Combien de temps dure ce contrôle sur « Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son espérance et son écart type, seuils et intervalles de probabilité.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé : loi uniforme et loi de Bernoulli avec un gain, ligne 11 du triangle de Pascal, arbre de trois services au tennis, audioguides d’un musée et nombre à préparer, nombre minimal de passants et fonction Python de seuil.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Loi uniforme, loi de Bernoulli et gain ★★

(5 pts)

Une application tire au hasard un entier $D$ entre $1$ et $16$ , chaque entier ayant la même probabilité.

a)Donner la loi de $D$ et calculer $E (D)$ .
b)Calculer $P (3 ⩽ D ⩽ 12)$ .
c)On pose $B = 1$ si $D ⩽ 5$ et $B = 0$ sinon. Justifier que $B$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
d)Calculer $E (B)$ et $V (B)$ (valeurs exactes).
e)Le joueur gagne $4$ € si $B = 1$ et perd $1$ € sinon : son gain est $G = 5 B - 1$ . Calculer $E (G)$ et conclure.

Exercice 2 – Coefficients binomiaux ★★

(4 pts)

La ligne $n = 10$ du triangle de Pascal est : $1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$ .

a)Écrire la ligne $n = 11$ en expliquant le calcul.
b)Donner $(\binom{11}{4})$ puis, sans calcul, $(\binom{11}{7})$ .
c)Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli à $11$ épreuves, combien de chemins comportent exactement $3$ succès ? Combien en comportent au plus $1$ ?
d)Un élève écrit : « $(\binom{11}{2}) = (\binom{10}{2}) + (\binom{10}{2}) = 90$ ». Expliquer son erreur et rectifier.

Exercice 3 – Trois premiers services ★★

(2 pts)

Une joueuse de tennis réussit son premier service avec la probabilité $0, 85$ , indépendamment d’un service à l’autre. On observe $3$ premiers services ; $S$ désigne l’événement « le service est réussi ».

a)Justifier que la situation est un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres. Représenter l’arbre pondéré.
b)Calculer la probabilité que les $3$ services soient réussis.
c)Calculer la probabilité qu’exactement $1$ service soit réussi.
d)Calculer la probabilité qu’au moins $2$ services soient réussis.

Exercice 4 – Audioguides d’un musée ★★★

(5 pts)

Dans un musée, $16 %$ des visiteurs empruntent un audioguide. On observe les $17$ visiteurs d’un groupe, dont les choix sont supposés indépendants ; $X$ est le nombre de visiteurs du groupe qui empruntent un audioguide. Arrondir les probabilités au dix-millième.

a)Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b)Calculer $P (X = 2)$ .
c)Calculer $P (X ⩾ 3)$ .
d)Calculer $E (X)$ et $V (X)$ ; interpréter $E (X)$ .
e)L’accueil veut préparer $k$ audioguides pour ce groupe. Déterminer le plus petit nombre $k$ qui suffit avec une probabilité d’au moins $0, 95$ .

Exercice 5 – Scans d’un QR code ★★★

(4 pts)

Chaque passant qui voit une affiche scanne son QR code avec la probabilité $0, 04$ , indépendamment des autres. Pour $n$ passants, $Y$ désigne le nombre de scans.

a)Justifier la loi de $Y$ , puis exprimer $P (Y ⩾ 1)$ en fonction de $n$ .
b)Montrer que $P (Y ⩾ 1) ⩾ 0, 9$ équivaut à $0, 96^{n} ⩽ 0, 1$ .
c)Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant cette condition.

d)Que renvoie la fonction ci-dessous ? Expliquer.

def seuil():
    n = 1
    while 1 - 0.96**n < 0.9:
        n = n + 1
    return n

Bon courage !

