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Fiche de révision : loi de Bernoulli et loi binomiale

Rappels de 1re sur l’espérance et la variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et arbre, coefficients binomiaux et triangle de Pascal, loi binomiale avec son espérance et son écart type, seuils et intervalles de probabilité.

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Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Probabilités · Lois discrètes)

La démarche pour une question de probabilités

1. Je définis la variable : ce qu’elle compte ou mesure, et ses valeurs possibles.

2. Je reconnais la loi : uniforme, Bernoulli, binomiale (trois points à justifier), ou loi donnée par un tableau.

3. Je traduis l’événement avec $=$ , $⩽$ ou $⩾$ (« au moins », « au plus », « entre ») et je passe au contraire si c’est plus court.

4. Je calcule et je conclus par une phrase dans le contexte, en n’arrondissant qu’à la fin.

Le réflexe — «

X

suit la loi

ℬ (n; p)

» ne vaut des points que si les deux paramètres sont donnés et si les trois points (deux issues, épreuves identiques, indépendance) sont justifiés.

Cas 1 · Loi, espérance, variance

Réflexe — tableau de la loi (somme = 1), ligne des carrés, König-Huygens ; linéarité pour aX + b.

Exemple. Questions types : « Calculer $E (X)$ et $V (X)$ », « Le jeu est-il équitable ? ». Exemple : $X$ prend les valeurs $- 1$ , $2$ , $6$ avec les probabilités $0, 5$ ; $0, 4$ ; $0, 1$ .

Contrôle : $0, 5 + 0, 4 + 0, 1 = 1$ .

$E (X) = - 0, 5 + 0, 8 + 0, 6 = 0, 9$ et $E (X^{2}) = 0, 5 + 1, 6 + 3, 6 = 5, 7$ .

$V (X) = 5, 7 - 0, 9^{2} = 5, 7 - 0, 81 = 4, 89$ et $σ (X) = \sqrt{4, 89} \approx 2, 21$ . Si le gain net est $X - 1$ , $E (X - 1) = - 0, 1$ : jeu défavorable.

Attention — E(X²) n’est pas E(X)² ; l’équité se juge sur le gain net, mise retirée.

Cas 2 · Loi uniforme, loi de Bernoulli

Réflexe — uniforme sur {1, …, n} : 1/n et (n + 1)/2 ; Bernoulli : je nomme le succès, puis E = p et V = p(1 − p).

Exemple. Questions types : « Justifier que $X$ suit une loi uniforme », « Donner la loi de $Y$ et son écart type ». Exemple : un nombre $N$ est tiré au hasard entre $1$ et $30$ ; $Y = 1$ si $N ⩽ 6$ , $0$ sinon.

$N$ suit la loi uniforme sur ${1, \dots, 30}$ : $E (N) = \frac{31}{2} = 15, 5$ .

$P (Y = 1) = P (N ⩽ 6) = \frac{6}{30} = 0, 2$ : $Y$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0, 2$ .

$V (Y) = 0, 2 \times 0, 8 = 0, 16$ et $σ (Y) = 0, 4$ .

Attention — (n + 1)/2 et non n/2 ; l’écart type est la racine de p(1 − p).

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Cas 3 · Schéma de Bernoulli et arbre

Réflexe — deux issues + épreuves identiques + indépendantes ; produit le long d’un chemin, somme des chemins ; « au moins un » par le contraire.

Exemple. Questions types : « Justifier qu’il s’agit d’un schéma de Bernoulli », « Probabilité d’au moins un succès ». Exemple : $4$ épreuves indépendantes de paramètre $0, 1$ .

Aucun succès : un seul chemin, de probabilité $0, 9^{4} = 0, 6561$ .

Au moins un succès : $1 - 0, 6561 = 0, 3439$ .

Exactement un succès : $4$ chemins de probabilité $0, 1 \times 0, 9^{3} = 0, 0729$ , soit $0, 2916$ .

Attention — tirages sans remise dans une petite urne : pas de schéma de Bernoulli.

Cas 4 · Coefficients binomiaux

Réflexe — triangle de Pascal pour un petit n, calculatrice sinon ; symétrie pour aller plus vite.

Exemple. Questions types : « Écrire la ligne suivante du triangle », « Donner $(\binom{n}{k})$ sans calcul ». Exemple : à partir de la ligne $n = 4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ .

Ligne $n = 5$ : $1$ , $1 + 4 = 5$ , $4 + 6 = 10$ , $6 + 4 = 10$ , $4 + 1 = 5$ , $1$ .

Donc $(\binom{5}{2}) = 10$ et, par symétrie, $(\binom{5}{3}) = 10$ .

Contrôle : $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$ .

Attention — on numérote à partir de k = 0 ; Pascal additionne deux voisins de la même ligne.

Cas 5 · Loi binomiale

Réflexe — « X suit B(n ; p) » justifié, formule complète, cumul avec « ≤ » à la calculatrice, E = np.

Exemple. Questions types : « Calculer $P (X = k)$ , $P (X ⩾ k)$ », « Calculer $E (X)$ et interpréter ». Exemple : $X$ suit $ℬ (6; 0, 5)$ .

$P (X = 2) = (\binom{6}{2}) \times 0, 5^{6} = \frac{15}{64} \approx 0, 234$ .

$P (X ⩾ 5) = P (X = 5) + P (X = 6) = \frac{6 + 1}{64} = \frac{7}{64} \approx 0, 109$ .

$E (X) = 6 \times 0, 5 = 3$ et $σ (X) = \sqrt{1, 5} \approx 1, 22$ .

Attention — ne pas oublier le coefficient ; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

Cas 6 · Seuils et intervalles

Réflexe — seuil sur n : logarithme, sens changé, entier au-dessus ; seuil sur k : deux valeurs du tableau qui encadrent.

Exemple. Questions types : « Combien d’épreuves pour que $P (X ⩾ 1) ⩾ 0, 9$ ? », « Plus petit $k$ tel que $P (X ⩽ k) ⩾ 0, 95$ ». Exemple : $p = 0, 2$ et $P (X ⩾ 1) ⩾ 0, 9$ .

$1 - 0, 8^{n} ⩾ 0, 9 ⟺ 0, 8^{n} ⩽ 0, 1 ⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 8} \approx 10, 3$ .

Contrôle : $0, 8^{10} \approx 0, 107$ et $0, 8^{11} \approx 0, 086$ .

Il faut au moins $11$ épreuves.

Attention — diviser par ln(1 − p) < 0 change le sens ; on compare des valeurs non arrondies.

Les pièges

pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ est la probabilité d’un seul chemin : multiplier par le coefficient binomial.
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1), et « moins de k » se calcule par P(X ≤ k − 1).
Pas de loi binomiale sans indépendance : tirages sans remise dans une petite population.
Le succès est ce que l’on compte, même s’il est fâcheux (pièce défectueuse).
V(X) = np(1 − p) ; l’écart type est sa racine. np = 1 est un nombre moyen, pas une probabilité.
Loi uniforme : E(X) = (n + 1)/2, seulement pour les valeurs 1, …, n.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour une question de probabilités, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : espérance et variance, loi uniforme et loi de Bernoulli, au moins un succès sur un arbre, ligne du triangle de Pascal, calcul de P(X = k) et P(X ≥ k), nombre minimal d’épreuves avec le logarithme.

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