoir de remplacer.

Problème 3 — Marche aléatoire d'une particule

Difficile

Une particule part de l'origine d'un axe gradué. Chaque seconde, elle avance d'une unité (vers la droite) avec la probabilité 0,6, ou recule d'une unité avec la probabilité 0,4, indépendamment des déplacements précédents. Après 8 déplacements, on note $X$ le nombre de pas vers la droite et $S$ la position de la particule. La ligne $n = 7$ du triangle de Pascal est : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et montrer que $S = 2 X - 8$ .
2. En déduire que $S$ est toujours un entier pair et donner les valeurs possibles de $S$ .
3. Écrire la ligne $n = 8$ du triangle de Pascal.
4. Calculer $P (S = 0)$ , arrondie à $10^{- 4}$ .
5. a) Calculer la probabilité que la particule termine à la position 4 ou au-delà.
5. b) Calculer la probabilité qu'elle termine du côté négatif de l'axe.
6. Calculer $E (X)$ , puis $E (S)$ ; interpréter.

1. Chaque déplacement est une épreuve de Bernoulli : succès « pas vers la droite », $p = 0, 6$ . Les 8 déplacements sont identiques et indépendants : $X ~ ℬ (8; 0, 6)$ . La particule fait $X$ pas vers la droite (+1 chacun) et $8 - X$ pas vers la gauche (−1 chacun), donc $S = X - (8 - X) =$ $2 X - 8$ .

2. $S = 2 (X - 4)$ avec $X - 4$ entier : $S$ est pair. $X$ prend les valeurs 0 à 8, donc $S \in {- 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8}$ .

3. Relation de Pascal : $1$ , $1 + 7 = 8$ , $7 + 21 = 28$ , $21 + 35 = 56$ , $35 + 35 = 70$ , puis symétrie : 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.

4. $S = 0 \Leftrightarrow X = 4$ . $P (X = 4) = (\binom{8}{4}) \times 0, 6^{4} \times 0, 4^{4} = 70 \times 0, 1296 \times 0, 0256 \approx$ $0, 2322$ .

5. a) $S ⩾ 4 \Leftrightarrow 2 X - 8 ⩾ 4 \Leftrightarrow X ⩾ 6$ . $P (X = 6) = 28 \times 0, 6^{6} \times 0, 4^{2} \approx 0, 2090$ , $P (X = 7) = 8 \times 0, 6^{7} \times 0, 4 \approx 0, 0896$ , $P (X = 8) = 0, 6^{8} \approx 0, 0168$ . Donc $P (S ⩾ 4) \approx$ $0, 3154$ .

5. b) $S$ négatif $\Leftrightarrow 2 X - 8 ⩽ - 2 \Leftrightarrow X ⩽ 3$ . $P (X = 0) = 0, 4^{8} \approx 0, 00066$ ; $P (X = 1) = 8 \times 0, 6 \times 0, 4^{7} \approx 0, 00786$ ; $P (X = 2) = 28 \times 0, 6^{2} \times 0, 4^{6} \approx 0, 04129$ ; $P (X = 3) = 56 \times 0, 6^{3} \times 0, 4^{5} \approx 0, 12386$ . Donc $P (X ⩽ 3) \approx$ $0, 1737$ (calculatrice : binomFRép(8, 0.6, 3)).

6. $E (X) = 8 \times 0, 6 =$ $4, 8$ . Par linéarité, $E (S) = 2 E (X) - 8 = 9, 6 - 8 =$ $1, 6$ : en répétant l'expérience un grand nombre de fois, la position finale moyenne est 1,6, légèrement à droite de l'origine, car les pas vers la droite sont plus probables.

Problème 4 — Le jeu de la kermesse

Difficile

À une kermesse, un programme tire au hasard un entier $N$ entre 1 et 20, chaque entier ayant la même probabilité. Le joueur gagne la partie si $N$ est un multiple de 3. Un joueur fait une série de 8 parties indépendantes ; $X$ désigne le nombre de parties gagnées. Chaque partie coûte 1 € et chaque partie gagnée rapporte $g$ euros. Le programme utilisé est :

from random import randint

def partie():
    N = randint(1, 20)
    if N % 3 == 0:
        return 1
    return 0

def serie(n):
    X = 0
    for i in range(n):
        X = X + partie()
    return X

1. Donner la loi de $N$ et calculer $E (N)$ .
2. Montrer que la probabilité de gagner une partie est 0,3.
3. Justifier que $X$ suit une loi binomiale ; calculer $P (X = 0)$ et $P (X ⩾ 2)$ , arrondies à $10^{- 4}$ .
4. Calculer $E (X)$ et $V (X)$ .
5. Le gain algébrique du joueur sur la série est $G = g X - 8$ . Déterminer $g$ pour que le jeu soit équitable, puis calculer $E (G)$ lorsque l'organisateur fixe $g = 3$ .
6. Expliquer le rôle du test $N$ et ce que renvoie $s e r i e (8)$ . Écrire une fonction $e s t i m (m)$ qui renvoie, sur $m$ séries simulées de 8 parties, la fréquence des séries comportant au moins 2 gains.

1. $N$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 20}$ : $P (N = k) = \frac{1}{20}$ pour tout $k$ , et $E (N) = \frac{20 + 1}{2} =$ $10, 5$ .

2. Les multiples de 3 entre 1 et 20 sont 3, 6, 9, 12, 15, 18 : il y en a 6. Donc $P (gagner) = \frac{6}{20} =$ $0, 3$ .

3. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli (succès « gagner », $p = 0, 3$ ) ; les 8 parties sont identiques et indépendantes : $X ~ ℬ (8; 0, 3)$ . $P (X = 0) = 0, 7^{8} \approx$ $0, 0576$ . $P (X = 1) = 8 \times 0, 3 \times 0, 7^{7} \approx 0, 1977$ , donc $P (X ⩾ 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) \approx$ $0, 7447$ .

4. $E (X) = 8 \times 0, 3 =$ $2, 4$ et $V (X) = 8 \times 0, 3 \times 0, 7 =$ $1, 68$ .

5. Par linéarité, $E (G) = g E (X) - 8 = 2, 4 g - 8$ . Le jeu est équitable si $E (G) = 0$ , soit $g = \frac{8}{2, 4} =$ $\frac{10}{3} \approx 3, 33$ €. Avec $g = 3$ : $E (G) = 7, 2 - 8 =$ $- 0, 8$ € ; en moyenne, l'organisateur gagne 0,80 € par série de 8 parties.

6. $N$ est le reste de la division de $N$ par 3 : le test est vrai exactement quand $N$ est un multiple de 3, et $p a r t i e ()$ renvoie alors 1 (gain), sinon 0. $s e r i e (8)$ additionne les résultats de 8 parties : elle renvoie le nombre de parties gagnées sur une série simulée, une réalisation de $X$ . Fonction demandée :

def estim(m):
    c = 0
    for j in range(m):
        if serie(8) >= 2:
            c = c + 1
    return c / m

Pour $m$ grand, $e s t i m (m)$ renvoie une valeur proche de $P (X ⩾ 2) \approx 0, 745$ .

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