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Corrigé et barème – Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Loi uniforme, loi de Bernoulli et gain ★★

(5 pts)

a)Les $16$ entiers sont équiprobables : $D$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 16}$ , avec $P (D = k) = \frac{1}{16}$ pour tout entier $k$ de $1$ à $16$ . Donc $E (D) = \frac{16 + 1}{2} = 8, 5$ . (1)
b)Les entiers de $3$ à $12$ sont au nombre de $12 - 3 + 1 = 10$ : $P (3 ⩽ D ⩽ 12) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0, 625$ . (1)
c) $B$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ : il traduit une épreuve à deux issues, de succès « $D ⩽ 5$ ». $P (B = 1) = P (D ⩽ 5) = \frac{5}{16}$ (valeurs $1$ à $5$ ). $B$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{5}{16} = 0, 3125$ . (1)
d) $E (B) = p = \frac{5}{16}$ et $V (B) = p (1 - p) = \frac{5}{16} \times \frac{11}{16} = \frac{55}{256} \approx 0, 2148$ . (1)
e)Si $B = 1$ , $G = 5 - 1 = 4$ ; si $B = 0$ , $G = - 1$ : on a bien $G = 5 B - 1$ . Par linéarité, $E (G) = 5 E (B) - 1 = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16} \approx 0, 56$ €. L’espérance est positive : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne environ $0, 56$ € par partie. (1)

Repère — Loi uniforme : (n + 1)/2 ; loi de Bernoulli : p et p(1 − p) ; et la linéarité évite de réécrire la loi du gain.

Exercice 2 – Coefficients binomiaux ★★

(4 pts)

a)La relation de Pascal $(\binom{10}{k}) + (\binom{10}{k + 1}) = (\binom{11}{k + 1})$ dit que chaque terme est la somme des deux termes voisins de la ligne $10$ ; la ligne commence et finit par $1$ . On obtient $1$ , $1 + 10 = 11$ , $10 + 45 = 55$ , $45 + 120 = 165$ , $120 + 210 = 330$ , $210 + 252 = 462$ , puis par symétrie $462$ , $330$ , $165$ , $55$ , $11$ , $1$ . (1)
b) $(\binom{11}{4}) = 330$ (terme de rang $4$ , en comptant à partir de $0$ ). Par symétrie, $(\binom{11}{7}) = (\binom{11}{11 - 7}) = (\binom{11}{4}) = 330$ . (1)
c) $(\binom{11}{3}) = 165$ chemins comportent exactement $3$ succès. Au plus $1$ succès : $(\binom{11}{0}) + (\binom{11}{1}) = 1 + 11 = 12$ chemins. (1)
d)La relation de Pascal additionne deux termes voisins de la ligne $10$ , de rangs $k$ et $k + 1$ : $(\binom{11}{2}) = (\binom{10}{1}) + (\binom{10}{2}) = 10 + 45 = 55$ , et non $45 + 45$ . (1)

Repère — Chaque terme du triangle est la somme des deux termes voisins du dessus ; la symétrie divise le travail par deux.

Exercice 3 – Trois premiers services ★★

(2 pts)

a)Chaque service est une épreuve à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p = 0, 85$ , ou l’échec $\overset{―}{S}$ , de probabilité $0, 15$ . Les $3$ services sont identiques et indépendants : c’est un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = 0, 85$ . L’arbre a $3$ niveaux ; de chaque nœud partent une branche $S$ ( $0, 85$ ) et une branche $\overset{―}{S}$ ( $0, 15$ ), soit $2^{3} = 8$ chemins. (0,5)
b)Un seul chemin, $S S S$ : par indépendance, $0, 85^{3} = 0, 614125$ . (0,5)
c)Trois chemins comportent un seul succès ( $S \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ , $\overset{―}{S} S \overset{―}{S}$ et $\overset{―}{S} \overset{―}{S} S$ ), chacun de probabilité $0, 85 \times 0, 15^{2} = 0, 019125$ . La probabilité cherchée vaut $3 \times 0, 019125 = 0, 057375$ . (0,5)
d)Exactement $2$ succès : $3$ chemins de probabilité $0, 85^{2} \times 0, 15 = 0, 108375$ , soit $3 \times 0, 108375 = 0, 325125$ . Au moins $2$ succès : $0, 325125 + 0, 614125 = 0, 93925$ . (0,5)

Repère — On multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l’événement.

Exercice 4 – Audioguides d’un musée ★★★

(5 pts)

a)Pour chaque visiteur, l’épreuve « il emprunte un audioguide » (succès) a pour probabilité $p = 0, 16$ . Les $17$ épreuves sont identiques et indépendantes, et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi $ℬ (17; 0, 16)$ . (1)
b) $P (X = 2) = (\binom{17}{2}) \times 0, 16^{2} \times 0, 84^{15} = 136 \times 0, 0256 \times 0, 84^{15} \approx 0, 2547$ . (1)
c) $P (X ⩾ 3) = 1 - P (X ⩽ 2)$ . À la calculatrice, $P (X ⩽ 2) \approx 0, 4734$ (avec $P (X = 0) \approx 0, 0516$ , $P (X = 1) \approx 0, 1671$ et $P (X = 2) \approx 0, 2547$ ), donc $P (X ⩾ 3) \approx 0, 5266$ . (1)
d) $E (X) = 17 \times 0, 16 = 2, 72$ et $V (X) = 17 \times 0, 16 \times 0, 84 = 2, 2848$ . Sur un grand nombre de groupes de $17$ visiteurs, $2, 72$ visiteurs par groupe empruntent en moyenne un audioguide. (1)
e)Les audioguides suffisent si $X ⩽ k$ : on cherche le plus petit $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 0, 95$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 4) \approx 0, 8776 < 0, 95$ et $P (X ⩽ 5) \approx 0, 9577 ⩾ 0, 95$ . Comme $P (X ⩽ k)$ croît avec $k$ , le plus petit entier est $k = 5$ : avec $5$ audioguides, l’accueil répond à la demande du groupe dans plus de $95 %$ des cas. (1)

Repère — Pour un seuil sur k, on lit le tableau des P(X ≤ k) et on cite les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Exercice 5 – Scans d’un QR code ★★★

(4 pts)

a)Chaque passant est une épreuve de Bernoulli de succès « il scanne le QR code », de probabilité $p = 0, 04$ ; les $n$ épreuves sont identiques et indépendantes : $Y$ suit $ℬ (n; 0, 04)$ . Le contraire de ${Y ⩾ 1}$ est ${Y = 0}$ , de probabilité $0, 96^{n}$ , donc $P (Y ⩾ 1) = 1 - 0, 96^{n}$ . (1)
b) $1 - 0, 96^{n} ⩾ 0, 9 ⟺ - 0, 96^{n} ⩾ - 0, 1 ⟺ 0, 96^{n} ⩽ 0, 1$ (en multipliant par $- 1$ , le sens change). (1)
c)La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ : $0, 96^{n} ⩽ 0, 1 ⟺ n \ln 0, 96 ⩽ \ln 0, 1$ . Comme $\ln 0, 96 < 0$ , diviser change le sens : $n ⩾ \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 96} \approx 56, 4$ . Contrôle : $0, 96^{56} \approx 0, 1017 > 0, 1$ et $0, 96^{57} \approx 0, 0976 ⩽ 0, 1$ . Le plus petit entier est $n = 57$ . (1)
d)La boucle augmente $n$ de $1$ tant que $1 - 0, 96^{n}$ reste strictement inférieur à $0, 9$ ; elle s’arrête au premier $n$ pour lequel $1 - 0, 96^{n} ⩾ 0, 9$ , et elle s’arrête bien, car $0, 96^{n}$ tend vers $0$ . D’après la question précédente, $s e u i l ()$ renvoie $57$ : il faut au moins $57$ passants pour que l’affiche soit scannée au moins une fois avec une probabilité d’au moins $0, 9$ . (1)

Repère — Au moins un succès : on passe par « aucun succès », puis le logarithme ; diviser par un logarithme négatif change le sens.

Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Loi uniforme, loi de Bernoulli et gain ★★/ 5 pts
Exercice 2 — Coefficients binomiaux ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Trois premiers services ★★/ 2 pts
Exercice 4 — Audioguides d’un musée ★★★/ 5 pts
Exercice 5 — Scans d’un QR code ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Variable aléatoire, espérance, variance, écart type, linéarité de l’espérance, jeu équitable, loi uniforme discrète, épreuve et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, arbre pondéré, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, relation de Pascal, loi binomiale, probabilités cumulées, nombre minimal d’épreuves, intervalle de probabilité, simulation en Python.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de maths complémentaires (option tle) Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit : loi uniforme sur {1, …, n} et son espérance ; épreuve et loi de Bernoulli, espérance et écart type ; schéma de Bernoulli et arbre pondéré ; coefficients binomiaux, triangle de Pascal, symétrie ; loi binomiale, expression de P(X = k), espérance et écart type, représentation graphique ; intervalle I tel que P(X ∈ I) soit au moins 1 − α ; simulation en Python. Rappels de 1re : variable aléatoire, espérance, variance, linéarité.

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